SlideShare uma empresa Scribd logo
0, 999... = 1
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigotpsilva@gmail.com
A igualdade 0, 999... = 1 ´e, certamente, uma das mais interessantes da matem´atica. De um lado, o n´umero
racional com infinitas casas (d´ızima peri´odica) e do outro, o menor dos n´umeros naturais. A demonstra¸c˜ao
dessa igualdade envolve, basicamente, a soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica infinita.
Reescrevendo o n´umero 0, 999...
O racional 0, 999... pode ser reescrito como uma soma de termos da seguinte forma
0, 999... = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + 0, 00009 + · · · .
Cabe observar que as parcelas da soma acima formam uma sequˆencia num´erica na qual o elemento subsequente
´e dado pela multiplica¸c˜ao por 0, 1 do elemento anterior. Em outras palavras, a sequˆencia
(0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; 0, 00009; · · · )
´e uma progress˜ao geom´etrica (PG) cuja raz˜ao vale q = 0, 1.
Assim, o que queremos demonstrar ´e que a soma dos termos dessa sequˆencia infinita ´e igual a 1. Ou, em outras
palavras, mostrar que a s´erie geom´etrica dada por
∞
n=1
9
10n converge para 1. Para isso, vamos deduzir uma
equa¸c˜ao para a soma dos termos de uma PG.
Soma dos termos de uma PG
Seja (a1, a1q, a1q2
, a1q3
, · · · , a1qn−1
) uma progress˜ao geom´etrica de n termos e raz˜ao q. Seja Sn a soma de seus
n primeiros termos, ent˜ao
Sn = a1 + a1q + a1q2
+ a1q3
+ · · · + a1qn−1
(1)
Multiplicando-se por q ambos os lados da igualdade obtemos
qSn = a1q + a1q2
+ a1q3
+ · · · + a1qn−1
+ a1qn
(2)
Subtraindo-se a equa¸c˜ao (2) da equa¸c˜ao (1) temos
Sn − qSn = a1 − a1qn
(3)
donde obtemos que
Sn = a1(1−qn
)
1−q .
Soma dos termos de uma PG infinita
Caso a PG seja infinita, basta calcular o limite de Sn quando n → ∞. Para 0 < q < 1, como ´e o caso, sabemos
que limn→∞ qn
= 0 (a sequˆencia ´e convergente pois ´e mon´otona e limitada). Assim, a soma dos infinitos termos
de uma PG ´e dado por
S∞ = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a1(1 − qn
)
1 − q
=
a1
1 − q
lim
n→∞
1 − lim
n→∞
qn
=
a1
1 − q
(1 − 0)
S∞ = a1
1−q .
Conclus˜ao
Para, ent˜ao, calcular a soma dos termos da PG (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; 0, 00009; · · · ) de raz˜ao q = 0, 1, basta
calcular S∞, considerando que a1 = 0, 9. Assim,
S∞ =
0, 9
1 − 0, 1
=
0, 9
0, 9
= 1.
Portanto,
∞
n=1
9
10n
= 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + · · · = 0, 999... = 1
como quer´ıamos demonstrar.
1

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Função Inversa
Função InversaFunção Inversa
Função Inversa
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - CálculoLista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - Cálculo
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Carlos Campani
 
Lista 1 - FUV - Resolução
Lista 1 - FUV - ResoluçãoLista 1 - FUV - Resolução
Lista 1 - FUV - Resolução
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Pequeno teorema de fermat
Pequeno teorema de fermatPequeno teorema de fermat
Pequeno teorema de fermat
Universidade Federal de Pernambuco
 
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemLista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
Carlos Campani
 
Equações Irracionais
Equações IrracionaisEquações Irracionais
Equações Irracionais
Carlos Campani
 
Aplicações da Congruência Linear
Aplicações da Congruência LinearAplicações da Congruência Linear
Aplicações da Congruência Linear
eellzziimmaarr
 
Função Polinomial
Função PolinomialFunção Polinomial
Função Polinomial
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - CálculoLista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - Cálculo
Carlos Campani
 
Funções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaFunções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmica
Carlos Campani
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
Brunna Vilar
 
Lista de exercícios 10
Lista de exercícios 10Lista de exercícios 10
Lista de exercícios 10
Carlos Campani
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
Romulo Garcia
 
Lista de exercícios 11
Lista de exercícios 11Lista de exercícios 11
Lista de exercícios 11
Carlos Campani
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
wab030
 
Conjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmcConjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmc
Romulo Garcia
 
Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricas
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 5 - Mat Elem
Lista de exercícios 5 - Mat ElemLista de exercícios 5 - Mat Elem
Lista de exercícios 5 - Mat Elem
Carlos Campani
 

Mais procurados (20)

Função Inversa
Função InversaFunção Inversa
Função Inversa
 
Lista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - CálculoLista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - Cálculo
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - Cálculo
 
Lista 1 - FUV - Resolução
Lista 1 - FUV - ResoluçãoLista 1 - FUV - Resolução
Lista 1 - FUV - Resolução
 
Pequeno teorema de fermat
Pequeno teorema de fermatPequeno teorema de fermat
Pequeno teorema de fermat
 
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemLista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Equações Irracionais
Equações IrracionaisEquações Irracionais
Equações Irracionais
 
Aplicações da Congruência Linear
Aplicações da Congruência LinearAplicações da Congruência Linear
Aplicações da Congruência Linear
 
Função Polinomial
Função PolinomialFunção Polinomial
Função Polinomial
 
Lista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - CálculoLista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - Cálculo
 
Funções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaFunções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmica
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Lista de exercícios 10
Lista de exercícios 10Lista de exercícios 10
Lista de exercícios 10
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
 
Lista de exercícios 11
Lista de exercícios 11Lista de exercícios 11
Lista de exercícios 11
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
 
Conjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmcConjuntos numéricos, mdc e mmc
Conjuntos numéricos, mdc e mmc
 
Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricas
 
Lista de exercícios 5 - Mat Elem
Lista de exercícios 5 - Mat ElemLista de exercícios 5 - Mat Elem
Lista de exercícios 5 - Mat Elem
 

Destaque

Cálculo do imposto de renda
Cálculo do imposto de rendaCálculo do imposto de renda
Cálculo do imposto de renda
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Demonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de BhaskaraDemonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de Bhaskara
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Limite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveisLimite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveis
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Exercícios de Geometria Analítica
Exercícios de Geometria AnalíticaExercícios de Geometria Analítica
Exercícios de Geometria Analítica
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Lista 2 - Geometria Analítica
Lista 2  - Geometria AnalíticaLista 2  - Geometria Analítica
Lista 2 - Geometria Analítica
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Redes de Primeira Ordem
Redes de Primeira OrdemRedes de Primeira Ordem
Redes de Primeira Ordem
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
Seqüência de Fibonacci - Aspectos MatemáticosSeqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Lista 8 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 8 - Geometria Analítica - ResoluçãoLista 8 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 8 - Geometria Analítica - Resolução
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Petróleos ultra-pesados
Petróleos ultra-pesadosPetróleos ultra-pesados
Petróleos ultra-pesados
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Sensor de Campo Magnético
Sensor de Campo MagnéticoSensor de Campo Magnético
Sensor de Campo Magnético
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Apresentação - TCC - Eletronica
Apresentação -  TCC - EletronicaApresentação -  TCC - Eletronica
Apresentação - TCC - Eletronica
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Questões - Bases Matemáticas
Questões - Bases MatemáticasQuestões - Bases Matemáticas
Questões - Bases Matemáticas
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Resumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra LinearResumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra Linear
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Relatório - Desenho e Projeto
Relatório - Desenho e ProjetoRelatório - Desenho e Projeto
Relatório - Desenho e Projeto
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução
Lista 3  - Bases Matemáticas - InduçãoLista 3  - Bases Matemáticas - Indução
Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
TCC - Eletrônica
TCC - Eletrônica TCC - Eletrônica
TCC - Eletrônica
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Newton e Leibniz
Newton e LeibnizNewton e Leibniz
Newton e Leibniz
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - ResoluçãoLista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Demonstração - Propriedade de módulo
Demonstração - Propriedade de móduloDemonstração - Propriedade de módulo
Demonstração - Propriedade de módulo
Rodrigo Thiago Passos Silva
 

Destaque (20)

Cálculo do imposto de renda
Cálculo do imposto de rendaCálculo do imposto de renda
Cálculo do imposto de renda
 
Demonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de BhaskaraDemonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de Bhaskara
 
Limite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveisLimite de função de duas variáveis
Limite de função de duas variáveis
 
Exercícios de Geometria Analítica
Exercícios de Geometria AnalíticaExercícios de Geometria Analítica
Exercícios de Geometria Analítica
 
Lista 2 - Geometria Analítica
Lista 2  - Geometria AnalíticaLista 2  - Geometria Analítica
Lista 2 - Geometria Analítica
 
Redes de Primeira Ordem
Redes de Primeira OrdemRedes de Primeira Ordem
Redes de Primeira Ordem
 
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
Como calcular a média do ENEM para ingresso na UFABC?
 
Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
Seqüência de Fibonacci - Aspectos MatemáticosSeqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
Seqüência de Fibonacci - Aspectos Matemáticos
 
Lista 8 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 8 - Geometria Analítica - ResoluçãoLista 8 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 8 - Geometria Analítica - Resolução
 
Petróleos ultra-pesados
Petróleos ultra-pesadosPetróleos ultra-pesados
Petróleos ultra-pesados
 
Sensor de Campo Magnético
Sensor de Campo MagnéticoSensor de Campo Magnético
Sensor de Campo Magnético
 
Apresentação - TCC - Eletronica
Apresentação -  TCC - EletronicaApresentação -  TCC - Eletronica
Apresentação - TCC - Eletronica
 
Questões - Bases Matemáticas
Questões - Bases MatemáticasQuestões - Bases Matemáticas
Questões - Bases Matemáticas
 
Resumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra LinearResumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra Linear
 
Relatório - Desenho e Projeto
Relatório - Desenho e ProjetoRelatório - Desenho e Projeto
Relatório - Desenho e Projeto
 
Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução
Lista 3  - Bases Matemáticas - InduçãoLista 3  - Bases Matemáticas - Indução
Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução
 
TCC - Eletrônica
TCC - Eletrônica TCC - Eletrônica
TCC - Eletrônica
 
Newton e Leibniz
Newton e LeibnizNewton e Leibniz
Newton e Leibniz
 
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - ResoluçãoLista 5 - Geometria Analítica - Resolução
Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução
 
Demonstração - Propriedade de módulo
Demonstração - Propriedade de móduloDemonstração - Propriedade de módulo
Demonstração - Propriedade de módulo
 

Semelhante a 1 = 0,999...

Aula7e8
Aula7e8Aula7e8
Progressões geométricas
Progressões geométricasProgressões geométricas
Progressões geométricas
Dinho Paulo Clakly
 
Progressão geometrica
Progressão geometricaProgressão geometrica
Progressão geometrica
afpinto
 
Mat exercicios resolvidos 007
Mat exercicios resolvidos  007Mat exercicios resolvidos  007
Mat exercicios resolvidos 007
trigono_metrico
 
Mat sequencias e progressoes 005
Mat sequencias e progressoes  005Mat sequencias e progressoes  005
Mat sequencias e progressoes 005
trigono_metrico
 
PA e PG
PA e PGPA e PG
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
lucienejade
 
Intro teoria dos números cap2
Intro teoria dos  números cap2Intro teoria dos  números cap2
Intro teoria dos números cap2
Paulo Martins
 
Progressão.pdf
Progressão.pdfProgressão.pdf
Progressão.pdf
Gabriel927514
 
Conteúdo de Progressão Aritmética
Conteúdo de Progressão AritméticaConteúdo de Progressão Aritmética
Conteúdo de Progressão Aritmética
Ana Paula Silva
 
Mat progressoes aritmeticas 001
Mat progressoes aritmeticas  001Mat progressoes aritmeticas  001
Mat progressoes aritmeticas 001
trigono_metrico
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
resolvidos
 
Pa
PaPa
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
lucienejade
 
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
lucienejade
 
SucessõEs 4
SucessõEs 4SucessõEs 4
SucessõEs 4
Antonio Carneiro
 
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
lucienejade
 
Sequencias e series unicamp
Sequencias e series   unicampSequencias e series   unicamp
Sequencias e series unicamp
Luis Gustavo
 
Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)
Jedson Guedes
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
Fernando Viana
 

Semelhante a 1 = 0,999... (20)

Aula7e8
Aula7e8Aula7e8
Aula7e8
 
Progressões geométricas
Progressões geométricasProgressões geométricas
Progressões geométricas
 
Progressão geometrica
Progressão geometricaProgressão geometrica
Progressão geometrica
 
Mat exercicios resolvidos 007
Mat exercicios resolvidos  007Mat exercicios resolvidos  007
Mat exercicios resolvidos 007
 
Mat sequencias e progressoes 005
Mat sequencias e progressoes  005Mat sequencias e progressoes  005
Mat sequencias e progressoes 005
 
PA e PG
PA e PGPA e PG
PA e PG
 
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
 
Intro teoria dos números cap2
Intro teoria dos  números cap2Intro teoria dos  números cap2
Intro teoria dos números cap2
 
Progressão.pdf
Progressão.pdfProgressão.pdf
Progressão.pdf
 
Conteúdo de Progressão Aritmética
Conteúdo de Progressão AritméticaConteúdo de Progressão Aritmética
Conteúdo de Progressão Aritmética
 
Mat progressoes aritmeticas 001
Mat progressoes aritmeticas  001Mat progressoes aritmeticas  001
Mat progressoes aritmeticas 001
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
Pa
PaPa
Pa
 
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
 
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
 
SucessõEs 4
SucessõEs 4SucessõEs 4
SucessõEs 4
 
Progressão Aritmética
Progressão AritméticaProgressão Aritmética
Progressão Aritmética
 
Sequencias e series unicamp
Sequencias e series   unicampSequencias e series   unicamp
Sequencias e series unicamp
 
Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
 

Mais de Rodrigo Thiago Passos Silva

Recompra de Energia - Demonstração
Recompra de Energia - DemonstraçãoRecompra de Energia - Demonstração
Recompra de Energia - Demonstração
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Exercício sobre Pré-Imagem
Exercício sobre Pré-ImagemExercício sobre Pré-Imagem
Exercício sobre Pré-Imagem
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Petróleos ultra-pesados - Apresentação
Petróleos ultra-pesados - ApresentaçãoPetróleos ultra-pesados - Apresentação
Petróleos ultra-pesados - Apresentação
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Tensão média e tensão eficaz
Tensão média e tensão eficazTensão média e tensão eficaz
Tensão média e tensão eficaz
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Exercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Exercício - Torre de Resfriamento - TermodinâmicaExercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Exercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Demonstração do binômio de Newton
Demonstração do binômio de NewtonDemonstração do binômio de Newton
Demonstração do binômio de Newton
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Formulário - Estatística
Formulário - EstatísticaFormulário - Estatística
Formulário - Estatística
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Necessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Necessidades de P&D na área industrial de VinhaçaNecessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Necessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Esboço - Gráfico de Função
Esboço - Gráfico de FunçãoEsboço - Gráfico de Função
Esboço - Gráfico de Função
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Lista 4 - Resolução
Lista 4 - ResoluçãoLista 4 - Resolução
Lista 4 - Resolução
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Lista 3 - Geometria Analítica
Lista 3   - Geometria AnalíticaLista 3   - Geometria Analítica
Lista 3 - Geometria Analítica
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Matriz inversa
Matriz inversaMatriz inversa
Apresentação - Desenho e Projeto
Apresentação - Desenho e ProjetoApresentação - Desenho e Projeto
Apresentação - Desenho e Projeto
Rodrigo Thiago Passos Silva
 

Mais de Rodrigo Thiago Passos Silva (13)

Recompra de Energia - Demonstração
Recompra de Energia - DemonstraçãoRecompra de Energia - Demonstração
Recompra de Energia - Demonstração
 
Exercício sobre Pré-Imagem
Exercício sobre Pré-ImagemExercício sobre Pré-Imagem
Exercício sobre Pré-Imagem
 
Petróleos ultra-pesados - Apresentação
Petróleos ultra-pesados - ApresentaçãoPetróleos ultra-pesados - Apresentação
Petróleos ultra-pesados - Apresentação
 
Tensão média e tensão eficaz
Tensão média e tensão eficazTensão média e tensão eficaz
Tensão média e tensão eficaz
 
Exercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Exercício - Torre de Resfriamento - TermodinâmicaExercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
Exercício - Torre de Resfriamento - Termodinâmica
 
Demonstração do binômio de Newton
Demonstração do binômio de NewtonDemonstração do binômio de Newton
Demonstração do binômio de Newton
 
Formulário - Estatística
Formulário - EstatísticaFormulário - Estatística
Formulário - Estatística
 
Necessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Necessidades de P&D na área industrial de VinhaçaNecessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
Necessidades de P&D na área industrial de Vinhaça
 
Esboço - Gráfico de Função
Esboço - Gráfico de FunçãoEsboço - Gráfico de Função
Esboço - Gráfico de Função
 
Lista 4 - Resolução
Lista 4 - ResoluçãoLista 4 - Resolução
Lista 4 - Resolução
 
Lista 3 - Geometria Analítica
Lista 3   - Geometria AnalíticaLista 3   - Geometria Analítica
Lista 3 - Geometria Analítica
 
Matriz inversa
Matriz inversaMatriz inversa
Matriz inversa
 
Apresentação - Desenho e Projeto
Apresentação - Desenho e ProjetoApresentação - Desenho e Projeto
Apresentação - Desenho e Projeto
 

Último

A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIASA SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
HisrelBlog
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Mary Alvarenga
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
AurelianoFerreirades2
 
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.pptFUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
MarceloMonteiro213738
 
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdfUFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
Manuais Formação
 
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...
AntonioLobosco3
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
Manuais Formação
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
rloureiro1
 
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptxTreinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
MarcosPaulo777883
 
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
Educação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideiaEducação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideia
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
joseanesouza36
 
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTALPlanejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
katbrochier1
 
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
JohnnyLima16
 
slides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentarslides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentar
JoeteCarvalho
 
Resumo de Química 10º ano Estudo exames nacionais
Resumo de Química 10º ano Estudo exames nacionaisResumo de Química 10º ano Estudo exames nacionais
Resumo de Química 10º ano Estudo exames nacionais
beatrizsilva525654
 
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGTUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
ProfessoraTatianaT
 
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
Eró Cunha
 
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdfUFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
Manuais Formação
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
DECIOMAURINARAMOS
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
fernandacosta37763
 

Último (20)

A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIASA SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
A SOCIOLOGIA E O TRABALHO: ANÁLISES E VIVÊNCIAS
 
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.Atividade letra da música - Espalhe  Amor, Anavitória.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
 
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
 
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.pptFUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
FUNCAO EQUAÇÃO DO 2° GRAU SLIDES AULA 1.ppt
 
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdfUFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
UFCD_6580_Cuidados na saúde a populações mais vulneráveis_índice.pdf
 
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...
 
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdfUFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
UFCD_3546_Prevenção e primeiros socorros_geriatria.pdf
 
As sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativasAs sequências didáticas: práticas educativas
As sequências didáticas: práticas educativas
 
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptxTreinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
 
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
Educação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideiaEducação  trabalho HQ em sala de aula uma excelente  ideia
Educação trabalho HQ em sala de aula uma excelente ideia
 
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTALPlanejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
Planejamento BNCC - 4 ANO -TRIMESTRAL - ENSINO FUNDAMENTAL
 
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
12072423052012Critica_Literaria_-_Aula_07.pdf
 
slides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentarslides de Didática 2.pdf para apresentar
slides de Didática 2.pdf para apresentar
 
Resumo de Química 10º ano Estudo exames nacionais
Resumo de Química 10º ano Estudo exames nacionaisResumo de Química 10º ano Estudo exames nacionais
Resumo de Química 10º ano Estudo exames nacionais
 
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGTUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
TUTORIAL PARA LANÇAMENTOGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG
 
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...REGULAMENTO  DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...
 
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdfUFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
UFCD_4667_Preparação e confeção de molhos e fundos de cozinha_índice.pdf
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
 

1 = 0,999...

  • 1. 0, 999... = 1 Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com A igualdade 0, 999... = 1 ´e, certamente, uma das mais interessantes da matem´atica. De um lado, o n´umero racional com infinitas casas (d´ızima peri´odica) e do outro, o menor dos n´umeros naturais. A demonstra¸c˜ao dessa igualdade envolve, basicamente, a soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica infinita. Reescrevendo o n´umero 0, 999... O racional 0, 999... pode ser reescrito como uma soma de termos da seguinte forma 0, 999... = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + 0, 00009 + · · · . Cabe observar que as parcelas da soma acima formam uma sequˆencia num´erica na qual o elemento subsequente ´e dado pela multiplica¸c˜ao por 0, 1 do elemento anterior. Em outras palavras, a sequˆencia (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; 0, 00009; · · · ) ´e uma progress˜ao geom´etrica (PG) cuja raz˜ao vale q = 0, 1. Assim, o que queremos demonstrar ´e que a soma dos termos dessa sequˆencia infinita ´e igual a 1. Ou, em outras palavras, mostrar que a s´erie geom´etrica dada por ∞ n=1 9 10n converge para 1. Para isso, vamos deduzir uma equa¸c˜ao para a soma dos termos de uma PG. Soma dos termos de uma PG Seja (a1, a1q, a1q2 , a1q3 , · · · , a1qn−1 ) uma progress˜ao geom´etrica de n termos e raz˜ao q. Seja Sn a soma de seus n primeiros termos, ent˜ao Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + · · · + a1qn−1 (1) Multiplicando-se por q ambos os lados da igualdade obtemos qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + · · · + a1qn−1 + a1qn (2) Subtraindo-se a equa¸c˜ao (2) da equa¸c˜ao (1) temos Sn − qSn = a1 − a1qn (3) donde obtemos que Sn = a1(1−qn ) 1−q . Soma dos termos de uma PG infinita Caso a PG seja infinita, basta calcular o limite de Sn quando n → ∞. Para 0 < q < 1, como ´e o caso, sabemos que limn→∞ qn = 0 (a sequˆencia ´e convergente pois ´e mon´otona e limitada). Assim, a soma dos infinitos termos de uma PG ´e dado por S∞ = lim n→∞ Sn = lim n→∞ a1(1 − qn ) 1 − q = a1 1 − q lim n→∞ 1 − lim n→∞ qn = a1 1 − q (1 − 0) S∞ = a1 1−q . Conclus˜ao Para, ent˜ao, calcular a soma dos termos da PG (0, 9; 0, 09; 0, 009; 0, 0009; 0, 00009; · · · ) de raz˜ao q = 0, 1, basta calcular S∞, considerando que a1 = 0, 9. Assim, S∞ = 0, 9 1 − 0, 1 = 0, 9 0, 9 = 1. Portanto, ∞ n=1 9 10n = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + · · · = 0, 999... = 1 como quer´ıamos demonstrar. 1