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Informática Educativa I
Projeto Final

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Michele Zacharias dos Santos
A necessidade de se ensinar função quadrática
dá-se pelo fato de esta aparecer naturalmente em
vários contextos seja na matemática, na física ou na
química.
Cálculo
de
área
de
figuras
geométricas,
determinação das diagonais de um polígono e altura
máxima atingida por um projétil são alguns exemplos
de aplicação de funções quadráticas.
Para que o estudo se torne mais interessante
pode-se usar alguns recursos tecnológicos como os
softwares GeoGebra
e Movimento de Projétil,
disponíveis gratuitamente na Internet
OJETIVOS
•

Identificar uma função polinomial do 2º grau.

•

Representar graficamente uma função quadrática.

• Compreender o significado dos coeficientes de
uma função quadrática.
• Resolver problemas significativos envolvendo
inequações e sistemas simples de inequações do 1º
e 2º graus.
• Utilizar a função quadrática
problemas relacionados à Física.

para

• Resolver problemas
máximos e mínimos.

o

envolvendo

resolver

cálculo

de
Primeira aula
Para introdução do conteúdo, os alunos
utilizarão, em grupos de 3 pessoas, o laboratório
de informática, para que possam manusear o
software do movimento dos projéteis.

Como estarão em grupo, para dinamizar ainda
mais a aula, será proposto a eles que façam
uma competição entre si para ver quem alcança
primeiro o alvo.
Primeira aula
Deixar que os alunos manuseiem o programa e descubram como
atingir o alvo.
Levá-los a perceber a relação entre o ângulo da parábola e o
tempo que o projétil
leva para atingir o alvo.
Chamar atenção para a altura máxima, simetria da parábola e as
raízes da função.
Segunda Aula
A aula deverá acontecer no laboratório de informática, de modo que os alunos
possam manusear a interface Anatomia de uma função quadrática.
Nessa aula, os alunos irão manipular o software intuitivamente, alterando os
coeficientes, estabelecendo relações entre estes e o gráfico das funções, bem
como visualizar e manipular as raízes, vértices, simetria, tudo sob orientação do
professor que a todo instante estará propondo novos desafios.
Terceira aula
Será realizada na sala de aula, onde os alunos criarão
algumas funções que serão trocadas entre os grupos. Cada
grupo irá construir as funções que receberam, no papel
quadriculado, utilizando lápis de cor diferente para marcar as
parábolas. Após a construção, os grupos irão compartilhar os
resultados obtidos.

Material utilizado:
Papel quadriculado
Lápis de cor
Quarta aula
 Os alunos utilizarão o laboratório de informática, com
internet, para que conheçam através dos tutoriais, as
ferramentas primárias do software GeoGebra.
 Em um segundo momento, os grupos serão convidados a
construir no GeoGebra, as funções construídas e
reproduzidas por eles no papel quadriculado.
 Ao final da aula os alunos deverão fazer um relatório sobre
as observações feitas no decorrer da aula.
Quarta aula cont.
Depois de estarem familiarizados com o Geogébra, será proposto aos alunos as
funções abaixo para que esbocem os gráficos, destacando a cada item, o eu ele
observa em relação ao item anterior e em relação a parábola f(x) = 𝑥 2 o que muda de
uma para a outra.

a) f(x) = 𝑥 2
b) f(x) = 𝑥 2 + 12
c) f(x) = (𝑥 − 15)2
d) f(x) = (𝑥 − 15)2 + 12

e) f(x) = 8. (𝑥 − 15)2 +12
O que você observa? O que aconteceu com cada gráfico em relação ao
anterior? Anote em seu caderno!
A realização desta atividade permitirá que o aluno
perceba os efeitos gerados pela adição ou multiplicação
de valores à lei algébrica da parábola fundamental
f(x)=x2.
Quinta aula
Após digitarem algumas funções e observarem seus gráficos, os
alunos receberão uma ficha com atividades orientadas, para que
possam desenvolve-las sob orientação do professor.

1) Digitar a função f (x) = x² + 3x
a)
b)
c)
d)
e)

Determine as raízes da função (valor de x para y = 0)
A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?
Marque as coordenadas do valor mínimo da parábola.
Para quais valores de x a função é crescente?
Para quais valores de x a função é decrescente?
Quinta aula

2) Digitar a função f(x) = - x² + 3x
a) Determinem as raízes da função?
b) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para
baixo?(Faça uma comparação com a função da atividade 1)
c) Marque na parábola as coordenadas do valor máximo.

d) Para quais valores de x a função é crescente?
e) Para quais valores de x a função é decrescente?
2) Digitar a função – 2x² +3x – 5
a) Determine as raízes da função
(valor de x para y = 0)
b) A concavidade da parábola está
voltada para cima ou para baixo?
c) Marque as coordenadas do valor
mínimo da parábola.
d) Para quais valores de x a função
é crescente?
e) Para quais valores de x a função
é decrescente?
f) Qual o valor de y para x = 0?
4) Digite a função f(x) = x² - 7x + 6
a) Determine as raízes da função (valor
de x para y = 0)
b) A concavidade da parábola está
voltada para cima ou para baixo?
c) Marque as coordenadas do valor
mínimo da parábola.
d) Para quais valores de x a função é
crescente?
e) Para quais valores de x a função é
decrescente?
f) Qual o valor de y para x = 0?
Sexta aula
A aula será realizada no laboratório, com os alunos dispostos
em pequenos grupos.
Fazendo uso do software Anatomia de uma função quadrática
interface 2, os alunos deverão digitar os coeficientes das
respectivas funções trabalhadas no exercício anterior, de
maneira que ao manusearem a interface, possam fazer
observações sobre os elementos dos gráficos, como raízes,
vértices, valores máximos e mínimos com a forma algébrica de
representa-los.
Sétima aula
Formalizando os conceitos
A parábola é o gráfico da função do 2° grau f(x) = ax² + bx + c, com a ≠
0. Isso significa que a união de todos os pontos (x , f(x)) formam uma
figura chamada de parábola, o que vale para toda função do 2° grau.
Os elementos principais de uma parábola são concavidade e os pontos
onde cortam os eixos coordenados e o vértice.
(-1, 0) e (3, 0) são os pontos de
interseção com o eixo x.
(0, -3) é o ponto de interseção
com o eixo y
(1. -4) é chamado vértice da
parábola.
Concavidade da Parábola
A concavidade da parábola será voltada para cima, se o valor de a for
positivo e será voltada para baixo, se o valor de a for negativo.
f(x) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2

(a > 0 )

g(x) = – 2x² + 3x – 2

( a<0)
Raízes ou zeros de uma função
São os valores de x obtidos, quando tomamos f(x) = 0.
f(x) = x² – 3x + 2

As raízes de f(x) = x² – 3x + 2 são 1 e 2, já
que a parábola corta o eixo x nos pontos
em que as coordenadas x (chamadas
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O valor de ∆ > 0
g(x) = –x² + 2x – 1
Neste caso, só existe um ponto de interseção da parábola
com o eixo x. Isso significa que só existe uma raiz da
função g, que neste caso é x = 1. Note que a parábola
tangencia o eixo x apenas no ponto em que a abscissa é
igual a 1.
valor de ∆ = 0
h(x) = x² – 2x + 2
Neste caso, o gráfico da função h não corta o eixo x;
portanto, a função h não possui raiz.
Valor de ∆ < 0
Processo algébrico para encontrar as
raízes da função 2º grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = a𝑥 2 + bx + c , a 0, os
números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = a𝑥 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau a𝑥 2 +
bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara:

𝑥=

−𝑏 ±

𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando ∆ = 𝑏2 - 4.a.c , chamado discriminante, a saber:
Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas;
Quando ∆

é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

Quando ∆ é negativo, não há raiz real.
Vértices da função do 2º grau
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um
ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada
para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = a𝑥 2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos
valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

a>0

a<0
Desafio
Numa dessas noites de verão, Antônio, João e Pedro resolveram disputar um
chute a gol. Para isso:
cada um deles se posicionou exatamente no centro do campo e chutou a bola de
forma que ela se mantivesse no plano (x,y), perpendicular ao campo, com origem
no centro do campo, de forma que o eixo x passasse também pelo centro do gol.
Os três chutaram na direção do gol, cortado pelo semi-eixo positivo dos x.
Cada um escolheu as seguintes funções para representar seus chutes:
Antônio f(x) = -2𝑥 2 + 12𝑥

y

João f(x)= - 4𝑥 2 + 16𝑥
Pedro f(x) = - 5𝑥 2 + 20x
18m

0

QUEM CHUTOU MAIS ALTO?
ALGUEM FEZ GOL? SE NÃO,
QUEM CHEGOU MAIS PERTO?

26m

X
Referências
BIANCHINI, Edwaldo e Paccola, Herval. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna,2003.
FUNÇÃO QUADRÁTICA< http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php > . Acesso em
15 de out. 2013.
MATEMÁTICA E SUAS TENOLOGIAS: FUNÇÃO DO 2º GRAU, MÓDULO 2, UNIDADE 7
< http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_mod2/matematica/Unidade07_Mat.pdf>. Acesso 15 de out. 2013.
NETO, Scipione Di Pierro e FILHO, Sérgio orsi. Quanta Matemática em fascículos
para o EM. Fascículo 4. São Paulo: Saraiva, 2000.
SOFTWARE ANATOMIA DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. Disponível em:
<http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html> Acesso em: 15 de out. 2013.
SOFTWARE MOVIMENTO DO PROJETIL. Disponível em:
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/11673/projectile-motion_en.jar>. Acesso em: 15 de
out., 2013.
SOFTWARE GEOGEBRA. Disponível em:< http://www.geogebra.org >. Acesso em: 15 de out., 2013.
ROTEIROS DE ACAO 7– Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 1o ano do
Ensino Médio – 3o bimestre/2013 –
http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ último acesso 15 de out. 2013.

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Projeto final Informática educativa I - Michele Zacharias

  • 1. Informática Educativa I Projeto Final FUNÇÃO QUADRÁTICA Michele Zacharias dos Santos
  • 2. A necessidade de se ensinar função quadrática dá-se pelo fato de esta aparecer naturalmente em vários contextos seja na matemática, na física ou na química. Cálculo de área de figuras geométricas, determinação das diagonais de um polígono e altura máxima atingida por um projétil são alguns exemplos de aplicação de funções quadráticas. Para que o estudo se torne mais interessante pode-se usar alguns recursos tecnológicos como os softwares GeoGebra e Movimento de Projétil, disponíveis gratuitamente na Internet
  • 3. OJETIVOS • Identificar uma função polinomial do 2º grau. • Representar graficamente uma função quadrática. • Compreender o significado dos coeficientes de uma função quadrática. • Resolver problemas significativos envolvendo inequações e sistemas simples de inequações do 1º e 2º graus. • Utilizar a função quadrática problemas relacionados à Física. para • Resolver problemas máximos e mínimos. o envolvendo resolver cálculo de
  • 4. Primeira aula Para introdução do conteúdo, os alunos utilizarão, em grupos de 3 pessoas, o laboratório de informática, para que possam manusear o software do movimento dos projéteis. Como estarão em grupo, para dinamizar ainda mais a aula, será proposto a eles que façam uma competição entre si para ver quem alcança primeiro o alvo.
  • 5. Primeira aula Deixar que os alunos manuseiem o programa e descubram como atingir o alvo. Levá-los a perceber a relação entre o ângulo da parábola e o tempo que o projétil leva para atingir o alvo. Chamar atenção para a altura máxima, simetria da parábola e as raízes da função.
  • 6. Segunda Aula A aula deverá acontecer no laboratório de informática, de modo que os alunos possam manusear a interface Anatomia de uma função quadrática. Nessa aula, os alunos irão manipular o software intuitivamente, alterando os coeficientes, estabelecendo relações entre estes e o gráfico das funções, bem como visualizar e manipular as raízes, vértices, simetria, tudo sob orientação do professor que a todo instante estará propondo novos desafios.
  • 7. Terceira aula Será realizada na sala de aula, onde os alunos criarão algumas funções que serão trocadas entre os grupos. Cada grupo irá construir as funções que receberam, no papel quadriculado, utilizando lápis de cor diferente para marcar as parábolas. Após a construção, os grupos irão compartilhar os resultados obtidos. Material utilizado: Papel quadriculado Lápis de cor
  • 8. Quarta aula  Os alunos utilizarão o laboratório de informática, com internet, para que conheçam através dos tutoriais, as ferramentas primárias do software GeoGebra.  Em um segundo momento, os grupos serão convidados a construir no GeoGebra, as funções construídas e reproduzidas por eles no papel quadriculado.  Ao final da aula os alunos deverão fazer um relatório sobre as observações feitas no decorrer da aula.
  • 9. Quarta aula cont. Depois de estarem familiarizados com o Geogébra, será proposto aos alunos as funções abaixo para que esbocem os gráficos, destacando a cada item, o eu ele observa em relação ao item anterior e em relação a parábola f(x) = 𝑥 2 o que muda de uma para a outra. a) f(x) = 𝑥 2 b) f(x) = 𝑥 2 + 12 c) f(x) = (𝑥 − 15)2 d) f(x) = (𝑥 − 15)2 + 12 e) f(x) = 8. (𝑥 − 15)2 +12 O que você observa? O que aconteceu com cada gráfico em relação ao anterior? Anote em seu caderno!
  • 10. A realização desta atividade permitirá que o aluno perceba os efeitos gerados pela adição ou multiplicação de valores à lei algébrica da parábola fundamental f(x)=x2.
  • 11. Quinta aula Após digitarem algumas funções e observarem seus gráficos, os alunos receberão uma ficha com atividades orientadas, para que possam desenvolve-las sob orientação do professor. 1) Digitar a função f (x) = x² + 3x a) b) c) d) e) Determine as raízes da função (valor de x para y = 0) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? Marque as coordenadas do valor mínimo da parábola. Para quais valores de x a função é crescente? Para quais valores de x a função é decrescente?
  • 12.
  • 13. Quinta aula 2) Digitar a função f(x) = - x² + 3x a) Determinem as raízes da função? b) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?(Faça uma comparação com a função da atividade 1) c) Marque na parábola as coordenadas do valor máximo. d) Para quais valores de x a função é crescente? e) Para quais valores de x a função é decrescente?
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  • 15. 2) Digitar a função – 2x² +3x – 5 a) Determine as raízes da função (valor de x para y = 0) b) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? c) Marque as coordenadas do valor mínimo da parábola. d) Para quais valores de x a função é crescente? e) Para quais valores de x a função é decrescente? f) Qual o valor de y para x = 0?
  • 16. 4) Digite a função f(x) = x² - 7x + 6 a) Determine as raízes da função (valor de x para y = 0) b) A concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo? c) Marque as coordenadas do valor mínimo da parábola. d) Para quais valores de x a função é crescente? e) Para quais valores de x a função é decrescente? f) Qual o valor de y para x = 0?
  • 17. Sexta aula A aula será realizada no laboratório, com os alunos dispostos em pequenos grupos. Fazendo uso do software Anatomia de uma função quadrática interface 2, os alunos deverão digitar os coeficientes das respectivas funções trabalhadas no exercício anterior, de maneira que ao manusearem a interface, possam fazer observações sobre os elementos dos gráficos, como raízes, vértices, valores máximos e mínimos com a forma algébrica de representa-los.
  • 18.
  • 19. Sétima aula Formalizando os conceitos A parábola é o gráfico da função do 2° grau f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Isso significa que a união de todos os pontos (x , f(x)) formam uma figura chamada de parábola, o que vale para toda função do 2° grau. Os elementos principais de uma parábola são concavidade e os pontos onde cortam os eixos coordenados e o vértice. (-1, 0) e (3, 0) são os pontos de interseção com o eixo x. (0, -3) é o ponto de interseção com o eixo y (1. -4) é chamado vértice da parábola.
  • 20. Concavidade da Parábola A concavidade da parábola será voltada para cima, se o valor de a for positivo e será voltada para baixo, se o valor de a for negativo. f(x) = 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 (a > 0 ) g(x) = – 2x² + 3x – 2 ( a<0)
  • 21. Raízes ou zeros de uma função São os valores de x obtidos, quando tomamos f(x) = 0. f(x) = x² – 3x + 2 As raízes de f(x) = x² – 3x + 2 são 1 e 2, já que a parábola corta o eixo x nos pontos em que as coordenadas x (chamadas de abscissas) são 1 e 2. O valor de ∆ > 0
  • 22. g(x) = –x² + 2x – 1 Neste caso, só existe um ponto de interseção da parábola com o eixo x. Isso significa que só existe uma raiz da função g, que neste caso é x = 1. Note que a parábola tangencia o eixo x apenas no ponto em que a abscissa é igual a 1. valor de ∆ = 0
  • 23. h(x) = x² – 2x + 2 Neste caso, o gráfico da função h não corta o eixo x; portanto, a função h não possui raiz. Valor de ∆ < 0
  • 24. Processo algébrico para encontrar as raízes da função 2º grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = a𝑥 2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = a𝑥 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau a𝑥 2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara: 𝑥= −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ∆ = 𝑏2 - 4.a.c , chamado discriminante, a saber: Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas; Quando ∆ é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); Quando ∆ é negativo, não há raiz real.
  • 25. Vértices da função do 2º grau Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são
  • 26. Imagem O conjunto-imagem Im da função y = a𝑥 2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: a>0 a<0
  • 27. Desafio Numa dessas noites de verão, Antônio, João e Pedro resolveram disputar um chute a gol. Para isso: cada um deles se posicionou exatamente no centro do campo e chutou a bola de forma que ela se mantivesse no plano (x,y), perpendicular ao campo, com origem no centro do campo, de forma que o eixo x passasse também pelo centro do gol. Os três chutaram na direção do gol, cortado pelo semi-eixo positivo dos x. Cada um escolheu as seguintes funções para representar seus chutes: Antônio f(x) = -2𝑥 2 + 12𝑥 y João f(x)= - 4𝑥 2 + 16𝑥 Pedro f(x) = - 5𝑥 2 + 20x 18m 0 QUEM CHUTOU MAIS ALTO? ALGUEM FEZ GOL? SE NÃO, QUEM CHEGOU MAIS PERTO? 26m X
  • 28. Referências BIANCHINI, Edwaldo e Paccola, Herval. Curso de Matemática. São Paulo: Moderna,2003. FUNÇÃO QUADRÁTICA< http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php > . Acesso em 15 de out. 2013. MATEMÁTICA E SUAS TENOLOGIAS: FUNÇÃO DO 2º GRAU, MÓDULO 2, UNIDADE 7 < http://cejarj.cecierj.edu.br/pdf_mod2/matematica/Unidade07_Mat.pdf>. Acesso 15 de out. 2013. NETO, Scipione Di Pierro e FILHO, Sérgio orsi. Quanta Matemática em fascículos para o EM. Fascículo 4. São Paulo: Saraiva, 2000. SOFTWARE ANATOMIA DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA. Disponível em: <http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html> Acesso em: 15 de out. 2013. SOFTWARE MOVIMENTO DO PROJETIL. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/11673/projectile-motion_en.jar>. Acesso em: 15 de out., 2013. SOFTWARE GEOGEBRA. Disponível em:< http://www.geogebra.org >. Acesso em: 15 de out., 2013. ROTEIROS DE ACAO 7– Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 1o ano do Ensino Médio – 3o bimestre/2013 – http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/ último acesso 15 de out. 2013.