Limites - Matemática

3.485 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.485
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
5
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
198
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Limites - Matemática

  1. 1. Noção Intuitiva de Limite
  2. 2.  O que acontece com um círculo de raio R quando efetuamos divisões sucessivas de R por 2?
  3. 3.  Tendo um polígono regular inscrito em uma circunferência o que acontecerá com sua área se o número de lados for sendo aumentado gradativamente?
  4. 4. Noção Intuitiva Sucessões numéricas Dizemos que: 1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite x → + ∞ Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x → 1 1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite x → - ∞ Os termos oscilam sem tender a um limite ,..... 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 ,...7, 7 6 ,5, 4 5 ,3, 2 3 ,1
  5. 5. Limites Seja y = f(x) = 2x + 1 Aproximação à direita Aproximação à esquerda x y 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02 x y 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98
  6. 6. 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 y x Limites
  7. 7. Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que: 3)12(lim)(lim 11 =+= →→ xxf xx Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3 1 lim →x Limites
  8. 8. x f(x) = x + 3 2 5 1,5 4,5 1,25 4,25 1,1 4,1 1,01 4,01 1,001 4,001 1,0001 4,0001 4)(lim 1 = −→ xf x 4)(lim 1 = +→ xf x Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1. x f(x) = x + 3 0 3 0,25 3,25 0,75 3,75 0,9 3,9 0,99 3,99 0,999 3,999 Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = x + 3. 4 1 x y Pela esquerda Pela direita
  9. 9. Definição de Limites  Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a. c a d  Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a”.
  10. 10. Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0. Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos: Definição informal de limite 0x x lim f(x) L → = x0
  11. 11.  Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -  Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +  Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais: [f(x)] = [f(x)] + →ax lim− →ax lim Limites Laterais
  12. 12. )(lim 1 xf x→ Determinar, graficamente, Dada a função f: IR → IR, definida por    >+ ≤+ = 1,3 1,1 )( xparax xparax xf 4)(lim 1 =+ → xf x 2)(lim 1 =− → xf x 1 Não existe limite de f(x), quando x tende para 1 2 4
  13. 13. “O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”. Noção Intuitiva de Limite → ∴ 2 x 2 lim(x ) = 4
  14. 14. Limites Intuitivos ≠ = 0)(lim)( 0)(lim)( )(lim)( )(lim)( 0 0 = = +∞= −∞= +∞→ −∞→ → → + − xfd xfc xfb xfa x x x x )(b ← )(a → )(d → )(c ← < 1)(lim)( 0)(lim)( 1)(lim)( 0)(lim)( 0 0 = = = = +∞→ −∞→ → → + − xfd xfc xfb xfa x x x x )(b ← )(a → )(d → )(c ← > ]1,1[)(lim)( 0)(lim)( ]1,1[)(lim)( 0)(lim)( 0 0 −= = −= = +∞→ −∞→ → → + − entrexfd xfc entrexfb xfa x x x x )(b ← )(a → )(d → )(c ←
  15. 15. )(lim 0)(lim 2)(lim 3 3 3 xf xf xf x x x → −→ −→ ∴     = = + − existenão diferentessão 0)(lim 0)(lim 0)(lim 3 3 3 =∴     = = → → → + − xf xf xf x x x iguaissão Limites laterais
  16. 16. +∞= = ∞+→ → + )(lim)( 0)(lim)( 1 xfb xfa x x )(b → )(a ←
  17. 17. Limites infinitos 2 2 x 1 x 1 2 x 1 2 2 lim e lim (x 1) (x 1) 2 lim (x 1) − +→ → → = +∞ = +∞ − − ∴ = +∞ − 2 2 y (x 1) = −
  18. 18. y = tg x Limites infinitos xtg xtgextg x xx 2 22 lim limlim π ππ → →→ ∴ −∞=+∞= +− existenão
  19. 19. x x lim f(x) 1 e lim f(x) 1 → −∞ → +∞ = = Limites infinitos
  20. 20. Limites nos extremos do domínio da Função Exponencial
  21. 21. Limites nos extremos do domínio da Função Logarítmica
  22. 22. Limite trigonométrico fundamental x 0 senx lim 1 x→ =
  23. 23. EXERCÍCIO 1 y x1 5 2 1 O que ocorre com f(x) próximo de x = 1? Lim f(x) não existe x 1
  24. 24. O que ocorre com f(x) quando x = 1? y x1 5 3 2 EXERCÍCIO 2 Lim f(x) = L = 2 x 1
  25. 25. Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1) x 1 x1 y 5 2 1 EXERCÍCIO 3 O que ocorre com f(x) quando x = 1?
  26. 26. Dado o gráfico de f(x): 33 55 -3-3 33 -2-2 xx ff(x)(x) 3.53.5 f(x)d)f(x)c) f(x)b)f(x)a) limlim limlim 2x0x 3x3x −→→ →−→ Encontre: EXERCÍCIO 4
  27. 27. Limite Exponencial Fundamental x x 1 lim 1 e x→±∞   + = ÷ 
  28. 28. Uma função f é contínua em um número x0 se )()(lim 0 0 xfxf xx = → Nenhuma destas funções é contínua em x = xo. Continuidade de uma função em um número a) b) c)
  29. 29. Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo. ] [ba, Continuidade de uma função em um intervalo aberto
  30. 30. Propriedades dos limites I. Limite da soma é igual à soma dos limites. II. Limite do produto é igual ao produto dos limites. III.Limite do quociente é igual ao quociente dos limites.
  31. 31. Exemplos:
  32. 32. Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini. Precisaremos antes do... Teorema de D’Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por (x – a), a , se, e somente se, a é∈ ℜ uma raiz de f(x), isto é, f(a) = 0.
  33. 33. Como o ponto x=1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por (x – 1). Assim,
  34. 34. Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites. Produtos notáveis:
  35. 35. Fatorações: onde x' e x'' são as raízes obtidas pela
  36. 36. Conjugado de radicais:

×