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Regra da Cadeia
Objetivo: Encontrar uma fórmula que
expresse a derivada de uma função
composta f o g, em termos das
derivadas de f e de g

Benefícios:      Possibilidade     de
diferenciar   funções     complicadas
utilizando derivadas conhecidas de
funções mais simples.
                  Profa. Rosana G. S. Miskulin
                                                 1
Regra da Cadeia
Se g for diferenciável no ponto x e f for
 diferenciável no ponto g(x), então a
 composição: f o g (x) = f(g(x)) é
 diferenciável no ponto x.
Se y = f (g(x) ) e u = g(x), então: y = f(u) e
              dy/dx = dy . du
                        du    dx
 Obs. Essa fórmula é fácil de ser lembrada, pois o lado esquerdo é
 exatamente o que resulta se “cancelarmos” os du do lado direito.
                                                                    2
                                          Profa. Rosana G. S. Miskulin
Exemplo 1:
Ache dy / dx se y = 4.cos (x3 )
Solução: u = x3
Assim, y = 4 . cos u
Pela Regra da Cadeia
dy / dx = dy /du . du / dx =
dy / dx = d / du [ 4. cos u ] . d / dx [x3 ]
dy / dx = [ 4. (-sen u) + cos u . 0 ] . 3 x2 =
= [-4. sen u ] . 3 x2 = (- 12 sen u) . x2
Substituindo u = x3, tem-se que:
dy / dx = (- 12 sen u) . x2 = -12. x2 . sen (x3)
                             Profa. Rosana G. S. Miskulin   3
Regra da Cadeia
Exemplo 2: Ache dy / dx se y = 2 ( 3x – 5)
y = 2.u e u = 3x – 5 (variável auxiliar u)
dy / dx = dy / du . du / dx = 2 . 3 = 6
Outra forma: Ache dy / dx se y = 2 ( 3x – 5)
y = 6x – 10
dy / dx = 6

                         Profa. Rosana G. S. Miskulin   4
Regra da Cadeia
Exemplo 3: Dada a função w = tg (4t3 + t).
Ache dw / dt se x = 4t3 + t e w = tg x
dw / dt = dw / dx . dx /dt = d / dx [tg x] . d /dt [4t3 + t] =
= sec2   x. ( 12t2 + 1) = ( 12t2 + 1). sec2 (4t3 + t).
Exemplo 4: Ache dy / dx, se y = sen 2x
dy / dx = d/dx sen (2x) = cos (2x).2 = 2. cos (2x)
Outra forma:
u =2x  y = sen u  dy / dx =dy/du . du /dx =
cos (u). 2 = 2.cos u = 2. cos (2x)
                                                                   5
                                    Profa. Rosana G. S. Miskulin

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Regra da cadeia

  • 1. Regra da Cadeia Objetivo: Encontrar uma fórmula que expresse a derivada de uma função composta f o g, em termos das derivadas de f e de g Benefícios: Possibilidade de diferenciar funções complicadas utilizando derivadas conhecidas de funções mais simples. Profa. Rosana G. S. Miskulin 1
  • 2. Regra da Cadeia Se g for diferenciável no ponto x e f for diferenciável no ponto g(x), então a composição: f o g (x) = f(g(x)) é diferenciável no ponto x. Se y = f (g(x) ) e u = g(x), então: y = f(u) e dy/dx = dy . du du dx Obs. Essa fórmula é fácil de ser lembrada, pois o lado esquerdo é exatamente o que resulta se “cancelarmos” os du do lado direito. 2 Profa. Rosana G. S. Miskulin
  • 3. Exemplo 1: Ache dy / dx se y = 4.cos (x3 ) Solução: u = x3 Assim, y = 4 . cos u Pela Regra da Cadeia dy / dx = dy /du . du / dx = dy / dx = d / du [ 4. cos u ] . d / dx [x3 ] dy / dx = [ 4. (-sen u) + cos u . 0 ] . 3 x2 = = [-4. sen u ] . 3 x2 = (- 12 sen u) . x2 Substituindo u = x3, tem-se que: dy / dx = (- 12 sen u) . x2 = -12. x2 . sen (x3) Profa. Rosana G. S. Miskulin 3
  • 4. Regra da Cadeia Exemplo 2: Ache dy / dx se y = 2 ( 3x – 5) y = 2.u e u = 3x – 5 (variável auxiliar u) dy / dx = dy / du . du / dx = 2 . 3 = 6 Outra forma: Ache dy / dx se y = 2 ( 3x – 5) y = 6x – 10 dy / dx = 6 Profa. Rosana G. S. Miskulin 4
  • 5. Regra da Cadeia Exemplo 3: Dada a função w = tg (4t3 + t). Ache dw / dt se x = 4t3 + t e w = tg x dw / dt = dw / dx . dx /dt = d / dx [tg x] . d /dt [4t3 + t] = = sec2 x. ( 12t2 + 1) = ( 12t2 + 1). sec2 (4t3 + t). Exemplo 4: Ache dy / dx, se y = sen 2x dy / dx = d/dx sen (2x) = cos (2x).2 = 2. cos (2x) Outra forma: u =2x  y = sen u  dy / dx =dy/du . du /dx = cos (u). 2 = 2.cos u = 2. cos (2x) 5 Profa. Rosana G. S. Miskulin