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DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO

       Dado uma função y = f(x) derivável, denomina-se diferencial de uma
função num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse ponto
pelo acréscimo arbitrário x da sua variável independente.
Seja uma função y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y os
acréscimos, da variável e da função.Chama-se diferencial da função f(x)
correspondente ao acréscimo x ao produto da derivada f ’(x) pelo acréscimo
 x e indicamos assim:         dy = f ’(x) . x .
Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitésimos, isto é, quantidades que
embora sejam não-nulas, são menores em magnitude do que qualquer
quantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam-
se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o
             y
quociente        torna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equação
             x
dy/dx = f ’(x) como dy = f ’(x) .dx.
                                                                    y
Supõe-se dx = x , fica claro que dy é uma boa aproximação para         desde

que x seja suficientemente pequeno.

Observe graficamente a diferença entre dy e y quando dx = x .


INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variação sofrida pela reta
tangente ao gráfico, do ponto x ao ponto x + x.
Pode-se calcular a diferença entre dy e y a qual denominamos , calculando
a fórmula
 = | y - dy |
Exemplo1:
EXEMPLOS

1) Calcular aproximadamente    65 , sabendo que      64  8 e f ( x)  x .


2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de
altura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se
resolvermos usando diferenciais.


EXERCÍCIOS

1) Calcule um valor aproximado para   3
                                          65,5 usando diferenciais.




2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera
quando o raio varia de 3cm a 3,1cm.




3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais.




4)Calcular a variação do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua área
sofra uma variação de 1 cm.
Introdução ao estudo das integrais




Situação 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a érea sob a
parábola no intervalo[0,2] observada na figura.



                              Que estratégias você utiliza
                              para determinar está área?
                              Você conhece alguma fórmula
                              da geometria que permite o
                              cálculo desta região?




Situação 2: Vamos pensar um pouco mais se a função derivada é representada pela
função:
dy
    3x²  2 x  1 que função primitiva originou esta derivada?
dx


Estas são apenas algumas situações que podem envolver o cálculo das integrais.
Para tanto precisamos ter domínio sobre as diferentes técnicas de determinação das
integrais.
Então vamos pensar um pouco sobre:
1) O que são as integrais?
2) Qual o significado das integrais?
Na atualidade, as novas diretrizes da educação para o ensino superior,
apresentam-se voltada às discussões relacionadas com a necessidade de atualização da
educação a fim de impulsionar uma democratização social e cultural mais efetiva. Neste
contexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente em
sua área de formação, proporcionando, durante o tempo de graduação, vivências
relacionadas com o contexto de atuação, possibilitando que este se defronte com
diferentes situações inerentes a sua futura profissão.
   Portanto, a perspectiva metodológica está focada na articulação entre as disciplinas
evidenciando o equilíbrio entre as atividades teórico-práticas e nos projetos de
disciplina. Dessa forma, a prática pedagógica adotada na disciplina de Cálculo II,
deverá propiciar a construção do conhecimento a partir da participação do docente e do
discente nas atividades de ensino-aprendizagem.

Um pequeno recorte histórico:

A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite.
A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares da
matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716)
descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras
contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros
matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se
considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais.

        Na matemática aplicada ocorre freqüentemente que conhecemos a derivada de
uma função e desejemos encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a
velocidade ds/dt de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento s =
f(t), ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a
margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação
de diferenciação, Istoé temos que anti diferenciar.
        Assim, a integração indefinida é basicamente a operação inversa da
diferenciação.

       No cálculo diferencial de uma função y = f(x), estudou-se a variação da função a
ser dado um acréscimo a variável independente x.
         No cálculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f ’(x)dx, isto é, obtém-se a função
primitiva através da operação chamada integração indefinida ou antidiferenciação.
       Observem os gráficos das funções f(x) = x² - 1                g(x) = x² e h(x) = x² + 1,
cujo gráfico é observado a seguir:
Assim o que difere uma função da outra é a constante c, então vamos derivar estas
funções:


dy                                                    dy
    2 x todas tem a mesma derivada ou seja, f ’(x) =     2x
dx                                                    dx

     Mas se temos apenas a derivada da função como determinar a primitiva?
Este processo é o que vamos iniciar agora a integração indefinida ou primitivação de
uma função.
       Este processo inverso é representado pelo símbolo ou sinal de integração 
originado da letra S que para Leibniz era somatório de todos os infinitos e Johnn
Bernoulli denominava apenas de integração. Então a representação:



          f ( x)dx       significa:

f(x) é a função integrando
dx serve para indicar a variável de integração que foi derivada.


CONCLUI-SE QUE:
       De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma família de
primitivas (curvas) que só diferem entre si por uma constante arbitrária C.

Assim:
 f ( x)dx  F ( x)  C
       O processo de integração indefinida é o processo inverso da derivada , cada
regra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para a
integração.


Definição:

Se F(x) é uma primitiva de f(x) , a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da
função f(x) e é denotada por:



 f ( x)dx  F ( x)  C
Da definição da integrai indefinida decorre que:


1)    f ( x)dx  F ( x)  C  F ' ( x)  f ( x)
2)    f ( x)dx   representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as
primitivas da função integrando.

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS:

1) Proposição, sejam f, g : I  R e k uma constante então:
a)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx

Prova:
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, Kf(x) é uma primitiva da Kf(x), pois
(KF(x))’=KF’(x)=Kf(x). dessa forma temos que:

 kf ( x)dx  k  F ( x)  c  kF( x)  kc colocando k em evidência temos que
                                            1

             = k[ F ( x)  c ]  k  f ( x)dx
                            1



b)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Prova:
Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente então F(x) e G(x)
é uma primitiva da função (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)]’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x)
Portanto,
 ( f ( x)  g ( x))dx [F ( x)  G( x)]  c
                      = [ F ( x)  G( x)]  c1  c2 onde c = c1 + c2
                       [ F ( x)  c1 ]  [G( x)  c2 ]
                         f ( x)dx   g ( x)dx

        O processo de integração exige muita intuição, pois a partir da derivada
precisamos determinar a primitiva a partir das fórmulas de integração.
Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas.

Exemplos:

1) Encontre as primitivas das funções abaixo:
                                                       1
                                   2
a)  ( x 2  1)dx      b)  ( x 4  x  1)dx  c)  ( x 2  3x)dx
                                   3
Recomendações importantes para iniciar o processo de integração:

1) Verifique se os expoentes estão todos de forma que podemos somar;
2) Identifique o tipo de função que será integrada.
3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador não pode mais
aparecer o dx e deve aparecer o mais c;
4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados.


Fórmula:
            x n 1
 x dx             C e n  -1 e n  R
   n

            n 1

Se n = -1     temos:

                                                  du
                                                  u  ln | u | c
                1        dx
 x dx          dx  
   1
                             ln | x | c ou
                x         x

Exemplos:


1) Encontre a solução particular da equação diferencial dy = (x +1 ) dx que passa
    pelos pontos:
 a) P(2,6)                               b) P(1,-3)




2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 2t  1 , v = 3
   quando t = 1 e s = 4
Outros exemplos:

Primeira lista

1) Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser
considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o
número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?




2) Calcule as integrais abaixo:



                                                           (        x 2  3x  1)dx
                                                                 3
                                                                                                                  5
a)     (2x  x  5x  19)dx b)
           3   2
                                                                                                   c)  ( p 2      )dp d)  3e x dx
                                                                                                                  p
                                                                                        2    5
e)  (ax 2  b)dx                     f)  (e u  2u  5)du                    g)  (     2
                                                                                                )dx x > 0
                                                                                        x      x
              1         1

      (w 3  w 4  w  3)dw                                    (2 x                                               (tg ( )  cot g ( ))d
                                                                          3
h)                                                        i)                    3x 2  5)dx                 j)
     x 1                                           6                                                                             x 2  2x  1
    x 3 dx                                (2e       x  ln 2)dx n)                    (e  3  2)dx                      
                                               x                                             x   x
l)                               m)                                                                                      o)
                                                    x                                                                                  x2
     dt                              dv                       du                                       dp
p)                         q)                          r)                                  s)             t)  e x dx
     t                               v                         u                                        p


     2                 v)  3 x dx          x  3dt                            dv             dt
          t
u)            dt                                                     w)                  z)

Segunda lista:
                                                               y4  2y 1
1)  ( x 2 (2  x) 2 dx                          2)  (                  )dy                           3)  ( x 2 x 3  1) dx
                                                                    y
4)  15 p 2 q 4 dp                                  5)  (q 3  8q  15)dq                          6)  (4 x 3  3x 2  1)dx

                   1
           (t          t  2)dt                          a                                       abdx                   10)  (at  b)dt
                                                                 2
7)                 2
                                                  8)                 dt                    9
                                                    a                                        2     3
11)    (a  b)du                          12)   b   2
                                                           tdt                        13  (
                                                                                             x 3
                                                                                                  2  5)dx
                                                                                                  x
14  (3x  1)dx                           15)  (2 x  e x )dx                        16)  (sen( x)  cos( x)dx
                                                                                                                       1
17)  (10 x  x 0, 4 )dx                            18)  (2t  5) 2 dt                                19)  (3 x        )dx
                                                                                                                       x3

                                                                           x3  2
20)  (5 x 2  3x 0,1  1)dx                                   21)  (            )dx
                                                                             3
1
22)  sec( x)dx               23)  cot g ( x)dx   24)  (2 x       e x  1)dx
                                                                  x

     x2 1
25)  2 dx
      x



Exercícios livro Diva p.246
As integrais definidas




                                                Situações problemas:

1)Uma partícula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t é
v(t )  t 2  2t m/s. Determine:
              a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo [0,3] esboce o
                 gráfico. R.: 8/3m
2) (MEC) Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x2 e pela reta x
= b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf

Observe a figura abaixo:

Definir a área S delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo
eixo dos x e por retas x = a e x = b




        Para isso fazemos partições do intervalo [a,b]isto é dividimos o intervalo [a,b]
em n subintervalos.Construímos um retângulo de base x e altura f( c ) conforme
figuras:
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por:
                                                                   n
Sn = f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...+ f (cn )xn  =                 f (c )x
                                                                  i n
                                                                         i     i   esta soma é chamada de

soma de Riemann da função f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito e
x torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da área S.
Definição: seja f(x) uma função contínua em [a,b]. a área sob a curva y = f(x) de a até
b, é definida por:
                    n
A  lim  f (ci )xi
      x 0 i  n
A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a
formalização matemática dos problemas das áreas.

Definição:
  Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida
de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:




Onde: a é o limite inferior de integração;
          b é o limite superior de integração;

          f(x) é o integrando.


PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE

     Seja c uma constante então
      b
     a cf ( x)dx = c  f ( x)dx
                                  b

                                  a


                3                              3
     Ex.:   
            1
                    2( x  1)dx  2 ( x  1)dx
                                               1
2) PROPRIEDADE ADITIVA

Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas no intervalo [a,b], então:

 b                                    b              b
 [ f ( x)  g ( x)]dx  
 a                                    a
                                          f ( x)dx   g ( x)dx
                                                     a


3) PROPRIEDADE POR COMPARAÇÃO

     Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] então se f(x)  g(x) tem-se
                        b                  b
                       a
                            f ( x)dx   g ( x)dx
                                           a
4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALO

Sejam a, b, c três números arbitrários tais que a < c < b então:
    b              c                b
a
        f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
                   a                c


5) PROPRIEDADE

Se a > b e f é integrável em [b , a] então

    b                  a
a
        f ( x)dx   f ( x)dx
                       b


Observe os seguintes casos:


Se                                           representa a área entre as curvas, para




                                c            b
                           A   f ( x)dx   [ f ( x)dx]
                                a            c
,

                                c                       b
                          A   [ f ( x)  g ( x)]dx   [ g ( x)  f ( x)dx]
                                a                       c




CONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma função f, no intervalo
[a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operação F(b) – F(a).
Assim para calcular a área entre duas curvas f e g contínuas num intervalo dado
tem-se:

         b                          b           b
A=   
     a
             [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx conforme figura:
                                    a           a




CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS

O cálculo da região entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos:

1) Esboce a região e, então, trace uma reta vertical através do ponto de
   referência estabelecido;
2) A região ficará delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referência
   que serão os limites;
3) Determine os limites de integração a partir dos pontos de intersecção ou
   dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso.
4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a
   substituição do limite inferior.
1) Expresse como integral definida as seguintes áreas como integrais definida sem
resolvê-las.




Exemplos:

         3                                      3                                                        x
            (1  x)dx                             ( x 2  1)dx                                      (t         2t )dt
                                                                                                             2
a)                                     b)                                                       c)
     0                                       1                                                      0




   Calcule as áreas das figuras representadas nas figuras abaixo:
   1)
a)                         b)                       c)                                                                                        d)




     Exercícios:
     1)Calcule as integrais definidas abaixo:
                                                                                     2       1     1
                                                                                 
               1                                                                                                            3
     a)       1
                      (3x 2  2 x)dx                                        b)
                                                                                 1
                                                                                         (
                                                                                             x 3
                                                                                                  2 )dx
                                                                                                  x
                                                                                                                     c)     (
                                                                                                                            1
                                                                                                                                 3
                                                                                                                                      x  1)dx


                                                                                                             dx
                                                                                                     
                  3                                 3                                                                                     1
                     (3x  1)dx                        3x  1dx                                                                          (x        3)dx
                                                                                                                                                 3
     d)                                 e)                                                      f)                                   g)
               2                                2                                                    0       x2                          0


                  3                                          
     h)       0
                      xe x dx                       i)   
                                                         0
                                                                 e  x dx

     Outros exercícios
             2 x            
                  3
      a)    2x 2  7 x  1dx
                3                                                                  R : - 6,667
            2
                            
4
  b)   
       0
               ( 2x  1) dx     R : 8,667

           2
  c)   
       1
               (6x  1)dx       R:8

           2                         81
  d)   
       1
               x (1  x 3 )dx   R:
                                     10



APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA

   As integrais definidas podem ser usadas para determinação de áreas de regiões
planas, cálculo de volume de sólido de revolução, comprimento de arco, suprimento
para consumo, fluxo de sangue, cálculo do trabalho, energia, etc.
Ex.:
1) Calcular a área sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o gráfico.
2) Calcular a área delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado.
a) y = x 2 e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2.
b) y = x2 e y = x , x = ¼ e x = 1
c) y = 4x – x2 e o eixo 0x;        R.: 32/3
d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2
e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 até x = 2
f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0.           R.: e – 1
g) y = lnx , y = 0 e x = 2;
        1
j) y = x 2 e y = 6              R.: 48
        6
l) y = x3 – x e y = 0         R.: ½
m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2

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Apostila 3 calculo i integrais

  • 1. DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
  • 2. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO Dado uma função y = f(x) derivável, denomina-se diferencial de uma função num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse ponto pelo acréscimo arbitrário x da sua variável independente. Seja uma função y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y os acréscimos, da variável e da função.Chama-se diferencial da função f(x) correspondente ao acréscimo x ao produto da derivada f ’(x) pelo acréscimo x e indicamos assim: dy = f ’(x) . x . Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitésimos, isto é, quantidades que embora sejam não-nulas, são menores em magnitude do que qualquer quantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam- se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o y quociente torna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equação x dy/dx = f ’(x) como dy = f ’(x) .dx. y Supõe-se dx = x , fica claro que dy é uma boa aproximação para desde que x seja suficientemente pequeno. Observe graficamente a diferença entre dy e y quando dx = x . INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
  • 3. Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variação sofrida pela reta tangente ao gráfico, do ponto x ao ponto x + x. Pode-se calcular a diferença entre dy e y a qual denominamos , calculando a fórmula  = | y - dy | Exemplo1:
  • 4. EXEMPLOS 1) Calcular aproximadamente 65 , sabendo que 64  8 e f ( x)  x . 2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais. EXERCÍCIOS 1) Calcule um valor aproximado para 3 65,5 usando diferenciais. 2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3cm a 3,1cm. 3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais. 4)Calcular a variação do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua área sofra uma variação de 1 cm.
  • 5. Introdução ao estudo das integrais Situação 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a érea sob a parábola no intervalo[0,2] observada na figura. Que estratégias você utiliza para determinar está área? Você conhece alguma fórmula da geometria que permite o cálculo desta região? Situação 2: Vamos pensar um pouco mais se a função derivada é representada pela função: dy  3x²  2 x  1 que função primitiva originou esta derivada? dx Estas são apenas algumas situações que podem envolver o cálculo das integrais. Para tanto precisamos ter domínio sobre as diferentes técnicas de determinação das integrais. Então vamos pensar um pouco sobre: 1) O que são as integrais? 2) Qual o significado das integrais?
  • 6. Na atualidade, as novas diretrizes da educação para o ensino superior, apresentam-se voltada às discussões relacionadas com a necessidade de atualização da educação a fim de impulsionar uma democratização social e cultural mais efetiva. Neste contexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente em sua área de formação, proporcionando, durante o tempo de graduação, vivências relacionadas com o contexto de atuação, possibilitando que este se defronte com diferentes situações inerentes a sua futura profissão. Portanto, a perspectiva metodológica está focada na articulação entre as disciplinas evidenciando o equilíbrio entre as atividades teórico-práticas e nos projetos de disciplina. Dessa forma, a prática pedagógica adotada na disciplina de Cálculo II, deverá propiciar a construção do conhecimento a partir da participação do docente e do discente nas atividades de ensino-aprendizagem. Um pequeno recorte histórico: A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. Na matemática aplicada ocorre freqüentemente que conhecemos a derivada de uma função e desejemos encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a velocidade ds/dt de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento s = f(t), ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação de diferenciação, Istoé temos que anti diferenciar. Assim, a integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. No cálculo diferencial de uma função y = f(x), estudou-se a variação da função a ser dado um acréscimo a variável independente x. No cálculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f ’(x)dx, isto é, obtém-se a função primitiva através da operação chamada integração indefinida ou antidiferenciação. Observem os gráficos das funções f(x) = x² - 1 g(x) = x² e h(x) = x² + 1, cujo gráfico é observado a seguir:
  • 7. Assim o que difere uma função da outra é a constante c, então vamos derivar estas funções: dy dy  2 x todas tem a mesma derivada ou seja, f ’(x) =  2x dx dx Mas se temos apenas a derivada da função como determinar a primitiva? Este processo é o que vamos iniciar agora a integração indefinida ou primitivação de uma função. Este processo inverso é representado pelo símbolo ou sinal de integração  originado da letra S que para Leibniz era somatório de todos os infinitos e Johnn Bernoulli denominava apenas de integração. Então a representação:  f ( x)dx significa: f(x) é a função integrando dx serve para indicar a variável de integração que foi derivada. CONCLUI-SE QUE: De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma família de primitivas (curvas) que só diferem entre si por uma constante arbitrária C. Assim:  f ( x)dx  F ( x)  C O processo de integração indefinida é o processo inverso da derivada , cada regra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para a integração. Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x) , a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:  f ( x)dx  F ( x)  C Da definição da integrai indefinida decorre que: 1)  f ( x)dx  F ( x)  C  F ' ( x)  f ( x)
  • 8. 2)  f ( x)dx representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as primitivas da função integrando. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS: 1) Proposição, sejam f, g : I  R e k uma constante então: a)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx Prova: Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, Kf(x) é uma primitiva da Kf(x), pois (KF(x))’=KF’(x)=Kf(x). dessa forma temos que:  kf ( x)dx  k  F ( x)  c  kF( x)  kc colocando k em evidência temos que 1 = k[ F ( x)  c ]  k  f ( x)dx 1 b)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx Prova: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente então F(x) e G(x) é uma primitiva da função (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)]’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) Portanto,  ( f ( x)  g ( x))dx [F ( x)  G( x)]  c = [ F ( x)  G( x)]  c1  c2 onde c = c1 + c2  [ F ( x)  c1 ]  [G( x)  c2 ]   f ( x)dx   g ( x)dx O processo de integração exige muita intuição, pois a partir da derivada precisamos determinar a primitiva a partir das fórmulas de integração. Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas. Exemplos: 1) Encontre as primitivas das funções abaixo: 1 2 a)  ( x 2  1)dx b)  ( x 4  x  1)dx c)  ( x 2  3x)dx 3
  • 9. Recomendações importantes para iniciar o processo de integração: 1) Verifique se os expoentes estão todos de forma que podemos somar; 2) Identifique o tipo de função que será integrada. 3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador não pode mais aparecer o dx e deve aparecer o mais c; 4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados. Fórmula: x n 1  x dx   C e n  -1 e n  R n n 1 Se n = -1 temos: du  u  ln | u | c 1 dx  x dx   dx   1  ln | x | c ou x x Exemplos: 1) Encontre a solução particular da equação diferencial dy = (x +1 ) dx que passa pelos pontos: a) P(2,6) b) P(1,-3) 2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 2t  1 , v = 3 quando t = 1 e s = 4
  • 10. Outros exemplos: Primeira lista 1) Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? 2) Calcule as integrais abaixo: ( x 2  3x  1)dx 3 5 a)  (2x  x  5x  19)dx b) 3 2 c)  ( p 2  )dp d)  3e x dx p 2 5 e)  (ax 2  b)dx f)  (e u  2u  5)du g)  ( 2  )dx x > 0 x x 1 1  (w 3  w 4  w  3)dw  (2 x  (tg ( )  cot g ( ))d 3 h) i)  3x 2  5)dx j) x 1 6 x 2  2x  1  x 3 dx  (2e   x  ln 2)dx n)  (e  3  2)dx  x x x l) m) o) x x2 dt dv du dp p)  q)  r)  s)  t)  e x dx t v u p 2 v)  3 x dx x  3dt  dv  dt t u) dt w) z) Segunda lista: y4  2y 1 1)  ( x 2 (2  x) 2 dx 2)  ( )dy 3)  ( x 2 x 3  1) dx y 4)  15 p 2 q 4 dp 5)  (q 3  8q  15)dq 6)  (4 x 3  3x 2  1)dx 1  (t  t  2)dt a  abdx 10)  (at  b)dt 2 7) 2 8) dt 9 a 2 3 11)  (a  b)du 12) b 2 tdt 13  ( x 3  2  5)dx x 14  (3x  1)dx 15)  (2 x  e x )dx 16)  (sen( x)  cos( x)dx 1 17)  (10 x  x 0, 4 )dx 18)  (2t  5) 2 dt 19)  (3 x  )dx x3 x3  2 20)  (5 x 2  3x 0,1  1)dx 21)  ( )dx 3
  • 11. 1 22)  sec( x)dx 23)  cot g ( x)dx 24)  (2 x   e x  1)dx x x2 1 25)  2 dx x Exercícios livro Diva p.246
  • 12. As integrais definidas Situações problemas: 1)Uma partícula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t é v(t )  t 2  2t m/s. Determine: a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo [0,3] esboce o gráfico. R.: 8/3m 2) (MEC) Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
  • 13. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf Observe a figura abaixo: Definir a área S delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por retas x = a e x = b Para isso fazemos partições do intervalo [a,b]isto é dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos.Construímos um retângulo de base x e altura f( c ) conforme figuras:
  • 14. A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por: n Sn = f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...+ f (cn )xn  =  f (c )x i n i i esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito e x torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da área S. Definição: seja f(x) uma função contínua em [a,b]. a área sob a curva y = f(x) de a até b, é definida por: n A  lim  f (ci )xi x 0 i  n A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas das áreas. Definição: Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: Onde: a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração; f(x) é o integrando. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE Seja c uma constante então b a cf ( x)dx = c  f ( x)dx b a 3 3 Ex.:  1 2( x  1)dx  2 ( x  1)dx 1 2) PROPRIEDADE ADITIVA Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas no intervalo [a,b], então: b b b  [ f ( x)  g ( x)]dx   a a f ( x)dx   g ( x)dx a 3) PROPRIEDADE POR COMPARAÇÃO Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] então se f(x)  g(x) tem-se b b  a f ( x)dx   g ( x)dx a
  • 15. 4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALO Sejam a, b, c três números arbitrários tais que a < c < b então: b c b a f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a c 5) PROPRIEDADE Se a > b e f é integrável em [b , a] então b a a f ( x)dx   f ( x)dx b Observe os seguintes casos: Se representa a área entre as curvas, para c b A   f ( x)dx   [ f ( x)dx] a c
  • 16. , c b A   [ f ( x)  g ( x)]dx   [ g ( x)  f ( x)dx] a c CONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma função f, no intervalo [a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operação F(b) – F(a). Assim para calcular a área entre duas curvas f e g contínuas num intervalo dado tem-se: b b b A=  a [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx conforme figura: a a CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS O cálculo da região entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos: 1) Esboce a região e, então, trace uma reta vertical através do ponto de referência estabelecido; 2) A região ficará delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referência que serão os limites; 3) Determine os limites de integração a partir dos pontos de intersecção ou dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso. 4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a substituição do limite inferior.
  • 17. 1) Expresse como integral definida as seguintes áreas como integrais definida sem resolvê-las. Exemplos: 3 3 x  (1  x)dx  ( x 2  1)dx  (t  2t )dt 2 a) b) c) 0 1 0 Calcule as áreas das figuras representadas nas figuras abaixo: 1) a) b) c) d) Exercícios: 1)Calcule as integrais definidas abaixo: 2 1 1  1 3 a) 1 (3x 2  2 x)dx b) 1 ( x 3  2 )dx x c) ( 1 3 x  1)dx  dx  3 3 1  (3x  1)dx  3x  1dx  (x  3)dx 3 d) e) f) g) 2 2 0 x2 0 3  h) 0 xe x dx i)  0 e  x dx Outros exercícios 2 x  3 a)    2x 2  7 x  1dx  3  R : - 6,667 2  
  • 18. 4 b)  0 ( 2x  1) dx R : 8,667 2 c)  1 (6x  1)dx R:8 2 81 d)  1 x (1  x 3 )dx R: 10 APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA As integrais definidas podem ser usadas para determinação de áreas de regiões planas, cálculo de volume de sólido de revolução, comprimento de arco, suprimento para consumo, fluxo de sangue, cálculo do trabalho, energia, etc. Ex.: 1) Calcular a área sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o gráfico. 2) Calcular a área delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado. a) y = x 2 e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2. b) y = x2 e y = x , x = ¼ e x = 1 c) y = 4x – x2 e o eixo 0x; R.: 32/3 d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2 e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 até x = 2 f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0. R.: e – 1 g) y = lnx , y = 0 e x = 2; 1 j) y = x 2 e y = 6 R.: 48 6 l) y = x3 – x e y = 0 R.: ½ m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2