O documento apresenta exercícios sobre limites laterais, limites de funções e continuidade. No primeiro exercício, é pedido para calcular limites laterais de funções no ponto x=1. No segundo, esboçar gráficos de funções e calcular limites no ponto x=1. No terceiro, dar um exemplo onde o limite do módulo de f existe, mas o limite de f não existe quando x vai a 0.

1. UFES - Universidade Federal do Esp´
ırito Santo LISTA 2 - 2010-2
DMAT - Departamento de Matem´tica
a Limite e limites laterais
Continuidade
1. Os gr´ficos de g e h s˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
a a
y
y h
5 4
f (x) = g(x) · h(x) 4
e g
3 2
f (x) = (h ◦ g)(x) 2
1 x
ambas no ponto x = 1 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
–3 –2 –10 1 2 3 4
–1 –2
{ {
x2 + 3 se x≤1 x2 se x≤1
2. Dadas as fun¸˜es
co f (x) = e g(x) = ,
x+1 se x>1 2 se x>1
(i) Esboce o gr´fico de f e g;
a (iii) Dˆ a express˜o da fun¸˜o F (x) = f (x) · g(x)
e a ca
(ii) Calcule lim f (x) e lim g(x); e verifique se existe lim F (x).
x→1 x→1 x→1
3. Dˆ um exemplo no qual lim |f (x)| existe, mas lim f (x) n˜o existe.
e a
x→0 x→0
4. Se f (x) > 0 para todo x ̸= 2 e f (2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo s˜o verdadeiras ou falsas.
a
Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) lim f (x) n˜o existe
a (b) lim f (x) = −3 (c) Se existir, lim f (x) ´ positivo
e
x→2 x→2 x→2
5. Sabe-se que lim f (x) = 5 e f ´ definida em R. Todas as afirmativas abaixo s˜o falsas. Tente desenhar um
e a
x→2
contra-sxemplo para cada uma delas.
(a) f (x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f (2) = 5 (c) f (2) ´ positivo
e
Nos exerc´ ıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso n˜o exista, justifique.
a
√ √ √ √
2x2 + 5x − 3 x+2+ x+6− 6− 2
6. lim 9. lim
x→ 1 2x − 5x + 2
2
2
x→0 x
( ) ( ) √
3 1 − x2 − 2 1 − x3 1− 1−x
3
7. lim 10. lim √
x→1 (1 − x3 ) (1 − x2 ) x→0 1 + 3 3x − 1
√
1 − 2x − x2 − (x + 1) x2 − 5x + 4
8. lim 11. lim
x→0 x x→1 |x − 1|
Nos exerc´
ıcios 12. a 14. verifique se a fun¸˜o dada ´ cont´
ca e ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.
 √
 x−1 1 [ ]
, x ̸= 1 em x = 1 14. f (x) = (x − 1) |x| , para −2 ≤ x ≤ 2,
 2x − 1
12. f (x) = 2
[ ]
, x=1 onde |x| = maior inteiro que n˜o supera x.
a
√ Pontos x = 0 e x = 1.
x2 + 1
13. f (x) = 6 em qualquer x ∈ R (Sugest˜o: esboce o gr´fico de f )
a a
x + x2 + 2
 √
 − 2−x , x<1
15. Para a fun¸˜o f definida por f (x) =
ca ax + b , 1≤x<2
 2
x − 7x + 12 , x≥2
ınua em R
(a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´ (b) Esboce o gr´fico de f .
a
16. Dˆ um exemplo com duas fun¸˜es f e g tais que f seja cont´
e co ınua em x = 0, g seja descont´
ınua em x = 0 e
no entanto f · g seja cont´
ınua em x = 0.

2. RESPOSTAS
1. lim− g(x) · h(x) = 4 lim g(x) · h(x) = −6 lim (h ◦ g)(x) = −2 lim (h ◦ g)(x) = 0
x→1 x→1+ x→1− x→1+
y
y 4
6 g ii) lim− f (x) = 4 lim g(x) = 1
f x→1 x→1−
5 3
lim f (x) = 2 lim g(x) = 2
4
2 x→1+ { ( 2 ) x→1+
2. i) 3 x + 3 x2 , x≤1
1 iii) F (x) =
2 2(x + 1) , x>1
1 lim F (x) = 4
–1 0
x x→1
x –2 1 2 3
–2 2 4
–1 –1
x
3. f (x) =
|x|
{
|x − 2| se x ̸= 2
4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f (x) = lim f (x) = 0
−3 se x = 2 x→2
√ √
7 1 6+ 2 1
6. − 7. 8. −2 9. √ 10.
3 2 4 3 3
11. f (x) → 3 se x → 1− e f (x) → −3 se x → 1+ , portanto o limite n˜o existe
a
1
12. N˜o, pois lim f (x) =
a ̸= 2 = f (1)
x→1 2
ınua em R.
13. Sim, ´ cont´
e
O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicando
ınio de f ´ igual a R.
y = x2 + 1 > 0. Logo o dom´ e
co a ınuas para todo x ∈ R, pois
Assim basta verificar se as fun¸˜es do numerador e denominador s˜o cont´
sabemos que o quociente de fun¸˜es cont´
co ınuas ´ uma fun¸˜o cont´
e ca ınua.
Verificando:
A fun¸˜o do denominador ´ cont´
ca e ınua em R pois ´ uma fun¸˜o polinomial (qualquer fun¸˜o polinomial ´
e ca ca e
ınua em R). A fun¸˜o do numerador ´ a composi¸˜o de duas fun¸˜es: a fun¸˜o raiz e uma fun¸˜o
cont´ ca e ca co ca ca
polinomial. Como a fun¸˜o raiz ´ cont´
ca e ınua em [0, ∞), em particular ´ cont´
e ınua em (0, ∞), isto ´, neste
e
√
caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0 ⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0, ∞) ⇒ y ´ cont´
e ınua em (0, ∞) . Como a a composta de
cont´
ınuas ´ cont´
e ınua, a fun¸˜o do numerador ´ cont´
ca e ınua.
3
2
14. 1 ´ cont´
e ınua em x = 1 e descont´
ınua em x = 0
–3 –2 –1 1 2 3
–1
y
3
2
15. (a) a = 3 e b = −4 1
0 x
–2 2 4
–1
–2
{ x
, x ̸= 0
16. f (x) = |x| e g(x) = |x|
0 , x=0