1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2. 2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6. 3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.

1. ´
LISTA 3 - BASES MATEMATICAS
Resolu¸˜o
ca
Indu¸˜o
ca
1 — Calcule:
a) A soma dos n primeiros pares.
Os n´meros pares formam uma progress˜o aritm´tica de raz˜o 2: (0, 2, 4, 6, 8, 10, · · · )
u a e a
O termo geral dessa PA pode ser obtido pela equa¸˜o an = a1 + (n − 1)r, onde an ´ o n-´simo valor,
ca e e
a1 ´ o primeiro e r a raz˜o. O n-´simo termo (termo geral) ´, ent˜o, an = 0 + 2(n − 1) = 2n − 2. A
e a e e a
progress˜o aritm´tica pode ser representada como
a e
(0, 2, 4, 6, 8, 10, · · · , 2n − 2).
n(a1 +an )
A soma dos n primeiros termos de uma progress˜o artim´tica ´ obtida por meio de Sn =
a e e 2 .
Ent˜o, a soma dos n primeiros pares ´
a e
n(0 + 2n − 2) 2n(n − 1)
Spares = = = n(n − 1)
2 2
b) A soma dos n primeiros ´
ımpares.
Os n´meros ´
u ımpares formam uma progress˜o artim´tica de raz˜o 2: (1, 3, 5, 7, 9, · · · )
a e a
O n-´simo termo ´ an = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1. A soma dos n primeiros termos ´, ent˜o
e e e a
n(1 + 2n − 1) n(2n) 2n2
Simpares = = = = n2
2 2 2
2 — Prove que para todo inteiro positivo n vale:
n(2n+1)(n+1)
12 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = 6 .
i) Testando a propriedade para n = 1:
1(2·1+1)(1+1 1·3·2
12 = 6 = 6 =1
P(1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 = k(2k+1)(k+1)
o 6
Tese – P (k + 1) : 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 + (k + 1)2 = (k+1)(2(k+1)+1)((k+1)+1) = (k+1)(2k+3)(k+2)
6 6
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
k(2k+1)(k+1) k(2k+1)(k+1)+6(k+1)2
12 + 22 + 32 + · · · + k 2 +(k + 1)2 = 6 + (k + 1)2 = 6 =
k(2k+1)(k+1)
6
3
(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)] (k+1)(2k2 +7k+6) (k+1)2(k+2)(k+ 2 ) (k+1)(k+2)(2k+3)
6 = 6 = 6 = 6
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
1

2. Nota: Polinˆmios, ou seja, express˜es do tipo P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 podem
o o
ser reescritas como P (x) = an (x − rn )(x − rn−1 ) · · · (x − r2 )(x − r1 ), onde rn , rn−1 , · · · , r1 s˜o zeros do
a
polinˆmio.
o
3 — Demonstre que para todo inteiro positivo n vale:
1 2
a) 13 + 23 + · · · + n3 = 2 n(n + 1)
i) Testando a propriedade para n = 1:
1 2 1 2
13 = 2 · 1(1 + 1) = 2 ·2 = 12 = 1
P (1) ´ verdadeira.
e
2
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 13 + 23 + · · · + k 3 = 1 k(k + 1)
o 2
1 2 1 2
Tese – P (k + 1) : 13 + 23 + · · · + k 3 + (k + 1)3 = 2 (k + 1)((k + 1) + 1) = 2 (k + 1)(k + 2)
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
2
13 + 23 + · · · + k 3 +(k + 1)3 = 1
2 k(k + 1) + (k + 1)3 = 1 k 2 (k + 1)2 + (k + 1)3 =
4
2
( 1 k(k+1))
2
1 2 1 2 1 1 2
(k + 1)2 4 k + (k + 1) = (k + 1)
2
4k + k + 1 = (k + 1)2 4 (k + 2)2 = 2 (k + 1)(k + 2)
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
b) 1 + 2( 2 ) + 3( 1 )2 + · · · + n( 1 )n−1 = 4 −
1
2 2
n+2
2n−1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1+2 3
1=4− 21−1
=4− 1 =4−3=1
P (1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 1 + 2( 1 ) + 3( 1 )2 + · · · + k( 1 )k−1 = 4 −
o 2 2 2
k+2
2k−1
(k+1)+2
Tese – P (k + 1) : 1 + 2( 1 ) + 3( 1 )2 + · · · + k( 1 )k−1 + (k + 1)( 2 )k = 4
2 2 2
1
− 2(k+1)−1 =4− k+3
2k
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
1 1 1
1 + 2( ) + 3( )2 + · · · + k( )k−1 +(k + 1)( 2 )k = 4 −
1 k+2
2k−1
+ (k + 1)( 1 )k = 4 −
2
k+2
2k
+ (k + 1)( 21 ) =
k
2 2 2 2
k+2
4−
2k−1
−2k−4 −2k−4+k+1 −k−3
4+ 2k
+ ( k+1 ) = 4 +
2k 2k
=4+ 2k
=4− k+3
2k
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
c) (1 − 1 )(1 − 1 ) · · · (1 −
2 3
1
n+1 ) = 1
n+1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1 1 1
1− 2 = 2 = 1+1
2

3. P (1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : (1 − 1 )(1 − 1 ) · · · (1 − k+1 ) = k+1
o 2 3
1 1
1 1 1 1 1
Tese – P (k + 1) : (1 − 2 )(1 − 3 ) · · · (1 − k+1 )(1 − k+2 ) = k+2
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
1 1 1 1 1 1
(1 − )(1 − ) · · · (1 − )(1 − k+2 ) = ( k+1 )(1 − k+2 ) = ( k+1 )( k+2−1 ) = ( k+1 )( k+2 ) =
1
k+2
1 k+1 1
k+2
2 3 k+1
1
k+1
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
d) 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1
i) Testando a propriedade para n = 1:
21−1 = 20 = 1 = 21 − 1 = 2 − 1 = 1
P (1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 1 + 2 + 22 + · · · + 2k−1 = 2k − 1
o
Tese – P (k + 1) : 1 + 2 + 22 + · · · + 2k−1 + 2k = 2k+1 − 1
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
1 + 2 + 22 + · · · + 2k−1 +2k = 2k − 1 + 2k = 2 · 2k − 1 = 21 · 2k − 1 = 2k+1 − 1
2k −1
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
e) n < 2n
i) Testando a propriedade para n = 1:
1 < 21 ⇒ 1 < 2
P (1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : k < 2k
o
Tese – P (k + 1) : k + 1 < 2k+1
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos, k < 2k .
o
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2, obtemos
2k < 2 · 2k ⇒ 2k < 2k+1
Claramente, para k ≥ 1 temos k + 1 ≤ 2k. Ent˜o, k + 1 ≤ 2k < 2k+1 . Logo, k + 1 < 2k+1 .
a
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
f ) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n+1 n2 = (−1)n+1 n(n+1)
2
i) Testando a propriedade para n = 1:
3

4. (−1)1+1 · 12 = 12 = 1 = (−1)1+1 1(1+1) = 1 ·
2
2
2 =1
P (1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k+1 k 2 = (−1)k+1 k(k+1)
o 2
Tese – P (k + 1) : 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k+1 k 2 + (−1)k+2 (k + 1)2 = (−1)k+2 (k+1)(k+2)
2
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)k+1 k 2 +(−1)k+2 (k + 1)2 =
k(k+1)
(−1)k+1 2
k(k + 1)
= (−1)k+1 + (−1)k+2 (k + 1)2 =
2
k(k + 1)
= (−1)k+1 + (−1)(−1)k+1 (k + 1)2 =
2
k
= (−1)k+1 (k + 1)[ − (k + 1)] =
2
k+1 k
= (−1) (k + 1)[− − 1] =
2
1
= (−1)k+1 (k + 1)(−1) (k + 2) =
2
(−1)k+2 (k + 1)(k + 2)
=
2
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
4 — Dados a e r dois n´ meros inteiros, r = 1. A sequˆncia a1 = a, a2 = ra, a3 = r2 a, · · · , an =
u e
rn−1 a, · · · ´ denominada progress˜o geom´trica de raz˜o r. Prove que a soma dos n pri-
e a e a
meiros termos de uma progress˜o geom´trica ´:
a e e
rn a − a
Sn = .
r−1
i) Testando a propriedade para n = 1:
r1 a − a a(r − 1)
a1 = a = = =a
r−1 r−1
P (1) ´ verdadeira.
e
rk a−a
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : a + ra + r2 a + · · · + rk−1 a = Sk =
o r−1
rk+1 a−a
Tese – P (k + 1) : a + ra + r2 a + · · · + rk−1 a + rk a = Sk+1 = r−1
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
rk a−a rk a−a+(r−1)rk a rk a−a+rrk a−rk a −a+rrk a
a + ra + r2 a + · · · + rk−1 a +rk a = r−1 + rk a = r−1 = r−1 = r−1 =
r k a−a
r−1
rk+1 a−a
r−1
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
5 — Prove que 2n + 1 < 2n para todo n > 3.
4

5. i) Testando a propriedade para n = 4:
2 · 4 + 1 < 24 ⇒ 9 < 16
P (4) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 2k + 1 < 2k
o
Tese – P (k + 1) : 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 < 2( k + 1)
Multiplicando ambos os lados da desigualdade, na hip´tese, obtemos
o
2(2k + 1) < 2 · 2k ⇒ 4k + 2 < 2k+1 .
Mas, 2k + 3 < 4k + 2 para valores naturais tais que k ≥ 1 (basta resolver a inequa¸˜o). Ent˜o
ca a
2k + 3 < 4k + 2 < 2k+1 .
Logo,
2k + 3 < 2k+1 .
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 4.
ca e a
6 — Seja x um inteiro positivo. Demonstre que:
(1 + x)n > 1 + nx, para todo n ≥ 2.
i) Testando a propriedade para n = 2:
(1 + x)2 > 1 + 2x ⇒ 1 + 2x + x2 > 1 + 2x ⇒ x2 > 0 todo n´mero elevado ` 2 ´ positivo
u a e
P (2) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : (1 + x)k > 1 + kx
o
Tese – P (k + 1) : (1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x
Na hip´tese indutiva, multiplicando-se ambos os lados da desiguldade por (1 + x), obt´m-se
o e 1
(1 + x)(1 + x)k > (1 + x)(1 + kx) ⇒ (1 + x)k+1 > 1 + kx + x + kx2 ⇒ (1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x + kx2
Como kx2 > 0, temos 1 + (k + 1)x < 1 + (k + 1)x + kx2 . Ent˜o
a
1 + (k + 1)x < 1 + (k + 1)x + kx2 < (1 + x)k+1 .
Logo,
1 + (k + 1)x < (1 + x)k+1 ou, equivalentemente(1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x.
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 2.
ca e a
1
x ´ um inteiro positivo (informado no enunciado), ent˜o (x + 1) ´ tamb´m positivo. Por isso foi poss´ multiplicar
e a e e ıvel
ambos os lados da desigualdade sem se preocupar com a altera¸ao do sinal.
c˜
5

6. 7 — Prove que:
1 1 1 n
+ + ··· + = .
1·2 2·3 n(n + 1) n+1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1 1 1 1
= = =
1·2 2 1+1 2
P (1) ´ verdadeira.
e
1 1 1 k
ii) Hip´tese indutiva – P (k) :
o 1·2 + 2·3 + · · · + k(k+1) = k+1
1 1 1 1 k+1
Tese – P (k + 1) : 1·2 + 2·3 + ··· + k(k+1) + (k+1)(k+2) = k+2
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
1 1 1 1
+ + ··· + + =
1·2 2·3 k(k + 1) (k + 1)(k + 2)
k
k+1
k 1 k(k + 2) + 1
= + = =
k + 1 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
k 2 + 2k + 1 (k + 1)2 k+1
= = =
(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k+2
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
8 — Prove que para qualquer inteiro positivo n o n´ mero 22n − 1 ´ divis´
u e ıvel por 3.
i) Se n = 1, ´ trivial que 22·1 − 1 = 3 ´ div´
e e ısivel por 3.
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : 22k − 1 ´ divis´ por 3, id est, 22k − 1 = 3m, m ∈ Z
o e ıvel
Tese – P (k + 1) : 22(k+1) − 1 = 22k+2 − 1 ´ divis´
e ıvel por 3, id est, 22k − 1 = m , m ∈ Z
Multiplicando por 4 ambos os lados da igualdade que representa P (k), temos
4 · 22k − 1 = 4 · 3m ⇒ 22 · 22k − 1 = 3(4m) ⇒ 22k+2 − 1 = 3(4m).
4m ´ um n´mero inteiro qualquer, assim como m , ent˜o podemos impor que m = 4m. Obtemos
e u a
22k+2 − 1 = 3m .
Logo, para todo inteiro n ≥ 1 o n´mero 22n − 1 ´ divis´ por 3.
u e ıvel
10 — Mostre que a soma dos ˆngulos internos de um pol´
a ıgono convexo com n lados
(n ≥ 3) ´ (n − 2)π.
e
i) Testando a propriedade para um triˆngulo, i.e., n = 3:
a
Soma dos ˆngulos internos = (3 − 2)π = π = 180◦
a
Claramente, P (3) ´ verdadeira.
e
k
ii) Hip´tese indutiva – P (k) :
o i=1 ϕi = (k − 2)π.
Tese – P (k + 1) : k+1 ϕi =
i=1
k
i=1 ϕi + ϕk+1 = (k − 1)π.
6

7. Onde ϕ ´ um ˆngulo interno do pol´
e a ıgono de k lados.
Pela hip´tese indutiva, assumida como verdadeira, conclui-se que o aumento de um lado no pol´
o ıgono
implica em um aumento de π rad na soma dos ˆngulos internos. Exemplificando, a soma dos ˆngulos
a a
internos de um triˆngulo (n = 3) ´ π rad, de um quadril´tero (n = 4) ´ 2π = π+π rad. Genericamente,
a e a e
Soma dos ˆngulos internos (k + 1 lados) = π + Soma dos ˆngulos internos (k lados)
a a
Temos,
k
ϕi + ϕk+1 = (k − 2)π + ϕk+1 = (k − 2)π + π = π(k − 2 + 1) = (k − 1)π
i=1
a ıgono convexo com n ≥ 3 lados ´ dado por (n − 2)π.
Logo, a soma dos ˆngulos internos de qualquer pol´ e
11 — Prove que:
n
a) 2k = 2n+1 − 2
k=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
21 = 21+1 − 2 = 22 − 2 = 4 − 2 = 2
P (1) ´ verdadeira.
e
m
ii) Hip´tese indutiva – P (m) :
o 2k = 2m+1 − 2
k=1
m+1 m
Tese – P (m + 1) : 2k = 2k + 2m+1 = 2m+2 − 2
k=1 k=1
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
m
2k + 2m+1 = 2m+1 − 2 + 2m+1 = 2 · 2m+1 − 2 = 2m+2 − 2
k=1
A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para n > 0, onde n ´ um inteiro.
ca a e a e
n
n(n + 1)(2n + 1)
b) k2 =
6
k=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1(1 + 1)(1 + 2) 6
12 = = =1
6 6
P (1) ´ verdadeira.
e
m 2 m(m+1)(2m+1)
ii) Hip´tese indutiva – P (m) :
o k=1 k = 6
Tese – P (m + 1) : m+1 k 2 =
k=1
m
k=1 k 2 + (m + 1)2 = (m+1)(m+2)(2m+3)
6
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
m
m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1)(2m + 1) + 6(m + 1)2
k 2 + (m + 1)2 = + (m + 1)2 = =
6 6
k=1
(m + 1)[m(2m + 1) + 6(m + 1)] (m + 1)(2m2 + 7m + 6) (m + 1)(m + 2)(2m + 3)
= = =
6 6 6
A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para n > 0, onde n ´ um inteiro.
ca a e a e
7

8. n
1 n
c) =
(2i − 1)(2i + 1) 2n + 1
i=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1 1 1 1 1
= = = =
(2 · 1 − 1)(2 · 1 + 1) 1·3 3 2·1+1 3
P (1) ´ verdadeira.
e
m 1 m
ii) Hip´tese indutiva – P (m) :
o i=1 (2i−1)(2i+1) = 2m+1
m+1 1 m 1 1 m+1
Tese – P (m + 1) : i=1 (2i−1)(2i+1) = i=1 (2i−1)(2i+1) + (2(m+1)−1)(2(m+1)+1) = 2(m+1)+1
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
m
1 1 m 1
+ = +
(2i − 1)(2i + 1) (2m + 1)(2m + 3) 2m + 1 (2m + 1)(2m + 3)
i=1
(2m + 3)m + 1 2m2 + 3m + 1 (m + 1)(2m + 1) m+1
= = = =
(2m + 1)(2m + 3) (2m + 1)(2m + 3) (2m + 1)(2m + 3) 2m + 3
A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para n > 0, onde n ´ um inteiro.
ca a e a e
n
n(n + 1)(n + 2)
d) j(j + 1) =
3
j=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1(1 + 1)(1 + 2) 6
1(1 + 1) = 1 · 2 = 2 = = =2
3 3
P (1) ´ verdadeira.
e
m m(m+1)(m+2)
ii) Hip´tese indutiva – P (m) :
o j=1 j(j + 1) = 3
m+1 n (m+1)(m+2)(m+3)
Tese – P (m + 1) : j=1 j(j + 1) = j=1 j(j + 1) + (m + 1)(m + 2) = 3
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
n
m(m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2)(m + 3)
j(j + 1) + (m + 1)(m + 2) = + (m + 1)(m + 2) =
3 3
j=1
A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para ∀n ∈ Z
ca a e a
n
e) (2j − 1) = n2
j=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
(2 · 1 − 1) = 2 − 1 = 1 = 12
P (1) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (m) : m (2j − 1) = m2
o j=1
Tese – P (m + 1) : m+1 (2j − 1) = m (2j − 1) + [2(m + 1) − 1] = (m + 1)2
j=1 j=1
8

9. Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
m
(2j − 1) + [2(m + 1) − 1] = m2 + 2(m + 1) − 1 = m2 + 2m + 2 − 1 = m2 + 2m + 1 = (m + 1)2
j=1
A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para ∀n ∈ Z
ca a e a
n
f) i(i!) = (n + 1)! − 1
i=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1(1!) = 1 = 1(1 + 1)! − 1 = 2 − 1 = 1
P (1) ´ verdadeira.
e
m
ii) Hip´tese indutiva – P (m) :
o i=1 i(i!) = (m + 1)! − 1
Tese – P (m + 1) : m+1 i(i!) =
i=1
m
i=1 i(i!) + (m + 1)(m + 1)! = (m + 2)! − 1
Assumindo como verdadeira a hip´tese indutiva temos,
o
m
i(i!) + (m + 1)(m + 1)! = (m + 1)! − 1 + (m + 1)(m + 1)! =
i=1
= (m + 1)![1 + m + 1] − 1 = (m + 2)(m + 1)! − 1 = (m + 2)! − 1
A implica¸˜o P (m) ⇒ P (m + 1) foi verificada. Ent˜o P (n) ´ v´lida para ∀n ∈ Z
ca a e a
12 — Use indu¸˜o para mostrar que um conjunto finito com n elementos possui 2n sub-
ca
conjuntos:
Nota¸˜o: ℘(A) ´ o conjunto de todos os subconjuntos de A e |A| ´ o n´mero de elementos do conjunto
ca e e u
A.
i) Para o conjunto B = {u}, de um unico conjunto, i.e., |B| = 1 temos que seu conjunto potˆncia ´
´ e e
℘(B) = {∅, {u}}. Logo, |℘(B)| = 21 = 2.
Portanto, P (1) ´ v´lida.
e a
ii) Hip´tese Indutiva – P (n) : Um conjunto de n elementos tem 2n subconjuntos, i.e., |C| = n ⇒
o
|℘(C)| = 2n .
Tese – P (n+1) : Um conjunto de n+ 1 elementos tem 2n+1 subconjuntos, i.e., |D| = n+ 1 ⇒ |℘(D)| =
2n+1 .
Sem perda de generalidade, supomos que C = {1, 2, 3, 4, · · · , n}, logo |C| = n e D = {1, 2, 3, 4, · · · , n, n+
1}, logo, |D| = n + 1. Ent˜o, D = C ∪ {n + 1}. Pela hip´tese indutiva temos que |℘(C)| = 2n e,
a o
sabendo que |℘(D)| = 2|℘(C)| (demonstra¸˜o abaixo), ent˜o, |℘(D)| = 2 · 2n = 2n+1 .
ca a
Portanto, P (n) ´ v´lida para todo inteiro n > 0.
e a
Demonstra¸˜o de |C| = n e |D| = n + 1 ⇒ |℘(D)| = 2|℘(C)|.
ca
Tomando o conjunto C = {1, 2, · · · , n}. Sendo D = C ∪ {n + 1}. Todos os subconjuntos de D s˜o
a
tamb´m subconjuntos de C. Os demais subconjuntos s˜o obtidos incluindo o elemento {n + 1}. Logo,
e a
|℘(D)| = 2|℘(C)|.
9

10. 14 — Prove que para todo n ≥ 9,
n! ≥ (2n)2 .
i) Testando a propriedade para n = 9:
9! ≥ (2 · 9)2 ⇒ 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 ≥ 4 · 9 · 9 ⇒ 8 · 7 · 6 · 5 · 3 · 2 ≥ 9
Claramente, P (9) ´ verdadeira.
e
ii) Hip´tese indutiva – P (k) : k! ≥ (2k)2
o
Tese – P (k + 1) : (k + 1)! ≥ [2(k + 1)]2 ⇒ (k + 1)! ≥ [2k + 2]2
Multiplicando ambos os lados da desiguladade, na hip´tese indutiva por (k + 1) (pois k + 1 > 0), temos
o
(k + 1)k! ≥ (2k)2 (k + 1) ⇒ (k + 1)! ≥ 4k 3 + 4k 2 .
Mas, (2k + 2)2 < 4k 3 + 4k 2 para k ∈ Z : k > 1. Ent˜o
a
(2k + 2)2 < 4k 3 + 4k 2 ≤ (k + 1)! ⇒ (2k + 2)2 ≤ (k + 1)! ou, equivalentemente, (k + 1)! ≥ (2k + 2)2
A implica¸˜o P (k) ⇒ P (k + 1) foi verificada. Portanto, a propriedade P (n) ´ v´lida, ∀n ∈ N : n ≥ 1.
ca e a
15 — Prove para todo n > 1,
n
1 1
≤2−
i2 n
i=1
i) Testando a propriedade para n = 1:
1 1
2
≤2− =2−1⇒1≤1
1 1
P (1) ´ verdadeira.
e
k 1 1
ii) Hip´tese indutiva – P (k) :
o i=1 i2 ≤ 2 − k
Tese – P (k + 1) : k+1 i1 =
i=1 2
k 1 1
i=1 i2 + (k+1)2 ≤ 2− 1
k+1
1
Somando (k+1)2
em ambos os lados da hip´tese indutiva, temos
o
k
1 1 1 1
2
+ 2
≤2− +
i (k + 1) k (k + 1)2
i=1
Para confirmar a tese, precisamos mostrar que
1 1 1
2− + 2
<2− .
k (k + 1) k+1
Resolvendo a equa¸˜o:
ca
1 1 1 k − (k + 1)2 + (k + 1) −k 2
− + 2
+ <0⇒ 2
<0⇒ <0
k (k + 1) k+1 k(k + 1) k(k + 1)2
Como k > 0, o numerador da fra¸˜o ´ negativo e o denominador positivo.
ca e
−k2
Portanto, ∀k ∈ Z+ ; k(k+1)2 < 0.
Assim sendo, temos que
k k
1 1 1 1 1 1 1 1
2
+ 2
<2− + 2
≤2− =⇒ 2
+ 2
≤2− .
i (k + 1) k (k + 1) k+1 i (k + 1) k+1
i=1 i=1
Ent˜o, P (n) ´ v´lida para todo inteiro n ≥ 1.
a e a
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