Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN
Bacharel em Sistema de Informação
Planalto Norte
Exercícios – Lista 3
1) Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.
x 2 − 2x + 4 x +1
a) lim i) xlim1
x →2 x 2 − x − 2 →− 2 x + 2 x + 3x 2 + 2 x − 1
4 3
x 2 + 6x 5 − 5x 3
b) lim 3 j) lim
x →0 x + 7 x 2 + 5 x x→− ∞ 2 − 2 x 3
6 − 2 x + 3x 2 − x 3 5 − x + x2
c) lim 4 l) lim
x →3 x − 3 x 3 − x + 3 x→+ ∞ 2 − x − 2 x 2
x 2 − 6x + 7 2x
d) lim 3 m) lim x
x → +∞ x + 7 x − 1 x→+ ∞ 2 − 1
7x5 − 6 x
e) lim n) lim
x →0 1 − e x
x → +∞ 4 x 2 − 2 x + 4
1 − x + ln x
 1 1  o) lim 3
f) lim −  x →1 x − 3 x + 2
x→2 2 x − 4 x−2

2 x − 3x
x2 −1 p) lim
g) lim 2 x →0 x
x→− 1 x + 4 x + 3
 2 1 
2x 2 + x − 1 q) lim 2 − 
h) 1lim 2 x →1 x − 1
 x − 1
x→ 4 x − 4 x + 1
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Respostas:
1) a. 2/3 b. 6/5 c. -11/26 d. 0 e. ∞ f. ∞ g. -1 h. ∞ i. -1/6 j. 5/2 l. -1/2 m. 1 n. -1
o. -1/6 p. ln 2/3 q. -1/2
2) Em cada um das seguintes funções, determine o intervalo onde a função é
(a) crescente e decrescente, (b) côncavo para cima e côncavo para baixo.
Esboce as curvas, especificando os pontos de (c) máximos e mínimos, (d)
pontos de inflexão, (e) possíveis assíntotas e (f) pontos de descontinuidade
(quando existir).
x 3 5x 2 h) f ( x) = ( x − 1) 4
a) f ( x) = − + 4x + 2
3 2 1
i) f ( x ) = + 4
b) f ( x) = x 3 − 3x x
c) f ( x) = 5 + x − x 3 1
j) f ( x ) =
d) f ( x) = x 3 + x 2 − x − 1 x −1
1
e) f ( x) = 2 x 4 − 4 x 2 l) f ( x ) = 2 x +
2x
f) f ( x) = −3 x 4 − 6 x 2
g) f ( x ) = ( x − 1) 3
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Bacharel em Sistema de Informação
Planalto Norte
1 x x2
m) f ( x ) = + q) f ( x) =
x 9 ( x − 2) 2
1 x x
n) f ( x) = + + 2 r) f ( x) = 2
x 9 x +1
4
o) f ( x ) = + x + 5
x
16
p) f ( x ) = + x ;x >0
x
3) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine
os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
a) f(x) = 3x + 4 x3
b) f(x) = -2x + 6 i) f(x) = − + 4 x 2 + 10
3
c) f(x) = x2 – 3x j) f(x) = - 2x3
d) f(x) = 1 – x2 x −1
e) f(x) = x2 -4x +6 k) f(x) =
x−2
x3 7 2 2
f) f(x) = − x + 12 x + 3 l) f(x) = e − x
3 2
m) f(x) = (x – 1)(x - 2)(x - 3)
x3 3 2 n) f(x) = x.ex
g) f(x) = − x + 2x + 1
3 2 2x
x3 o) f(x) =
h) f(x) = − + 4 x + 6 x +1
2
3
Aplicações
Funções Marginais – Em Economia e Administração, dada uma função f(x),
costuma-se utilizar o conceito de função marginal para
avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação
de x.
Custo marginal (Cmg) – Variação do custo total decorrente da variação de uma
unidade na quantidade produzida.
Receita marginal (Rmg) – Variação na receita total decorrente da venda de uma
unidade na quantidade vendida do bem.
R(x) = p.x onde p é a produção
x é a unidade
Lucro marginal (Lmg) – Variação do lucro total.
L(x) = R(x) – C(x)
1) Dada a receita R(x) = -2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x =
5/2
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Planalto Norte
2) Dada a função de demanda p = 40 – 2x, obtenha o preço que deve ser
cobrado para maximizar a receita. p = 20
3) Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para
maximizar o lucro, se a função custo for C = 40 + 2x? p = 21
x3
4) A função custo mensal de fabricação de um produto é C = − 2 x 2 + 10 x + 10 ,
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e o preço de venda é p = 13. Qual a quantidade que deve ser produzida e
vendida mensalmente para dar o máximo lucro? x = 4,65 aproximadamente
5) Dada a função custo anual de uma empresa C(x) = 40x – 10x2 + x3:
C ( x)
a) Ache o custo médio Cme (x) = . Cme =40 – 10x + x2
x
b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio,
indicando eventuais pontos de máximo e mínimo. x < 5 decres; x > 5 cresc.; 5 é
MIN
6) A função demanda mensal de um produto é p = 40 – 0,1x, e a função custo
x3
mensal é C = − 7 x 2 + 60 x + 50 . Obtenha o valor de x que maximiza o
3
lucro, e o correspondente preço. x = 12,16
7) Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e
igual a $ 20,00. Seu custo marginal mensal é dado por Cmg = 3x2 – 6x + 15.
Qual a produção mensal que dá o máximo lucro? x = 2,63
8) Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x) =
x3
− 2 x 2 + 10 x + 20 . Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a
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quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro
mensal? x = 7
9) Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, obtenha a receita marginal no
ponto x = 50. R’(50) = 800
10) Dada a função custo C(x) = 0,1x3 – 18x2 + 1500x + 10000, obtenha:
a) o custo marginal Cmg; C’(x) = 0,3x2 – 36x + 1500
b) Cmg(65) e a interpretação do resultado; C’(65) = 427,5
c) Cmg(150) e a interpretação do resultado. C’(150) = 2850
11) O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 2x2 + 5x + 8.
Atualmente o nível de produção é de 25 unidades. Calcule,
aproximadamente, usando diferencial de função, quanto varia o custo se
forem produzidas 26 unidades. df = 105
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4. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
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12) A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 26x – 5x2 e seu custo é
C(x) = 14 + 6x. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro e o seu
correspondente preço. xmáx = 2 e p = $ 16
13) A função receita de uma empresa é R(x) = 6x2 + 2x +1, em que x é o
número de unidades produzidas. Atualmente o nível de produção é de 6
unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,5 unidades.
Usando a diferencial de função, dê aproximadamente a variação da receita.
E interprete os resultados. df = - 37
14) Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado
por p = -2x + 800, onde 0 ≤ x ≤ 400. Suponha que o custo para a produção
dos ventiladores seja dado por C(x) = 200x + 25000.
a. Obtenha a função lucro marginal L’(x) = -4x + 600
b. Obtenha o valor de x que dá o lucro máximo xmáx. = 150
c. Obtenha o preço que deverá maximizar o lucro. p(150) = $ 500
15) Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal
dado por C(x) = 5 +2x + 0,01x2. A função de demanda mensal é p = - 0,05x
+ 400.
a. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?; $ 234,17
b. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de
2000 unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 300,00
c. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de
4000 unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 234,17
Aos interessados:
Cálculo – Funções de uma e várias variáveis
Pedro A. Morettin – Samuel Hazzan – Wilton de O. Bussab Ed. Saraiva
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