Este documento apresenta o Teorema do Confrronto (ou Sanduíche), que estabelece que se uma função g(x) é limitada por outras funções f(x) e h(x) e estas convergem para o mesmo limite L, então g(x) também converge para L. Ele também mostra um exemplo aplicando o teorema para calcular o limite de x^2sen(1/x^2) quando x tende a 0.

1. TEOREMA DO CONFRONTO
OU TEOREMA DO SANDUÍCHE
OU TEOREMA DA ESPREMEDURA
lim (x2 . sen (1/ x2))
x tende 0
Esse teorema diz respeito a três funções:
f, g e h, tais que:
g (x) esteja entre f (x) e h (x), ou seja,
“imprensada” entre f (x) e h (x).
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2. 2

3. TEOREMA DO CONFRONTO
OU TEOREMA DO SANDUÍCHE
OU TEOREMA DA ESPREMEDURA
• Suponhamos f(x) ≤ g (x) ≤ h(x), para
todo x em um intervalo aberto
contendo a.
• Se lim f(x) = L = lim h(x), quando x
tende a a, então lim g (x) quando x
tende a a é igual a L.
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4. Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x,
em um intervalo aberto contendo x,
• Então: o gráfico de g (x) estará entre os gráficos
de f(x) e h (x), naquele intervalo, conforme a
figura abaixo.
• Se f(x) e h(x) têm o mesmo limite L, quando x
tende a a, então pelo gráfico, g (x) tem o
mesmo limite L.
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5. Lim( x2 . sen (1/ x2 ))
Exemplo
x tende 0
Lembrando a função sen x e a função cos x
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6. CALCULAR: lim (x2 . sen (1/ x2)), quando x tende 0
Como -1 ≤ sent ≤ 1, para todo t real, substituindo t por
1/ x2, fica:
-1 ≤ sen 1/ x2 ≤ 1, para todo x diferente de 0.
(multiplicando-se por x2) , tem-se:
-1. x2 ≤ x2. sen 1/ x2 ≤ x2. 1 ou
-x2 ≤ x2. sen 1/ x2 ≤ x2
o gráfico de
essa desigualdade implica que
y = x . sen 1/ x está entre os gráficos das
2 2
parábolas: y = x2
y = - x2
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7. O gráfico de
y = (x2. sen (1/ x2) ) está entre ( imprensado) os
gráficos das parábolas: y = x 2 e y = - x2
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8. Como lim (- x2) = 0 , quando x
tende a 0
e lim (x2) = 0 , quando x tende a 0,
segue-se pelo Teorema do
Confronto ou Sanduíche que:
lim x2 . sen (1/ x2 )=0, quando x
tende a 0.
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9. EXERCÍCIO
(LISTA DE EXERCÍCIOS)
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10. π
lim x3 + x 2 .sen =0
x
x→ 0
sen →var ia →− a1
1
− ≤ sent ≤+
1 1
π
sen var ia →− a1
1
x
π
− ≤ sen
1 ≤+ →multiplicando x 3 +x 2 , temos :
1
x
π
− x3 + x 2 ≤ sen x3 +x 2 ≤ x3 +x 2
x
π
lim − x3 + x 2 ≤lim sen x 3 +x 2 ≤lim x3 +x 2 , x →0
x
π
0 ≤lim sen x 3 + x 2 ≤0 →teoremaconfronto
x
π
lim sen x 3 + x 2 =0
x
10

11. 1 ≤ f ( x ) ≤ x +2 x +2
2
lim1 ≤ lim f ( x ) ≤ lim x +2 x +2
2
x →− 1
1 ≤ lim f ( x ) ≤1
x →− 1
Por tan to, lim f ( x ) =1
x →− 1
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12. EXERCÍCIOS
lim(1 + x − 2) = Gerais
+
x→2
lim1 + lim x − 2 = lim1 + x − 2 =
+
+
x→2 x→2 +
x→2
1 + lim x − 2 = 1
+
x→2
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13. x −1
x −1
EXERCÍCIOS
1)Encontre lim x −1
2 Resp. 2
x1
x −1
2) Encontre lim g(x) , x
tende a 1, onde:
g ( x) = x + 1 , se x for diferente de 1
g(x) =
π se x =1 Resp. 2
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14. LISTA DE EXERCÍCIO
LISTA DE EXERCÍCIO
Cálculo – James Stewart p. 109
Exercícios assinalados:
1, 2, 3, 4, 5, 11, 13, 15, 17, 19 e 21, 32, 33, 37 e
39.
– Swokowski, p. 73/81
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