SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 18
Baixar para ler offline
DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO

       Dado uma função y = f(x) derivável, denomina-se diferencial de uma
função num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse ponto
pelo acréscimo arbitrário x da sua variável independente.
Seja uma função y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y os
acréscimos, da variável e da função.Chama-se diferencial da função f(x)
correspondente ao acréscimo x ao produto da derivada f ’(x) pelo acréscimo
 x e indicamos assim:         dy = f ’(x) . x .
Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitésimos, isto é, quantidades que
embora sejam não-nulas, são menores em magnitude do que qualquer
quantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam-
se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o
             y
quociente        torna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equação
             x
dy/dx = f ’(x) como dy = f ’(x) .dx.
                                                                    y
Supõe-se dx = x , fica claro que dy é uma boa aproximação para         desde

que x seja suficientemente pequeno.

Observe graficamente a diferença entre dy e y quando dx = x .


INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variação sofrida pela reta
tangente ao gráfico, do ponto x ao ponto x + x.
Pode-se calcular a diferença entre dy e y a qual denominamos , calculando
a fórmula
 = | y - dy |
Exemplo1:
EXEMPLOS

1) Calcular aproximadamente    65 , sabendo que      64  8 e f ( x)  x .


2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de
altura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se
resolvermos usando diferenciais.


EXERCÍCIOS

1) Calcule um valor aproximado para   3
                                          65,5 usando diferenciais.




2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera
quando o raio varia de 3cm a 3,1cm.




3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais.




4)Calcular a variação do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua área
sofra uma variação de 1 cm.
Introdução ao estudo das integrais




Situação 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a érea sob a
parábola no intervalo[0,2] observada na figura.



                              Que estratégias você utiliza
                              para determinar está área?
                              Você conhece alguma fórmula
                              da geometria que permite o
                              cálculo desta região?




Situação 2: Vamos pensar um pouco mais se a função derivada é representada pela
função:
dy
    3x²  2 x  1 que função primitiva originou esta derivada?
dx


Estas são apenas algumas situações que podem envolver o cálculo das integrais.
Para tanto precisamos ter domínio sobre as diferentes técnicas de determinação das
integrais.
Então vamos pensar um pouco sobre:
1) O que são as integrais?
2) Qual o significado das integrais?
Na atualidade, as novas diretrizes da educação para o ensino superior,
apresentam-se voltada às discussões relacionadas com a necessidade de atualização da
educação a fim de impulsionar uma democratização social e cultural mais efetiva. Neste
contexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente em
sua área de formação, proporcionando, durante o tempo de graduação, vivências
relacionadas com o contexto de atuação, possibilitando que este se defronte com
diferentes situações inerentes a sua futura profissão.
   Portanto, a perspectiva metodológica está focada na articulação entre as disciplinas
evidenciando o equilíbrio entre as atividades teórico-práticas e nos projetos de
disciplina. Dessa forma, a prática pedagógica adotada na disciplina de Cálculo II,
deverá propiciar a construção do conhecimento a partir da participação do docente e do
discente nas atividades de ensino-aprendizagem.

Um pequeno recorte histórico:

A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite.
A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares da
matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716)
descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras
contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros
matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se
considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais.

        Na matemática aplicada ocorre freqüentemente que conhecemos a derivada de
uma função e desejemos encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a
velocidade ds/dt de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento s =
f(t), ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a
margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação
de diferenciação, Istoé temos que anti diferenciar.
        Assim, a integração indefinida é basicamente a operação inversa da
diferenciação.

       No cálculo diferencial de uma função y = f(x), estudou-se a variação da função a
ser dado um acréscimo a variável independente x.
         No cálculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f ’(x)dx, isto é, obtém-se a função
primitiva através da operação chamada integração indefinida ou antidiferenciação.
       Observem os gráficos das funções f(x) = x² - 1                g(x) = x² e h(x) = x² + 1,
cujo gráfico é observado a seguir:
Assim o que difere uma função da outra é a constante c, então vamos derivar estas
funções:


dy                                                    dy
    2 x todas tem a mesma derivada ou seja, f ’(x) =     2x
dx                                                    dx

     Mas se temos apenas a derivada da função como determinar a primitiva?
Este processo é o que vamos iniciar agora a integração indefinida ou primitivação de
uma função.
       Este processo inverso é representado pelo símbolo ou sinal de integração 
originado da letra S que para Leibniz era somatório de todos os infinitos e Johnn
Bernoulli denominava apenas de integração. Então a representação:



          f ( x)dx       significa:

f(x) é a função integrando
dx serve para indicar a variável de integração que foi derivada.


CONCLUI-SE QUE:
       De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma família de
primitivas (curvas) que só diferem entre si por uma constante arbitrária C.

Assim:
 f ( x)dx  F ( x)  C
       O processo de integração indefinida é o processo inverso da derivada , cada
regra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para a
integração.


Definição:

Se F(x) é uma primitiva de f(x) , a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da
função f(x) e é denotada por:



 f ( x)dx  F ( x)  C
Da definição da integrai indefinida decorre que:


1)    f ( x)dx  F ( x)  C  F ' ( x)  f ( x)
2)    f ( x)dx   representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as
primitivas da função integrando.

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS:

1) Proposição, sejam f, g : I  R e k uma constante então:
a)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx

Prova:
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, Kf(x) é uma primitiva da Kf(x), pois
(KF(x))’=KF’(x)=Kf(x). dessa forma temos que:

 kf ( x)dx  k  F ( x)  c  kF( x)  kc colocando k em evidência temos que
                                            1

             = k[ F ( x)  c ]  k  f ( x)dx
                            1



b)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Prova:
Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente então F(x) e G(x)
é uma primitiva da função (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)]’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x)
Portanto,
 ( f ( x)  g ( x))dx [F ( x)  G( x)]  c
                      = [ F ( x)  G( x)]  c1  c2 onde c = c1 + c2
                       [ F ( x)  c1 ]  [G( x)  c2 ]
                         f ( x)dx   g ( x)dx

        O processo de integração exige muita intuição, pois a partir da derivada
precisamos determinar a primitiva a partir das fórmulas de integração.
Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas.

Exemplos:

1) Encontre as primitivas das funções abaixo:
                                                       1
                                   2
a)  ( x 2  1)dx      b)  ( x 4  x  1)dx  c)  ( x 2  3x)dx
                                   3
Recomendações importantes para iniciar o processo de integração:

1) Verifique se os expoentes estão todos de forma que podemos somar;
2) Identifique o tipo de função que será integrada.
3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador não pode mais
aparecer o dx e deve aparecer o mais c;
4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados.


Fórmula:
            x n 1
 x dx             C e n  -1 e n  R
   n

            n 1

Se n = -1     temos:

                                                  du
                                                  u  ln | u | c
                1        dx
 x dx          dx  
   1
                             ln | x | c ou
                x         x

Exemplos:


1) Encontre a solução particular da equação diferencial dy = (x +1 ) dx que passa
    pelos pontos:
 a) P(2,6)                               b) P(1,-3)




2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 2t  1 , v = 3
   quando t = 1 e s = 4
Outros exemplos:

Primeira lista

1) Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser
considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o
número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?




2) Calcule as integrais abaixo:



                                                           (        x 2  3x  1)dx
                                                                 3
                                                                                                                  5
a)     (2x  x  5x  19)dx b)
           3   2
                                                                                                   c)  ( p 2      )dp d)  3e x dx
                                                                                                                  p
                                                                                        2    5
e)  (ax 2  b)dx                     f)  (e u  2u  5)du                    g)  (     2
                                                                                                )dx x > 0
                                                                                        x      x
              1         1

      (w 3  w 4  w  3)dw                                    (2 x                                               (tg ( )  cot g ( ))d
                                                                          3
h)                                                        i)                    3x 2  5)dx                 j)
     x 1                                           6                                                                             x 2  2x  1
    x 3 dx                                (2e       x  ln 2)dx n)                    (e  3  2)dx                      
                                               x                                             x   x
l)                               m)                                                                                      o)
                                                    x                                                                                  x2
     dt                              dv                       du                                       dp
p)                         q)                          r)                                  s)             t)  e x dx
     t                               v                         u                                        p


     2                 v)  3 x dx          x  3dt                            dv             dt
          t
u)            dt                                                     w)                  z)

Segunda lista:
                                                               y4  2y 1
1)  ( x 2 (2  x) 2 dx                          2)  (                  )dy                           3)  ( x 2 x 3  1) dx
                                                                    y
4)  15 p 2 q 4 dp                                  5)  (q 3  8q  15)dq                          6)  (4 x 3  3x 2  1)dx

                   1
           (t          t  2)dt                          a                                       abdx                   10)  (at  b)dt
                                                                 2
7)                 2
                                                  8)                 dt                    9
                                                    a                                        2     3
11)    (a  b)du                          12)   b   2
                                                           tdt                        13  (
                                                                                             x 3
                                                                                                  2  5)dx
                                                                                                  x
14  (3x  1)dx                           15)  (2 x  e x )dx                        16)  (sen( x)  cos( x)dx
                                                                                                                       1
17)  (10 x  x 0, 4 )dx                            18)  (2t  5) 2 dt                                19)  (3 x        )dx
                                                                                                                       x3

                                                                           x3  2
20)  (5 x 2  3x 0,1  1)dx                                   21)  (            )dx
                                                                             3
1
22)  sec( x)dx               23)  cot g ( x)dx   24)  (2 x       e x  1)dx
                                                                  x

     x2 1
25)  2 dx
      x



Exercícios livro Diva p.246
As integrais definidas




                                                Situações problemas:

1)Uma partícula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t é
v(t )  t 2  2t m/s. Determine:
              a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo [0,3] esboce o
                 gráfico. R.: 8/3m
2) (MEC) Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x2 e pela reta x
= b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf

Observe a figura abaixo:

Definir a área S delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo
eixo dos x e por retas x = a e x = b




        Para isso fazemos partições do intervalo [a,b]isto é dividimos o intervalo [a,b]
em n subintervalos.Construímos um retângulo de base x e altura f( c ) conforme
figuras:
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por:
                                                                   n
Sn = f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...+ f (cn )xn  =                 f (c )x
                                                                  i n
                                                                         i     i   esta soma é chamada de

soma de Riemann da função f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito e
x torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da área S.
Definição: seja f(x) uma função contínua em [a,b]. a área sob a curva y = f(x) de a até
b, é definida por:
                    n
A  lim  f (ci )xi
      x 0 i  n
A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a
formalização matemática dos problemas das áreas.

Definição:
  Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida
de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:




Onde: a é o limite inferior de integração;
          b é o limite superior de integração;

          f(x) é o integrando.


PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE

     Seja c uma constante então
      b
     a cf ( x)dx = c  f ( x)dx
                                  b

                                  a


                3                              3
     Ex.:   
            1
                    2( x  1)dx  2 ( x  1)dx
                                               1
2) PROPRIEDADE ADITIVA

Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas no intervalo [a,b], então:

 b                                    b              b
 [ f ( x)  g ( x)]dx  
 a                                    a
                                          f ( x)dx   g ( x)dx
                                                     a


3) PROPRIEDADE POR COMPARAÇÃO

     Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] então se f(x)  g(x) tem-se
                        b                  b
                       a
                            f ( x)dx   g ( x)dx
                                           a
4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALO

Sejam a, b, c três números arbitrários tais que a < c < b então:
    b              c                b
a
        f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
                   a                c


5) PROPRIEDADE

Se a > b e f é integrável em [b , a] então

    b                  a
a
        f ( x)dx   f ( x)dx
                       b


Observe os seguintes casos:


Se                                           representa a área entre as curvas, para




                                c            b
                           A   f ( x)dx   [ f ( x)dx]
                                a            c
,

                                c                       b
                          A   [ f ( x)  g ( x)]dx   [ g ( x)  f ( x)dx]
                                a                       c




CONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma função f, no intervalo
[a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operação F(b) – F(a).
Assim para calcular a área entre duas curvas f e g contínuas num intervalo dado
tem-se:

         b                          b           b
A=   
     a
             [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx conforme figura:
                                    a           a




CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS

O cálculo da região entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos:

1) Esboce a região e, então, trace uma reta vertical através do ponto de
   referência estabelecido;
2) A região ficará delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referência
   que serão os limites;
3) Determine os limites de integração a partir dos pontos de intersecção ou
   dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso.
4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a
   substituição do limite inferior.
1) Expresse como integral definida as seguintes áreas como integrais definida sem
resolvê-las.




Exemplos:

         3                                      3                                                        x
            (1  x)dx                             ( x 2  1)dx                                      (t         2t )dt
                                                                                                             2
a)                                     b)                                                       c)
     0                                       1                                                      0




   Calcule as áreas das figuras representadas nas figuras abaixo:
   1)
a)                         b)                       c)                                                                                        d)




     Exercícios:
     1)Calcule as integrais definidas abaixo:
                                                                                     2       1     1
                                                                                 
               1                                                                                                            3
     a)       1
                      (3x 2  2 x)dx                                        b)
                                                                                 1
                                                                                         (
                                                                                             x 3
                                                                                                  2 )dx
                                                                                                  x
                                                                                                                     c)     (
                                                                                                                            1
                                                                                                                                 3
                                                                                                                                      x  1)dx


                                                                                                             dx
                                                                                                     
                  3                                 3                                                                                     1
                     (3x  1)dx                        3x  1dx                                                                          (x        3)dx
                                                                                                                                                 3
     d)                                 e)                                                      f)                                   g)
               2                                2                                                    0       x2                          0


                  3                                          
     h)       0
                      xe x dx                       i)   
                                                         0
                                                                 e  x dx

     Outros exercícios
             2 x            
                  3
      a)    2x 2  7 x  1dx
                3                                                                  R : - 6,667
            2
                            
4
  b)   
       0
               ( 2x  1) dx     R : 8,667

           2
  c)   
       1
               (6x  1)dx       R:8

           2                         81
  d)   
       1
               x (1  x 3 )dx   R:
                                     10



APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA

   As integrais definidas podem ser usadas para determinação de áreas de regiões
planas, cálculo de volume de sólido de revolução, comprimento de arco, suprimento
para consumo, fluxo de sangue, cálculo do trabalho, energia, etc.
Ex.:
1) Calcular a área sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o gráfico.
2) Calcular a área delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado.
a) y = x 2 e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2.
b) y = x2 e y = x , x = ¼ e x = 1
c) y = 4x – x2 e o eixo 0x;        R.: 32/3
d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2
e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 até x = 2
f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0.           R.: e – 1
g) y = lnx , y = 0 e x = 2;
        1
j) y = x 2 e y = 6              R.: 48
        6
l) y = x3 – x e y = 0         R.: ½
m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Integrais impróprias
Integrais imprópriasIntegrais impróprias
Integrais imprópriaskarinsimonato
 
Multiplicacao de matrizes
Multiplicacao de matrizesMultiplicacao de matrizes
Multiplicacao de matrizesGlauber Cruz
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retacon_seguir
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatóriaDaniel Muniz
 
MéDia AritméTica
MéDia AritméTicaMéDia AritméTica
MéDia AritméTicaestrelaeia
 
23 aula estudo do sinal da funcao afim
23 aula   estudo do sinal da funcao afim23 aula   estudo do sinal da funcao afim
23 aula estudo do sinal da funcao afimjatobaesem
 
Função do 2º grau
Função do 2º grauFunção do 2º grau
Função do 2º grauleilamaluf
 
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...GoisBemnoEnem
 
53977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-1
53977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-153977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-1
53977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-1afpinto
 
Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.carolgouvea
 
AULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° dia
AULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° diaAULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° dia
AULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° diaananiasdoamaral
 
Equação do 1º grau
Equação do 1º grauEquação do 1º grau
Equação do 1º grauElcielle .
 
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoSistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaprofluizgustavo
 

Mais procurados (20)

Integrais impróprias
Integrais imprópriasIntegrais impróprias
Integrais impróprias
 
Multiplicacao de matrizes
Multiplicacao de matrizesMultiplicacao de matrizes
Multiplicacao de matrizes
 
Geometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da retaGeometria analitica equacao da reta
Geometria analitica equacao da reta
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
 
MéDia AritméTica
MéDia AritméTicaMéDia AritméTica
MéDia AritméTica
 
Classificação de ângulos
Classificação de ângulosClassificação de ângulos
Classificação de ângulos
 
23 aula estudo do sinal da funcao afim
23 aula   estudo do sinal da funcao afim23 aula   estudo do sinal da funcao afim
23 aula estudo do sinal da funcao afim
 
Função do 2º grau
Função do 2º grauFunção do 2º grau
Função do 2º grau
 
Lista
ListaLista
Lista
 
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...MATEMÁTICA  | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
MATEMÁTICA | SEMANA 33 | 3ª SÉRIE | POLINÔMIO DECOMPOSIÇÃO EM FATORES DO 1º ...
 
Equação exponencial
Equação exponencialEquação exponencial
Equação exponencial
 
53977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-1
53977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-153977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-1
53977175 area-e-perimetro-de-figuras-planas-1
 
Razão e proporção
Razão e proporçãoRazão e proporção
Razão e proporção
 
Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.Função de 1º Grau.
Função de 1º Grau.
 
AULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° dia
AULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° diaAULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° dia
AULÃO DE MATEMÁTICA Spaece 2° dia
 
Poliedros
PoliedrosPoliedros
Poliedros
 
Equação do 1º grau
Equação do 1º grauEquação do 1º grau
Equação do 1º grau
 
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoSistemas de equações do 1⁰ grau revisão
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisão
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
 
Sistemas de equações so 1º grau apresentação
Sistemas de equações so 1º grau apresentaçãoSistemas de equações so 1º grau apresentação
Sistemas de equações so 1º grau apresentação
 

Destaque

Conjuntos Calculo I
Conjuntos Calculo IConjuntos Calculo I
Conjuntos Calculo IIsa Avila
 
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisCalculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisRonildo Oliveira
 
Cálculo de primitivas
Cálculo de primitivasCálculo de primitivas
Cálculo de primitivasbdeotto
 
4) funciones Calculo 1
4) funciones Calculo 14) funciones Calculo 1
4) funciones Calculo 1Isa Avila
 
Metodos de integracion
Metodos de integracionMetodos de integracion
Metodos de integracionhesus_51
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definidaeducacao f
 
Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)matheuslw
 
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferroImportância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferroDébora Neves
 
Eletrólise aquosa
Eletrólise aquosaEletrólise aquosa
Eletrólise aquosaEdson Karot
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadastrigono_metrico
 
Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017
Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017
Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017professora de geografia
 

Destaque (20)

Conjuntos Calculo I
Conjuntos Calculo IConjuntos Calculo I
Conjuntos Calculo I
 
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisCalculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de Integrais
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
 
Cálculo de primitivas
Cálculo de primitivasCálculo de primitivas
Cálculo de primitivas
 
Calculo de primitivas
Calculo de primitivasCalculo de primitivas
Calculo de primitivas
 
4) funciones Calculo 1
4) funciones Calculo 14) funciones Calculo 1
4) funciones Calculo 1
 
Metodos de integracion
Metodos de integracionMetodos de integracion
Metodos de integracion
 
Integral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E DefinidaIntegral Indefinida E Definida
Integral Indefinida E Definida
 
Oxi-redução
Oxi-reduçãoOxi-redução
Oxi-redução
 
Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)Reações orgânicas (substituição)
Reações orgânicas (substituição)
 
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferroImportância da oxidação e da redução na extracção do ferro
Importância da oxidação e da redução na extracção do ferro
 
Citoesqueleto ppt
Citoesqueleto pptCitoesqueleto ppt
Citoesqueleto ppt
 
Eletrólise aquosa
Eletrólise aquosaEletrólise aquosa
Eletrólise aquosa
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 
Ap matemática m3
Ap matemática m3Ap matemática m3
Ap matemática m3
 
8 oxidacao reducao
8  oxidacao reducao8  oxidacao reducao
8 oxidacao reducao
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
 
01 biologia geral
01 biologia geral01 biologia geral
01 biologia geral
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
 
Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017
Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017
Caderno do aluno biologia 3 ano vol 2 2014 2017
 

Semelhante a Apostila 3 calculo i integrais

guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.doc
guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.docguia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.doc
guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.docShirleyCristinaCosta
 
Apostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral
Apostila: Introdução a Limite, Derivada e IntegralApostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral
Apostila: Introdução a Limite, Derivada e IntegralMaria Teresa Thomaz
 
Relatorio integrais rev
Relatorio integrais  revRelatorio integrais  rev
Relatorio integrais revEstela Lasmar
 
Calculo vetorial
Calculo vetorialCalculo vetorial
Calculo vetorialtooonks
 
Tarea 1 wilmer segovia
Tarea 1 wilmer segoviaTarea 1 wilmer segovia
Tarea 1 wilmer segoviatareasuft
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoCarlos Campani
 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iiiCálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Carlos Campani
 
Matemática Discreta - Parte VI funções
Matemática Discreta - Parte VI funçõesMatemática Discreta - Parte VI funções
Matemática Discreta - Parte VI funçõesUlrich Schiel
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoMaths Tutoring
 
funçoes
funçoesfunçoes
funçoestagma33
 

Semelhante a Apostila 3 calculo i integrais (20)

guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.doc
guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.docguia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.doc
guia-de-func3a7c3a3o-4a-parte-cc3a1lculo-integral2.doc
 
Apostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral
Apostila: Introdução a Limite, Derivada e IntegralApostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral
Apostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral
 
Relatorio integrais rev
Relatorio integrais  revRelatorio integrais  rev
Relatorio integrais rev
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
 
Calculo vetorial
Calculo vetorialCalculo vetorial
Calculo vetorial
 
Tarea 1 wilmer segovia
Tarea 1 wilmer segoviaTarea 1 wilmer segovia
Tarea 1 wilmer segovia
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - Cálculo
 
16598764 apostila-de-calculo
16598764 apostila-de-calculo16598764 apostila-de-calculo
16598764 apostila-de-calculo
 
Matematica2 5
Matematica2 5Matematica2 5
Matematica2 5
 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iiiCálculo diferencial e integral de várias variáveis   unid iii
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iii
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Aula11.pdf
Aula11.pdfAula11.pdf
Aula11.pdf
 
Matemática Discreta - Parte VI funções
Matemática Discreta - Parte VI funçõesMatemática Discreta - Parte VI funções
Matemática Discreta - Parte VI funções
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvido
 
Calculo d edo_1
Calculo d edo_1Calculo d edo_1
Calculo d edo_1
 
Apostila integrais
Apostila integraisApostila integrais
Apostila integrais
 
funçoes
funçoesfunçoes
funçoes
 
Fourier
FourierFourier
Fourier
 
Cálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLabCálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLab
 
2_Funçoes.pdf
2_Funçoes.pdf2_Funçoes.pdf
2_Funçoes.pdf
 

Mais de trigono_metrico

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadatrigono_metrico
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadatrigono_metrico
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidostrigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3trigono_metrico
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidostrigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5trigono_metrico
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexotrigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4trigono_metrico
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicatrigono_metrico
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011trigono_metrico
 
Mat exercicios resolvidos 010
Mat exercicios resolvidos  010Mat exercicios resolvidos  010
Mat exercicios resolvidos 010trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 1
Dfato vestibular fasciculo  1Dfato vestibular fasciculo  1
Dfato vestibular fasciculo 1trigono_metrico
 
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talesMat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talestrigono_metrico
 

Mais de trigono_metrico (20)

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
 
Apostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo iApostila 1 calculo i
Apostila 1 calculo i
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
 
Apostila 1 ec
Apostila 1 ecApostila 1 ec
Apostila 1 ec
 
Mat exercicios resolvidos 010
Mat exercicios resolvidos  010Mat exercicios resolvidos  010
Mat exercicios resolvidos 010
 
Dfato vestibular fasciculo 1
Dfato vestibular fasciculo  1Dfato vestibular fasciculo  1
Dfato vestibular fasciculo 1
 
Mat logaritmos 004
Mat logaritmos  004Mat logaritmos  004
Mat logaritmos 004
 
Mat funcoes 002
Mat funcoes  002Mat funcoes  002
Mat funcoes 002
 
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talesMat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
 
Mat financeira cefet
Mat financeira cefetMat financeira cefet
Mat financeira cefet
 

Último

Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco LeiteOs Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leiteprofesfrancleite
 
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos AnimaisNós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos AnimaisIlda Bicacro
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteLeonel Morgado
 
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...Manuais Formação
 
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdfAS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdfssuserbb4ac2
 
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalPPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalcarlaOliveira438
 
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã""Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"Ilda Bicacro
 
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantil
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantilApresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantil
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantilMariaHelena293800
 
O que é uma Revolução Solar. tecnica preditiva
O que é uma Revolução Solar. tecnica preditivaO que é uma Revolução Solar. tecnica preditiva
O que é uma Revolução Solar. tecnica preditivaCludiaRodrigues693635
 
clubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importância
clubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importânciaclubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importância
clubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importânciaLuanaAlves940822
 
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdfRespostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdfssuser06ee57
 
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptxSlides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
São Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptx
São Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptxSão Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptx
São Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptxMartin M Flynn
 
Slide - HIV (1) edit.pptx hiv em crianças
Slide - HIV (1) edit.pptx hiv em criançasSlide - HIV (1) edit.pptx hiv em crianças
Slide - HIV (1) edit.pptx hiv em criançasnarayaskara215
 
Planejamento 2024 - 1º ano - Matemática 38 a 62.pdf
Planejamento 2024 - 1º ano - Matemática  38 a 62.pdfPlanejamento 2024 - 1º ano - Matemática  38 a 62.pdf
Planejamento 2024 - 1º ano - Matemática 38 a 62.pdfdanielagracia9
 
Produção de poemas - Reciclar é preciso
Produção  de  poemas  -  Reciclar é precisoProdução  de  poemas  -  Reciclar é preciso
Produção de poemas - Reciclar é precisoMary Alvarenga
 
Atividade com a música Xote da Alegria - Falamansa
Atividade com a música Xote  da  Alegria    -   FalamansaAtividade com a música Xote  da  Alegria    -   Falamansa
Atividade com a música Xote da Alegria - FalamansaMary Alvarenga
 
Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024
Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024
Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024Rosana Andrea Miranda
 
Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Mary Alvarenga
 

Último (20)

Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco LeiteOs Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
Os Padres de Assaré - CE. Prof. Francisco Leite
 
Enunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdfEnunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdf
Enunciado_da_Avaliacao_1__Direito_e_Legislacao_Social_(IL60174).pdf
 
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos AnimaisNós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
 
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
 
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdfAS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
AS COLUNAS B E J E SUAS POSICOES CONFORME O RITO.pdf
 
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 finalPPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
PPP6_ciencias final 6 ano ano de 23/24 final
 
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã""Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
 
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantil
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantilApresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantil
Apresentação sobre as etapas do desenvolvimento infantil
 
O que é uma Revolução Solar. tecnica preditiva
O que é uma Revolução Solar. tecnica preditivaO que é uma Revolução Solar. tecnica preditiva
O que é uma Revolução Solar. tecnica preditiva
 
clubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importância
clubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importânciaclubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importância
clubinho-bio-2.pdf vacinas saúde importância
 
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdfRespostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
Respostas prova do exame nacional Port. 2008 - 1ª fase - Criterios.pdf
 
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptxSlides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
Slides Lição 9, CPAD, Resistindo à Tentação no Caminho, 2Tr24.pptx
 
São Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptx
São Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptxSão Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptx
São Filipe Neri, fundador da a Congregação do Oratório 1515-1595.pptx
 
Slide - HIV (1) edit.pptx hiv em crianças
Slide - HIV (1) edit.pptx hiv em criançasSlide - HIV (1) edit.pptx hiv em crianças
Slide - HIV (1) edit.pptx hiv em crianças
 
Planejamento 2024 - 1º ano - Matemática 38 a 62.pdf
Planejamento 2024 - 1º ano - Matemática  38 a 62.pdfPlanejamento 2024 - 1º ano - Matemática  38 a 62.pdf
Planejamento 2024 - 1º ano - Matemática 38 a 62.pdf
 
Produção de poemas - Reciclar é preciso
Produção  de  poemas  -  Reciclar é precisoProdução  de  poemas  -  Reciclar é preciso
Produção de poemas - Reciclar é preciso
 
Atividade com a música Xote da Alegria - Falamansa
Atividade com a música Xote  da  Alegria    -   FalamansaAtividade com a música Xote  da  Alegria    -   Falamansa
Atividade com a música Xote da Alegria - Falamansa
 
Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024
Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024
Semana Interna de Prevenção de Acidentes SIPAT/2024
 
Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número Multiplicação - Caça-número
Multiplicação - Caça-número
 

Apostila 3 calculo i integrais

  • 1. DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
  • 2. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO Dado uma função y = f(x) derivável, denomina-se diferencial de uma função num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse ponto pelo acréscimo arbitrário x da sua variável independente. Seja uma função y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y os acréscimos, da variável e da função.Chama-se diferencial da função f(x) correspondente ao acréscimo x ao produto da derivada f ’(x) pelo acréscimo x e indicamos assim: dy = f ’(x) . x . Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitésimos, isto é, quantidades que embora sejam não-nulas, são menores em magnitude do que qualquer quantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam- se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o y quociente torna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equação x dy/dx = f ’(x) como dy = f ’(x) .dx. y Supõe-se dx = x , fica claro que dy é uma boa aproximação para desde que x seja suficientemente pequeno. Observe graficamente a diferença entre dy e y quando dx = x . INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
  • 3. Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variação sofrida pela reta tangente ao gráfico, do ponto x ao ponto x + x. Pode-se calcular a diferença entre dy e y a qual denominamos , calculando a fórmula  = | y - dy | Exemplo1:
  • 4. EXEMPLOS 1) Calcular aproximadamente 65 , sabendo que 64  8 e f ( x)  x . 2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais. EXERCÍCIOS 1) Calcule um valor aproximado para 3 65,5 usando diferenciais. 2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3cm a 3,1cm. 3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais. 4)Calcular a variação do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua área sofra uma variação de 1 cm.
  • 5. Introdução ao estudo das integrais Situação 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a érea sob a parábola no intervalo[0,2] observada na figura. Que estratégias você utiliza para determinar está área? Você conhece alguma fórmula da geometria que permite o cálculo desta região? Situação 2: Vamos pensar um pouco mais se a função derivada é representada pela função: dy  3x²  2 x  1 que função primitiva originou esta derivada? dx Estas são apenas algumas situações que podem envolver o cálculo das integrais. Para tanto precisamos ter domínio sobre as diferentes técnicas de determinação das integrais. Então vamos pensar um pouco sobre: 1) O que são as integrais? 2) Qual o significado das integrais?
  • 6. Na atualidade, as novas diretrizes da educação para o ensino superior, apresentam-se voltada às discussões relacionadas com a necessidade de atualização da educação a fim de impulsionar uma democratização social e cultural mais efetiva. Neste contexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente em sua área de formação, proporcionando, durante o tempo de graduação, vivências relacionadas com o contexto de atuação, possibilitando que este se defronte com diferentes situações inerentes a sua futura profissão. Portanto, a perspectiva metodológica está focada na articulação entre as disciplinas evidenciando o equilíbrio entre as atividades teórico-práticas e nos projetos de disciplina. Dessa forma, a prática pedagógica adotada na disciplina de Cálculo II, deverá propiciar a construção do conhecimento a partir da participação do docente e do discente nas atividades de ensino-aprendizagem. Um pequeno recorte histórico: A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. Na matemática aplicada ocorre freqüentemente que conhecemos a derivada de uma função e desejemos encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a velocidade ds/dt de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento s = f(t), ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação de diferenciação, Istoé temos que anti diferenciar. Assim, a integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. No cálculo diferencial de uma função y = f(x), estudou-se a variação da função a ser dado um acréscimo a variável independente x. No cálculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f ’(x)dx, isto é, obtém-se a função primitiva através da operação chamada integração indefinida ou antidiferenciação. Observem os gráficos das funções f(x) = x² - 1 g(x) = x² e h(x) = x² + 1, cujo gráfico é observado a seguir:
  • 7. Assim o que difere uma função da outra é a constante c, então vamos derivar estas funções: dy dy  2 x todas tem a mesma derivada ou seja, f ’(x) =  2x dx dx Mas se temos apenas a derivada da função como determinar a primitiva? Este processo é o que vamos iniciar agora a integração indefinida ou primitivação de uma função. Este processo inverso é representado pelo símbolo ou sinal de integração  originado da letra S que para Leibniz era somatório de todos os infinitos e Johnn Bernoulli denominava apenas de integração. Então a representação:  f ( x)dx significa: f(x) é a função integrando dx serve para indicar a variável de integração que foi derivada. CONCLUI-SE QUE: De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma família de primitivas (curvas) que só diferem entre si por uma constante arbitrária C. Assim:  f ( x)dx  F ( x)  C O processo de integração indefinida é o processo inverso da derivada , cada regra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para a integração. Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x) , a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:  f ( x)dx  F ( x)  C Da definição da integrai indefinida decorre que: 1)  f ( x)dx  F ( x)  C  F ' ( x)  f ( x)
  • 8. 2)  f ( x)dx representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as primitivas da função integrando. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS: 1) Proposição, sejam f, g : I  R e k uma constante então: a)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx Prova: Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, Kf(x) é uma primitiva da Kf(x), pois (KF(x))’=KF’(x)=Kf(x). dessa forma temos que:  kf ( x)dx  k  F ( x)  c  kF( x)  kc colocando k em evidência temos que 1 = k[ F ( x)  c ]  k  f ( x)dx 1 b)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx Prova: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente então F(x) e G(x) é uma primitiva da função (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)]’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) Portanto,  ( f ( x)  g ( x))dx [F ( x)  G( x)]  c = [ F ( x)  G( x)]  c1  c2 onde c = c1 + c2  [ F ( x)  c1 ]  [G( x)  c2 ]   f ( x)dx   g ( x)dx O processo de integração exige muita intuição, pois a partir da derivada precisamos determinar a primitiva a partir das fórmulas de integração. Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas. Exemplos: 1) Encontre as primitivas das funções abaixo: 1 2 a)  ( x 2  1)dx b)  ( x 4  x  1)dx c)  ( x 2  3x)dx 3
  • 9. Recomendações importantes para iniciar o processo de integração: 1) Verifique se os expoentes estão todos de forma que podemos somar; 2) Identifique o tipo de função que será integrada. 3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador não pode mais aparecer o dx e deve aparecer o mais c; 4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados. Fórmula: x n 1  x dx   C e n  -1 e n  R n n 1 Se n = -1 temos: du  u  ln | u | c 1 dx  x dx   dx   1  ln | x | c ou x x Exemplos: 1) Encontre a solução particular da equação diferencial dy = (x +1 ) dx que passa pelos pontos: a) P(2,6) b) P(1,-3) 2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 2t  1 , v = 3 quando t = 1 e s = 4
  • 10. Outros exemplos: Primeira lista 1) Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? 2) Calcule as integrais abaixo: ( x 2  3x  1)dx 3 5 a)  (2x  x  5x  19)dx b) 3 2 c)  ( p 2  )dp d)  3e x dx p 2 5 e)  (ax 2  b)dx f)  (e u  2u  5)du g)  ( 2  )dx x > 0 x x 1 1  (w 3  w 4  w  3)dw  (2 x  (tg ( )  cot g ( ))d 3 h) i)  3x 2  5)dx j) x 1 6 x 2  2x  1  x 3 dx  (2e   x  ln 2)dx n)  (e  3  2)dx  x x x l) m) o) x x2 dt dv du dp p)  q)  r)  s)  t)  e x dx t v u p 2 v)  3 x dx x  3dt  dv  dt t u) dt w) z) Segunda lista: y4  2y 1 1)  ( x 2 (2  x) 2 dx 2)  ( )dy 3)  ( x 2 x 3  1) dx y 4)  15 p 2 q 4 dp 5)  (q 3  8q  15)dq 6)  (4 x 3  3x 2  1)dx 1  (t  t  2)dt a  abdx 10)  (at  b)dt 2 7) 2 8) dt 9 a 2 3 11)  (a  b)du 12) b 2 tdt 13  ( x 3  2  5)dx x 14  (3x  1)dx 15)  (2 x  e x )dx 16)  (sen( x)  cos( x)dx 1 17)  (10 x  x 0, 4 )dx 18)  (2t  5) 2 dt 19)  (3 x  )dx x3 x3  2 20)  (5 x 2  3x 0,1  1)dx 21)  ( )dx 3
  • 11. 1 22)  sec( x)dx 23)  cot g ( x)dx 24)  (2 x   e x  1)dx x x2 1 25)  2 dx x Exercícios livro Diva p.246
  • 12. As integrais definidas Situações problemas: 1)Uma partícula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t é v(t )  t 2  2t m/s. Determine: a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo [0,3] esboce o gráfico. R.: 8/3m 2) (MEC) Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
  • 13. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf Observe a figura abaixo: Definir a área S delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por retas x = a e x = b Para isso fazemos partições do intervalo [a,b]isto é dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos.Construímos um retângulo de base x e altura f( c ) conforme figuras:
  • 14. A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por: n Sn = f (c1 )x1  f (c2 )x2  ...+ f (cn )xn  =  f (c )x i n i i esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito e x torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da área S. Definição: seja f(x) uma função contínua em [a,b]. a área sob a curva y = f(x) de a até b, é definida por: n A  lim  f (ci )xi x 0 i  n A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas das áreas. Definição: Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: Onde: a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração; f(x) é o integrando. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE Seja c uma constante então b a cf ( x)dx = c  f ( x)dx b a 3 3 Ex.:  1 2( x  1)dx  2 ( x  1)dx 1 2) PROPRIEDADE ADITIVA Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas no intervalo [a,b], então: b b b  [ f ( x)  g ( x)]dx   a a f ( x)dx   g ( x)dx a 3) PROPRIEDADE POR COMPARAÇÃO Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] então se f(x)  g(x) tem-se b b  a f ( x)dx   g ( x)dx a
  • 15. 4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALO Sejam a, b, c três números arbitrários tais que a < c < b então: b c b a f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a c 5) PROPRIEDADE Se a > b e f é integrável em [b , a] então b a a f ( x)dx   f ( x)dx b Observe os seguintes casos: Se representa a área entre as curvas, para c b A   f ( x)dx   [ f ( x)dx] a c
  • 16. , c b A   [ f ( x)  g ( x)]dx   [ g ( x)  f ( x)dx] a c CONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma função f, no intervalo [a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operação F(b) – F(a). Assim para calcular a área entre duas curvas f e g contínuas num intervalo dado tem-se: b b b A=  a [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx conforme figura: a a CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS O cálculo da região entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos: 1) Esboce a região e, então, trace uma reta vertical através do ponto de referência estabelecido; 2) A região ficará delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referência que serão os limites; 3) Determine os limites de integração a partir dos pontos de intersecção ou dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso. 4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a substituição do limite inferior.
  • 17. 1) Expresse como integral definida as seguintes áreas como integrais definida sem resolvê-las. Exemplos: 3 3 x  (1  x)dx  ( x 2  1)dx  (t  2t )dt 2 a) b) c) 0 1 0 Calcule as áreas das figuras representadas nas figuras abaixo: 1) a) b) c) d) Exercícios: 1)Calcule as integrais definidas abaixo: 2 1 1  1 3 a) 1 (3x 2  2 x)dx b) 1 ( x 3  2 )dx x c) ( 1 3 x  1)dx  dx  3 3 1  (3x  1)dx  3x  1dx  (x  3)dx 3 d) e) f) g) 2 2 0 x2 0 3  h) 0 xe x dx i)  0 e  x dx Outros exercícios 2 x  3 a)    2x 2  7 x  1dx  3  R : - 6,667 2  
  • 18. 4 b)  0 ( 2x  1) dx R : 8,667 2 c)  1 (6x  1)dx R:8 2 81 d)  1 x (1  x 3 )dx R: 10 APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA As integrais definidas podem ser usadas para determinação de áreas de regiões planas, cálculo de volume de sólido de revolução, comprimento de arco, suprimento para consumo, fluxo de sangue, cálculo do trabalho, energia, etc. Ex.: 1) Calcular a área sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o gráfico. 2) Calcular a área delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado. a) y = x 2 e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2. b) y = x2 e y = x , x = ¼ e x = 1 c) y = 4x – x2 e o eixo 0x; R.: 32/3 d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2 e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 até x = 2 f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0. R.: e – 1 g) y = lnx , y = 0 e x = 2; 1 j) y = x 2 e y = 6 R.: 48 6 l) y = x3 – x e y = 0 R.: ½ m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2