O documento aborda conceitos de geometria analítica focando em vetores e suas propriedades. Demonstrações incluem a prova de que bissetrizes de triângulos se encontram em um único ponto, o incentro, e que medianas de triângulos se encontram em um único ponto, o baricentro. Também apresenta exercícios de cálculo de vetores em paralelogramos e trapézios.

1. Geometria Analítica
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Vetores
1. Prove que ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ .
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
Aplicando a propriedade do elemento oposto da adição, temos:
⃗ ⃗⃗
2. Prove que
, ou, equivalentemente, pela propriedade comutativa, .
Modificando o lado esquerdo da igualdade pela propriedade do elemento neutro da
multiplicação, temos
pela propriedade distributiva
( )
Logo, .
4. Sendo ABCDEFGH o paralelogramo acima, calcule:
(a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(b) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(c) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
5. Se ( ) é um representante de ⃗ ⃗ e( ) um representante de ⃗ , prove que
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Premissa:
1

2. Geometria Analítica
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Vetores
i. ⃗ ⃗
|⃗ |
Supondo que ⃗ e tenham o mesmo sentido, obtém-se |⃗ |
.
|⃗ |
| | | || | | | |⃗ | | | |⃗ | ⃗
| |
|⃗ |
Supondo que ⃗ e tenham sentidos contrários, obtém-se |⃗ |
|⃗ |
| | | || | | | |⃗ | | | |⃗ | ⃗
| |
O sinal negativo pode ser suprimido do vetor, pois fica implícito no valor da constante
A demonstração da recíproca é trivial.
6. Resolva a equação nas incógnitas x e y.
Substituindo y na primeira equação do sistema:
( )
7. Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio é paralelo as bases e sua medida é a semi-soma das medidas das bases.
A B
M N
C
D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2

3. Geometria Analítica
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Vetores
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Somando-se as duas equações vetoriais:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto, o módulo da sua soma é a soma dos seus módulos, ou
seja, |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |. Então o módulo de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é a semi-soma das bases do
trapézio, e, como é escrito na forma ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ele é paralelo a ambas as bases.
8. Prove que existe um único ponto comum as bissetrizes internas de um triângulo e que
esse ponto conhecido como incentro do triângulo é interior a ele.
Para que ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ sejam vetores diretores das bissetrizes internas de um triângulo,
devem atender as seguintes condições:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
Existe um ponto comum I às bissetrizes internas do triângulo ABC se, e somente se,
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Provemos, inicialmente, a primeira asserção.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
Como e são constantes arbitrárias, fazemos e provemos que não existe que
torne válida a igualdade.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ( )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
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4. Geometria Analítica
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Mas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , então
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
A igualdade é válida se:
(|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |) |⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
e
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
Foram encontrados valores distintos para , então, por redução ao absurdo, conclui-se
que não existe que torne a asserção verdadeira. Portanto, ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são concorrentes e
interceptam-se no ponto I, o incentro.
Analogamente, demonstra-se que ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são concorrentes.
Pelas condições adotadas inicialmente para que as retas ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ sejam dissetrizes,
nota-se que os vetores ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ são múltiplos das somas de vetores diretores unitários
dos lados do triângulo, portanto, a resultante dessa soma, certamente, apontará para o
interior do triângulo. Daí se conclui, que I está no interior do triângulo ABC.
9. Sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC:
(a) Exprima ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(b) Prove que as retas suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concorrentes.
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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5. Geometria Analítica
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⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
A igualdade acima só é válida se , no primeiro termo e , no segundo.
Entretanto, a mesma variável, não pode assumir valores diferentes. Logo, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , que implica em: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
A demonstração para quaisquer outras duplas de retas é trivial.
(c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide AN, BP e CM na
razão 2 para 1. Esse ponto é conhecido como baricentro do triângulo.
Seja G o ponto comum entre as retas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e H o ponto comum às retas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅.
Será provado que G = H e que o ponto pertence às três medianas.
Sendo A, G e N colineares, existe tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Analogamente, existe tal que ⃗⃗⃗⃗⃗ . Portanto, pela hipótese, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ , então
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
que implica, pela proposição do cancelamento de ponto, em:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Substituindo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , temos
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗⃗⃗
Então:
( )
e
( )
onde se obtém que .
Da hipótese da demonstração temos: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , que implica em
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
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6. Geometria Analítica
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Quanto ao ponto H, supomos que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Executando, de forma
análoga o procedimento adotado anteriormente, encontramos
Ou seja,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Fazendo a comparação entre as expressões do ponto G e do ponto H, conclui-se que:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
que acarreta:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Como o escalar que multiplica os vetores é maior que 0 e menor que 1, concluímos que
os vetores à esquerda da igualdade são menores que os da direita, portanto, G está contido
nas três medianas. Além disso,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ou seja, o baricentro divide a mediana numa razão de 2 para 1.É o que queríamos provar.
10. Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
A F
O
B E
C D
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
11. Prove que ( ⃗ ⃗⃗ ) é L.I., então ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ) também são L.I.
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7. Geometria Analítica
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Se ( ⃗ ⃗⃗ ) é L.I. então é uma base no no espaço (⃗ ⃗⃗ )
Então:
⃗ ⃗⃗ ( )
⃗ ( )
( )
| | (⃗ ⃗⃗ ⃗ )
12. Prove que ( ⃗ ) é L.I. se e somente se ( ⃗ ⃗ ).
i. ( ⃗ ) (⃗ ⃗ ) é L.I.
Se ( ⃗ ) é L.I., então B é uma base de vetores no plano, onde (⃗ )
Logo, ⃗ ( ) e⃗ ⃗ ( ) .
não é múltiplo escalar de ⃗ , portanto, ( ⃗ ⃗ ) é L.I.
ii.( ⃗ ⃗ ) (⃗ )
Se ( ⃗ ⃗ ) é L.I., então C é uma base de vetores no plano, onde
(⃗ ⃗ )
Logo, ⃗ ( ) e ( )
⃗ não é múltiplo escalar de , portanto, ( ⃗ ) é L.I.
13. Prove que ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ) é L.D. para quaisquer ⃗ ⃗⃗
Se ( ⃗ ⃗⃗ ) for L.D., são, portanto, coplanares. Todos os vetores que forem combinação
linear de ⃗ ⃗⃗ são também coplanares. Logo, ( ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ) é L.D
Se ( ⃗ ⃗⃗ ) for L.I., forma a base (⃗ ⃗⃗ ) Então:
⃗ ⃗⃗ ( )
⃗ ⃗⃗ ( )
⃗ ⃗⃗ ( )
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8. Geometria Analítica
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| |
(⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ )
14. Mostre que os vetores ⃗ ⃗⃗ são coplanares se e somente se um deles é combinação
linear dos outros dois.
⃗ ⃗⃗
Três vetores são, por definição, linearmente dependentes se forem paralelos a um mesmo
plano, ou seja, coplanares. Logo, a afirmativa acima é equivalente a
⃗ ⃗⃗
i. Se ⃗⃗ é paralelo a ⃗ , então, ⃗⃗ ⃗ Logo, ⃗⃗ ⃗
ii. Se ⃗⃗ não é paralelo a ⃗ , nem a . Considerando a figura abaixo,
C
M
P
B
N
A
onde, ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo a , portanto ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é paralelo a ⃗ , então ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , logo, ⃗⃗ ⃗.
Analogamente, a recíproca pode ser reescrita como
⃗ ⃗⃗
Supondo ⃗⃗ ⃗.
Se ⃗⃗ ⃗ , o conjunto é L.D, pois os três vetores ficam contidos no mesmo plano.
Senão, tomemos ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (figura acima). Na
situação da figura, B não pertence à reta PA, nem à reta PC, o paralelogramo PNBM está
contido no plano determinado por P, A e C. Concluímos que P, A, C e B são
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9. Geometria Analítica
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complanares, e, portanto, ⃗ ⃗⃗ O mesmo raciocínio aplica-se caso B
pertença a PA ou PC.
15. Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é
paralelo a base e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases.
A B
M N
D C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Somando-se as duas equações, obtêm-se:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto, o módulo da sua diferença é a diferença dos seus
módulos, ou seja, |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |. Então o módulo de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é a semi-diferença
das bases do trapézio, e, como é escrito na forma ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ele é paralelo a
ambas as bases.
16. Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer e seja P o ponto médio do
segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
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10. Geometria Analítica
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D C
O
P
A B
Provar que (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) é o mesmo que provar ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), pela definição de soma de ponto com vetor.
Reescrevendo o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ , temos:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Somando-se as quatro equações:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Como ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Base
1. Na figura abaixo ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo. Sejam ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
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11. Geometria Analítica
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Vetores
Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G, e H nos seguintes sistemas de
coordenadas:
Note que
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(a) ( )
( )
⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
(b) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗ ( )
( )
(c) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
11

12. Geometria Analítica
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Vetores
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
(d) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2. Verifique se os vetores são L.I. ou L.D.
(a) ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ( )
| |
(b) ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ( )
| |
3. Determine m e n tais que ( ⃗⃗ ) seja L. D., sendo ( ) e ⃗⃗ ( ).
Condição: ⃗⃗ ( ⃗⃗ )
⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ( [ ])
(I)
(II)
( ) (III)
12

13. Geometria Analítica
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Vetores
Substituindo (I) em (II), obtemos o sistema
(IV)
( ) (V)
Substituindo (IV) em (V),
( )
Com , calcula-se:
e
4. Sejam ( ) uma base, e considere os vetores ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
e ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a,b,c para
que ( ⃗ ⃗⃗ ) sejam L.I.
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )
[⃗ ⃗⃗ ] | |
(⃗ ⃗⃗ ) é LI se [ ⃗ ⃗⃗ ] , então .
Logo, ( ⃗ ⃗⃗ ) .
5. Dado um quadrilátero MNPQ e seja A o ponto de intersecção das diagonais e seja B e
C os pontos médios dos lados opostos MN e PQ. Prove que se os pontos A, B e C estão
sobre a mesma reta então MNPQ é um trapezoide ou um paralelogramo.
MNPQ é um trapezoide ou paralelogramo se ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são concorrentes, ou seja
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
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14. Geometria Analítica
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Vetores
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Ou seja, não existe que torne ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ uma igualdade verdadeira, portanto, ̅̅̅̅ e
̅̅̅̅̅ são concorrentes e MNPQ formam um trapezoide ou paralelogramo.
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