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TEOREMA DO CONFRONTO
       OU TEOREMA DO SANDUÍCHE
      OU TEOREMA DA ESPREMEDURA


lim (x2 . sen (1/ x2))
x tende 0

Esse teorema diz respeito a três funções:
f, g e h, tais que:
g (x) esteja entre f (x) e h (x), ou seja,
“imprensada” entre f (x) e h (x).
                                        1
2
TEOREMA DO CONFRONTO
      OU TEOREMA DO SANDUÍCHE
     OU TEOREMA DA ESPREMEDURA


• Suponhamos f(x) ≤ g (x) ≤ h(x), para
  todo x em um intervalo aberto
  contendo a.

• Se lim f(x) = L = lim h(x), quando x
  tende a a, então lim g (x) quando x
  tende a a é igual a L.
                                         3
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x,
        em um intervalo aberto contendo x,
• Então: o gráfico de g (x) estará entre os gráficos
  de f(x) e h (x), naquele intervalo, conforme a
  figura abaixo.
• Se f(x) e h(x) têm o mesmo limite L, quando x
  tende a a, então pelo gráfico, g (x) tem o
  mesmo limite L.




                                                       4
Lim( x2 . sen (1/ x2 ))
                                            Exemplo
x tende 0

Lembrando a função sen x e a função cos x




                                                  5
CALCULAR: lim (x2 . sen (1/ x2)), quando x tende 0
Como -1 ≤ sent ≤ 1, para todo t real, substituindo t por
  1/ x2, fica:

             -1 ≤ sen 1/ x2 ≤ 1, para todo x diferente de 0.
                   (multiplicando-se por x2) , tem-se:

                   -1. x2 ≤ x2. sen 1/ x2 ≤ x2. 1 ou
                   -x2 ≤ x2. sen 1/ x2 ≤ x2
                  o gráfico de
essa desigualdade implica que
y = x . sen 1/ x está entre os gráficos das
         2               2

parábolas: y = x2
           y = - x2
                                                               6
O gráfico de
y = (x2. sen (1/ x2) ) está entre ( imprensado) os
 gráficos das parábolas:   y = x 2 e y = - x2




                                                7
Como lim (- x2) = 0 , quando x
  tende a 0
e lim (x2) = 0 , quando x tende a 0,
  segue-se pelo Teorema do
  Confronto ou Sanduíche que:
lim x2 . sen (1/ x2 )=0, quando x
  tende a 0.

                                   8
EXERCÍCIO
(LISTA DE EXERCÍCIOS)




                        9
π
lim       x3 + x 2 .sen        =0
                           x
x→  0
sen →var ia →− a1
              1
− ≤ sent ≤+
 1          1
      π
sen       var ia →− a1
                   1
      x
             π
− ≤ sen
 1                   ≤+ →multiplicando x 3 +x 2 , temos :
                       1
                 x
                          π
− x3 + x 2 ≤ sen               x3 +x 2 ≤ x3 +x 2
                           x
                                    π
lim − x3 + x 2 ≤lim sen                 x 3 +x 2 ≤lim   x3 +x 2 , x →0
                                    x
                     π
0 ≤lim sen               x 3 + x 2 ≤0 →teoremaconfronto
                     x
            π
lim sen              x 3 + x 2 =0
             x


                                                                         10
1 ≤ f ( x ) ≤ x +2 x +2
             2


lim1 ≤ lim f ( x ) ≤ lim x +2 x +2
                          2


x →−   1
1 ≤ lim f ( x ) ≤1
x →−   1
Por tan to, lim f ( x ) =1
x →−   1
                                11
EXERCÍCIOS
lim(1 + x − 2) =          Gerais
      +
x→2
lim1 + lim x − 2 =   lim1 + x − 2 =
                           +
      +
x→2 x→2       +
                     x→2
1 + lim x − 2 = 1
          +
    x→2
                                 12
x −1
 x −1




                EXERCÍCIOS
   1)Encontre lim     x −1
                       2        Resp. 2
              x1
                      x −1
2) Encontre lim g(x) , x
tende a 1, onde:
            g ( x) = x + 1 , se x   for diferente de 1
g(x) =


            π       se x =1               Resp. 2
                                                    13
LISTA DE EXERCÍCIO

LISTA DE EXERCÍCIO
Cálculo – James Stewart p. 109
Exercícios assinalados:
1, 2, 3, 4, 5, 11, 13, 15, 17, 19 e 21, 32, 33, 37 e
  39.
– Swokowski, p. 73/81


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Teorema do confronto

  • 1. TEOREMA DO CONFRONTO OU TEOREMA DO SANDUÍCHE OU TEOREMA DA ESPREMEDURA lim (x2 . sen (1/ x2)) x tende 0 Esse teorema diz respeito a três funções: f, g e h, tais que: g (x) esteja entre f (x) e h (x), ou seja, “imprensada” entre f (x) e h (x). 1
  • 2. 2
  • 3. TEOREMA DO CONFRONTO OU TEOREMA DO SANDUÍCHE OU TEOREMA DA ESPREMEDURA • Suponhamos f(x) ≤ g (x) ≤ h(x), para todo x em um intervalo aberto contendo a. • Se lim f(x) = L = lim h(x), quando x tende a a, então lim g (x) quando x tende a a é igual a L. 3
  • 4. Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x, em um intervalo aberto contendo x, • Então: o gráfico de g (x) estará entre os gráficos de f(x) e h (x), naquele intervalo, conforme a figura abaixo. • Se f(x) e h(x) têm o mesmo limite L, quando x tende a a, então pelo gráfico, g (x) tem o mesmo limite L. 4
  • 5. Lim( x2 . sen (1/ x2 )) Exemplo x tende 0 Lembrando a função sen x e a função cos x 5
  • 6. CALCULAR: lim (x2 . sen (1/ x2)), quando x tende 0 Como -1 ≤ sent ≤ 1, para todo t real, substituindo t por 1/ x2, fica: -1 ≤ sen 1/ x2 ≤ 1, para todo x diferente de 0. (multiplicando-se por x2) , tem-se: -1. x2 ≤ x2. sen 1/ x2 ≤ x2. 1 ou -x2 ≤ x2. sen 1/ x2 ≤ x2 o gráfico de essa desigualdade implica que y = x . sen 1/ x está entre os gráficos das 2 2 parábolas: y = x2 y = - x2 6
  • 7. O gráfico de y = (x2. sen (1/ x2) ) está entre ( imprensado) os gráficos das parábolas: y = x 2 e y = - x2 7
  • 8. Como lim (- x2) = 0 , quando x tende a 0 e lim (x2) = 0 , quando x tende a 0, segue-se pelo Teorema do Confronto ou Sanduíche que: lim x2 . sen (1/ x2 )=0, quando x tende a 0. 8
  • 10. π lim x3 + x 2 .sen =0 x x→ 0 sen →var ia →− a1 1 − ≤ sent ≤+ 1 1 π sen var ia →− a1 1 x π − ≤ sen 1 ≤+ →multiplicando x 3 +x 2 , temos : 1 x π − x3 + x 2 ≤ sen x3 +x 2 ≤ x3 +x 2 x π lim − x3 + x 2 ≤lim sen x 3 +x 2 ≤lim x3 +x 2 , x →0 x π 0 ≤lim sen x 3 + x 2 ≤0 →teoremaconfronto x π lim sen x 3 + x 2 =0 x 10
  • 11. 1 ≤ f ( x ) ≤ x +2 x +2 2 lim1 ≤ lim f ( x ) ≤ lim x +2 x +2 2 x →− 1 1 ≤ lim f ( x ) ≤1 x →− 1 Por tan to, lim f ( x ) =1 x →− 1 11
  • 12. EXERCÍCIOS lim(1 + x − 2) = Gerais + x→2 lim1 + lim x − 2 = lim1 + x − 2 = + + x→2 x→2 + x→2 1 + lim x − 2 = 1 + x→2 12
  • 13. x −1 x −1 EXERCÍCIOS 1)Encontre lim x −1 2 Resp. 2 x1 x −1 2) Encontre lim g(x) , x tende a 1, onde: g ( x) = x + 1 , se x for diferente de 1 g(x) = π se x =1 Resp. 2 13
  • 14. LISTA DE EXERCÍCIO LISTA DE EXERCÍCIO Cálculo – James Stewart p. 109 Exercícios assinalados: 1, 2, 3, 4, 5, 11, 13, 15, 17, 19 e 21, 32, 33, 37 e 39. – Swokowski, p. 73/81 14