O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases: 1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente. 2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.

1. 1
Funções e suas propriedades.
Lista 9a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Encontrar os maiores conjuntos de monotonia da função dada:
a) f(x) = x2
− 2x + 3;
b) f(x) =
√
x + 1;
c) f(x) = cos x.
Solução.
Lembramos que uma função f(x) é chamada crescente (estritamente crescente) num subconjunto
S do seu domínio X se para quaisquer x1, x2 ∈ S, x1 x2 segue que f(x1) ≤ f(x2) (f(x1)
f(x2)). Da mesma maneira, uma função f(x) é chamada decrescente (estritamente decrescente) num
subconjunto S do seu domínio X se para quaisquer x1, x2 ∈ S, x1 x2 segue que f(x1) ≥ f(x2)
(f(x1) f(x2)) Uma função é monótona num conjunto se ela é crescente ou decrescente neste
conjunto.
a) Para facilitar a investigação, representamos a função quadrática na forma canônica f(x) =
(x − 1)2
+ 2. Então, intuitivamente, ca claro que a função decresce quando x aumenta até 1,
no ponto 1 assume o seu valor mínimo f(1) = 2, e depois começa crescer quando x aumenta a
partir de 1. Vericamos essa suposição analiticamente. Para iniciar, tomamos quaiquer x1 x2
e avaliamos a diferença dos valores da função f(x2) − f(x1) = x2
2 − 2x2 + 3 − (x2
1 − 2x1 + 3) =
(x2 − x1)(x2 + x1) − 2(x2 − x1) = (x2 − x1)(x2 + x1 − 2). Notamos que o primeiro fator é positivo,
portanto, o resultado depende do segundo fator.
Se tomarmos x1 x2 ≤ 1, então x2 + x1 − 2 0, o que implica em f(x2) f(x1) e então
a função decresce estritamente em (−∞, 1]. Se escolhermos 1 ≤ x1 x2, então x2 + x1 − 2 0,
e, portanto, f(x2) f(x1) o que signica que a função decresce estritamente em [1, +∞). Assim,
(−∞, 1] é o maior conjunto de decrescimento e [1, +∞) é o maior conjunto de crescimento (ambos
estritos). Obviamente, qualquer subconjunto de (−∞, 1] também é conjunto de decrescimento, e
qualquer subconjunto de [1, +∞) é um conjunto de crescimento.
b) O domínio de f(x) =
√
x + 1 é [−1, +∞) e com crescimento de x nesse conjunto o argumento
x + 1 da raiz também cresce, o que implica, de acordo com a propriedade da raiz, que f(x) também
cresce. Formalizando o mesmo raciocínio: para quaisquer −1 ≤ x1 x2 temos x1 + 1 x2 + 1
e a última desigualdade equiavle a f(x1) =
√
x1 + 1
√
x2 + 1 = f(x2), ou seja, f(x) cresce
estritamente em todo o seu domínio.
c) Lembrando a denição analítica de cos x (ou até usando a sua representação gráca como
denição), concluímos que no intervalo [0, π] a função f(x) = cos x decresce estritamente de 1 até
−1 (a abscissa do ponto na circunferência unitária diminui quando o ângulo varia de 0 até π).
No próximo intervalo, [π, 2π], a função f(x) = cos x cresce estritamente de −1 até 1 (a abscissa
do ponto na circunferência unitária aumenta quando o ângulo varia de π até 2π). Empregando
a 2π-periodicidade da função, concluímos que f(x) = cos x decresce estritamente em qualquer
intervalo do tipo [2kπ, π + 2kπ], k ∈ Z, e ela cresce estritamente em qualquer intervalo do tipo
[π + 2nπ, 2π + 2nπ], n ∈ Z. Portanto, qualquer um dos intervalos do primeiro tipo é o maior
intervalo de decrescimento, e qualquer intervalo do segundo tipo é o maior intervalo de crescimento.
2. Vericar se a função tem extremos globais e locais no conjunto indicado:
a) f(x) = 1 − 2x, S = [−4, 2);
b) f(x) = |1 − 2x|, S = [−4, 2);
c) f(x) =



1 − 2x, x ≤ 0
1 + 4x − 4x2
, x ∈ (0, 1)
2x − 1, x ≥ 1
, S = R.

2. 2
Solução.
Lembramos as denições principais. Um ponto x0 é o máximo global (máximo global estrito)
de função f(x) num conjunto S se para qualquer x deste conjunto, diferente de x0, é válida a
propriedade f(x) ≤ f(x0) (f(x) f(x0)). Analogamente, um ponto x0 é o mínimo global (mínimo
global estrito) de f(x) num conjunto S se para qualquer x deste conjunto, diferente de x0, é válida
a propriedade f(x) ≥ f(x0) (f(x) f(x0)). O ponto máximo ou mínimo global (estrito) é chamado
de extremo global (estrito).
Um ponto x0 é o máximo local (máximo local estrito) de função f(x), se este ponto é o máximo
global (máximo global estrito) em alguma sua vizinhança contida no domínio de f(x). Analoga-
mente, um ponto x0 é o mínimo local (mínimo local estrito) de f(x), se este ponto é o mínimo
global (mínimo global estrito) em alguma sua vizinhança contida no domínio de f(x).
O ponto máximo ou mínimo local (estrito) é chamado de extremo local (estrito).
a) A função f(x) = 1−2x é estritamente decrescente em todo o seu domínio R e, em particular,
em S = [−4, 2): f(x2) − f(x1) = 1 − 2x2 − (1 − 2x1) = 2(x1 − x2) 0, ∀x1 x2. Então, f(x) não
tem extremos locais (numa vizinhança de qualquer ponto x0, à esquerda de x0 temos f(x) f(x0)
e à direita f(x) f(x0)), e os extremos globais devemos procurar nas extremidades do intervalo
S = [−4, 2). Como a extremidade esquerda pertence a S, ela é o ponto máximo global (mas não
local, porque em S não tem vizinhança de −4). A outra extremidade não pertence a S e, por
isso, não existe o mínimo global em S (se tentamos tomar um ponto x0 um pouco menor que 2 na
qualidade do mínimo global, então o ponto x1 = x0+2
2
ca dentro de S e x1 x0, logo f(x1) f(x0),
mostrando que x0 não é mínimo global).
b) Devido a denição do módulo, ca claro que f(1
2
) = 0 é o mínimo global da função, porque
em qualquer outro ponto 1 − 2x ̸= 0 e, por isso f(x) 0, ∀x ̸= 1
2
. A abertura do módulo da função
f(x) = |1 − 2x| =
{
1 − 2x, x 1
2
2x − 1, x ≥ 1
2
mostra que na parte x ≤ 1
2
do domínio R a função decresce
estritamente, enquanto na parte x ≥ 1
2
ela cresce estritamente. Portanto, em R a função não tem
mais extremos nem globais nem locais. No entanto, eles podem surgir num intervalo nito como
S = [−4, 2). O ponto x0 = 1
2
é o ponto interior de S (pertence a S junto com alguma sua vizinhança)
e, por isso, x0 é o mínimo global e local de f(x) em S (assim como em R). Como f(x) decresce
estritamente em [−4, 1
2
], o maior valor nessa parte de S a função assume na extremidade esquerda
f(−4) = 9. Na parte [1
2
, 2) a função cresce estritamente e, por isso, f(x) f(2) = 3. Embora
f(x) não assume o valor f(2) = 3 em S, mas ele é menor que f(−4) e, portanto, f(x) f(−4),
∀x ∈ (−4, 2). Logo, x1 = −4 é o máximo global de f(x) em S (mas não local, porque não existe
uma vizinhança de −4 contida em S).
c) Consideremos separadamente três partes do domínio R. Na parte x ≤ 0 a função 1 − 2x é
estritamente decrescente, tendo o menor valor f(0) = 1 e não tendo o valor máximo, porque para
x bastante grandes por módulo e negativos ela supera qualquer constante dada previamente. Na
parte 0 x 1 a função quadrática p(x) = 1 + 4x − 4x2
pode ser reescrita na forma canônica
p(x) = 2 − (2x − 1)2
o que evidencia que essa é uma parábola voltada para baixo com o vértice no
ponto (1
2
, 2) e então, no subintervalo (0, 1
2
) a função 2 − (2x − 1)2
cresce estritamente e no próximo
subintervalo (1
2
, 1) essa função decresce estritamente (claramente, os mesmos resultados podem ser
deduzidos analiticamente, sem apelar as propriedades de uma parábola). Notamos também que
nas extremidades do intervalo (0, 1) a parábola assume os valores p(0) = p(1) = 1. Finalmente, na
parte x ≥ 1 a função 2x − 1 cresce estritamente a partir do seu menor valor f(1) = 1 e aumenta
sem restrição, ou seja, superando qualquer constante para x bastante grandes. Com base nessas
observações, podemos concluir que não há nenhum extremo global ou local nos intervalos (−∞, 0) e
(0, +∞) (intervalos de decrescemento e crescemento estrito, respectivamente). Também não temos
extremos de qualquer tipo nos intervalos (0, 1
2
) e (1
2
, 0) que são os intervalos de monotonia estrita
da parte parabólica da função. Então, restam os pontos 0,
1
2
e 1. Entre eles temos dois mínimos
globais e locais os pontos 0 e 1: f(0) = f(1) = 1 f(x), ∀x ̸= 0 ou 1. Ainda, devido as
propriedades da parábola, temos o máximo local em x = 1
2
, mas ele não é o máximo global, porque

3. 3
nos intervalos (−∞, 0) e (0, +∞) a função assume os valores maiores que qualquer constante, em
particular, maiores que f(1
2
) = 2.
3. Demana, p.81:
N 29, 32, 33, 34, 41, 42, 45, 46 (resolver algebricamente)
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Observação. Na resolução de exercícios a seguir vamos usar a denição de crescimento/decrescimento
de uma função. Para precisão, vamos lembrar essas denições. Uma função f(x) é chamada cres-
cente (crescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quaisquer dois pontos x1 x2,
x1, x2 ∈ S temos f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) f(x2)). Da mesma maneira, uma função f(x) é chamada
decrescente (decrescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quisquer dois pontos
x1 x2, x1, x2 ∈ S segue f(x1) ≥ f(x2) (f(x1) f(x2)). Em termos grossos, uma função é cres-
cente se seus valores crescem com aumento de variável independente, e é decrescente se seus valores
decrescem com aumento de variável independente.
Dar esboço do gráco da função e comparar a resposta com a de Demana p.284:
a) N29: f(x) = |x + 2| − 1. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = |x + 2| − 1
consiste de todos x reais. Para encontrar o gráco, vamos escrever a fórmula da função na forma mais
simples, abrindo a denição do módulo: |x+2|−1 =
{
−(x + 2) − 1, x −2
(x + 2) − 1, x ≥ −2
=
{
−x − 3, x −2
x + 1, x ≥ −2
.
Assim, temos duas funções lineares envolvidas: −x − 3 e x + 1. O gráco de qualquer função linear
é uma reta. Portanto, basta encontrar dois pontos da primeira parte do gráco e dois pontos da
segunda. Por exemplo, quando x −2 podemos tomar x1 = −4 e x2 = −3 e usando a fórmula
respectiva y = −x − 3, encontramos y1 = 1 e y2 = 0. Assim, temos dois pontos no plano cartesiano
P1 = (−4, 1) e P2 = (−3, 0). Marcamos eles e passamos uma reta por estes dois pontos usando
todos x −2. Da mesma maneira, para x ≥ −2 podemos tomar x3 = 0 e x4 = 1 e encontramos,
pela fórmula y = x + 1, os valores respectivos y3 = 1 e y4 = 2. Assim, temos dois pontos P3 = (0, 1)
e P4 = (1, 2) da segunda reta, da qual tomamos a parte correspondente a x ≥ −2. Juntando os
dois pedaços retilíneos (que se encontram no ponto P0 = (−2, −1)) obtemos o gráco completo da
função f(x) = |x + 2| − 1. Em particular, concluímos que a imagem dessa função é Y = [−1, +∞).
b) N33: f(x) = 3−(x−1)2
. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 3−(x−1)2
consiste de todos x reais. Para determinar o gráco, vamos analisar algumas propriedades básicas
da função. Notamos que (x − 1)2
≥ 0 , ∀x e (x − 1)2
0 , ∀x ̸= 1 (o símbolo ∀ signica
para qualquer). Portanto, o maior valor que função assume é no ponto x0 = 1: f(1) = 3,
e os demais valores são menores que 3. Em particular, podemos concluír que a imagem Y faz
parte do intervalo (−∞, 3]. (Na realidade, pode ser mostrado que Y = (−∞, 3] - demonstrar
!). Tomamos agora quaisquer x1 x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1): f(x2) − f(x1) =
(3 − (x2 − 1)2
) − (3 − (x1 − 1)2
) = (x1 − 1)2
− (x2 − 1)2
= (x1 − x2)(x1 + x2 − 2). O primeiro
fator sempre é negativo: x1 − x2 0. Para determinar o sinal do segundo, vamos considerar
separadamente os dois casos. Se x2 ≤ 1, então x1 +x2 −2 0. Isso quer dizer que f(x2)−f(x1) 0
ou f(x2) f(x1), isto é, a função cresce (estritamente) no intervalo (−∞, 1]. Se x1 ≥ 1, então
x1 + x2 − 2 0. Isso quer dizer que f(x2) − f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função decresce
(estritamente) no intervalo [1, +∞). Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos um ponto
xa no intervalo (−∞, 1]: por exemplo, xa = 0 com f(xa) = 2; analogamente, tomamos um ponto
xb no intervalo [1, +∞): por exemplo, xb = 2 com f(xb) = 2. Assim, usando os valores da função
nos três pontos P0 = (x0, y0) = (1, 3), Pa = (xa, ya) = (0, 2) e Pb = (xb, yb) = (2, 2), e também as
propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos esboço do gráco. Pode ajudar na
construção do gráco a propriedade da sua simetria em relação a reta vertical x = 1 (mostrar!).
Veja também vários exercícios, ligados a monotonia e extremos de uma função, resolvidos no
texto PropriedadesFuncoes.pdf, páginas 13-23.