(1) O documento apresenta 3 questões de cálculo envolvendo integrais e áreas. A primeira questão calcula valores numéricos de integrais definidas. A segunda calcula a área entre duas curvas. A terceira calcula o volume de uma região delimitada por curvas.

1. Universidade Federal do Espir´ Santo
ıto
Terceira prova de C´lculo 1 - manh˜
a a
Vit´ria, 2 de julho de 2010
o
Quest˜o 1:
a
(a) Seja u = 2x2 +3. Ent˜o du = 4x dx. Para x = 0, u = 3 e para x = 1, u = 5. Substituindo
a
na integral temos:
5
1 √ 1 5 √ 1 5
1/2 1 u3/2 1 3/2
x 2x2 + 3 dx = u du = u du = = 5 − 33/2 =
0 4 3 4 3 4 3/2 3 6
√ √
5 5 3
= −
6 2
(b) Fatorando o denominador temos x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2 .
Uando fra¸˜es parciais, ´ poss´ determinar A, B e C tais que
co e ıvel
3x2 + 4x + 2 A B C
3 + 2x2 + x
= + + .
x x x + 1 (x + 1)2
Calculando os valores das constantes encontramos A = 2, B = 1 e C = −1. Substituindo
na integral:
3x2 + 4x + 2 2 1 1 1 1 1
dx = + − dx = 2 dx + dx − dx =
x3 + 2x2 + x x x + 1 (x + 1)2 x x+1 (x + 1)2
1
= 2 ln |x| + ln |x + 1| + + k, k ∈ R.
x+1
(c) Podemos reescrever a integral da seguinte forma:
x3 cos(x2 ) dx = x x2 cos(x2 ) dx.
Seja w = x2 . Ent˜o dw = 2x dx. Substituindo na integral temos
a
1
x x2 cos(x2 ) dx = w cos w dw.
2
Agora, sejam u = w, com du = dw e dv = cos w dw com v = sen w. Integrando por partes
temos que
1 1 1
w cos w dw = w sen w − sen w dw = (w sen w + cos w) + k.
2 2 2

2. Voltando para a vari´vel original temos que:
a
1 1
x3 cos(x2 ) dx = w cos w dw = (w sen w + cos w) + k =
2 2
1 2
= x sen(x2 ) + cos(x2 ) + k, k ∈ R.
2
(d) Completando o quadrado no denominador temos que
x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4.
Ent˜o
a
1 1 1 1 1
I= dx = dx = dx = dx.
x2 (x + 1)2 + 4 2
x+1 2
+ 2x + 5 4[ (x+1)
4
+ 1] 4
2
+1
x+1
Seja u = 2
, com du = 1 dx. Substituindo na integral:
2
1 1 1 1 1
I= dx = du = arctg u + k, k ∈ R.
4 x+1 2 2 u2 + 1 2
2
+1
Voltando ` vari´vel original, temos que
a a
1 1 1 x+1
I= dx = arctg u + k = arctg + k, k ∈ R.
x2 + 2x + 5 2 2 2
Quest˜o 2: Pontos de interse¸˜o entre as curvas: x = −1 e x = 3. Ent˜o
a ca a
3 3
´
Area = 10 − x2 − (x2 − 4x + 4) dx = −2x2 + 4x + 6 dx =
−1 −1
3 2 3
2x 4x 64
= − + + 6x =
3 2 −1 3
obs: o gr´fico das fun¸˜es est´ no anexo gr´fico1.gif.
a co a a
Quest˜o 3: Pontos de interse¸˜o entre as curvas: x = 0 e x = 1. Ent˜o
a ca a
1 1 1 1
√ x2 x3
Volume = A(x) dx = π( x)2 − πx2 dx = π 2
x − x dx = π − =
0 0 0 2 3 0
1 1 π
=π − =
2 3 6
obs: o gr´fico das fun¸˜es est´ no anexo gr´fico2.gif.
a co a a
2