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Funções. Exercícios.
Lista 7a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Demana p.92:
N 8, 9
2. Demana p.120:
N 1, 3
3. Transformações de funções e seus grácos.
a) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e
h(x) (usar translações horizontais e verticais):
f(x) = x2
; g(x) = (x − 1)2
+ 2, h(x) = (x + 2)2
− 1.
Solução.
Lembramos que o gráco de f(x) = x2
é uma parábola voltada para cima e com vértice na origem.
Esse gráco é considerado (nesse exercício) como dado. Lembramos que a transformação de f(x)
para f(x + c), qualquer que for f(x), resulta na translação horizontal do gráco de f(x) de c
unidades para esquerda (sendo para c negativo a translação se faz |c| unidades para direita). Assim,
partindo do gráco de f(x) = x2
chegamos, primeiro, ao gráco de ˜
f(x) = (x − 1)2
= f(x − 1)
deslocando o primeiro 1 unidade para direita. Agora, considerando o último como dado, faremos
mais uma transformação para obter g(x) = (x − 1)2
+ 2. Comparando ˜
f(x) e g(x), notamos que
g(x) = ˜
f(x) + 2, o que signica (geometricamente) a translação vertical do gráco de ˜
f(x) de 2
unidades para cima. (Lembramos que a transformação de f(x) para f(x) + c, qualquer que for
f(x), resulta na translação vertical do gráco de f(x) de c unidades para cima, o que no caso de c
negativo é interpretado como |c| unidades para baixo.) Assim, o gráco de g(x) = (x − 1)2
+ 2 é
obtido do gráco de f(x) = x2
deslocando o último 1 unidade para direita e 2 unidades para cima.
Raciocinando de modo análogo, podemos concluír que o gráco de h(x) = (x + 2)2
− 1 pode
ser obtido do gráco de f(x) = x2
deslocando o último 2 unidades para esquerda e 1 unidade para
baixo. (Alunos  Restituir todos os passos dessa transformação !)
b) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e
h(x) (usar extensões e compressões horizontais e verticais):
f(x) = |2x|; g(x) = |1
3
x|, h(x) = −|2x|.
Solução.
Lembramos que o gráco de f(x) = |2x| consiste de duas partes retilíneas −2x, para x ≤ 0 e 2x
para x ≥ 0 as quais se encontram na origem (que é vértice desse gráco). Ele é considerado (nesse
exercício) como dado. Para chegar ao gráco de g(x) = |1
3
x|, podemos alongar (extender) o gráco
original 6 vezes na horizontal, uma vez que g(x) = |1
6
2x| = f(1
6
x). (Lembramos que a transformação
de f(x) para f(cx), c  0, qualquer que for f(x), resulta na extenção horizontal do gráco 1
c
vezes
caso c  1 e compressão c vezes caso c  1; se c  0, então aplicamos as mesmas transformações
com |c|, acrescidas da reexão do gráco em torno do eixo Oy.)
A maneira alternativa é levar tudo a extensão/compressão vertical. Para isso, podemos reescrever
g(x) na forma equivalente g(x) = 1
6
|2x| = 1
6
f(x). Então, para obter o gráco de g(x), podemos
comprimir o gráco original 6 vezes na vertical. (Lembramos que a transformação de f(x) para
cf(x), c  0, qualquer que for f(x), resulta na extenção vertical do gráco c vezes caso c  1
e compressão 1
c
vezes caso c  1; se c  0, então aplicamos as mesmas transformações com |c|,
acrescidas da reexão do gráco em torno do eixo Ox.)
Para obter o gráco de h(x) = −|2x| = −f(x), lembramos que multiplicação da função por −1
2
resulta em reexão do seu gráco em torno do eixo Ox.
c) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e
h(x) (usar combinações de transformações):
f(x) = x2
; g(x) = 3 − (2x + 1)2
, h(x) = 3(1
2
x − 1)2
− 2.
Solução. Lembramos que o gráco de f(x) = x2
é uma parábola voltada para cima e com
vértice na origem. Ele é considerado (nesse exercício) como dado. Para chegar ao gráco de
g(x) = 3−(2x+1)2
, temos que efetuar uma sequência de transformações. Primeiro, transformamos
f(x) = x2
em f1(x) = −x2
= −f(x)  isso signica reetir o gráco de f(x) em relação ao eixo Ox.
Depois, transformamos f1(x) = −x2
em f2(x) = −(2x)2
= f1(2x), comprimindo horizontalmente 2
vezes o gráco de f1(x) em relação ao eixo Oy. Próximo, transformamos f2(x) = −(2x)2
em f3(x) =
−(2x+1)2
= −(2(x+ 1
2
))2
= f2(x+ 1
2
), deslocando horizontalmente o gráco de f2(x) em 1
2
unidades
para esquerda. Finalmente, de f3(x) = −(2x + 1)2
chegamos a g(x) = 3 − (2x + 1)2
= 3 − f3(x),
trazendo o gráco de f3(x) três unidades para cima. Assim, nessa cadeia de transformações, o
gráco de f(x) é reetido em relação ao eixo Ox, depois comprimido horizontamente duas vezes,
depois deslocado 1
2
unidades para esquerda, e, nalmente, deslocado três unidades para cima. Veja
gura abaixo.
Figura 1: Transformações de funções de f(x) = x2
a g(x) = 3 − (2x + 1)2
.
Tem outros modos de obter o mesmo gráco.
Raciocinando de modo análogo, concluímos que o gráco de h(x) = 3(1
2
x−1)2
−2 pode ser obtido
do gráco de f(x) = x2
, primeiro, extendendo o duas vezes horizontalmente, segundo, deslocando
duas unidades para direita, terceiro, afastando três vezes do eixo Ox (isto é, extendendo três vezes
verticalmente) e, nalmente, baixando duas unidades. Nesse caso é usada a seguinte cadeia de
transformações:
x2
→
(
1
2
x
)2
→
(
1
2
(x − 2)
)2
=
(
1
2
x − 1
)2
→ 3
(
1
2
x − 1
)2
→ 3
(
1
2
x − 1
)2
− 2 .
(Alunos  Restituir todos os passos dessa transformação com detalhes !)
Veja gura abaixo.
Tem outros modos de obter o mesmo gráco.
3
Figura 2: Transformações de funções de f(x) = x2
a h(x) = 3(1
2
x − 1)2
− 2.
4. Demana p.81:
N 29, 30, 31, 33
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Observação. Na resolução de exercícios a seguir vamos usar a denição de crescimento/decrescimento
de uma função. Para precisão, vamos lembrar essas denições. Uma função f(x) é chamada cres-
cente (crescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quaisquer dois pontos x1  x2,
x1, x2 ∈ S temos f(x1) ≤ f(x2) (f(x1)  f(x2)). Da mesma maneira, uma função f(x) é chamada
decrescente (decrescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quisquer dois pontos
x1  x2, x1, x2 ∈ S segue f(x1) ≥ f(x2) (f(x1)  f(x2)). Em termos grossos, uma função é cres-
cente se seus valores crescem com aumento de variável independente, e é decrescente se seus valores
decrescem com aumento de variável independente.
Dar esboço do gráco da função e comparar a resposta com a de Demana p.284:
a) N29: f(x) = |x + 2| − 1. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = |x + 2| − 1
consiste de todos x reais. Para encontrar o gráco, vamos escrever a fórmula da função na forma mais
simples, abrindo a denição do módulo: |x+2|−1 =
{
−(x + 2) − 1, x  −2
(x + 2) − 1, x ≥ −2
=
{
−x − 3, x  −2
x + 1, x ≥ −2
.
Assim, temos duas funções lineares envolvidas: −x − 3 e x + 1. O gráco de qualquer função linear
é uma reta. Portanto, basta encontrar dois pontos da primeira parte do gráco e dois pontos da
segunda. Por exemplo, quando x  −2 podemos tomar x1 = −4 e x2 = −3 e usando a fórmula
respectiva y = −x − 3, encontramos y1 = 1 e y2 = 0. Assim, temos dois pontos no plano cartesiano
P1 = (−4, 1) e P2 = (−3, 0). Marcamos eles e passamos uma reta por estes dois pontos usando
todos x  −2. Da mesma maneira, para x ≥ −2 podemos tomar x3 = 0 e x4 = 1 e encontramos,
pela fórmula y = x + 1, os valores respectivos y3 = 1 e y4 = 2. Assim, temos dois pontos P3 = (0, 1)
e P4 = (1, 2) da segunda reta, da qual tomamos a parte correspondente a x ≥ −2. Juntando os
dois pedaços retilíneos (que se encontram no ponto P0 = (−2, −1)) obtemos o gráco completo da
função f(x) = |x + 2| − 1. Em particular, concluímos que a imagem dessa função é Y = [−1, +∞).
b) N33: f(x) = 3−(x−1)2
. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 3−(x−1)2
consiste de todos x reais. Para determinar o gráco, vamos analisar algumas propriedades básicas
da função. Notamos que (x − 1)2
≥ 0 , ∀x e (x − 1)2
 0 , ∀x ̸= 1 (o símbolo ∀ signica para
4
qualquer). Portanto, o maior valor que função assume é no ponto x0 = 1: f(1) = 3, e os demais
valores são menores que 3. Em particular, podemos concluír que a imagem Y faz parte do intervalo
(−∞, 3]. (Na realidade, pode ser mostrado que Y = (−∞, 3] - demonstrar !). Tomamos agora
quaisquer x1  x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1):
f(x2) − f(x1) = (3 − (x2 − 1)2
) − (3 − (x1 − 1)2
) = (x1 − 1)2
− (x2 − 1)2
= (x1 − x2)(x1 + x2 − 2).
O primeiro fator sempre é negativo: x1 − x2  0. Para determinar o sinal do segundo, vamos
considerar separadamente os dois casos. Se x2 ≤ 1, então x1 + x2 − 2  0. Isso quer dizer que
f(x2) − f(x1)  0 ou f(x2)  f(x1), isto é, a função cresce (estritamente) no intervalo (−∞, 1]. Se
x1 ≥ 1, então x1 +x2 −2  0. Isso quer dizer que f(x2)−f(x1)  0 ou f(x2)  f(x1), isto é, a função
decresce (estritamente) no intervalo [1, +∞). Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos
um ponto xa no intervalo (−∞, 1]: por exemplo, xa = 0 com f(xa) = 2; analogamente, tomamos
um ponto xb no intervalo [1, +∞): por exemplo, xb = 2 com f(xb) = 2. Assim, usando os valores
da função nos três pontos P0 = (x0, y0) = (1, 3), Pa = (xa, ya) = (0, 2) e Pb = (xb, yb) = (2, 2),
e também as propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos esboço do gráco.
Pode ajudar na construção do gráco a propriedade da sua simetria em relação a reta vertical x = 1
(demonstrar !).
5. Realizar o estudo da função e dar esboço do seu gráco:
a) f(x) = |1 − 3x|;
b) f(x) = 4 − x2
.
Solução.
Observação geral. Os grácos dessas funções podem ser encontrados usando transformações
de grácos, a partir da função |x| para a letra a), e da função x2
para a letra b). No entanto, o
objetivo desse exercício é diferente: encontrar o gráco da função como resultado de estudo de suas
propriedades analíticas (algébricas).
a) A função y = f(x) = |1 − 3x| tem domínio de todos os reais. A imagem dessa função é
contida no intervalo [0, +∞): pela denição, o módulo sempre é não negativo e o valor 0 é obtido
quando x = 1
3
. Para especicar melhor a imagem (e para análise posterior), abrimos o módulo
pela denição: f(x) = |1 − 3x| =
{
−(1 − 3x), 1 − 3x  0
1 − 3x, 1 − 3x ≥ 0
=
{
3x − 1, x  1
3
1 − 3x, x ≤ 1
3
. Usando somente
a segunda sentença já podemos ver que para qualquer y ∈ [0, +∞) existe x tal que y = |1 − 3x|.
Realmente, basta encontrar a solução da equação y = 1 − 3x no conjunto x ≤ 1
3
, e essa solução
existe: x = 1−y
3
, ∀y ∈ [0, +∞). Portanto a imagem da função é exatamente o intervalo [0, +∞).
Para x ≤ 1
3
a função coincide com a parte da reta y = 1 − 3x que está decrescendo. Então,
tomando dois pontos quaisquer nesse intervalo, por exemplo, x1 = 0 e x0 = 1
3
, obtemos dois pontos
do gráco P1 = (0, 1) e P0 = (1
3
, 0). Passando uma reta atraves destes dois pontos que vai até
o ponto P0, temos a primeira parte do gráco. Da mesma maneira, tomando os pontos x0 = 1
3
e x2 = 1, encontramos os pontos do gráco P0 = (1
3
, 0) e P2 = (1, 2) que correspondem a reta
y = 3x − 1 da outra sentença, e então passamos parte da outra reta através de P0 e P2 que vai até
P0. O ponto P0 é o ponto de encontro das partes das duas retas que representa o vértices do gráco.
Juntando as informações encontradas nessa investigação analítica, chegamos ao seguinte gráco
da função f(x) = |1 − 3x|.
b) f(x) = 4 − x2
. O domínio da função y = f(x) = 4 − x2
consiste de todos x reais. Para
determinar a imagem, notamos que 4 − x2
≤ 4, ∀x, porque x2
≥ 0 para qualquer x. Portanto, o
maior valor que a função assume é f(0) = 4 no ponto x0 = 0, e os demais valores são menores
que 4. Isso leva a conclusão de que a imagem Y é contida no intervalo (−∞, 4]. Vamos mostrar
que Y = (−∞, 4]. Realmente, tomando qualquer y desse intervalo, podemos resolver a equação
quadrática y = 4 − x2
em relação a incógnita x, encontrando as soluções x1,2 = ±
√
4 − y. Para
qualquer y  4 temos duas raízes e para y = 4 temos uma raiz. Em qualquer caso, temos pelo
menos um x real que corresponde a y ≤ 4. Portanto, Y = (−∞, 4].
5
Figura 3: Exercício 5a).
Tomamos agora quaisquer x1  x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1):
f(x2) − f(x1) = 4 − x2
2 − (4 − x2
1) = x2
1 − x2
2 = (x1 − x2)(x1 + x2).
O primeiro fator sempre é negativo: x1 − x2  0. Para determinar o sinal do segundo, vamos
considerar separadamente os dois intervalos: (−∞, 0] e [0, +∞). No primeiro intervalo, x2 ≤ 0, e
então x1 + x2  0. Isso quer dizer que f(x2) − f(x1)  0 ou f(x2)  f(x1), isto é, a função cresce
(estritamente) no intervalo (−∞, 0]. No segundo intervalo, x1 ≥ 0, e então x1 + x2  0, o que
implica em f(x2)−f(x1)  0 ou f(x2)  f(x1), isto é, a função decresce (estritamente) no intervalo
[0, +∞).
Na realidade, o comportamento na segunda parte do domínio, por exemplo, no intervalo [0, +∞),
pode ser deduzido a partir do seu comportamento na primeira parte, (−∞, 0]. Realmente, é simples
de ver que a função dada é par: f(−x) = 4 − (−x)2
= 4 − x2
= f(x), ∀x. Portanto, o seu gráco
é simétrico em relação ao eixo Oy. Isso signica, em particular, que f(x) decresce estriramente em
[0, +∞) já que foi demonstrado que f(x) cresce estritamente em (−∞, 0].
Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos um ponto xa no intervalo (−∞, 0]: por
exemplo, xa = −1 com f(−1) = 3; analogamente, tomamos um ponto simétrico xb no intervalo
[0, +∞): por exemplo, xb = 1 com f(1) = 3 (isso segue também da paridade da função). Assim,
usando os valores da função nos três pontos P0 = (x0, y0) = (0, 4), Pa = (xa, ya) = (−1, 3) e
Pb = (xb, yb) = (1, 3), e também as propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos
esboço do gráco.
Figura 4: Exercício 5b).

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Lista de exercícios 7 - Mat Elem

  • 1. 1 Funções. Exercícios. Lista 7a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento. Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido. Somente conclusões nais não serão aceitas. 1. Demana p.92: N 8, 9 2. Demana p.120: N 1, 3 3. Transformações de funções e seus grácos. a) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e h(x) (usar translações horizontais e verticais): f(x) = x2 ; g(x) = (x − 1)2 + 2, h(x) = (x + 2)2 − 1. Solução. Lembramos que o gráco de f(x) = x2 é uma parábola voltada para cima e com vértice na origem. Esse gráco é considerado (nesse exercício) como dado. Lembramos que a transformação de f(x) para f(x + c), qualquer que for f(x), resulta na translação horizontal do gráco de f(x) de c unidades para esquerda (sendo para c negativo a translação se faz |c| unidades para direita). Assim, partindo do gráco de f(x) = x2 chegamos, primeiro, ao gráco de ˜ f(x) = (x − 1)2 = f(x − 1) deslocando o primeiro 1 unidade para direita. Agora, considerando o último como dado, faremos mais uma transformação para obter g(x) = (x − 1)2 + 2. Comparando ˜ f(x) e g(x), notamos que g(x) = ˜ f(x) + 2, o que signica (geometricamente) a translação vertical do gráco de ˜ f(x) de 2 unidades para cima. (Lembramos que a transformação de f(x) para f(x) + c, qualquer que for f(x), resulta na translação vertical do gráco de f(x) de c unidades para cima, o que no caso de c negativo é interpretado como |c| unidades para baixo.) Assim, o gráco de g(x) = (x − 1)2 + 2 é obtido do gráco de f(x) = x2 deslocando o último 1 unidade para direita e 2 unidades para cima. Raciocinando de modo análogo, podemos concluír que o gráco de h(x) = (x + 2)2 − 1 pode ser obtido do gráco de f(x) = x2 deslocando o último 2 unidades para esquerda e 1 unidade para baixo. (Alunos Restituir todos os passos dessa transformação !) b) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e h(x) (usar extensões e compressões horizontais e verticais): f(x) = |2x|; g(x) = |1 3 x|, h(x) = −|2x|. Solução. Lembramos que o gráco de f(x) = |2x| consiste de duas partes retilíneas −2x, para x ≤ 0 e 2x para x ≥ 0 as quais se encontram na origem (que é vértice desse gráco). Ele é considerado (nesse exercício) como dado. Para chegar ao gráco de g(x) = |1 3 x|, podemos alongar (extender) o gráco original 6 vezes na horizontal, uma vez que g(x) = |1 6 2x| = f(1 6 x). (Lembramos que a transformação de f(x) para f(cx), c 0, qualquer que for f(x), resulta na extenção horizontal do gráco 1 c vezes caso c 1 e compressão c vezes caso c 1; se c 0, então aplicamos as mesmas transformações com |c|, acrescidas da reexão do gráco em torno do eixo Oy.) A maneira alternativa é levar tudo a extensão/compressão vertical. Para isso, podemos reescrever g(x) na forma equivalente g(x) = 1 6 |2x| = 1 6 f(x). Então, para obter o gráco de g(x), podemos comprimir o gráco original 6 vezes na vertical. (Lembramos que a transformação de f(x) para cf(x), c 0, qualquer que for f(x), resulta na extenção vertical do gráco c vezes caso c 1 e compressão 1 c vezes caso c 1; se c 0, então aplicamos as mesmas transformações com |c|, acrescidas da reexão do gráco em torno do eixo Ox.) Para obter o gráco de h(x) = −|2x| = −f(x), lembramos que multiplicação da função por −1
  • 2. 2 resulta em reexão do seu gráco em torno do eixo Ox. c) A partir do gráco da função original f(x), encontrar os grácos de funções indicadas g(x) e h(x) (usar combinações de transformações): f(x) = x2 ; g(x) = 3 − (2x + 1)2 , h(x) = 3(1 2 x − 1)2 − 2. Solução. Lembramos que o gráco de f(x) = x2 é uma parábola voltada para cima e com vértice na origem. Ele é considerado (nesse exercício) como dado. Para chegar ao gráco de g(x) = 3−(2x+1)2 , temos que efetuar uma sequência de transformações. Primeiro, transformamos f(x) = x2 em f1(x) = −x2 = −f(x) isso signica reetir o gráco de f(x) em relação ao eixo Ox. Depois, transformamos f1(x) = −x2 em f2(x) = −(2x)2 = f1(2x), comprimindo horizontalmente 2 vezes o gráco de f1(x) em relação ao eixo Oy. Próximo, transformamos f2(x) = −(2x)2 em f3(x) = −(2x+1)2 = −(2(x+ 1 2 ))2 = f2(x+ 1 2 ), deslocando horizontalmente o gráco de f2(x) em 1 2 unidades para esquerda. Finalmente, de f3(x) = −(2x + 1)2 chegamos a g(x) = 3 − (2x + 1)2 = 3 − f3(x), trazendo o gráco de f3(x) três unidades para cima. Assim, nessa cadeia de transformações, o gráco de f(x) é reetido em relação ao eixo Ox, depois comprimido horizontamente duas vezes, depois deslocado 1 2 unidades para esquerda, e, nalmente, deslocado três unidades para cima. Veja gura abaixo. Figura 1: Transformações de funções de f(x) = x2 a g(x) = 3 − (2x + 1)2 . Tem outros modos de obter o mesmo gráco. Raciocinando de modo análogo, concluímos que o gráco de h(x) = 3(1 2 x−1)2 −2 pode ser obtido do gráco de f(x) = x2 , primeiro, extendendo o duas vezes horizontalmente, segundo, deslocando duas unidades para direita, terceiro, afastando três vezes do eixo Ox (isto é, extendendo três vezes verticalmente) e, nalmente, baixando duas unidades. Nesse caso é usada a seguinte cadeia de transformações: x2 → ( 1 2 x )2 → ( 1 2 (x − 2) )2 = ( 1 2 x − 1 )2 → 3 ( 1 2 x − 1 )2 → 3 ( 1 2 x − 1 )2 − 2 . (Alunos Restituir todos os passos dessa transformação com detalhes !) Veja gura abaixo. Tem outros modos de obter o mesmo gráco.
  • 3. 3 Figura 2: Transformações de funções de f(x) = x2 a h(x) = 3(1 2 x − 1)2 − 2. 4. Demana p.81: N 29, 30, 31, 33 Soluções complementares para exercícios de Demana. Observação. Na resolução de exercícios a seguir vamos usar a denição de crescimento/decrescimento de uma função. Para precisão, vamos lembrar essas denições. Uma função f(x) é chamada cres- cente (crescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quaisquer dois pontos x1 x2, x1, x2 ∈ S temos f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) f(x2)). Da mesma maneira, uma função f(x) é chamada decrescente (decrescente estritamente) num conjunto S do seu domínio se para quisquer dois pontos x1 x2, x1, x2 ∈ S segue f(x1) ≥ f(x2) (f(x1) f(x2)). Em termos grossos, uma função é cres- cente se seus valores crescem com aumento de variável independente, e é decrescente se seus valores decrescem com aumento de variável independente. Dar esboço do gráco da função e comparar a resposta com a de Demana p.284: a) N29: f(x) = |x + 2| − 1. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = |x + 2| − 1 consiste de todos x reais. Para encontrar o gráco, vamos escrever a fórmula da função na forma mais simples, abrindo a denição do módulo: |x+2|−1 = { −(x + 2) − 1, x −2 (x + 2) − 1, x ≥ −2 = { −x − 3, x −2 x + 1, x ≥ −2 . Assim, temos duas funções lineares envolvidas: −x − 3 e x + 1. O gráco de qualquer função linear é uma reta. Portanto, basta encontrar dois pontos da primeira parte do gráco e dois pontos da segunda. Por exemplo, quando x −2 podemos tomar x1 = −4 e x2 = −3 e usando a fórmula respectiva y = −x − 3, encontramos y1 = 1 e y2 = 0. Assim, temos dois pontos no plano cartesiano P1 = (−4, 1) e P2 = (−3, 0). Marcamos eles e passamos uma reta por estes dois pontos usando todos x −2. Da mesma maneira, para x ≥ −2 podemos tomar x3 = 0 e x4 = 1 e encontramos, pela fórmula y = x + 1, os valores respectivos y3 = 1 e y4 = 2. Assim, temos dois pontos P3 = (0, 1) e P4 = (1, 2) da segunda reta, da qual tomamos a parte correspondente a x ≥ −2. Juntando os dois pedaços retilíneos (que se encontram no ponto P0 = (−2, −1)) obtemos o gráco completo da função f(x) = |x + 2| − 1. Em particular, concluímos que a imagem dessa função é Y = [−1, +∞). b) N33: f(x) = 3−(x−1)2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 3−(x−1)2 consiste de todos x reais. Para determinar o gráco, vamos analisar algumas propriedades básicas da função. Notamos que (x − 1)2 ≥ 0 , ∀x e (x − 1)2 0 , ∀x ̸= 1 (o símbolo ∀ signica para
  • 4. 4 qualquer). Portanto, o maior valor que função assume é no ponto x0 = 1: f(1) = 3, e os demais valores são menores que 3. Em particular, podemos concluír que a imagem Y faz parte do intervalo (−∞, 3]. (Na realidade, pode ser mostrado que Y = (−∞, 3] - demonstrar !). Tomamos agora quaisquer x1 x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1): f(x2) − f(x1) = (3 − (x2 − 1)2 ) − (3 − (x1 − 1)2 ) = (x1 − 1)2 − (x2 − 1)2 = (x1 − x2)(x1 + x2 − 2). O primeiro fator sempre é negativo: x1 − x2 0. Para determinar o sinal do segundo, vamos considerar separadamente os dois casos. Se x2 ≤ 1, então x1 + x2 − 2 0. Isso quer dizer que f(x2) − f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função cresce (estritamente) no intervalo (−∞, 1]. Se x1 ≥ 1, então x1 +x2 −2 0. Isso quer dizer que f(x2)−f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função decresce (estritamente) no intervalo [1, +∞). Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos um ponto xa no intervalo (−∞, 1]: por exemplo, xa = 0 com f(xa) = 2; analogamente, tomamos um ponto xb no intervalo [1, +∞): por exemplo, xb = 2 com f(xb) = 2. Assim, usando os valores da função nos três pontos P0 = (x0, y0) = (1, 3), Pa = (xa, ya) = (0, 2) e Pb = (xb, yb) = (2, 2), e também as propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos esboço do gráco. Pode ajudar na construção do gráco a propriedade da sua simetria em relação a reta vertical x = 1 (demonstrar !). 5. Realizar o estudo da função e dar esboço do seu gráco: a) f(x) = |1 − 3x|; b) f(x) = 4 − x2 . Solução. Observação geral. Os grácos dessas funções podem ser encontrados usando transformações de grácos, a partir da função |x| para a letra a), e da função x2 para a letra b). No entanto, o objetivo desse exercício é diferente: encontrar o gráco da função como resultado de estudo de suas propriedades analíticas (algébricas). a) A função y = f(x) = |1 − 3x| tem domínio de todos os reais. A imagem dessa função é contida no intervalo [0, +∞): pela denição, o módulo sempre é não negativo e o valor 0 é obtido quando x = 1 3 . Para especicar melhor a imagem (e para análise posterior), abrimos o módulo pela denição: f(x) = |1 − 3x| = { −(1 − 3x), 1 − 3x 0 1 − 3x, 1 − 3x ≥ 0 = { 3x − 1, x 1 3 1 − 3x, x ≤ 1 3 . Usando somente a segunda sentença já podemos ver que para qualquer y ∈ [0, +∞) existe x tal que y = |1 − 3x|. Realmente, basta encontrar a solução da equação y = 1 − 3x no conjunto x ≤ 1 3 , e essa solução existe: x = 1−y 3 , ∀y ∈ [0, +∞). Portanto a imagem da função é exatamente o intervalo [0, +∞). Para x ≤ 1 3 a função coincide com a parte da reta y = 1 − 3x que está decrescendo. Então, tomando dois pontos quaisquer nesse intervalo, por exemplo, x1 = 0 e x0 = 1 3 , obtemos dois pontos do gráco P1 = (0, 1) e P0 = (1 3 , 0). Passando uma reta atraves destes dois pontos que vai até o ponto P0, temos a primeira parte do gráco. Da mesma maneira, tomando os pontos x0 = 1 3 e x2 = 1, encontramos os pontos do gráco P0 = (1 3 , 0) e P2 = (1, 2) que correspondem a reta y = 3x − 1 da outra sentença, e então passamos parte da outra reta através de P0 e P2 que vai até P0. O ponto P0 é o ponto de encontro das partes das duas retas que representa o vértices do gráco. Juntando as informações encontradas nessa investigação analítica, chegamos ao seguinte gráco da função f(x) = |1 − 3x|. b) f(x) = 4 − x2 . O domínio da função y = f(x) = 4 − x2 consiste de todos x reais. Para determinar a imagem, notamos que 4 − x2 ≤ 4, ∀x, porque x2 ≥ 0 para qualquer x. Portanto, o maior valor que a função assume é f(0) = 4 no ponto x0 = 0, e os demais valores são menores que 4. Isso leva a conclusão de que a imagem Y é contida no intervalo (−∞, 4]. Vamos mostrar que Y = (−∞, 4]. Realmente, tomando qualquer y desse intervalo, podemos resolver a equação quadrática y = 4 − x2 em relação a incógnita x, encontrando as soluções x1,2 = ± √ 4 − y. Para qualquer y 4 temos duas raízes e para y = 4 temos uma raiz. Em qualquer caso, temos pelo menos um x real que corresponde a y ≤ 4. Portanto, Y = (−∞, 4].
  • 5. 5 Figura 3: Exercício 5a). Tomamos agora quaisquer x1 x2 e avaliamos a diferença f(x2) − f(x1): f(x2) − f(x1) = 4 − x2 2 − (4 − x2 1) = x2 1 − x2 2 = (x1 − x2)(x1 + x2). O primeiro fator sempre é negativo: x1 − x2 0. Para determinar o sinal do segundo, vamos considerar separadamente os dois intervalos: (−∞, 0] e [0, +∞). No primeiro intervalo, x2 ≤ 0, e então x1 + x2 0. Isso quer dizer que f(x2) − f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função cresce (estritamente) no intervalo (−∞, 0]. No segundo intervalo, x1 ≥ 0, e então x1 + x2 0, o que implica em f(x2)−f(x1) 0 ou f(x2) f(x1), isto é, a função decresce (estritamente) no intervalo [0, +∞). Na realidade, o comportamento na segunda parte do domínio, por exemplo, no intervalo [0, +∞), pode ser deduzido a partir do seu comportamento na primeira parte, (−∞, 0]. Realmente, é simples de ver que a função dada é par: f(−x) = 4 − (−x)2 = 4 − x2 = f(x), ∀x. Portanto, o seu gráco é simétrico em relação ao eixo Oy. Isso signica, em particular, que f(x) decresce estriramente em [0, +∞) já que foi demonstrado que f(x) cresce estritamente em (−∞, 0]. Agora, para especicar melhor o gráco, tomamos um ponto xa no intervalo (−∞, 0]: por exemplo, xa = −1 com f(−1) = 3; analogamente, tomamos um ponto simétrico xb no intervalo [0, +∞): por exemplo, xb = 1 com f(1) = 3 (isso segue também da paridade da função). Assim, usando os valores da função nos três pontos P0 = (x0, y0) = (0, 4), Pa = (xa, ya) = (−1, 3) e Pb = (xb, yb) = (1, 3), e também as propriedades já denidas de crescimento/decrescimento, faremos esboço do gráco. Figura 4: Exercício 5b).