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b) h(x) = ln x
1. a)g(x)= (ex-1)2 c) f(x) = 3x3
x

x2 - 4
Faça o estudo das funções considerando em particular os seguintes aspectos: Domínio,
Contradomínio, zeros, paridade, continuidade, possibilidade de existência de
assimptotas, intervalos de monotonia, extremos relativos, sentido das concavidades,
pontos de inflexão, esboço do gráfico.

a) g ( x) = e x − 1 ( ) 2

Domínio: ℜ
zeros:

(
g ( x) = e x − 1 = 0 ) 2

(e x
)
− 1 = 0 ⇔ e x − 1 = 0 ⇔ e x = 1 ⇔ ln e x = ln (1) ⇔ x = 0
2
( )
paridade:

função é par se g ( x) = g (− x)

(
g (− x) = e − x − 1 = e −2 x − 2e − x + 1 ) 2

( )
g ( x ) = e x − 1 = e 2 x − 2e x + 1
2

g ( x) ≠ g (− x) função não é par

função é impar se g ( x) = − g (− x)

(
− g ( x) = − e x − 1 = −e 2 x + 2e x − 1 ) 2

g ( x) ≠ − g (− x ) função não é impar

Continuidade:

(2
)
g ( x) = e x − 1 = e 2 x − 2e x + 1 é continua porque é a soma de funções continuas

Assimptotas:

Não tem assimptotas verticais porque é continua

Assimptotas horizontais

x →+∞ x →+∞
( )
lim g ( x) = lim e x − 1 = lim e + ∞ − 1 = ( + ∞ − 1) 2 + ∞
2

x →+∞
( ) 2


x →−∞ x →−∞
( )
lim g ( x) = lim e x − 1 = lim e −∞ − 1 = ( − ∞ − 1) 2 + ∞
2

x →−∞
( ) 2

Estes limites são infinitos logo não há assimptotas horizontais

Assimptota obliqua do tipo ax + b

a = lim
g ( x)
= lim
ex −1 ( ) 2
= lim
2e x e x − 1 (
= +∞
)
x → −∞ x x →−∞ x x →−∞ 1

a é infinito logo não há assimptotas obliquas

Intervalos de monotonia

2 ′
( )
g ′( x) =  e x − 1  = 2e x e x − 1

 

( )
( )
g ′( x) = 0 ⇔ 2e x e x − 1 = 0 ⇔ e x − 1 = 0 ⇔ e x = 1 ⇔ x = 0

x=0 é um ponto critico
(
2e x e x − 1 )
-∞ 0 +∞
2e x + + + + +
( ex −1 ) - - 0 + +
g'(x) - - 0 + +
decrescente decrescente mínimo crescente crescente

Extremos relativos : há um máximo para x=0

2 ″


( 

)
′
[ (
′
g ′′( x) =  e x − 1  = 2e x e x − 1 = 2e 2 x − 2e x = 4e 2 x − 2e x

)] [ ]

g ′′( x) = 0 ⇔ 4e 2 x − 2e x = 0 ⇔ 2e x 2e x − 1 = 0 ⇔ 2e x = 1 ⇔ e x = ( ) 1
2
⇔ x = − ln 2

g ′′( x) = 2e x 2e x − 1 ( )
-∞ -ln2 +∞
2e x + + + + +
( 2e x − 1 ) - - 0 + +
g''(x) - - 0 + +
∩ ∩ inflexão ∪ ∪


Gráfico

1

0.5

0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0.5

-1


ln x
b) h( x) =
x

Domínio:
x =0⇔ x=0

Domínio: ℜ{0}

zeros:

ln x ln x
h( x ) = = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ e = e 0 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 ∨ x = −1
x

paridade:

ln − x ln x
h( − x ) = =− = − h( x )
−x x

função é impar

Continuidade:

ln x
h( x ) = tem um ponto de descontinuidade para x=0
x

Assimptotas:

assimptota vertical para x=0


1
ln x ln x
lim h( x ) = lim = lim = lim x = 0
x →+∞ x → +∞ x x → +∞ x x →+∞ 1

1
ln x −
ln − x
lim h( x ) = lim = lim = lim x = 0
x →−∞ x →−∞ x x →−∞ x x →+∞ 1

Assimptota horizontal para x=0



1
ln x ±
h( x ) ln ± x
a = lim = lim 2 = lim = lim x = 0
x → ±∞ x x →±∞ x x → ±∞ x 2 x →±∞ 2 x

a é zero logo não há assimptotas obliquas


 ln ( − x )
ln x  ⇐x<0
h( x ) = = x
x ln x
 ⇐x>0
 x
1
 x x − ln(− x)
 ⇐x<0
 x2
h ′( x) = 
1
 x − ln x
x ⇐x>0
 x2


1 − ln(− x)
 2
⇐ x < 0 1 − ln x
h ′( x) =  x =
1 − ln x x2
 2 ⇐x>0
 x
1 − ln(− x)
 = 0∧ x < 0
h ′( x) = 0 ⇔  x2 ⇔ 1 − ln(− x ) = 0 ∧ x < 0
1 − ln( x) = 0 ∧ x > 0
1 − ln x 
 2 = 0∧ x > 0
 x

⇔ ln(− x) = 1 ∧ x < 0 ⇔  x = −e ∧ x < 0 ⇔  x = −e
ln( x) = 1 ∧ x > 0 x = e ∧ x > 0 x = e
  

x=e e x=-e são pontos críticos

-∞ -e 0 e +∞
1 − ln x - - 0 + + + 0 - -
x2 + + + + 0 + + + +
h'(x) - - 0 + ** + 0 - -
d d c c d d

Extremos relativos : há um máximo para x=e
há um minimo para x=-e


 1 2
 − x x − 2 x(1 − ln(− x) )
 ⇐x<0
 x4
h ′′( x) = 
1
 − x 2 − 2 x(1 − ln x )
 x ⇐x>0

 x2

 − x − 2 x(1 − ln(− x ) )
 ⇐x<0
h ′′( x) =  x4
− x − 2 x(1 − ln x )
 ⇐x>0
 x2

− 3 + 2 ln x
h ′′( x) =
x3

2
− 3 + 2 ln x 2
h ′′( x) = 0 ⇔ = 0 ⇔ −3 + 2 ln x = 0 ⇔ ln x = ⇔ x = e 3
x3 3


2 2
x= e3 ∨x= −e 3

− 3 + 2 ln x
x3

-∞ 2
0 2
+∞
x = −e 3 x = e3
− 3 + 2 ln x + + 0 - - - 0 + +
x 3 - - - - 0 + + + +
h''(x) - - 0 + ** - 0 + +
∩ d inf ∪ ∩ inf ∪ ∪

Gráfico:
1

0.5

0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0.5

-1


3x 3
1c) f ( x) =
x2 − 4

Domínio:
x 2 − 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = −2 ∨ x = 2
ℜ{-2,2}

zeros:
3x 3
f ( x) = 2
= 0 ⇔ 3x 3 = 0 ⇔ x = 0
x −4

paridade:

3( − x ) 3 3x 3
f ( − x) = =− = − f ( x)
( − x) 2 − 4 x2 − 4

função impar

Continuidade:

3x 3
f ( x) = é continua excepto em -2 e 2
x2 − 4

Assimptotas:

Assimptotas verticais
3x 3 24 24 24
lim 2 =− =− + = − + = −∞
x → −2 + x − 4 2
(
− 2+ − 4 )
4 −4 0

3x 3 24 24 24
lim 2 =− =− − = − − = +∞
x → −2 − x − 4 2
(
− 2− − 4 )
4 −4 0

3x 3 24 24 24
lim = = + = + = +∞
2
x →2 + x − 4 2
( )
2+ − 4 4 − 4 0

3x 3 24 24 24
lim = = − = − = −∞
x →2 − x 2 − 4
2 ( )
− 2
−4 4 −4 0

duas assimptotas verticais em x=-2 e x=2



3x 3 9x 2 9x
lim f ( x) = lim 2
= lim = lim = +∞
x →+∞ x →+∞ x − 4 x →+∞ 2 x x →+∞ 2

3x 3 9x 2 9x
lim f ( x) = lim 2
= lim = lim = −∞
x →−∞ x →−∞ x − 4 x →−∞ 2 x x →−∞ 2

Estes limites são infinitos logo não há assimptotas horizontais


f ( x) 3x 3 3x 2 6x
a = lim = lim = lim 2 = lim =3
x → ±∞ x 2
x → ±∞ x x − 4( x → ±∞ x − 4 )
x →±∞ 2 x

 3x 3   3 x 3 − 3x 3 + 12 x 
b = lim ( f ( x) − ax ) = lim  2 − 3 x  = lim 
x →+∞ x →+∞ x − 4
 (
 x→+∞  x2 − 4) 
 ( )
 12 x   12 
= lim  2  = xlim   = 0
(
x →+∞ x − 4
 )
 →+∞  2 x 

Assimptota obliqua: 3x


′
f
 3x 3 
′( x) =  2  =
( )
9 x 2 x 2 − 4 − 2 x × 3 x 3 9 x 4 − 36 x 2 − 6 x 4 3 x 2 x 2 − 12
= =
( )
 x − 4 x2 − 4
2
( x2 − 4 )2
x2 − 4
2
( ) ( )
f ′( x) = 0 ⇔
(
3 x 2 x 2 − 12 ) = 0 ⇔ 3x ( x 2 2
)
− 12 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 3 ∨ x = −2 3
(x 2
−4 ) 2

0, 2 3 , − 2 3 x=0 são pontos críticos


-∞ −2 3 -2 0 2 2 3 +∞
2
3x + + + + + + 0 + + + + + +
2
x − 12 + + 0 - - - - - - - 0 + +
(x 2
−4 ) 2
+ + + + 0 + + + 0 + + + +
f'(x) + + 0 - * - 0 - * - 0 + +
c c Max d * d i d * d min c c

′
(
 3 x 4 − 36 x 2 
f ′′( x) =   =
2
) (
12 x 3 − 72 x x 2 − 4 − 4 x x 2 − 4 3 x 4 − 36 x 2)( ) ( )( )
 x2 − 4

2
(

 ) x2 − 4
4
( )
12 x 5 − 48 x 3 − 72 x 3 + 288 x − 12 x 5 + 144 x 3 24 x( x 2 + 12)
= =
x2 − 4
3
( x2 − 4
3
) ( )

-∞ -2 0 2 +∞
24x - - - - 0 + + + +
2
x + 12 + + + + + + + + +
(x 2
−4 ) 3
+ + 0 - - - 0 + +
f'(x) - - * + 0 - * + +
∩ ∩ * ∪ i ∩ * ∪ ∪

Gráfico:
30
20
10
0
-10 -6 -1 4

-20
-30


2. Calcule as derivadas de :

f ( x) = sin( 2 x) cos(3 x)

f ' ( x) = [ sin( 2 x)] ' cos(3 x) + sin( 2 x )[ cos(3 x)] '

= ( 2 x ) ' cos(2 x) cos(3 x) − ( 3 x ) ' sin(3 x) sin(2 x)
= (2 x )′ cos(2 x) cos(3 x) − (3x )′ sin(3 x) sin(2 x)
= 2 cos(2 x) cos(3 x) − 3 sin(3x ) sin( 2 x )

b) g(x)= 172tg2x

tg 2 x sin 2 x
g ( x) = =
2 2 cos 2 x

 sin 2 x 
g ′( x) = 
′
1  sin 2 x 
=  2  =
′ ′
[ ] ′
1 sin 2 x cos 2 x − cos 2 x sin 2 x [ ]
2 
 2 cos x  2  cos x  2 cos 2 x
2
( )
1 2[ sin x ] ′ sin x cos 2 x − 2[ cos x ] ′ cos x sin 2 x
=
2 cos 2 x( 2
)
=
1 2 cos x sin x cos 2 x + 2 sin x cos x sin 2 x 1 2 cos x sin x cos 2 x + sin 2 x
=
( )
2 (
cos 2 x
2
) 2 cos 2 x
2
( )
1 2 cos x sin x 1 2 sin x tan x
= 4
= =
2 cos x 2 cos x cos 2 x
3

cos( 2 x ) = [ cos( 2 x ) ] a
1
c) a

1 ′
1− a
 1 ′ [ cos( 2 x ) ] 1 −1 = −2 sin x [ cos( 2 x ) ] a
t ′( x ) = [ cos( 2 x ) ] a  = ( cos( 2 x ) ) a
  a a


a) lim ex senx - x b) lim ex -e -x c) lim ex +e -x
x→0 x→0 x→+∞
3x2 + x5
e x sin x − x e 0 sin 0 − 0 0
lim = = indeterminação
x →0 3 x 2 + x 3 30 2 + 0 3 0

lim
e x sin x − x
= lim
(
e x sin x − x
′
= lim
)e x sin x + e x cos x − 1
x →0 3 x 2 + x 3 x →0
(
3x 2 + x 3
′
)
x →0 6 x + 3x 2

= lim
e x ( sin x + cos x ) − 1 0
= = lim
[
e x ( sin x + cos x ) − 1 ]′
x →0 6 x + 3x 2 0 x →0 6 x + 3x 2
′
( )
e x ( sin x + cos x ) + e x ( cos x − sin x ) 2 1
= lim = =
x →0 6 + 6x 6 3

e x − e − x e 0 − e −0 1 − 1 0
b) lim = = =
x →0 sin x sin 0 0 0

lim
e x − e−x
= lim
(
e x − e −x )′ = lim e x
+ e − x e 0 + e −0
=
x →0 sin x x →0
( sin x ) ′ x →0 cos x cos 0

1+1
= =2
1

e x + e − x e +∞ + e −∞ + ∞ + 0 + ∞
c) lim = +∞ = =
x →+∞ e x − e − x e − e −∞ + ∞ − 0 + ∞

e x + e − x e +∞ + e −∞ + ∞ + 0 + ∞
lim = +∞ = =
x →+∞ e x − e − x e − e −∞ + ∞ − 0 + ∞

(e x
+ e−x)= lim x x
(
e x e x + e−x )
e2x + 1
= lim 2 x = lim
(
e2x + 1 )′
( )
lim
x →+∞(e x
− e−x) (
x → +∞ e e − e − x x →+∞ e) ( )
− 1 x→+∞ e 2 x − 1 ′ ( )
2e 2 x
= lim =1
x →+∞ 2e 2 x

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