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Celton Ribeiro Barbosa
Prof. Gislan Silveira Santos
Apostila de Exercícios Resolvidos de
Cálculo
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da
Bahia
Programa de Educação Tutorial - PET
Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
© 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira
Santos & Instituto Federal de Educação Ciência e
Tecnologia da Bahia.
Programa de Educação Tutorial - PET
Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
Qualquer parte desta publicação pode ser
reproduzida, desde que citada a fonte.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
(CIP) Câmara Brasileira do Livro, BA, Brasil
Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira.
Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo. / Cel-
ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. –
Vitória da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu-
cação Ciência e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.
Bibliografia.
ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Matemática. 2. Cálculo 1.
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 2
SUMÁRIO
1 Limites e Continuidade 2
2 Derivadas 22
1
CAPÍTULO 1
LIMITES E CONTINUIDADE
1. O ponto P (2,ln2) pertencente à curva y = lnx.
(a) Se Q é o ponto (x,lnx), use sua calculadora para determinar o coefi-
ciente angular da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais,
para os seguintes valores de x:
(i) 1,5
(ii) 1,9
(iii) 1,99
(iv) 1,999
(v) 2,5
(vi) 2,1
(vii) 2,01
(viii) 2,001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta
tangente à curva no ponto P (2,ln2).
(c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta
tangente à curva em P (2,ln2).
(d) Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan-
gente.
Resolução:
(a) A equação da reta é dada por:
(y − y0) = m(x − x0)
onde m - coeficiente angular da reta.
(x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.
2
Limites e Continuidade
y0 = ln2 e x0 = 2
m =
y −ln2
x −2
=
lnx −ln2
x −2
=
ln(x/2)
x −2
(i) x = 1,5
m =
ln(1,5/2)
1,5−2
= 0,575364
(ii) x = 1,9
m =
ln(1,9/2)
1,9−2
= 0,512933
Os demais itens ficam a cargo do leitor.
x m
1,5 0,575364
1,9 0,512933
1,99 0,501254
1,999 0,500125
2,5 0,446287
2,1 0,487902
2,01 0,498754
2,001 0,499875
(b) Os valores se aproximão de 0,5.
(c)
y −ln2 = 0,5(x −2)
y = 0,5x +ln2−1
2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas
propriedades.
(a)lim
t→0
1+
1
|t|
−
1
|t|
Resolução:
|t| =
t , se t > 0
−t , se t < 0
Para t > 0:
lim
t→0
1+
1
t
−
1
t
·
1+
1
t
+
1
t
1+
1
t
+
1
t
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 3
Limites e Continuidade
= lim
t→0
1+
1
t
−
1
t
1+
1
t
+
1
t
= lim
t→0
1
1+
1
t
+
1
t
= 0
Para t < 0:
lim
t→0
1+
1
−t
−
1
−t
·
1+
1
−t
+
1
−t
1+
1
−t
+
1
−t
= lim
t→0
1+
1
−t
−
1
−t
1+
1
−t
+
1
−t
= lim
t→0
1
1+
1
−t
+
1
−t
= 0
Como os limites laterais são iguais a resposta é 0.
(b)
(1/ x)−1
1− x
Resolução:
lim
x→1
1− x
x
1− x
= lim
x→1
(1− x)
(1− x) x
·
1+ x
1+ x
lim
x→1
(1− x)
(1− x) x(1+ x)
= lim
x→1
1
x(1+ x)
=
1
1(1+ 1)
=
1
2
3. Esboce os gráficos da função abaixo e , use-o para determinar os valores
de a para os quais lim
x→a
f (x) exista:
(a) f (x) =



1+ x , se x < −1
x2
, se −1 ≤ x < 1
2− x , se x ≥ 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 4
Limites e Continuidade
Resolução:
Figura 1.1: Gráfico de f(x)
4. Prove que o lim
x→0
|x|
x
não existe.
Dicas:
• Os limite só existe se os limites laterais forem iguais.
• |x| =
x , se x > 0
−x , se x < 0
5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m =
m0
1− v2/c2
, em que m0 é a massa da partícula em repouso e c, a
velocidade da luz. O que acontece se v → c−
?
Resolução
lim
x→c−
m0
1− v2/c2
=
m0
1−1
= ∞
6. Considere a função f definida por:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 5
Limites e Continuidade
f (x) =
0 , se x é racional
1 , se x é irracional
Para todo a ∈ R, lim
x→a
f (x) não existe. Por quê?
Resolução:
Suponha que a ∈ Q, então f (a) = 0, logo lim
x→a
f (x) = 0
Por outro lado, a Q, então f (a) = 0, logo lim
x→a
f (x) = 1
Como a ∈ R , então lim
x→a
f (x), pois os limites laterais dessa função são
diferentes.
7. Calcule, se possível, os seguintes limites:
(g) lim
x→0
x +1− 1− x
3x
(l) lim
x→1
x3
−1
x2 −1
(o) lim
t→9
9− t
3− t
(t) lim
x→2
x4
−16
8− x3
(w) lim
x→7
2− x −3
x2 −49
Resolução:
(a)
lim
x→0
x +1− 1− x
3x
·
x +1+ 1− x
x +1+ 1− x
lim
x→0
(x +1)−(1− x)
3x( x +1+ 1− x)
lim
x→0
2x
3x( x +1+ 1− x)
=
2
3( x +1+ 1− x)
lim
x→0
x +1− 1− x
3x
=
2
3·(1+1)
=
2
6
=
1
3
(b)
lim
x→1
x3
−1
x2 −1
= lim
x→1
(x −1)(x2
+ x +1)
(x −1)(x +1)
lim
x→1
x2
+ x +1
x +1
=
12
+1+1
1+1
=
3
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 6
Limites e Continuidade
(c)
lim
t→9
9− t
3− t
·
3+ t
3+ t
lim
t→9
(9− t)(3+ t)
9− t
= 3+ 9 = 6
(d)
lim
x→2
x4
−16
8− x3
= lim
x→2
(x2
+4)(x2
−4)
(x −2)(−x2 −2x −4)
lim
x→2
(x2
+4)(x +2)(x −2)
(x −2)(−x2 −2x −4)
lim
x→2
(x2
+4)(x +2)
(−x2 −2x −4)
= −
8
3
(e)
lim
x→7
2− x −3
x2 −49
·
2+ x −3
2+ x −3
lim
x→7
4− x +3
(x +7)(x −7)(2+ x −3)
=
−(x −7)
(x +7)(x −7)(2+ x −3)
lim
x→7
=
−1
(x +7)(2+ x −3)
= −
1
56
8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:
(a) lim
x→a
x − a
x2 − a2
com a > 0
(b) lim
x→a
x − a + x − a
x2 − a2
com a > 0
(c) lim
x→0
1+ x2 + x
m
− 1+ x2 − x
m
x
Resolução
(a)
lim
x→a
x − a
x2 − a2
= lim
x→a
x − a
(x − a)(x + a)
x − a
x − a x + a
·
x + a
x + a
x − a
x − a · x + a ·( x + a)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 7
Limites e Continuidade
x − a
x + a ·( x + a)
=
0
2 a · 2a
= 0
(b)
lim
x→a
x − a + x − a
x2 − a2
lim
x→a
x − a + x − a
x − a x + a
lim
x→a
x − a
x − a · x + a
+ lim
x→a
x − a
x − a · x + a
lim
x→a
1
x + a
=
1
2a
(c)
lim
x→0
1+ x2 + x
m
− 1+ x2 − x
m
x
m = 1
lim
x→0
1+ x2 + x − 1+ x2 − x
x
= 2
m = 2
lim
x→0
1+ x2 + x
2
− 1+ x2 − x
m
2
= lim
x→0
2 x(2 1+ x2)
x
= 4
.
.
.
Resolvendo mais limites para outros valores de m é possível observar o
seguinte padrão: 2m
9. Mostre que o lim
x→0
x2
·cos(20πx) = 0.
−1 ≤ cos(2πx) ≤ 1
−x2
≤ x2
cos(2πx) ≤ x2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 8
Limites e Continuidade
Pelo teorema do confronto:
lim
x→0
−x2
= 0, lim
x→0
x2
= 0
lim
x→0
x2
cos(2πx) = 0
10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, lim
x→+∞
( x +1− x).
Resolução:
lim
x→+∞
( x +1− x)·
( x +1+ x
x +1+ x
= lim
x→+∞
1
x +1+ x
x +1 > x ⇒ x +1+ x > 2 x
lim
x→+∞
1
x +1+ x
<
1
2 x
0 < lim
x→+∞
1
x +1+ x
<
1
2 x
lim
x→∞
0 = lim
x→∞
1
2 x
= 0
Logo
lim
x→+∞
( x +1− x) = 0
11. A função sinal, denotada por sgn, está definida por
sgn(x) =



−1 , se x < 0
0 , se x = 0
1 , se x > 0
Dica:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 9
Limites e Continuidade
Figura 1.2: Gráfico da função sinal
12. Considere a função f (x) =
x2
−1
|x −1|
Dica:
Figura 1.3: Gráfico da função f (x).
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 10
Limites e Continuidade
13. Seja g(x) =
x2
+ x −6
|x −2|
.
(a) Determine lim
x→2+
g(x) e lim
x→1−
g(x).
(b) Existe lim
x→1
g(x) ?
(c) Esboce o gráfico de g.
Dica:
Figura 1.4: Gráfico da função g(x).
14. Seja
h(x) =



x , se x < 0
x2
, se 0 < x ≤ 2
8− x , se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.
i. lim
x→0+
h(x) ii. lim
x→0−
h(x) iii. lim
x→0
h(x) iv. lim
x→2−
h(x) v. lim
x→2+
h(x)
vi. lim
x→2
h(x)
(b) Esboce o gráfico da função h.
Dica:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 11
Limites e Continuidade
Figura 1.5: Gráfico da função h(x).
15. Determine os limites.
(a) lim
x→4
x −5
(x −4)2
Resolução:
lim
x→4
x −5 (Esse termo tende a -1)
(x −4)2 (Esse termo tende a 0)
y = (x −4)2
lim
y→0
−1
y
= −∞
(b) lim
x→0
cos(x)
x · sen (x)
Resolução:
lim
x→0
cos(x) (Esse termo tende a 1)
x · sen (x) (Esse termo tende a 0 )
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 12
Limites e Continuidade
y = x · sen x
lim
y→0
1
y
= ∞
16. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
1+2+3+...+ x
x2
(b) lim
x→+∞
12
+22
+...+ x2
x3
Sugestão: Para (a)
x
k=1
k =
x(x +1)
2
e para (b)
x
k=1
k2
=
x(x +1)(2x +1)
6
.
Resolução:
(a) lim
x→+∞
x
k=1
k
x2
lim
x→+∞
x(x +1)
2x2
lim
x→+∞
1+ 1
x
2
(b) lim
x→+∞
x
k=1
k2
x3
lim
x→+∞
x(x +1)(2x +1)
6x3
lim
x→+∞
2x3
+3x2
+ x
6x3
lim
x→+∞
2+ 3
x + 3
x2
6
=
1
3
17. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) lim
x→+∞
3
x3 +2x −1
x2 + x +1
Resolução:
lim
x→+∞
3
x3(1+ 1
x2 − 1
x2 )
x2(1+ 1
x
+ 1
x2 )
lim
x→+∞
1+ 1
x2 − 1
x2
(1+ 1
x + 1
x2 )
= 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 13
Limites e Continuidade
(b) lim
x→+∞
x4 +2
x3
Resolução:
lim
x→+∞
x6( 1
x2 + 2
x6 )
x3
lim
x→+∞
x3
( 1
x2 + 2
x6 )
x3
= 0
(c) lim
x→−∞
x9
+1
x9 + x6 + x4 +1
lim
x→−∞
x9
(1+ 1
x9 )
x9(1+ 1
x3 + 1
x5 + 1
x9 )
= 1
18. Numa cidade, uma determinada notícia foi propagada de tal maneira que
o número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por:
N(t)
1768
1+33e−10t
em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-
se:
(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?
(b) Determine lim
t→∞
N(t) e explique o seu resultado.
Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)
19. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30 g
de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
25l/min.
(a) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas por
litro) é
C(t) =
30t
200+ t
(b) O que acontece com a concentração quando t → ∞
Resolução:
(a)
30
g
l
·25t· l
(5000+25t)l
=
750t
5000+25t
=
30t
200+ t
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 14
Limites e Continuidade
(b) lim
t→∞
30t
200
=
30 t
(200
t +1) t
= lim
t→∞
30
(200
t +1)
= 30g/l
onde t é o tempo.
20. Encontre as assíntonas horizontal e vertical e esboce o gráfico da seguinte
função:
(a) f (x) =
x2
x2 −1
=
x2
(x +1)(x −1)
Resolução:
Tire o limite da função f (x) tendendo as raízes para encontrar as assín-
tonas verticais :
lim
x→−1
x2
x2 −1
=
x2
(x +1)(x −1)
= lim
x→−1
1
1− 1
x2
= ∞
lim
x→−1
x2
x2 −1
= lim
x→−1
1
1− 1
x2
= ∞
Tire o limite da função f (x) tendendo a infinito para encontrar as assín-
tonas horizontais:
lim
x→∞
x2
x2 −1
= lim
x→∞
1
1− 1
x2
= 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 15
Limites e Continuidade
Figura 1.6: Gráfico da função f (x).
21. Investigue a continuidade da função seguinte:
(a) f (x) =
x
|x|
, x = 0
−1,x = 0
Resolução:
|x| =
x,x ≥ 0
−x,x < 0
lim
x→0
x
|x|
lim
x→0+
x
x
= 1
lim
x→0−
x
−x
= −1
A função é descontínua, pois os limites laterais são diferentes.
22. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 16
Limites e Continuidade
dado por:
φ(x) =



2πσ x2 + a2 − x , se x ≥ 0
2πσ x2 + a2 + x , se x < 0
com a > 0 e σ > 0. φ é contínua em 0? Justifique.
Resolução:
lim
x→0+
2πσ( x2 + a2 − x) = 2πσa
lim
x→0+
2πσ( x2 + a2 + x) = 2πσa
Como os limites laterais são iguais a função é contínua em 0;
23. Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
lim
h→0
f (a +h) = f (a)
Use esse fato para demonstrar que as funções sen (x) e cos(x) são contí-
nuas.
Resolução:
lim
x→0
sen (x + a) = sen a
24. Calcule:
(a) lim
x→0
sen 3x
x
Resolução:
lim
x→0
3 sen 3x
3x
u = 3x
lim
u→0
3 sen u
u
= 3
25. Calcular o valor de lim
x→0
tanx + x
x
lim
x→0
sen x
cosx
+ x
x
= lim
x→0
sen x
x cosx
+1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 17
Limites e Continuidade
lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
1
cosx
+1
lim
x→0
tanx + x
x
= 2
26. Determine: lim
x→0
1−cos2
x
1−cosx
Resolução:
lim
x→0
1−cos2
x
1−cosx
·
1+cosx
1+cosx
lim
x→0
(1−cos2
x)(1+cosx)
(1−cos2 x)
lim
x→0
1+cosx = 2
27. Sabendo que lim
x→0
sen x
x
= 1, calcule lim
x→π
4
cosx − sen x
cos2x
Resolução:
cos2x = cos(x + x) = cosx cosx − sen x sen x
cos2x = cos2
x − sen 2
x
lim
x→π
4
cosx − sen x
cos2 x − sen 2x
= lim
x→π
4
cosx − sen x
(cosx − sen x)(cosx + sen x)
lim
x→π
4
1
cosx + sen x
=
2
2
28. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
sen 3x
2x
(b) lim
x→0
1−cosx
x
(c) lim
x→0
1+ sen x − 1− sen x
x
Resolução:
(a) lim
x→0
sen 3x
2x
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 18
Limites e Continuidade
u = 3x x =
u
3
lim
u→0
sen u
2u
3
3
2
lim
u→0
sen u
u
=
3
2
(b) lim
x→0
1−cosx
x
lim
x→0
1−cosx
x
·
1+cosx
1+cosx
= lim
x→0
1−cos2
x
x(1+cosx)
sen 2
x +cos2
x = 1 ⇒ sen 2
x = 1−cos2
x
lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
sen x · lim
x→0
1
1+cosx
= 1·0·
1
2
= 0
(c) lim
x→0
1+ sen x − 1− sen x
x
lim
x→0
1+ sen x − 1− sen x
x
·
1+ sen x + 1− sen x
1+ sen x + 1− sen x
lim
x→0
1+ sen x −(1− sen x)
x( 1+ sen x + 1− sen x)
lim
x→0
2 sen x
x( 1+ sen x + 1− sen x)
2· lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
1
x( 1+ sen x + 1− sen x)
= 2·1·
1
2
= 1
29. Calcule os limites:
(a) lim
x→∞
1−
3
x
x
(b) lim
x→∞
1−
4
x
5x
(c) lim
x→∞
x +1
x −1
x
(d) lim
x→∞
x +5
x
2x+3
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 19
Limites e Continuidade
(a) lim
x→∞
1−
3
x
x
Limite fundamental: lim
x→∞
1+
1
x
x
= e
1−
3
x
= 1+
1
y
⇒
−3
x
=
1
y
x = −3y
lim
y→∞
1+
1
y
−3y
= lim
y→∞
1+
1
y
y −3
lim
x→∞
1−
3
x
x
=
1
e3
(b) lim
x→∞
1−
4
x
5x
1−
4
x
= 1+
1
y
⇒
−4
x
=
1
y
x = −4y
lim
x→∞
1−
4
−4y
−20y
= lim
y→∞
1+
1
y
y −20
= e−20
(c) lim
x→∞
x +1
x −1
x
x +1
x −1
= 1+
1
y
x +1 = x −1+
x −1
y
2y = x −1
x = 2y +1
2y+ 2
2y
2y+1
=
y +1
y
2y+1
= 1+
1
y
2y
· 1+
1
y
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 20
Limites e Continuidade
lim
y→∞
1+
1
y
y 2
· lim
y→∞
1+
1
y
y
= e2
(d) lim
x→∞
x +5
x
2x+3
x +5
x
= 1+
1
y
x +5 = x +
x
y
5y = x
5y+ 5
5y
10y+3
= 1+
1
y
10y+3
lim
x→∞
1+
1
y
10y+3
= lim
x→∞
1+
1
y
y 10
· lim
x→∞
1+
1
y
3
= e10
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 21
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
1. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2
+ 3 que é paralela à
reta 8x − y +3 = 0.
Resolução:
8x − y +3 = 0
y = 8x +3
y = 2x2
+3
y = 4x = 8
x = 2
y(2) = 11
y −11 = 8(x −2)
y −11 = 8x −16
y = 8x −5
2. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadas
nos pontos indicados:
f (x) = x2
−1, f (0) e f (1)
22
Derivadas
Resolução:
lim
h→0
(h + x)2
−1− x2
+1
h
= lim
h→0
h2
+2 hx+ x2
− 1− x2
+ 1
h
= lim
h→0
h +2x = 2x
f (0) = 0 ; f (1) = 2
3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura
(em metros) deposis de t segundos é dada por y = 10t −4,9t2
. Encontre
a velocidade quando t = 2.
Resolução:
y(t) = 10t −4.9t2
v(t) = y (t)
v(t) = lim
h→0
10(h + t)−4,9(h + t)2
−10t +4,9t2
h
v(t) = lim
h→0
10h +10t −4,9(h2
+2ht + t2
)−10t +4,9t2
h
v(t) = lim
h→0
h(10−4,9h −9,8t)
h
= 10−9,8t
v(2) = −9,6m/s
4. Determine se existir ou não f (0).
f (x) =



x2
sen
1
x
, se x = 0
0 , se x = 0
Resolução:
f (0) = lim
x→0
f (x)− f (0)
x −0
= lim
x→0
x sen (1/x) = 0
Logo o limite existe.
5. Seja f (x) = 3
x.
(a) Se a = 0, usando a definição de derivada no ponto, encontre f (a).
(b) Mostre que f (0) não existe.
(c) Mostre que y = 3
x tem uma reta tangente vertical em (0,0).
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 23
Derivadas
Resolução:
(a)
f (a) = lim
h→0
f (a +h)− f (a)
h
= lim
h→0
3
(a +h)− 3
a
h
= lim
h→0
3
(a +h)− 3
a
h
·
3
(a +h)2 + 3
(a +h)a +
3
a2
3
(a +h)2 + 3
(a +h)a +
3
a2
= lim
h→0
3
(a +h)3 −
3
a3
h(
3
(a +h)2 + 3
(a +h)a +
3
a2)
= lim
h→0
a+ h− a
h(
3
(a +h)2 + 3
(a +h)a +
3
a2)
= lim
h→0
1
3
(a +h)2 + 3
(a +h)a +
3
a2
= lim
h→0
1
3
a2 +
3
a2 +
3
a2
=
1
3
3
a2
(b) f (0) = 1/0, que é indeterminação.
(c) A função é contínua em x = 0 e a f (0) = +∞. Por isso, existe a reta
tangente vertical nesse ponto.
6. Mostre que a função f (x) = |x−6| não é diferenciavel em 6. Encontre uma
fórmula para f e esboce seu gráfico.
Resolução:
Lembre-se:
|x| =
x , x > 0
−x , x < 0
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 24
Derivadas
Para x > 6
f (a) = lim
h→0
h+ a− 6− a+ 6
h
= 1
Para x < 6
f (a) = lim
h→0
−h− a+ 6+ a− 6
h
= −1
Os limites laterais são diferentes, logo não existe derivada no ponto 6.
f (x) =
−1 , x < 6
1 , x > 6
Figura 2.1: Gráfico da função f (x).
7. Em que ponto da curva y = x2
+8 a inclinação da tangente é 16? Escreva
a equação dessa reta tangente.
Resolução:
f (a) = 16 f (x) = x2
+8
lim
h→0
(h + a)2
+8− a2
−8
h
= lim
h→0
h2
+2 ha+ a2
+ 8− a2
− 8
h
= lim
h→0
h +2a = 2a
f (a) = 2a = 16, a = 8, y = 82
+8 = 72
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 25
Derivadas
Ponto (8,72)
Encontrando a reta tangente:
y −72 = 16(x −8)
y = 16x −56
8. Se f (x) = 2x2
−x3
, encontre f (x), f (x), f (x) e f (4)
. Trace f , f , f e f
em uma única tela. Os gráficos são consistentes com as interpretações
geométricas destas derivadas?
Resolução:
f (x) = 4x −3x2
f (x) = 4−6x
f (x) = 6
f (4)
= 0
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 26
Derivadas
Figura 2.2: Gráfico das funções f (x), f (x), f (x), f (x).
9. Lembre-se de que uma função f [e chamada par se f (−x) = f (x) para
todo x em seu domínio e, ímpar se f (−x) = −f (x) para cada um destes x.
Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:
(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.
(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.
Resolução:
(a) Escolhendo a função cos(x) :
lim
h→0
cos(h + x)−cosx
h
lim
h→0
cosh cosx − sen x sen h −cosx
h
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 27
Derivadas
lim
h→0
cosx(cosh −1)
h
− lim
h→0
sen x sen h
h
− sen x Uma função ímpar
(b) Escolhendo a função sen (x) :
lim
h→0
sen (h + x)− sen x
h
lim
h→0
sen h cosx + sen x cosh − sen x
h
lim
h→0
cosx
sen h
h
+ lim
h→0
sen x
(cosh −1)
h
cosx uma função par
10. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a)f (x) =
3
2x
+2x(
5
x3)−
2
x
(b)f (x) =
t3
−3t
t5 −5t
(t2
−2t)
(c)f (x) = x2
sen (x)−ln(x)cos(x)
Resolução:
(a) f (x) =
3
2x
+2x(
5
x3)−
2
x
f (x) =
3
2
x−1
+2x · x3/5
−2x−1/2
f (x) =
3
2
x−1
+2x8/5
−2x−1/2
f (x) =
−3
2
x−2
+
16
5
x · x3/5
+ x−3/2
=
−3
2x2
+
16
5
5
x3 +
1
3
x2
(b) f (x) =
t3
−3t
t5 −5t
(t2
−2t)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 28
Derivadas
Utilizando a regra do quociente:
f (t) =
(t5
−5t)(5t4
−8t3
−9t2
+12t)−(t5
−2t4
−3t3
+6t2
)(5t4
−5)
(t5 −5t)2
f (t) =
2t8
+6t7
−18t6
−20t5
+30t4
+30t3
−30t2
(t5 −5t)2
(c) f (x) = x2
sen (x)−ln(x)cos(x)
Utilizando a regra do produto:
f (x) = 2x sen x + x2
cosx −
1
x
cosx +lnx ·− sen x
f (x) = sen x(2x +lnx)+cosx(x2
−1/x)
11. Suponha que a curva y = x4
+ax3
+bx2
+cx +d tenha uma reta tangente
quando x = 0 com equação y = 2x +1 e, uma reta tangente quando x = 1
com equação y = 2−3x. Encontre os valores de a,b,c ed.
Resolução:
f (0) = 2; f (1) = −3
f (x) = 4x3
+3ax2
+2bx +c
f (0) = c = 2
f (1) = 3a +2b = −9
f (0) = d = 1
f (1) = a +b = −5
3a +2b = −9
a +b = −5
a = 1; b = −6
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 29
Derivadas
12. Se f (x) = ex
· g(x), em que g(0) = 2 e g (0) = 5. É correto dizer que f (0) é:
(a)7 (b)2 (c)5 (d) 10
Resolução:
f (x) = ex
g(x)+ex
g (x); f (0) = e0
g(0)+e0
g (0)
f (0) = 2+5 = 7
Resposta: letra (a)
13. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P(2) = 5,P (2) = 3 e
P (2) = 2.
Resolução:
P(x) = ax2
+bx +c
P (x) = 2ax +b
P (x) = 2a
P(2) = 4a +2b +c = 5
P (2) = 4a +b = 3
P (2) = 2a = 2
a = 1
4+b = 3 ⇒ b = −1
4−2+c = 5 ⇒ c = 3
14. Encontre as derivadas das funções dadas.
(a)f (x) = (3x5
−1)10
(2− x4
)
(b)f (s) = ln(e5s−3
)
(c)f (θ) = 2cos2
(θ) sen (θ)
(d)f (x) = ln( sen 2
(x))
Resolução:
(a)f (x) = (3x5
−1)10
(2− x4
)
Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.
10(3x5
−1)9
(15x4
)(2− x4
)+(3x5
−1)10
·−4x3
(b)f (s) = ln(e5s−3
)
5e5s−3
e5s−3
= 5
(c)f (θ) = 2cos2
(θ) sen (θ)
f (θ) = −4cos(θ) sen (θ) sen (θ)+2cos2
(θ)cos(θ)
= −4cos(θ) sen 2
(θ)+2cos3
(θ)
(d)f (x) = ln( sen 2
(x))
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 30
Derivadas
1
sen 2(x)
·2 sen (x)cos(x) =
2cosx
sen x
= 2cotx
15. Usando a regra da cadeia, determine y , sendo:
(a) y = (3x +5)50
(b) y =
1
(x3 +3x2 −6x +4)
(c) y = sec2
[(x3
−6)3
]
(d) y =
1
x(x +1)
Resolução:
(a) y = (3x +5)50
y = 50(3x +5)49
·3 = 150(3x +5)49
(b) y =
1
x3 +3x2 −6x +4
= (x3
+3x2
−6x +4)−1
y = −(x3
+3x2
−6x +4)−2
·(3x2
+6x −6) =
−(3x3
+6x −6)
(x3 +3x2 −6x +4)2
(c) Derivada tabelada:
d secx
dx
= secx ·tanx
y = sec2
[(x3
−6)3
]
y = 2sec[(x3
−6)3
]·sec[(x3
−6)3
]·tan[(x3
−6)3
]·3(x3
−6)2
·3x2
y = 18x2
sec2
[(x3
−6)3
]tan[(x3
−6)3
](x3
−6)2
(d) y =
1
x(x +1)
= [x(x +1)]−1
y = −[x(x +1)]−2
·[(x +1)+ x]
=
−(2x +1)
[x(x +1)]2
16. Seja f uma função derivável e g(x) = ex
f (3x +1). Cacule g (0) se f (1) = 2
e f (1) = 3.
g(x) = ex
f (3x +1)
g (x) = ex
f (3x +1)+ex
f (3x +1)·3
g (0) = e0
f (1)+e0
f (1)·3 = 2+9 = 11
17. A curva y = 1/(1+ x2
) é chamada bruxa de Maria Agnesi.
(a) Encontre uma equação da reta tangente e uma equação da reta norma
para essa curva no ponto (−1, 1
2).
(b)Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes e
normal no mesmo plano.
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 31
Derivadas
Resolução:
y = (1+ x2
)−1
y = −(1+ x2
)−2·2x =
−2x
(1+ x2)2
Encontrando a reta tangente no ponto (−1, 1
2)
f (−1) =
−2·−1
(1+(−1)2)2
=
1
2
y − 1
2 = 1
2(x −(−1))
y − 1
2
= 1
2
x + 1
2
y = 1
2
x +1
Encontrando a reta normal no ponto (−1, 1
2
)
y −
1
2
=
−1
f (−1)
(x +1)
y −
1
2
= −2(x +1)
y −
1
2
= −2x −2
y = −2x −
3
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 32
Derivadas
Figura 2.3: Gráfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normal
no ponto (−1, 1
2).
18. Calcule a derivada de:
(a) y =
3
3x −1
(b) z(x) = ln(x2
−6)
Resolução:
(a) y =
3
3x −1 = (3x −1)1/3
y =
1
3
(3x −1)
−2
3 · 3
y =
1
3
(3x −1)2
(b) z(x) = ln(x2
−6)
z (x) =
1
x2 −6
·2x =
2x
x2 −6
19. Calcule as derivadas das funções:
(a) y = 5x−1
(b) y = log5(x2
)
(c) y = ln
x
x +1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 33
Derivadas
Resolução:
Dica:
d(loga x)
dx
=
1
x lna
(a) y = 5(x−1)
ln y = ln5(x−1)
ln y = (x −1)ln5
1
y
· y = ln5
y = y ln5
y = 5(x−1)
·ln5
(b) y = log5(x2
)
y =
1
x2 ln5
·2x =
2
x ln5
(c) y = ln
x
x +1
= lnx −ln(x +1)
y =
1
x
−
1
x +1
=
1
x2 + x
20. Calcule y se:
(a)y = 1−tan2(x)
(b)y = x cot(2x)
(c)y = tan(sec(x2
))
Resolução:
Derivadas tabeladas:
d(tanx)
dx
= sec2
x;
d(secx)
dx
= secx ·tanx
(a)y = 1−tan2(x) = (1−tan2
x)
1
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 34
Derivadas
y = −
1
2
(1−tan2
x)−1
2 ·[ 2tanx ·sec2
x]
y =
−tanx ·sec2
x
1−tan2 x
(b)y = x cot(2x)
y = cot(2x)−2cossec2
(2x)
(c)y = tan(sec(x2
))
y = sec2
[sec(x2
)]·sec(x2
)·tan(x2
)·2x
21. Encontre:
d99
dx99
( sen x)
Resolução:
d
dx
sen x = cosx
d2
dx2
sen x = − sen x
d3
dx3
sen x = −cosx
d4
dx4
sen x = sen x
d5
dx5
sen x = cosx
99 4
3 24
d99
dx99
( sen x) =
d3
dx3
( sen x)
= −cosx
22. Encontre constantes A e B de forma que a função y = A sen x + B cosx
satisfaça a equação diferencial y + y −2y = sen x.
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 35
Derivadas
y = Acosx −B sen x
y = −A sen x −B cosx
−A sen x −B cosx + Acosx −B sen x −2A sen x −2B cosx = sen x
(−3A −B) sen x +(A −3B)cosx = 1 sen x +0cosx
−3A −B = 1
A −3B = 0
A =
−3
10
; B =
−1
10
23. Ache
∂y
∂x
por derivação implicita de x2
+ y2
= 16
Resolução:
2x +2y · y = 0
2y · y = −2x
y =
− 2x
2y
y =
−x
y
24. Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4
+y4
= 32 no ponto (1,2).
Resolução:
Derivando a curva:
64x3
+4y3
· y = 0
4y3
y = −64x3
y =
−64x3
4y3
= −
16x3
y3
y (1,2) = −2
Equação da reta tangente:
y −2 = −2(x −1)
y −2 = −2x +2
y = −2x +4
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 36
Derivadas
25. Ache uma equação da reta normal à curva x2
+xy +y2
−3y = 10 no ponto
(2,3).
Resolução:
2x + y + xy +2yy −3y = 0
(x +2y −3)y = −2x − y
y =
−2x − y
x +2y −3
y (2,3) =
−7
5
Equação da reta normal:
t − t0 = −
1
y
(x − x0)
t −3 =
5
7
(x −2)
t −3 =
5
7
x −
10
7
t =
−5
7
x
−11
7
26. Use a derivação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes
funções:
(a) y = (2x +1)5
(x4
−3)6
(b) y =
x −1
x4 +1
(c) y = xx
(d) y = xcosx
Resolução:
(a)y = (2x +1)5
(x4
−3)6
ln y = ln[(2x +1)5
(x4
−3)6
]
ln y = ln(2x +1)5
+ln(x4
−3)6
ln y = 5ln(2x +1)+6ln(x4
−3)
1
y
· y =
10
2x +1
+
24x3
x4 −3
y = [(2x +1)5
(x4
−3)6
]·
10
2x +1
+
24x3
x4 −3
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 37
Derivadas
(b)y =
x −1
x4 +1
ln y = ln
x −1
x4 +1
1/2
=
1
2
ln
x −1
x4 +1
=
1
2
ln(x −1)−ln(x4
+1)
1
y
· y =
1
2(x −1)
−
4x3
2(x4 +1)
y =
x −1
x4 +1
·
1
2(x −1)
−
4x3
2(x4 +1)
(c)y = xx
y = xx
ln y = lnxx
ln y = x lnx
1
y
· y = lnx + x ·
1
x
y = y ·[lnx +1]
y = xx
·[lnx +1]
(d)y = xcosx
ln y = ln(xcosx
)
ln y = cosx ·lnx
1
y
· y = − sen x ·lnx +
cosx
x
y = xcosx cosx
x
− sen x ·lnx
27. Seja f (x) = a +b cos(2x)+c cos(4x), onde a,b,c ∈ R. Sabendo que f ( π
2)
=
1, f (0) = f (0) = f (0) = f (3)
(0) = 0 e que f pode ser escrita na forma
f (x) = sen n
(x),n ∈ N, determine a,b,c en.
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 38
Derivadas
f (x) = a +b cos(2x)+c cos(4x)
f (x) = −b2 sen (2x)−4c sen (4x)
f (x) = −4b cos(2x)−16c cos(4x)
f (3)
(x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x)
f (0) = −4b −16c = 0
f (0) = a +b = c = 0
f (π/2) = a −b +c = 1
Resolvendo o sistema acima:
a =
3
8
; b =
−1
2
; c =
1
8
f (x) =
3
8
−
1
2
cos(2x)+
1
8
cos(4x)
=
3
8
−
1
2
(cos2
x − sen 2
x)+
1
8
cos(4x)
=
3
8
−
4
8
(1−2 sen 2
x)+
1
8
cos(4x)
= −
1
8
+ sen 2
x +
1
8
cos(4x)
1
8
cos4x =
1
8
[cos(2x)cos(2x)− sen (2x) sen (2x)]
=
1
8
[cos2
(2x)− sen 2
(2x)]
=
1
8
(1−2 sen 2
(2x))
f (x) = −
1
8
+ sen 2
(x)+
1
8
−
2
8
sen 2
(2x)
= sen 2
x −
2
8
sen 2
(2x)
sen 2
(2x) = ( sen x cosx + sen x cosx)2
= (2 sen x cosx)2
= 4 sen 2
x cos2
x
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 39
Derivadas
f (x) = sen 2
x −
2
8
(4 sen 2
x cos2
x)
= sen 2
x − sen 2
x cos2
x
= sen 2
x(− 1+ 1+ sen 2
x)
= sen 2
x · sen 2
x = sen 4
x
n = 4
28. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = arcsin
x −1
2
no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.
Resolução:
Valor tabelado :
d
dx
arcsinx =
1
1− x2
Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:
arcsin
x −1
2
= 0
x −1
2
= 0 ⇒ x = 1
Ponto : (1,0)
y =
1
1−
x −1
2
2
·
1
2
y =
1
2
Reta tangente:
y −0 =
1
2
(x −1)
y =
1
2
x −
1
2
Reta normal:
y −0 = −
1
1/2
(x −1)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 40
Derivadas
y = −2(x −1)
y = −2x +2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. 3 ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
[2] STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
[3] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC,
2012.
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Exercicios resolvidos

  • 1. Celton Ribeiro Barbosa Prof. Gislan Silveira Santos Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia Programa de Educação Tutorial - PET Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
  • 2. © 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos & Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia. Programa de Educação Tutorial - PET Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Câmara Brasileira do Livro, BA, Brasil Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira. Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo. / Cel- ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. – Vitória da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu- cação Ciência e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014. Bibliografia. ISBN XXXX-XXXX-XX. 1. Matemática. 2. Cálculo 1. APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 2
  • 3. SUMÁRIO 1 Limites e Continuidade 2 2 Derivadas 22 1
  • 4. CAPÍTULO 1 LIMITES E CONTINUIDADE 1. O ponto P (2,ln2) pertencente à curva y = lnx. (a) Se Q é o ponto (x,lnx), use sua calculadora para determinar o coefi- ciente angular da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x: (i) 1,5 (ii) 1,9 (iii) 1,99 (iv) 1,999 (v) 2,5 (vi) 2,1 (vii) 2,01 (viii) 2,001 (b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2,ln2). (c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em P (2,ln2). (d) Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan- gente. Resolução: (a) A equação da reta é dada por: (y − y0) = m(x − x0) onde m - coeficiente angular da reta. (x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta. 2
  • 5. Limites e Continuidade y0 = ln2 e x0 = 2 m = y −ln2 x −2 = lnx −ln2 x −2 = ln(x/2) x −2 (i) x = 1,5 m = ln(1,5/2) 1,5−2 = 0,575364 (ii) x = 1,9 m = ln(1,9/2) 1,9−2 = 0,512933 Os demais itens ficam a cargo do leitor. x m 1,5 0,575364 1,9 0,512933 1,99 0,501254 1,999 0,500125 2,5 0,446287 2,1 0,487902 2,01 0,498754 2,001 0,499875 (b) Os valores se aproximão de 0,5. (c) y −ln2 = 0,5(x −2) y = 0,5x +ln2−1 2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades. (a)lim t→0 1+ 1 |t| − 1 |t| Resolução: |t| = t , se t > 0 −t , se t < 0 Para t > 0: lim t→0 1+ 1 t − 1 t · 1+ 1 t + 1 t 1+ 1 t + 1 t APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 3
  • 6. Limites e Continuidade = lim t→0 1+ 1 t − 1 t 1+ 1 t + 1 t = lim t→0 1 1+ 1 t + 1 t = 0 Para t < 0: lim t→0 1+ 1 −t − 1 −t · 1+ 1 −t + 1 −t 1+ 1 −t + 1 −t = lim t→0 1+ 1 −t − 1 −t 1+ 1 −t + 1 −t = lim t→0 1 1+ 1 −t + 1 −t = 0 Como os limites laterais são iguais a resposta é 0. (b) (1/ x)−1 1− x Resolução: lim x→1 1− x x 1− x = lim x→1 (1− x) (1− x) x · 1+ x 1+ x lim x→1 (1− x) (1− x) x(1+ x) = lim x→1 1 x(1+ x) = 1 1(1+ 1) = 1 2 3. Esboce os gráficos da função abaixo e , use-o para determinar os valores de a para os quais lim x→a f (x) exista: (a) f (x) =    1+ x , se x < −1 x2 , se −1 ≤ x < 1 2− x , se x ≥ 1 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 4
  • 7. Limites e Continuidade Resolução: Figura 1.1: Gráfico de f(x) 4. Prove que o lim x→0 |x| x não existe. Dicas: • Os limite só existe se os limites laterais forem iguais. • |x| = x , se x > 0 −x , se x < 0 5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é m = m0 1− v2/c2 , em que m0 é a massa da partícula em repouso e c, a velocidade da luz. O que acontece se v → c− ? Resolução lim x→c− m0 1− v2/c2 = m0 1−1 = ∞ 6. Considere a função f definida por: APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 5
  • 8. Limites e Continuidade f (x) = 0 , se x é racional 1 , se x é irracional Para todo a ∈ R, lim x→a f (x) não existe. Por quê? Resolução: Suponha que a ∈ Q, então f (a) = 0, logo lim x→a f (x) = 0 Por outro lado, a Q, então f (a) = 0, logo lim x→a f (x) = 1 Como a ∈ R , então lim x→a f (x), pois os limites laterais dessa função são diferentes. 7. Calcule, se possível, os seguintes limites: (g) lim x→0 x +1− 1− x 3x (l) lim x→1 x3 −1 x2 −1 (o) lim t→9 9− t 3− t (t) lim x→2 x4 −16 8− x3 (w) lim x→7 2− x −3 x2 −49 Resolução: (a) lim x→0 x +1− 1− x 3x · x +1+ 1− x x +1+ 1− x lim x→0 (x +1)−(1− x) 3x( x +1+ 1− x) lim x→0 2x 3x( x +1+ 1− x) = 2 3( x +1+ 1− x) lim x→0 x +1− 1− x 3x = 2 3·(1+1) = 2 6 = 1 3 (b) lim x→1 x3 −1 x2 −1 = lim x→1 (x −1)(x2 + x +1) (x −1)(x +1) lim x→1 x2 + x +1 x +1 = 12 +1+1 1+1 = 3 2 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 6
  • 9. Limites e Continuidade (c) lim t→9 9− t 3− t · 3+ t 3+ t lim t→9 (9− t)(3+ t) 9− t = 3+ 9 = 6 (d) lim x→2 x4 −16 8− x3 = lim x→2 (x2 +4)(x2 −4) (x −2)(−x2 −2x −4) lim x→2 (x2 +4)(x +2)(x −2) (x −2)(−x2 −2x −4) lim x→2 (x2 +4)(x +2) (−x2 −2x −4) = − 8 3 (e) lim x→7 2− x −3 x2 −49 · 2+ x −3 2+ x −3 lim x→7 4− x +3 (x +7)(x −7)(2+ x −3) = −(x −7) (x +7)(x −7)(2+ x −3) lim x→7 = −1 (x +7)(2+ x −3) = − 1 56 8. Calcule, se existirem, os limites abaixo: (a) lim x→a x − a x2 − a2 com a > 0 (b) lim x→a x − a + x − a x2 − a2 com a > 0 (c) lim x→0 1+ x2 + x m − 1+ x2 − x m x Resolução (a) lim x→a x − a x2 − a2 = lim x→a x − a (x − a)(x + a) x − a x − a x + a · x + a x + a x − a x − a · x + a ·( x + a) APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 7
  • 10. Limites e Continuidade x − a x + a ·( x + a) = 0 2 a · 2a = 0 (b) lim x→a x − a + x − a x2 − a2 lim x→a x − a + x − a x − a x + a lim x→a x − a x − a · x + a + lim x→a x − a x − a · x + a lim x→a 1 x + a = 1 2a (c) lim x→0 1+ x2 + x m − 1+ x2 − x m x m = 1 lim x→0 1+ x2 + x − 1+ x2 − x x = 2 m = 2 lim x→0 1+ x2 + x 2 − 1+ x2 − x m 2 = lim x→0 2 x(2 1+ x2) x = 4 . . . Resolvendo mais limites para outros valores de m é possível observar o seguinte padrão: 2m 9. Mostre que o lim x→0 x2 ·cos(20πx) = 0. −1 ≤ cos(2πx) ≤ 1 −x2 ≤ x2 cos(2πx) ≤ x2 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 8
  • 11. Limites e Continuidade Pelo teorema do confronto: lim x→0 −x2 = 0, lim x→0 x2 = 0 lim x→0 x2 cos(2πx) = 0 10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, lim x→+∞ ( x +1− x). Resolução: lim x→+∞ ( x +1− x)· ( x +1+ x x +1+ x = lim x→+∞ 1 x +1+ x x +1 > x ⇒ x +1+ x > 2 x lim x→+∞ 1 x +1+ x < 1 2 x 0 < lim x→+∞ 1 x +1+ x < 1 2 x lim x→∞ 0 = lim x→∞ 1 2 x = 0 Logo lim x→+∞ ( x +1− x) = 0 11. A função sinal, denotada por sgn, está definida por sgn(x) =    −1 , se x < 0 0 , se x = 0 1 , se x > 0 Dica: APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 9
  • 12. Limites e Continuidade Figura 1.2: Gráfico da função sinal 12. Considere a função f (x) = x2 −1 |x −1| Dica: Figura 1.3: Gráfico da função f (x). APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 10
  • 13. Limites e Continuidade 13. Seja g(x) = x2 + x −6 |x −2| . (a) Determine lim x→2+ g(x) e lim x→1− g(x). (b) Existe lim x→1 g(x) ? (c) Esboce o gráfico de g. Dica: Figura 1.4: Gráfico da função g(x). 14. Seja h(x) =    x , se x < 0 x2 , se 0 < x ≤ 2 8− x , se x > 2 (a) Calcule, se existirem, os limites. i. lim x→0+ h(x) ii. lim x→0− h(x) iii. lim x→0 h(x) iv. lim x→2− h(x) v. lim x→2+ h(x) vi. lim x→2 h(x) (b) Esboce o gráfico da função h. Dica: APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 11
  • 14. Limites e Continuidade Figura 1.5: Gráfico da função h(x). 15. Determine os limites. (a) lim x→4 x −5 (x −4)2 Resolução: lim x→4 x −5 (Esse termo tende a -1) (x −4)2 (Esse termo tende a 0) y = (x −4)2 lim y→0 −1 y = −∞ (b) lim x→0 cos(x) x · sen (x) Resolução: lim x→0 cos(x) (Esse termo tende a 1) x · sen (x) (Esse termo tende a 0 ) APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 12
  • 15. Limites e Continuidade y = x · sen x lim y→0 1 y = ∞ 16. Calcule os limites: (a) lim x→+∞ 1+2+3+...+ x x2 (b) lim x→+∞ 12 +22 +...+ x2 x3 Sugestão: Para (a) x k=1 k = x(x +1) 2 e para (b) x k=1 k2 = x(x +1)(2x +1) 6 . Resolução: (a) lim x→+∞ x k=1 k x2 lim x→+∞ x(x +1) 2x2 lim x→+∞ 1+ 1 x 2 (b) lim x→+∞ x k=1 k2 x3 lim x→+∞ x(x +1)(2x +1) 6x3 lim x→+∞ 2x3 +3x2 + x 6x3 lim x→+∞ 2+ 3 x + 3 x2 6 = 1 3 17. Calcule os seguintes limites no infinito: (a) lim x→+∞ 3 x3 +2x −1 x2 + x +1 Resolução: lim x→+∞ 3 x3(1+ 1 x2 − 1 x2 ) x2(1+ 1 x + 1 x2 ) lim x→+∞ 1+ 1 x2 − 1 x2 (1+ 1 x + 1 x2 ) = 1 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 13
  • 16. Limites e Continuidade (b) lim x→+∞ x4 +2 x3 Resolução: lim x→+∞ x6( 1 x2 + 2 x6 ) x3 lim x→+∞ x3 ( 1 x2 + 2 x6 ) x3 = 0 (c) lim x→−∞ x9 +1 x9 + x6 + x4 +1 lim x→−∞ x9 (1+ 1 x9 ) x9(1+ 1 x3 + 1 x5 + 1 x9 ) = 1 18. Numa cidade, uma determinada notícia foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por: N(t) 1768 1+33e−10t em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta- se: (a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato? (b) Determine lim t→∞ N(t) e explique o seu resultado. Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a) 19. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25l/min. (a) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas por litro) é C(t) = 30t 200+ t (b) O que acontece com a concentração quando t → ∞ Resolução: (a) 30 g l ·25t· l (5000+25t)l = 750t 5000+25t = 30t 200+ t APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 14
  • 17. Limites e Continuidade (b) lim t→∞ 30t 200 = 30 t (200 t +1) t = lim t→∞ 30 (200 t +1) = 30g/l onde t é o tempo. 20. Encontre as assíntonas horizontal e vertical e esboce o gráfico da seguinte função: (a) f (x) = x2 x2 −1 = x2 (x +1)(x −1) Resolução: Tire o limite da função f (x) tendendo as raízes para encontrar as assín- tonas verticais : lim x→−1 x2 x2 −1 = x2 (x +1)(x −1) = lim x→−1 1 1− 1 x2 = ∞ lim x→−1 x2 x2 −1 = lim x→−1 1 1− 1 x2 = ∞ Tire o limite da função f (x) tendendo a infinito para encontrar as assín- tonas horizontais: lim x→∞ x2 x2 −1 = lim x→∞ 1 1− 1 x2 = 1 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 15
  • 18. Limites e Continuidade Figura 1.6: Gráfico da função f (x). 21. Investigue a continuidade da função seguinte: (a) f (x) = x |x| , x = 0 −1,x = 0 Resolução: |x| = x,x ≥ 0 −x,x < 0 lim x→0 x |x| lim x→0+ x x = 1 lim x→0− x −x = −1 A função é descontínua, pois os limites laterais são diferentes. 22. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 16
  • 19. Limites e Continuidade dado por: φ(x) =    2πσ x2 + a2 − x , se x ≥ 0 2πσ x2 + a2 + x , se x < 0 com a > 0 e σ > 0. φ é contínua em 0? Justifique. Resolução: lim x→0+ 2πσ( x2 + a2 − x) = 2πσa lim x→0+ 2πσ( x2 + a2 + x) = 2πσa Como os limites laterais são iguais a função é contínua em 0; 23. Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se, lim h→0 f (a +h) = f (a) Use esse fato para demonstrar que as funções sen (x) e cos(x) são contí- nuas. Resolução: lim x→0 sen (x + a) = sen a 24. Calcule: (a) lim x→0 sen 3x x Resolução: lim x→0 3 sen 3x 3x u = 3x lim u→0 3 sen u u = 3 25. Calcular o valor de lim x→0 tanx + x x lim x→0 sen x cosx + x x = lim x→0 sen x x cosx +1 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 17
  • 20. Limites e Continuidade lim x→0 sen x x · lim x→0 1 cosx +1 lim x→0 tanx + x x = 2 26. Determine: lim x→0 1−cos2 x 1−cosx Resolução: lim x→0 1−cos2 x 1−cosx · 1+cosx 1+cosx lim x→0 (1−cos2 x)(1+cosx) (1−cos2 x) lim x→0 1+cosx = 2 27. Sabendo que lim x→0 sen x x = 1, calcule lim x→π 4 cosx − sen x cos2x Resolução: cos2x = cos(x + x) = cosx cosx − sen x sen x cos2x = cos2 x − sen 2 x lim x→π 4 cosx − sen x cos2 x − sen 2x = lim x→π 4 cosx − sen x (cosx − sen x)(cosx + sen x) lim x→π 4 1 cosx + sen x = 2 2 28. Calcule os limites: (a) lim x→0 sen 3x 2x (b) lim x→0 1−cosx x (c) lim x→0 1+ sen x − 1− sen x x Resolução: (a) lim x→0 sen 3x 2x APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 18
  • 21. Limites e Continuidade u = 3x x = u 3 lim u→0 sen u 2u 3 3 2 lim u→0 sen u u = 3 2 (b) lim x→0 1−cosx x lim x→0 1−cosx x · 1+cosx 1+cosx = lim x→0 1−cos2 x x(1+cosx) sen 2 x +cos2 x = 1 ⇒ sen 2 x = 1−cos2 x lim x→0 sen x x · lim x→0 sen x · lim x→0 1 1+cosx = 1·0· 1 2 = 0 (c) lim x→0 1+ sen x − 1− sen x x lim x→0 1+ sen x − 1− sen x x · 1+ sen x + 1− sen x 1+ sen x + 1− sen x lim x→0 1+ sen x −(1− sen x) x( 1+ sen x + 1− sen x) lim x→0 2 sen x x( 1+ sen x + 1− sen x) 2· lim x→0 sen x x · lim x→0 1 x( 1+ sen x + 1− sen x) = 2·1· 1 2 = 1 29. Calcule os limites: (a) lim x→∞ 1− 3 x x (b) lim x→∞ 1− 4 x 5x (c) lim x→∞ x +1 x −1 x (d) lim x→∞ x +5 x 2x+3 Resolução: APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 19
  • 22. Limites e Continuidade (a) lim x→∞ 1− 3 x x Limite fundamental: lim x→∞ 1+ 1 x x = e 1− 3 x = 1+ 1 y ⇒ −3 x = 1 y x = −3y lim y→∞ 1+ 1 y −3y = lim y→∞ 1+ 1 y y −3 lim x→∞ 1− 3 x x = 1 e3 (b) lim x→∞ 1− 4 x 5x 1− 4 x = 1+ 1 y ⇒ −4 x = 1 y x = −4y lim x→∞ 1− 4 −4y −20y = lim y→∞ 1+ 1 y y −20 = e−20 (c) lim x→∞ x +1 x −1 x x +1 x −1 = 1+ 1 y x +1 = x −1+ x −1 y 2y = x −1 x = 2y +1 2y+ 2 2y 2y+1 = y +1 y 2y+1 = 1+ 1 y 2y · 1+ 1 y APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 20
  • 23. Limites e Continuidade lim y→∞ 1+ 1 y y 2 · lim y→∞ 1+ 1 y y = e2 (d) lim x→∞ x +5 x 2x+3 x +5 x = 1+ 1 y x +5 = x + x y 5y = x 5y+ 5 5y 10y+3 = 1+ 1 y 10y+3 lim x→∞ 1+ 1 y 10y+3 = lim x→∞ 1+ 1 y y 10 · lim x→∞ 1+ 1 y 3 = e10 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 21
  • 24. CAPÍTULO 2 DERIVADAS 1. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 que é paralela à reta 8x − y +3 = 0. Resolução: 8x − y +3 = 0 y = 8x +3 y = 2x2 +3 y = 4x = 8 x = 2 y(2) = 11 y −11 = 8(x −2) y −11 = 8x −16 y = 8x −5 2. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadas nos pontos indicados: f (x) = x2 −1, f (0) e f (1) 22
  • 25. Derivadas Resolução: lim h→0 (h + x)2 −1− x2 +1 h = lim h→0 h2 +2 hx+ x2 − 1− x2 + 1 h = lim h→0 h +2x = 2x f (0) = 0 ; f (1) = 2 3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura (em metros) deposis de t segundos é dada por y = 10t −4,9t2 . Encontre a velocidade quando t = 2. Resolução: y(t) = 10t −4.9t2 v(t) = y (t) v(t) = lim h→0 10(h + t)−4,9(h + t)2 −10t +4,9t2 h v(t) = lim h→0 10h +10t −4,9(h2 +2ht + t2 )−10t +4,9t2 h v(t) = lim h→0 h(10−4,9h −9,8t) h = 10−9,8t v(2) = −9,6m/s 4. Determine se existir ou não f (0). f (x) =    x2 sen 1 x , se x = 0 0 , se x = 0 Resolução: f (0) = lim x→0 f (x)− f (0) x −0 = lim x→0 x sen (1/x) = 0 Logo o limite existe. 5. Seja f (x) = 3 x. (a) Se a = 0, usando a definição de derivada no ponto, encontre f (a). (b) Mostre que f (0) não existe. (c) Mostre que y = 3 x tem uma reta tangente vertical em (0,0). APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 23
  • 26. Derivadas Resolução: (a) f (a) = lim h→0 f (a +h)− f (a) h = lim h→0 3 (a +h)− 3 a h = lim h→0 3 (a +h)− 3 a h · 3 (a +h)2 + 3 (a +h)a + 3 a2 3 (a +h)2 + 3 (a +h)a + 3 a2 = lim h→0 3 (a +h)3 − 3 a3 h( 3 (a +h)2 + 3 (a +h)a + 3 a2) = lim h→0 a+ h− a h( 3 (a +h)2 + 3 (a +h)a + 3 a2) = lim h→0 1 3 (a +h)2 + 3 (a +h)a + 3 a2 = lim h→0 1 3 a2 + 3 a2 + 3 a2 = 1 3 3 a2 (b) f (0) = 1/0, que é indeterminação. (c) A função é contínua em x = 0 e a f (0) = +∞. Por isso, existe a reta tangente vertical nesse ponto. 6. Mostre que a função f (x) = |x−6| não é diferenciavel em 6. Encontre uma fórmula para f e esboce seu gráfico. Resolução: Lembre-se: |x| = x , x > 0 −x , x < 0 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 24
  • 27. Derivadas Para x > 6 f (a) = lim h→0 h+ a− 6− a+ 6 h = 1 Para x < 6 f (a) = lim h→0 −h− a+ 6+ a− 6 h = −1 Os limites laterais são diferentes, logo não existe derivada no ponto 6. f (x) = −1 , x < 6 1 , x > 6 Figura 2.1: Gráfico da função f (x). 7. Em que ponto da curva y = x2 +8 a inclinação da tangente é 16? Escreva a equação dessa reta tangente. Resolução: f (a) = 16 f (x) = x2 +8 lim h→0 (h + a)2 +8− a2 −8 h = lim h→0 h2 +2 ha+ a2 + 8− a2 − 8 h = lim h→0 h +2a = 2a f (a) = 2a = 16, a = 8, y = 82 +8 = 72 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 25
  • 28. Derivadas Ponto (8,72) Encontrando a reta tangente: y −72 = 16(x −8) y = 16x −56 8. Se f (x) = 2x2 −x3 , encontre f (x), f (x), f (x) e f (4) . Trace f , f , f e f em uma única tela. Os gráficos são consistentes com as interpretações geométricas destas derivadas? Resolução: f (x) = 4x −3x2 f (x) = 4−6x f (x) = 6 f (4) = 0 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 26
  • 29. Derivadas Figura 2.2: Gráfico das funções f (x), f (x), f (x), f (x). 9. Lembre-se de que uma função f [e chamada par se f (−x) = f (x) para todo x em seu domínio e, ímpar se f (−x) = −f (x) para cada um destes x. Demonstre cada uma das afirmativas a seguir: (a) A derivada de uma função par é uma função ímpar. (b) A derivada de uma função ímpar é uma função par. Resolução: (a) Escolhendo a função cos(x) : lim h→0 cos(h + x)−cosx h lim h→0 cosh cosx − sen x sen h −cosx h APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 27
  • 30. Derivadas lim h→0 cosx(cosh −1) h − lim h→0 sen x sen h h − sen x Uma função ímpar (b) Escolhendo a função sen (x) : lim h→0 sen (h + x)− sen x h lim h→0 sen h cosx + sen x cosh − sen x h lim h→0 cosx sen h h + lim h→0 sen x (cosh −1) h cosx uma função par 10. Encontre a derivada de cada uma das funções. (a)f (x) = 3 2x +2x( 5 x3)− 2 x (b)f (x) = t3 −3t t5 −5t (t2 −2t) (c)f (x) = x2 sen (x)−ln(x)cos(x) Resolução: (a) f (x) = 3 2x +2x( 5 x3)− 2 x f (x) = 3 2 x−1 +2x · x3/5 −2x−1/2 f (x) = 3 2 x−1 +2x8/5 −2x−1/2 f (x) = −3 2 x−2 + 16 5 x · x3/5 + x−3/2 = −3 2x2 + 16 5 5 x3 + 1 3 x2 (b) f (x) = t3 −3t t5 −5t (t2 −2t) APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 28
  • 31. Derivadas Utilizando a regra do quociente: f (t) = (t5 −5t)(5t4 −8t3 −9t2 +12t)−(t5 −2t4 −3t3 +6t2 )(5t4 −5) (t5 −5t)2 f (t) = 2t8 +6t7 −18t6 −20t5 +30t4 +30t3 −30t2 (t5 −5t)2 (c) f (x) = x2 sen (x)−ln(x)cos(x) Utilizando a regra do produto: f (x) = 2x sen x + x2 cosx − 1 x cosx +lnx ·− sen x f (x) = sen x(2x +lnx)+cosx(x2 −1/x) 11. Suponha que a curva y = x4 +ax3 +bx2 +cx +d tenha uma reta tangente quando x = 0 com equação y = 2x +1 e, uma reta tangente quando x = 1 com equação y = 2−3x. Encontre os valores de a,b,c ed. Resolução: f (0) = 2; f (1) = −3 f (x) = 4x3 +3ax2 +2bx +c f (0) = c = 2 f (1) = 3a +2b = −9 f (0) = d = 1 f (1) = a +b = −5 3a +2b = −9 a +b = −5 a = 1; b = −6 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 29
  • 32. Derivadas 12. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g (0) = 5. É correto dizer que f (0) é: (a)7 (b)2 (c)5 (d) 10 Resolução: f (x) = ex g(x)+ex g (x); f (0) = e0 g(0)+e0 g (0) f (0) = 2+5 = 7 Resposta: letra (a) 13. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P(2) = 5,P (2) = 3 e P (2) = 2. Resolução: P(x) = ax2 +bx +c P (x) = 2ax +b P (x) = 2a P(2) = 4a +2b +c = 5 P (2) = 4a +b = 3 P (2) = 2a = 2 a = 1 4+b = 3 ⇒ b = −1 4−2+c = 5 ⇒ c = 3 14. Encontre as derivadas das funções dadas. (a)f (x) = (3x5 −1)10 (2− x4 ) (b)f (s) = ln(e5s−3 ) (c)f (θ) = 2cos2 (θ) sen (θ) (d)f (x) = ln( sen 2 (x)) Resolução: (a)f (x) = (3x5 −1)10 (2− x4 ) Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto. 10(3x5 −1)9 (15x4 )(2− x4 )+(3x5 −1)10 ·−4x3 (b)f (s) = ln(e5s−3 ) 5e5s−3 e5s−3 = 5 (c)f (θ) = 2cos2 (θ) sen (θ) f (θ) = −4cos(θ) sen (θ) sen (θ)+2cos2 (θ)cos(θ) = −4cos(θ) sen 2 (θ)+2cos3 (θ) (d)f (x) = ln( sen 2 (x)) APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 30
  • 33. Derivadas 1 sen 2(x) ·2 sen (x)cos(x) = 2cosx sen x = 2cotx 15. Usando a regra da cadeia, determine y , sendo: (a) y = (3x +5)50 (b) y = 1 (x3 +3x2 −6x +4) (c) y = sec2 [(x3 −6)3 ] (d) y = 1 x(x +1) Resolução: (a) y = (3x +5)50 y = 50(3x +5)49 ·3 = 150(3x +5)49 (b) y = 1 x3 +3x2 −6x +4 = (x3 +3x2 −6x +4)−1 y = −(x3 +3x2 −6x +4)−2 ·(3x2 +6x −6) = −(3x3 +6x −6) (x3 +3x2 −6x +4)2 (c) Derivada tabelada: d secx dx = secx ·tanx y = sec2 [(x3 −6)3 ] y = 2sec[(x3 −6)3 ]·sec[(x3 −6)3 ]·tan[(x3 −6)3 ]·3(x3 −6)2 ·3x2 y = 18x2 sec2 [(x3 −6)3 ]tan[(x3 −6)3 ](x3 −6)2 (d) y = 1 x(x +1) = [x(x +1)]−1 y = −[x(x +1)]−2 ·[(x +1)+ x] = −(2x +1) [x(x +1)]2 16. Seja f uma função derivável e g(x) = ex f (3x +1). Cacule g (0) se f (1) = 2 e f (1) = 3. g(x) = ex f (3x +1) g (x) = ex f (3x +1)+ex f (3x +1)·3 g (0) = e0 f (1)+e0 f (1)·3 = 2+9 = 11 17. A curva y = 1/(1+ x2 ) é chamada bruxa de Maria Agnesi. (a) Encontre uma equação da reta tangente e uma equação da reta norma para essa curva no ponto (−1, 1 2). (b)Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes e normal no mesmo plano. APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 31
  • 34. Derivadas Resolução: y = (1+ x2 )−1 y = −(1+ x2 )−2·2x = −2x (1+ x2)2 Encontrando a reta tangente no ponto (−1, 1 2) f (−1) = −2·−1 (1+(−1)2)2 = 1 2 y − 1 2 = 1 2(x −(−1)) y − 1 2 = 1 2 x + 1 2 y = 1 2 x +1 Encontrando a reta normal no ponto (−1, 1 2 ) y − 1 2 = −1 f (−1) (x +1) y − 1 2 = −2(x +1) y − 1 2 = −2x −2 y = −2x − 3 2 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 32
  • 35. Derivadas Figura 2.3: Gráfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normal no ponto (−1, 1 2). 18. Calcule a derivada de: (a) y = 3 3x −1 (b) z(x) = ln(x2 −6) Resolução: (a) y = 3 3x −1 = (3x −1)1/3 y = 1 3 (3x −1) −2 3 · 3 y = 1 3 (3x −1)2 (b) z(x) = ln(x2 −6) z (x) = 1 x2 −6 ·2x = 2x x2 −6 19. Calcule as derivadas das funções: (a) y = 5x−1 (b) y = log5(x2 ) (c) y = ln x x +1 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 33
  • 36. Derivadas Resolução: Dica: d(loga x) dx = 1 x lna (a) y = 5(x−1) ln y = ln5(x−1) ln y = (x −1)ln5 1 y · y = ln5 y = y ln5 y = 5(x−1) ·ln5 (b) y = log5(x2 ) y = 1 x2 ln5 ·2x = 2 x ln5 (c) y = ln x x +1 = lnx −ln(x +1) y = 1 x − 1 x +1 = 1 x2 + x 20. Calcule y se: (a)y = 1−tan2(x) (b)y = x cot(2x) (c)y = tan(sec(x2 )) Resolução: Derivadas tabeladas: d(tanx) dx = sec2 x; d(secx) dx = secx ·tanx (a)y = 1−tan2(x) = (1−tan2 x) 1 2 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 34
  • 37. Derivadas y = − 1 2 (1−tan2 x)−1 2 ·[ 2tanx ·sec2 x] y = −tanx ·sec2 x 1−tan2 x (b)y = x cot(2x) y = cot(2x)−2cossec2 (2x) (c)y = tan(sec(x2 )) y = sec2 [sec(x2 )]·sec(x2 )·tan(x2 )·2x 21. Encontre: d99 dx99 ( sen x) Resolução: d dx sen x = cosx d2 dx2 sen x = − sen x d3 dx3 sen x = −cosx d4 dx4 sen x = sen x d5 dx5 sen x = cosx 99 4 3 24 d99 dx99 ( sen x) = d3 dx3 ( sen x) = −cosx 22. Encontre constantes A e B de forma que a função y = A sen x + B cosx satisfaça a equação diferencial y + y −2y = sen x. Resolução: APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 35
  • 38. Derivadas y = Acosx −B sen x y = −A sen x −B cosx −A sen x −B cosx + Acosx −B sen x −2A sen x −2B cosx = sen x (−3A −B) sen x +(A −3B)cosx = 1 sen x +0cosx −3A −B = 1 A −3B = 0 A = −3 10 ; B = −1 10 23. Ache ∂y ∂x por derivação implicita de x2 + y2 = 16 Resolução: 2x +2y · y = 0 2y · y = −2x y = − 2x 2y y = −x y 24. Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4 +y4 = 32 no ponto (1,2). Resolução: Derivando a curva: 64x3 +4y3 · y = 0 4y3 y = −64x3 y = −64x3 4y3 = − 16x3 y3 y (1,2) = −2 Equação da reta tangente: y −2 = −2(x −1) y −2 = −2x +2 y = −2x +4 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 36
  • 39. Derivadas 25. Ache uma equação da reta normal à curva x2 +xy +y2 −3y = 10 no ponto (2,3). Resolução: 2x + y + xy +2yy −3y = 0 (x +2y −3)y = −2x − y y = −2x − y x +2y −3 y (2,3) = −7 5 Equação da reta normal: t − t0 = − 1 y (x − x0) t −3 = 5 7 (x −2) t −3 = 5 7 x − 10 7 t = −5 7 x −11 7 26. Use a derivação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes funções: (a) y = (2x +1)5 (x4 −3)6 (b) y = x −1 x4 +1 (c) y = xx (d) y = xcosx Resolução: (a)y = (2x +1)5 (x4 −3)6 ln y = ln[(2x +1)5 (x4 −3)6 ] ln y = ln(2x +1)5 +ln(x4 −3)6 ln y = 5ln(2x +1)+6ln(x4 −3) 1 y · y = 10 2x +1 + 24x3 x4 −3 y = [(2x +1)5 (x4 −3)6 ]· 10 2x +1 + 24x3 x4 −3 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 37
  • 40. Derivadas (b)y = x −1 x4 +1 ln y = ln x −1 x4 +1 1/2 = 1 2 ln x −1 x4 +1 = 1 2 ln(x −1)−ln(x4 +1) 1 y · y = 1 2(x −1) − 4x3 2(x4 +1) y = x −1 x4 +1 · 1 2(x −1) − 4x3 2(x4 +1) (c)y = xx y = xx ln y = lnxx ln y = x lnx 1 y · y = lnx + x · 1 x y = y ·[lnx +1] y = xx ·[lnx +1] (d)y = xcosx ln y = ln(xcosx ) ln y = cosx ·lnx 1 y · y = − sen x ·lnx + cosx x y = xcosx cosx x − sen x ·lnx 27. Seja f (x) = a +b cos(2x)+c cos(4x), onde a,b,c ∈ R. Sabendo que f ( π 2) = 1, f (0) = f (0) = f (0) = f (3) (0) = 0 e que f pode ser escrita na forma f (x) = sen n (x),n ∈ N, determine a,b,c en. Resolução: APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 38
  • 41. Derivadas f (x) = a +b cos(2x)+c cos(4x) f (x) = −b2 sen (2x)−4c sen (4x) f (x) = −4b cos(2x)−16c cos(4x) f (3) (x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x) f (0) = −4b −16c = 0 f (0) = a +b = c = 0 f (π/2) = a −b +c = 1 Resolvendo o sistema acima: a = 3 8 ; b = −1 2 ; c = 1 8 f (x) = 3 8 − 1 2 cos(2x)+ 1 8 cos(4x) = 3 8 − 1 2 (cos2 x − sen 2 x)+ 1 8 cos(4x) = 3 8 − 4 8 (1−2 sen 2 x)+ 1 8 cos(4x) = − 1 8 + sen 2 x + 1 8 cos(4x) 1 8 cos4x = 1 8 [cos(2x)cos(2x)− sen (2x) sen (2x)] = 1 8 [cos2 (2x)− sen 2 (2x)] = 1 8 (1−2 sen 2 (2x)) f (x) = − 1 8 + sen 2 (x)+ 1 8 − 2 8 sen 2 (2x) = sen 2 x − 2 8 sen 2 (2x) sen 2 (2x) = ( sen x cosx + sen x cosx)2 = (2 sen x cosx)2 = 4 sen 2 x cos2 x APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 39
  • 42. Derivadas f (x) = sen 2 x − 2 8 (4 sen 2 x cos2 x) = sen 2 x − sen 2 x cos2 x = sen 2 x(− 1+ 1+ sen 2 x) = sen 2 x · sen 2 x = sen 4 x n = 4 28. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = arcsin x −1 2 no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x. Resolução: Valor tabelado : d dx arcsinx = 1 1− x2 Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x: arcsin x −1 2 = 0 x −1 2 = 0 ⇒ x = 1 Ponto : (1,0) y = 1 1− x −1 2 2 · 1 2 y = 1 2 Reta tangente: y −0 = 1 2 (x −1) y = 1 2 x − 1 2 Reta normal: y −0 = − 1 1/2 (x −1) APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 40
  • 43. Derivadas y = −2(x −1) y = −2x +2 APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 41
  • 44. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1994. [2] STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. [3] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 42