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Capítulo 8

INTEGRAÇÃO DUPLA
8.1 Integração Dupla sobre Retângulos
Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2 . Consideremos P1 = {x0 , x1 , ...., xn } e P2 = {y0 , y1 , ...., yn } partições de
ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:
e

a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b
e xi+1 − xi =

c = y 0 < y 1 < . . . . . . < yn = d

d−c
b−a
, yj+1 − yj =
.
n
n

d
yj+1
yj

R

R ij

c
xi

a

x i+1

b

Figura 8.1: Partição de R.
O conjunto P1 × P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2
sub-retângulos Rij = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1).
Considere a função limitada f : R −→ R. A soma
n−1 n−1

f (cij ) ∆x ∆y,

Sn =
i=0 j=0

onde ∆x =

d−c
b−a
e ∆y =
é dita soma de Riemann de f sobre R.
n
n
203
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

204

Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se
lim Sn ,

n→+∞

existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite
por:
f (x, y) dx dy,
R

que é denominada integral dupla de f sobre R.

Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.
A prova deste teorema pode ser vista em [EL].

8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla
Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de
f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3
definido por:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d,

0 ≤ z ≤ f (x, y)}

Figura 8.2: O sólido W .
W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente
por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por
V (W ) o volume de W , então:
f (x, y) dx dy

V (W ) =
R

De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R
é fechado, limitado e f é contínua), então f (cij ) × ∆x × ∆y é o volume do paralelepípedo de base Rij e altura f (cij ).
8.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA

205

Figura 8.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente.

n−1 n−1

f (cij ) ∆x ∆y

Sn =
i=0 j=0

é o volume do sólido circunscrito a W . Analogamente se eij é o ponto onde f atinge
seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então:
n−1 n−1

f (eij ) ∆x ∆y

sn =
i=0 j=0

é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites das somas de
Riemann Sn e sn independem da escolha de cij e eij :

f (x, y) dx dy.

lim Sn = lim sn =

n→∞

n→∞

R

Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem
ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W .

Figura 8.4: Reconstrução do sólido.
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

206

Figura 8.5: Reconstrução do sólido.
Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij .
A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma
variável.
Proposição 8.1.
1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então
para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:
g(x, y) dx dy.

f (x, y) dx dy + β

α f (x, y) + β g(x, y) dx dy = α

R

R

R

2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f (x, y), para todo (x, y) ∈ R, então:
R

g(x, y) dx dy ≤

f (x, y) dx dy.
R

3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri , i = 1, ..., k então
f é integrável sobre R e,
k

f (x, y) dx dy.

f (x, y) dx dy =
R

i=1

Ri

8.3 Integrais Iteradas
Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo:
b

d

f (x, y) dx dy.
c

a
b

f (x, y) dx como integral de uma

Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral
a

veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com
limites de integração c e d.
b

d

A integral

f (x, y) dy dx é calculada de forma análoga.
a

c
8.3. INTEGRAIS ITERADAS

207

Exemplo 8.1.
3

2

[1] Calcule

1

0
3

x2 y dy dx.
3

x2 y dy = x2

y dy = 4x2

2

e

3

0

cos(x + y) dx = sen(x + y)

x=π
x=0

1

π

4x2 dx =

0

1

1

2

x2 y dy dx =

32
.
3

π

[2] Calcule

cos(x + y) dx dy.
0

0
π
0

e

π

π

π

cos(x + y) dx dy =
0

= sen(y + π) − sen(y),

0

0

1

1

−1

(sen(y + π) − sen(y)) dy = −4.

−2

[3] Calcule

(x2 + y 2 ) dx dy.
1

(x2 + y 2 ) dx =

−2

x=1

x3
+ x y2
3

= 3 + 3 y2
x=−2

e
1
−1
π
3

[4] Calcule
4

π
6

1
−2

4

1

(x2 + y 2 ) dx dy =

(3 + 3 y 2 ) dy = 8.

−1

3

ρ2 eρ sen(φ) dρ dφ.

0
4

3

ρ2 eρ sen(φ) dρ = sen(φ)

3

3

ρ2 eρ dρ = sen(φ)

0

0

eρ
3

4

= sen(φ)
0

e64 − 1
3

e
π
3
π
6

4
0

e64 − 1
ρ e sen(φ) dρ dφ =
3

0

0

√

1

[5] Calcule
√

π
3

2 ρ3

0

1−y 2

1−

y 2 dx

π
6

√
(e64 − 1) ( 3 − 1)
.
sen(φ) dφ =
6

1−y 2

1 − y 2 dx dy.
2

=1−y , e

√

1
0

0

1−y 2

1

1 − y 2 dx dy =

0

(1 − y 2 ) dy =

2
.
3
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

208

[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por:
se x ∈ Q
se x ∈ Q.
/

1
2y

f (x, y) =
Então:
1

dy =
0

1

Logo,

1

dy dx = 1.
0









1

dy = 1

se x ∈ Q

2 y dy = 1

0

se x ∈ Q.
/

1

0

0
1

Por outro lado
0

1
f (x, y) dx não existe, exceto quando y = ; logo,
2
1

1

dx dy
0

0

não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.

8.4

Teorema de Fubini

O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradas, o que facilitará seu cálculo.
Teorema 8.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então:

R

d

b

b

d

f (x, y) dy dx

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dx dy =
c

a

a

c

Prova: Veja o apêndice.
Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princípio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção transversal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o volume do
d
sólido é dado por: V = c A(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e máxima
ao plano de referência”.
Se f é uma função contínua e f (x, y) ≥ 0 em todo R, então

senta o volume do sólido W :

W = {(x, y, z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d,

f (x, y) dx dy repreR

0 ≤ z ≤ f (x, y)}.
8.4. TEOREMA DE FUBINI

209

c

d

a

R

b

Figura 8.6:
Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da
d
origem, obtemos uma seção plana que tem como área A(x) = c f (x, y) dy. Pelo
princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é:
d

b

b

f (x, y) dy dx.

A(x) dx =

f (x, y) dx dy =

c

a

a

R

Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma
b
distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) = a f (x, y) dx e pelo
princípio de Cavalieri:
d

d

b

A(y) dy =

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dx dy.
c

c

R

a

Exemplo 8.2.
[1] Calcule
R

dx dy, onde R = [a, b] × [c, d].
b

dy dx =
a

R

b

d

dx dy =

a

c

(d − c) dx = (b − a) (d − c);

dx dy, corresponde a área de R ou ao volume

numericamente a integral dupla
R

do paralelepípedo de base R e altura 1.
[2] Calcule
R

positiva.

f (x, y) dx dy, onde R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante

f (x, y) dx dy = h
R

R

dx dy = h × A(R) = h (b − a) (d − c),

onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura
h.
[3] Calcule
R

(x y + x2 ) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1].
1

(x y + x2 ) dx dy =
0

R

0

1

(x y + x2 ) dx dy =

0
1

=

1

7
y 1
+
dy = .
2 3
12

0

x2 y x3
+
2
3

x=1

dy
x=0
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

210

7
representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico
12
da função f (x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]).

O número

0

1

1

0

Figura 8.7: Exemplo [4].
[4] Calcule
R

x y 2 dx dy, onde R = [−1, 0] × [0, 1].
1

x y 2 dx dy =
0

R

[5] Calcule
R

−1

x y 2 dx dy = −

1
2

1
0

1
y 2 dy = − .
6

sen(x + y) dx dy, onde R = [0, π] × [0, 2π].
2π

2π

π

(cos(y)−cos(y +π)) dy = 0.

sen(x+y) dx dy =

sen(x+y) dx dy =
0

R

0

0

0

[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1−y e inferiormente
pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
0.0
0.5
1.0
1.0

0.5

0.0
0.0
0.5
1.0

Figura 8.8: Sólido do exemplo [6].
O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo
retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:
1

V =
R

(1 − y) dx dy =

0

1
0

1

(1 − y) dx dy =

0

(1 − y) dy =

1
u.v.
2
8.4. TEOREMA DE FUBINI

211

[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 + y 2 e pelos planos x = 0, x = 3,
y = 0 e y = 1.

Figura 8.9: Sólido do exemplo [7].
R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é:
1

(x2 + y 2 ) dx dy =

V =

0

R

3

1

(x2 + y 2 ) dx dy =

(9 + 3y 2 ) dy = 10 u.v.

0

0

u.v. =unidades de volume.
[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y 2 e pelos planos x = −1, x = 1,
y = −1 e y = 1.

Figura 8.10: Sólido do exemplo [8].
R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é:
V =
R

8.4.1

(1 − y 2 ) dx dy =

1

1

−1

−1

(1 − y 2 ) dx dy = 2

1
−1

(1 − y 2 ) dy =

8
u.v.
3

Extensão do Teorema de Fubini

Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma genereralização do teorema 8.1.
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

212

Definição 8.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo
nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que A ⊂
R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪ Rn−1 ∪ Rn e:
n

lim

n→+∞

i=1

|Ri | = 0;

onde |Ri | é a área de Ri .
Exemplo 8.3.
[1] Se A = {p1 , p2 , ......., pm }, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo.
Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos:
|Ri | =

(b − a) (d − c)
,
n2

1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos,
então:
n
4 m (b − a) (d − c)
.
|Ri | ≤
0<
n2
i=1

n

Logo lim

n→+∞

i=1

|Ri | = 0.

[2] ∂R tem conteúdo nulo.

d
yj+1
yj

R

Rij

c
a

xi

x i+1

b

Figura 8.11: ∂R.
Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij :
n

0<
i=1

pois

n−1
n

|Ri | ≤

(4 n − 4) (b − a) (d − c)
4 (b − a) (d − c)
≤
,
2
n
n

< 1. Logo:
n

lim

n→+∞

i=1

|Ri | = 0.

É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem conteúdo nulo.
8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS

213

Figura 8.12: G(f ).
Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua
tem conteúdo nulo, então f é integra´ el sobre R.
v
Prova: Veja [EL] na bibliografia.

8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais
Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados
para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais

8.6

Regiões Elementares

Seja D ⊂ R2 .

Regiões de tipo I
D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)}
sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1 (x) ≤ φ2 (x) para todo
x ∈ [a, b].
φ

2

φ2

D

D

φ
a

φ1

1

b

a

Figura 8.13: Regiões de tipo I.

b
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

214

Regiões de tipo II
D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:
D = {(x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}
sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) para todo
y ∈ [c, d].
d

ψ

D

ψ

ψ

1

D

1

2

ψ

2

c

Figura 8.14: Regiões de tipo II.

Regiões de tipo III
D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II.
As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. As regiões elementares
são fechadas e limitadas.
Exemplo 8.4.
[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 pode ser descrita como de
tipo I:
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
y = x2
y = 4 x − x2 ,
do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤
4x − x2 }.
5

4

3

2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 8.15: Região de tipo I.
8.6. REGIÕES ELEMENTARES

215

[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y 2 − x = 1 e y 2 + x = 1.

A região pode ser descrita por:

D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y 2 − 1 ≤ x ≤ 1 − y 2 };

D é uma região de tipo II.

1.0

0.5

1.0

0.5

0.5

1.0

0.5

1.0

Figura 8.16: Região de tipo II.
[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro
quadrante, pode ser descrita como de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}.
2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 8.17: Região de tipo III.
[4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y 2 = 2 x + 6, pode ser descrita
como de tipo II.
A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:
y =x−1
y 2 = 2 x + 6,
do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 2 ≤ y ≤ 4,

y2
− 3 ≤ x ≤ y + 1}.
2
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

216

3
2
1
1

2

3

Figura 8.18: Região de tipo II.
[5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y 2 = 1; esta região é do tipo III. De fato:
De tipo I:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 1, φ1 (x) = −

1 − x2 ≤ y ≤ φ2 (x) =

1 − x2 }.

1 − y 2 ≤ x ≤ ψ2 (y) =

1 − y 2 }.

De tipo II:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, ψ1 (y) = −

8.7 Extensão da Integral Dupla
Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R
uma função contínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por:
f ∗ (x, y) =

f (x, y) se (x, y) ∈ D
0
se (x, y) ∈ R − D.

f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma
união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f ∗ é
integrável sobre R.

R

R
D

D

Figura 8.19: Gráficos de f e f ∗ , respectivamente.
Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R e em tal caso
definimos:
f ∗ (x, y) dx dy.

f (x, y) dx dy =
D

R
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS

217

∗
Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f1 : R1 −→ R é definida como antes,
então:

f ∗ (x, y) dx dy =
R1

R

pois

f∗

=

∗
f1

∗
f1 (x, y) dx dy,

= 0 onde R e R1 diferem.
f* =f* =0
1

R

D
R1

Figura 8.20:
Logo,

8.8

D f (x, y) dx dy

não depende da escolha do retângulo.

Integral Dupla e Volume de Sólidos

Proposição 8.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então:
1. Se D é uma região de tipo I:
φ2 (x)

b

f (x, y) dy dx

f (x, y) dx dy =
φ1 (x)

a

D

2. Se D é uma região de tipo II:
ψ2 (y)

d

f (x, y) dx dy

f (x, y) dx dy =
ψ1 (y)

c

D

Para a prova, veja o apêndice.
Corolário 8.4. Se f (x, y) = 1 em todo D, então:
dx dy = Área(D)
D

b

De fato, se D é de tipo I, temos

dx dy =
D

a

φ2 (x) − φ1 (x) dx = A(D).
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

218

Se f (x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integral dupla
de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de
f e inferiormente por D.
W = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}
D é a projeção de W sobre o plano xy e:

f (x, y) dx dy

V (W ) =
D

8.8.1 Exemplos
1

[1] Calcule
0

1

2

ex dx dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada.

y

Observe que:

1

2

ex dx dy =
0

D

1

2

ex dx dy.

y

A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.
1

1

Figura 8.21: A região D.
A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x
e:
1

2

ex dx dy =
0

D
1

1

x
0

1

2

ex dy dx =
0

1
2
x ex dx = (e − 1).
2

sen(y)
dy dx.
y
x
0
A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por
outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y:

[2] Calcule
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS

219

1

1

Figura 8.22: A região D.

1

1

0

x

1

sen(y)
dy dx =
y

[3] Calcule
D

meiro quadrante.

y

0

0

1

sen(y)
dx dy =
y

0

sen(y) dy = 1 − cos(1).

1 − y 2 dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y 2 = 1 no pri-

1

1

Figura 8.23: A região D.
Consideramos D como região de tipo II:
D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤

1 − y 2 }.

Pela proposicão:
√

1
D

1−

y 2 dx dy

=
0

0

1−y 2

1

1 − y 2 dx dy =

0

2
(1 − y 2 ) dy = .
3

Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais complicada.
(x + y)2 dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o

[4] Calcule
eixo dos y.

D
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

220

1

1

2

Figura 8.24: A região D.
As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I:
x
0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ + 1.
2
x
+1
2

2

2

(x + y) dx dy =
0

D

(x + y)2 dy dx =

x

1
3

2
0

3x
+1
2

3

− 8x3 dx =

21
.
6

[5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planos coordenados.
Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0)
e inferiormente pelo plano z = 0.

1

-1

Figura 8.25: O sólido e a região, respectivamente.
A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f (x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região D projeção de W
no plano xy.
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D,

onde D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 0,
volume é:

0 ≤ z ≤ 1 + x − y},

0 ≤ y ≤ x + 1} é região do tipo I. Seu
0

(1 + x − y) dx dy =

V (W ) =
=

1
2

D
0

−1

(x + 1)2 dx =

1
u.v.
6

−1

x+1
0

(1 + x − y) dy dx
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS

221

[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y 2 e x − y = 2.

5

5

4

4

3

3

2

2

1
-2

1

0
0

-2

0

4

0

4

2

2

2
0
4

2
0
4

-2

-2

Figura 8.26: O sólido do exemplo [6].

1

1

2

-1

Figura 8.27: A região D.
Observe que z = f (x, y) = 2 x + 1 e
(2 x + 1) dx dy,

V (W ) =
D

onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo
II, ela é definida por:
D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y 2 ≤ x ≤ y + 2}.
O volume é:
2

y+2

(2 x + 1) dx dy

(2x + 1) dx dy =

V (W ) =
D
2

=
−1

(5 y + 6 − y 4 ) dy =

−1

y2

189
u.v.
10

[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por
z = x2 + 4 y 2 e x2 + 4 y 2 = 4.
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

222

O gráfico de z = x2 + 4 y 2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y 2 = 4 é um cilindro
elítico.
y

y
0.5

1

0
-0.5

-1

3

-0.5

0.5

0

1

3

2

2
z

z

1

1

0
-2

-2
0
-1

-1
0
x

0
1

x
2

1
2

Figura 8.28: O sólido do exemplo [7].

1

-1

1

2

-1

Figura 8.29: A região do exemplo [7].
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos
o resultado por 4.
1

1

2

Figura 8.30: A região D.
√
4 − x2
D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤
2
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS

223

e,

2

√

2

2

(x + 4y ) dx dy = 4

V =4

0

D
2

=2

4−x2
2

(x2 + 4 y 2 ) dy dx

0

3

x

2

4−

0

x2

(4 − x2 ) 2
+
dx = 4 π u.v.
3

[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 .
Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).

5

4

3

2

1

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 8.31: A região D.

D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x − x2 .

2

4x−x2

D

2

dy dx = 2

dx dy =

A=

0

x2

0

(2x − x2 ) dx =

8
u.a.
3

[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2 + y 2 = a2 e
x2 + z 2 = a2 , a = 0.
O sólido é simétrico em relação à origem.
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

224

Figura 8.32: Interseção dos cilindros.
Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o
resultado por 8.

Figura 8.33: O sólido no primeiro octante.
Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤
√
W é dada por z = f (x, y) = a2 − x2 e:
V =8
D
a

√
a2 −x2
0

a

=8
0

a2 − x2 . A altura do sólido

a2 − x2 dx dy

=8
0

√

a2 − x2 dy dx

(a2 − x2 ) dx =

16 a3
.
3
8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS

225

[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2 + y 2 e situado
acima do plano xy, no primeiro octante.
0

1

2

3

8

2
6

4

1
2

0
3
2
1

1

0

2

3

Figura 8.34: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente.
D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤
2

0

D

2
81

2
=−
81

5
2

0
5
2

0

10−4 y
3

5
2

2

(x + y ) dx dy =

V =
=−

5
10 − 4y
e0≤x≤
; logo:
2
3
(x2 + y 2 ) dx dy

0

[2 y − 5] [43 y 2 − 80 y + 100] dy
[86 y 3 − 375 y 2 + 600 y − 500] dy =

15625
u.v.
1296

[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 e y 2 − x = 0.

Figura 8.35: Sólido do exemplo [11].
D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤

√

x,
CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA

226

1

1

Figura 8.36: Região D.
Logo:
1

√

x y dx dy =

V =

x y dy dx =
0

D

x

x2

1
2

1
0

[x2 − x5 ] dx =

1
u.v.
12

8.9 Exercícios
f (x, y) dx dy, se:

1. Calcule
R

(a) f (x, y) = x2 y 3 e R = [0, 1] × [0, 1]

(b) f (x, y) = (x + y)2 (x2 − y 2 ) e R = [0, 1] × [0, 1]
(c) f (x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3]

x2
e R = [−1, 1] × [−1, 1]
y2 + 1
(e) f (x, y) = ex y (x2 + y 2 ) e R = [−1, 3] × [−2, 1]

(d) f (x, y) =

(f) f (x, y) = x y − y 2 e R = [0, 5] × [0, 4]

(g) f (x, y) = 5 x y 2 e R = [1, 3] × [1, 4]

(h) f (x, y) = 2 x + c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1]
(i) f (x, y) = x2 − y 2 e R = [1, 2] × [−1, 1].

2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e
inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z =

9 − y 2 e R = [0, 4] × [0, 2]

(b) z = x2 + y 2 e R = [−2, 2] × [−3, 3]
(c) z = y 2 − x2 e R = [−1, 1] × [1, 3]

(d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [−1, 2] × [2, 3]

(e) z = a cos(2 θ) + b sen(2 α) e R = [0, π ] × [0, π ]
2
2
(f) z = x sen(y) e R = [0, π] × [0, π]
8.9. EXERCÍCIOS

227

3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
1

(a)
0

1
y

2

(b)

√

1
0

0

1 − y 2 dy dx
1

y

3

3y
9

0

(f)

sen(y 2 ) dy dx

x
1

(e)

1−x2

0
1

(d)

x2
dy dx
y2

x
1

1

(c)

tg(x2 ) dx dy

2

ex dx dy
y cos(x2 ) dx dy

y2

0

4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
(a)
D

(b)

y dx dy; y = 2 x2 − 2, y = x2 + x
x y dx dy;

D

x2
a2

+

y2
b2

= 1, x, y ≥ 0

D

x dx dy; x − y 2 = 0, x = 1

D

dx dy
; y − x2 = 0, y = 1
x2 + 1

(c)
(d)

D

(x2 + y 2 ) dx dy; y = 0, y = x − 1 e x = 1, x = 0

D

ex+y dx dy; y = 0, y = x e x − 1 = 0

(e)
(f)

x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2 e x = 1

(g)
D

D

4 y 3 dx dy; y = x − 6 e y 2 = x

D

(y 2 − x) dx dy; y 2 = x e x = 3 − 2 y 2

(h)
(i)

(x2 + 2 y) dx dy; y = 2 x2 e y = x2 + 1

(j)
D

(1 + 2 x) dx dy; x = y 2 e y + x = 2

(k)
D

dx dy; y 2 = x3 e y = x

(l)
D
228

CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA
Capítulo 9

MUDANÇA DE COORDENADAS
9.1 Introdução
Seja D ∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e:
x, y : D ∗ −→ R,
onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais
contínuas num retângulo aberto R tal que D ∗ ⊂ R. Estas duas funções determinam
uma transformação do plano uv no plano xy. De fato:
T : D ∗ −→ R2 ,
onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por:
x=
y=

x(u, v)
y(u, v),

(u, v) ∈ D ∗ .

Denotemos a imagen de D ∗ por T como D = T (D ∗ ), contida no plano xy.
v

y

T

D*

u

D

x

Figura 9.1: Mudança de coordenadas.
Exemplo 9.1.
Seja D ∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)), Determinemos D = T (D ∗ )
no plano xy.
x = r cos(t)
y = r sen(t);
229
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

230

logo: x2 + y 2 = r 2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}.
t

y

2π
T
L

D

D*

1

1

x

r

Figura 9.2:
Definição 9.1. Uma transformação T é injetiva em D ∗ se T (u1 , v1 ) = T (u2 , v2 ) implica
em u1 = u2 e v1 = v2 , para todo (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ D ∗ .
No exemplo 9.1, temos que:
D∗ = [0, 1] × [0, 2π]

e

T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).

A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1 ) = T (0, t2 ) = (0, 0) para t1 = t2 .
Observe que:
T (L) = (0, 0),

onde

L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}.

Mas se D ∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva.

9.1.1 Jacobiano da Mudança de Coordenadas
Seja T : D ∗ −→ D uma transformação definida por:
x=
y=

x(u, v)
y(u, v),

(u, v) ∈ D ∗ .

Considere a seguinte matriz:
∂x
 ∂u

J =
 ∂y
∂u



∂x
∂v 


∂y 
∂v

onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D ∗ . J é chamada
matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T .
Definição 9.2. O determinante da matriz J, dito jacobiano de T , é denotado e definido
por:
∂x ∂y ∂x ∂y
∂(x, y)
= det(J) =
−
∂(u, v)
∂u ∂v
∂v ∂u
onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D ∗ .
9.1. INTRODUÇÃO

231

A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com
mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova:
Proposição 9.1. Se:
∂(x, y)
(u0 , v0 ) = 0,
∂(u, v)

(u0 , v0 ) ∈ D ∗ ,

então existe uma vizinhança do ponto (u0 , v0 ) tal que a restrição de T a esta vizinhança é
injetiva.
Exemplo 9.2.
[1] No exemplo 9.1, temos que D ∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)).
Logo,
∂(x, y)
= r.
∂(r, t)
Note que para todo (r, t) ∈ L temos

∂(x, y)
= 0.
∂(r, t)

[2] Seja o quadrado D ∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u + v, u − v).
x
y

=u+v
= u − v.

Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e se v = 1,
então y = x − 2. A região D = T (D ∗ ) é a região do plano xy limitada pelas curvas
y = x, y = −x, y = x − 2 e y = 2 − x. O jacobiano:
∂(x, y)
= −2.
∂(u, v)

1
1

1

2

1
1

Figura 9.3: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
[3] Seja D ∗ a região limitada pelas curvas u2 − v 2 = 1, u2 − v 2 = 9, u v = 1 e u v = 4
no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v 2 , u v). Determinemos T (D ∗ ) = D,
fazendo:
x = u2 − v 2
y = u v;
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

232

se u2 − v 2 = 1, então x = 1; se u2 − v 2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se
u v = 4, então y = 4
2
4

1

1

1

2

3

1

5

Figura 9.4: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
∂(x, y)
= 2(u2 + v 2 ), que não se anula em D ∗ .
∂(u, v)

9.2 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas
O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudanças de coordenadas.
Teorema 9.1. Sejam D e D ∗ regiões elementares no plano, T uma transformação de classe
C 1 e injetiva em D ∗ . Suponha que T (D ∗ ) = D. Então, para toda função integrável f sobre
D temos:
f (u, v)

f (x, y) dx dy =
D∗

D

onde

∂(x, y)
du dv
∂(u, v)

∂(x, y)
é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).
∂(u, v)

Em particular a área de D é:
dx dy =

A(D) =
D

D∗

∂(x, y)
du dv
∂(u, v)

É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num
subconjunto de conteúdo nulo de D ∗ , como no caso de L, no exemplo 1.
Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.

9.3 Mudança Linear de Coordenadas
Consideremos a seguinte transformação:
x = x(u, v) = a1 u + b1 v
y = y(u, v) = a2 u + b2 v

9
9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS

233

onde a1 b2 − a2 b1 = 0. Como:
∂(x, y)
= |a1 b2 − a2 b1 |,
∂(u, v)
do teorema anterior, segue:
Corolário 9.2. Se f (u, v) = f (a1 u + b1 v, a2 u + b2 v), então:

D

f (x, y) dx dy = |a1 b2 − a2 b1 |

f (u, v) du dv
D∗

Em particular, a área de D é:
A(D) = |a1 b2 − a2 b1 | A(D ∗ )
Note que:

u =



e que

∂(u, v)
∂(x, y)
=
∂(x, y)
∂(u, v)




v =
−1

u(x, y) =

b2 x − b 1 y
a1 b2 − a2 b1

,

−a2 x + a1 y
v(x, y) =
a1 b2 − a2 b1

.

Exemplo 9.3.
[1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x − 2 e y = x + 1,
calcule:
x y dx dy.
D

A presença dos termos 2 x − y e y − x sugerem a seguinte mudança:
u
v

= 2x − y
= y − x.

A nova região D ∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1.
4
1

3

2

1

1

2

3

2

Figura 9.5: Regiões D e D ∗ , respectivamente.

1
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

234
Note que:

x
y

=u+v
= u + 2 v,

∂(x, y)
= 1 e f (u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v 2 . Então:
∂(u, v)

logo,

1

0

(u2 + 3 u v + 2 v 2 ) du dv = 1.

x y dx dy =
0

D

−2

[2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule:
y−x

e x+y dx dy.
D

A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:
u
v

=x+y
= y − x.

D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x + y = 2; então, D ∗ é limitada pelas curvas
u = v, u = −v e u = 2, respectivamente.
2

2

1
1

1

2

2

Figura 9.6: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
v
∂(u, v)
∂(x, y)
1
=2e
= , f (u, v) = e u ; então:
∂(x, y)
∂(u, v)
2

y−x

e x+y dx dy =
D

1
2

1
=
2

v

e u du dv =
D∗
2

ue

v=u

v
u

2

u

v

e u dv du
0

−u

du

0

e − e−1
2
= e − e−1 .

1
2

v=−u
2

=

u du
0

[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada
(2 x − 4 y + 7)2 + (x − 5 y)2 = 16.

2
9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS

235

Considere a mudança:
u=
v=

2x − 4y
x − 5 y.

D∗ é a região limitada pela curva (u + 7)2 + v 2 = 16 que é um círculo centrado em
(−7, 0) de raio 4.
1

6

4

-10

-5

1
2

14

12

10

8

6

4

2

2

4

-3

6

Figura 9.7: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
∂(u, v)
1
∂(x, y)
= 6; então
= e:
∂(x, y)
∂(u, v)
6
1
8
1
du dv = A(D ∗ ) = πu.a.
A(D) =
6 D∗
6
3
[4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule:
cos
D

x−y
dx dy.
x+y

A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:
u
v

=x−y
= x + y.

1
1

1

-1

1

Figura 9.8: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,
e

1
∂(x, y)
=
∂(u, v)
2
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

236
f (u, v) = cos

u
; então:
v

cos
D

y−x
x+y

u
du dv
v
D∗
1
v
u
du dv
cos
v
0
−v

1
2
1
=
2

cos

dx dy =

1 1
v sen(1) − sen(−1) dv = sen(1)
2 0
sen(1)
=
.
2

1

=

v dv
0

[5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1 e
y + 2 x = 1, calcule:
y + 2x
dx dy.
2
D (y − 2 x)
A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança:
u
v

= y + 2x
= y − 2 x.

D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
2
2

1
1

-1

-0.5

0.5

1

1

Figura 9.9: Regiões D ∗ e D, respectivamente.
∂(x, y)
u
1
= e f (u, v) = 2 ; então:
∂(u, v)
4
v
y + 2x
u
1
dx dy =
du dv
2
2
4
D (y − 2 x)
D∗ v
2
u
1 2
du dv
=
2
4 1
1 v
3
= .
16

2
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS

9.4

237

Mudança Polar de Coordenadas

Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ)
onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o
segmento de reta que liga a origem a P .

P’
y

P

r
r
θ

x

Figura 9.10: Mudança polar de coordenadas.
A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:
r
θ

x2 + y 2
y
x = 0.
= arctg
x

=

Ou, equivalentemente:
x = r cos(θ)
y = r sen(θ).
Esta mudança é injetiva em:
D ∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π},
com θ0 =constante.
Note que a região circular D = {(x, y) /x2 + y 2 ≤ a2 } corresponde, em coordenadas
polares, à região retangular:
D ∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π].
Exemplo 9.4.
[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y 2 =
coordenadas polares fica r = 1 − sen(θ), r ≥ 0.

x2 + y 2 − y; em
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

238

-1

1

-1

-2

Figura 9.11: Cardióide.
[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana:
(x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 );

em coordenadas polares fica r 2 = a2 cos(2θ).

Figura 9.12: Lemniscata.
[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o
seguinte conjunto:
C = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = a2 , a ≥ 0};

em coordenadas polares:

C ∗ = {(r, θ, z) ∈ R3 /r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:
∂(x, y)
= r > 0.
∂(u, v)
Do teorema anterior, segue:
Corolário 9.3. Se f (r, θ) = f (r cos(θ), r sen(θ)), então:
r f (r, θ) dr dθ

f (x, y) dx dy =
D∗

D

Esta igualdade ainda é válida se D ∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}.

Em particular a área de D é:

r dr dθ

dx dy =

A(D) =
D

D∗
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS

9.4.1

239

Regiões Limitadas por Círculos

Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y 2 = a2 , em coordenadas polares
é dada por:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.

Figura 9.13: A região D.
Neste caso:
2π

a

r f (r, θ) dr dθ

f (x, y) dx dy =
0

D

0

A região D, limitada pelo círculo (x − a)2 + y 2 ≤ a2 , em coordenadas polares é:
D ∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), −

π
π
≤ θ ≤ }.
2
2

Figura 9.14: A região D.
Neste caso:
f (x, y) dx dy =
D

π
2

−π
2

2 acos(θ)

r f (r, θ) dr dθ
0

A região D, limitada pelo círculo x2 + (y − a)2 ≤ a2 , em coordenadas polares é:
D∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 a sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

240

Figura 9.15: A região D.
Neste caso:
2a sen(θ)

π

r f (r, θ) dr dθ

f (x, y) dx dy =
0

0

D

Exemplo 9.5.
(x2 + y 2 ) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:

[1] Calcule
D

2

2

2

x + y = 1,

2

x + y = 4,

y=x

e y=

√

3x
,
3

no primeiro quadrante.

1

1

2

Figura 9.16: A região D.
Usando coordenadas polares, a nova região D ∗ no plano rθ é determinada por:
D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2,

π
π
≤ θ ≤ }.
6
4

Como x2 + y 2 = r 2 , temos:
2

π
4

3

2

r dr dθ =

(x + y ) dx dy =
D∗

D

π
6

2

r 3 dr dθ =

1

5π
.
16

ln(x2 + y 2 ) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas:

[2] Calcule
D

x2 + y 2 = a2

e

x2 + y 2 = b2 , (0 < a < b).
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS

241

Usando coordenadas polares temos que D ∗ está determinada por: a ≤ r ≤ b e
0 ≤ θ ≤ 2π. Por outro lado, ln(x2 + y 2 ) = 2 ln(r),
ln(x2 + y 2 ) dx dy =

2 r ln(r) dr dθ
D∗

D

b

r ln(r) dr

= 4π
a

b

= π (r 2 (2 ln(r) − 1))
2

a

2

= π (2 b ln(b) − 2 a ln(a) + a2 − b2 ).
[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos gráficos de z = x2 + y 2 e x2 + y 2 = 2 y.
O gráfico de z = x2 + y 2 é um parabolóide centrado na origem e o de x2 + y 2 = 2y
é um cilindro circular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escrever
x2 + y 2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.
x

2
1
0

0.75

1

1

2

0.5

0.25 0

4
3

3
2

2

z

1

1

0

2

02

1

1.5
1

0
1

y

0.5
0

2

Figura 9.17: O sólido do exemplo [3].
Logo D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:
D ∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
(x2 + y 2 ) dx dy.

O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide. V =
Utilizando coordenadas polares temos x2 + y 2 = r 2 e:

D∗

D

2sen(θ)

π

r 3 dr dθ =

(x2 + y 2 ) dx dy =

V =

0

0

π

3 cos(4θ sen(2θ
=4
+
−
dθ
8
8
2
0
3θ
3
= −sen3 (θ) cos(θ) − cos(θ) sen(θ) +
2
2
3π
u.v.
=
2

π
0

D

π

r 3 dr dθ = 4
0

sen4 (θ) dθ
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

242

[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y 2 + z 2 = 25 e
internamente por x2 + y 2 = 9.
y
0
4

3

2

1

3

z

2

1

0
0

1
2
3
x

4
5

Figura 9.18: O sólido do exemplo [4].
5

3

3

5

Figura 9.19: A região D.
Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos
o resultado por 8.
V =8
D

25 − x2 − y 2 dx dy,

onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos
a nova região D ∗ definida por:

e

25 − x2 − y 2 =
V =8
D

√

D ∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤

π
}
2

25 − r 2 :

25 −

x2

−

y 2 dx dy

π
2

=8
0

5

r
3

25 − r 2 dr dθ =

[5] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide:

256π
u.v.
3
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS

243

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1;
a2
b
c
onde a, b, c = 0.
Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:
x2 y 2
+ 2 dx dy.
a2
b

1−

V = 8c
D

x2 y 2
A região D é limitada pela porção de elipse 2 + 2 = 1 no primeiro quadrante.
a
b
Usemos primeiramente a seguinte mudança:
x = au
y = b v;
o determinante Jacobiano da mudança é a b e D ∗ é limitada por u2 + v 2 = 1. Temos:

V = 8c

x2 y 2
+ 2 dx dy = 8 a b c
a2
b

1−

D

1 − u2 − v 2 du dv.

D∗

Agora, usamos coordenadas polares:
u = r cos(θ)
v = r sen(θ).
√
√
O determinante Jacobiano é r; 1 − u2 − v 2 = 1 − r 2 e a nova região D ∗∗ é defiπ
nida por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ :
2
1 − r 2 dr dθ =

r

V = 8abc
D ∗∗

4abcπ
u.v.
3

Em particular, se a = b = c temos uma esfera de raio a e V =
+∞

[6] Calcule

4 π a3
u.v.
3

2

e−x dx.
0

Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a]. Então:

e−(x
R

2 +y 2 )

a

a

2

2

a

−a

O gráfico de f (x, y) = e−(x

−a

2 +y 2 )

é:

2

a

−a

2

e−y dy .

e−x dx

e−x e−y dy dx =

dx dy =

−a
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

244

Figura 9.20:
a

a

2

Se denotamos por L(a) =

2

e−u du, temos:

e−u du = 2
0

−a

L2 (a) =

e−(x

2 +y 2 )

dx dy.

R

Sejam D e D1 regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1 onde D é a região limitada
pelo círculo inscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R:

R

D

D1

Figura 9.21:
Como f (x, y) = e−(x

2 +y 2 )

e−(x

é contínua em D1 e e−(x

2 +y 2 )

D

dx dy ≤ L2 (a) ≤

2 +y 2 )

> 0, para todo x, y,

e−(x

2 +y 2 )

dx dy.

D1

Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π, D1 é
√
2
2
2
definida por 0 ≤ r ≤ 2 a e 0 ≤ θ ≤ 2π; e−(x +y ) = e−r e:
2π

a

0

0

2

2

r e−r dr dθ = π (1 − e−a );

então,
π (1 − e−a2 ) ≤ L(a) ≤
a

Como lim

a→+∞ 0

+∞

2

e−u du =
0

2

e−u du, temos:

π (1 − e−2a2 ).
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS

+∞

−u2

e

du =

245

√

0

π
.
2

[7] Se D = {(x, y) ∈ R2 /1 ≤ (x − y)2 + (x + y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x + y ≥ 0}, calcule:
x+y

e x−y
dx dy.
2
D (x − y)
Usamos mudança linear:
u=
v=

x−y
x + y.

Logo, a nova região D ∗ é limitada pelas curvas u2 + v 2 = 1, u2 + v 2 = 4, v ≤ u e
0 ≤ v:
2

1

1

2

Figura 9.22: Região D.
∂(u, v)
∂(x, y)
1
= 2 então
= e
∂(x, y)
∂(u, v)
2
x+y

e x−y
1
dx dy =
(x − y)2
2
D

v

eu
du dv.
2
D∗ u

Usando coordenadas polares obtemos a região D ∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2 e
π
0≤θ≤ :
4
1
2

v

eu
1
du dv =
2
2
D∗ u

r etg(θ)
D

2
2
∗∗ r cos (θ)

dr dθ =

ln(2)
(e − 1).
2

9.4.2 Aplicação
Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ)
e r = h(θ) e definida por:
D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2 },
onde g, h : [θ1 , θ2 ] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

246
θ
θ

y

h

2

D
D*

θ1

θ2
θ1

g

r

x

Figura 9.23:
Então:
h(θ2 )

θ2

r f (r, θ) dr dθ

f (x, y) dx dy =
g(θ1 )

θ1

D

Em particular, a área de D é:
dx dy =

A(D) =
D

1
2

θ2
θ1

(h(θ))2 − (g(θ))2 dθ

Exemplo 9.6.
[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =
r = 4 sen(θ), no primeiro octante.

x2 + y 2 e pelo cilindro

Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o
π
cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ .
2
y

4
0
4

2

1

3

4

3
3

2

z

2

1

1
0
0
0.5
1

-2

-1

1

1.5

2

x

2

Figura 9.24:

π
2

2

r dr dθ =

V =
D∗

0

4 sen(θ)
0

r 2 dr dθ =

128
u.v.
9

[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo
exterior do círculo r = 2.
9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS

247

2

-2

2

-2

Figura 9.25:
Os círculos se intersectam em: θ =
A(D) =

1
2

5π
6
π
6

π
6

eθ=

5π
6

e:

(16 sen2 (θ) − 4) dθ =

√
2π
+ 2 3 u.a.
3

[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).
4

3

2

1

-2

-1

1

2

Figura 9.26:
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:
2π

A(D) = 2

(1 + sen(θ))2 dθ = 6πu.a.

0

[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).

Figura 9.27:
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

248
0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:
A(D) =

1
2

2π

sen2 (3θ) dθ =

0

π
u.a.
2

9.5 Outras Aplicações da Integral Dupla
Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem
ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e
momento de inércia.

9.5.1

Massa Total

Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e consideremos que a massa está distribuida sobre D com densidade conhecida, isto é, existe
uma função z = f (x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em
cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é
constante. Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área
da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função
integrável sobre D, a massa total M (D) de D é dada por:
f (x, y) dx dy

M (D) =
D

9.5.2 Momento de Massa
O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua
massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da
lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:
y f (x, y) dx dy,

Mx =

x f (x, y) dx dy

My =
D

D

(x,y)

y

D

x

Figura 9.28:

9.5.3

Centro de Massa

O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:
x=

My
,
M (D)

y=

Mx
M (D)
9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA

249

Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f (x, y) = k,
(k > 0) em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa
é o centro geométrico da região D.
Exemplo 9.7.
[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela
função: f (x, y) = ex+y .
A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é:
1

1

M (D) =
0

0

ex+y dx dy = e2 − 2e + 1.

Os momentos de massa respectivos são:
1

1

Mx =
0

0

y ex+y dx dy = e − 1 e

1

1

My =
0

0

x ex+y dx dy = e − 1

1
1
,
).
e−1 e−1
[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D de raio
a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à
distância do ponto à origem.
e o centro de massa de D é (

Figura 9.29:
f (x, y) = k x2 + y 2 . Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A
nova região D ∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π; x2 + y 2 = r:
π

a

M (D) = k
0

r 2 dr dθ =

0

k π a3
.
3

Os momentos de massa respectivos são:
π

a

Mx =
0

0

0

o centro de massa de D é (0,

3a
).
2kπ

π

a

r 3 cos(θ) dθ dr = 0 e My =

0

r 3 sen(θ) dθ dr =

a4
;
2
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

250

[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 .
4

2

1

2

Figura 9.30:
Neste caso f (x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:
D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x − x2 }
8
. Esta área já foi calculada anteriormente.
3

e M (D) = A(D) =

4x−x2

2

Mx =
0

x2

16
y dy dx =
3

e

2

4x−x2

My =
0

x2

8
x dy dx = ;
3

o centróide de D é (2, 1).
[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2 , y = 0
y
e x = 2 se a densidade em cada ponto é f (x, y) = 1+x .
2

x(x+1)

M (D) =
0

0

2

x(x+1)

Mx =
0

0

2

x(x+1)

My =
0

0

o centro de massa de D é (

9.5.4

1
y
dy dx =
1+x
2
y2
1
dy dx =
1+x
2
1
xy
dy dx =
1+x
3

2

(x3 + x2 ) dx =

10
,
3

(x4 + x3 ) dx =

412
,
45

0

2
0

2
0

(x5 + 2 x4 + x3 ) dx =

26
;
5

39 206
,
).
25 75

Momento de Inércia

Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde
d é a distância no plano e (x, y) ∈ D.
9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA

251

δ

(x,y)

L

D

Figura 9.31:
Se f (x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em
relação à reta L é:
δ2 (x, y) f (x, y) dx dy

IL =
D

Em particular, se L é o eixo dos x:
y 2 f (x, y) dx dy

Ix =
D

Se L é o eixo dos y:
x2 f (x, y) dx dy

Iy =
D

O momento de inércia polar em relação à origem é:
(x2 + y 2 ) f (x, y) dx dy

I0 = Ix + Iy =
D

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de
resistir à aceleração angular em torno desse eixo.
Exemplo 9.8.
[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex ,
x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f (x, y) = x y.
ex

1

3

xy dx dy =

Ix =

0

D

ex

yx dx dy =

Iy =

0

D

1
(3 e4 + 1),
64

y x3 dy dx =

1 2
(e + 3);
16

0
1

3

x y 3 dy dx =

0

logo, o momento de inércia polar é:
I0 = Ix + Iy =

1
(3 e4 + 4 e2 + 13).
64

[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y 2 = a2 e
x2 + y 2 = b2 , (0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.
CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

252

Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2 π
e o momento de inércia polar é:
2π

b

I0 = k
0

r 3 dr dθ =

a

k (b4 − a4 )π
.
2

9.6 Exercícios
1. Determine o volume dos seguintes sólidos:
(a) Limitado superiormente por z = x2 + y 2 e inferiormente pela região
limitada por y = x2 e x = y 2 .
(b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y 2 e inferiormente pela região
limitada por y = x e x = y 2 − y.
(c) Limitado por y 2 + z 2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.

(d) Limitado por z = x2 + y 2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1.
(e) Limitado por x2 + y 2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.
2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e
y = cos(x).
3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(a) y = x2 , y = 2x +

5
4

(b) y = −x2 − 4, y = −8

(c) y = 5 − x2 , y = x + 3

(d) x = y 2 , y = x + 3, y = −2, y = 3
(e) y 3 = x, y = x

(f) y = −x2 − 1, y = −2x − 4

(g) x = y 2 + 1, y + x = 7

(h) y = 4 − x2 , y = x2 − 14
4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade
dada f :
(a) R é limitado por x2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante e f (x, y) = x y
(b) R é limitado por y = x e y = x2 e f (x, y) = x2 + y 2
5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por:
VM =

1
A

onde A é a área de D. Calcule VM se:

f (x, y) dx dy,
D
9.6. EXERCÍCIOS
(a)
(b)
(c)
(d)

253

f (x, y) = x2 , e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
f (x, y) = x2 y 2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)
f (x, y) = x2 y 2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)
f (x, y) = x2 y 2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)

Mudanças de Variáveis
1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u − v, calcule:
1

1

x2 + y 2 dx dy.

0

0

2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x − y = v, calcule:
x+y

2

D

(x − y)2 dx dy,

onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).
3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x − y e v = x + y, calcule:
D

x2 − y 2 sen2 (x + y) dx dy,

onde D = {(x, y)/ − π ≤ x + y ≤ π, −π ≤ x − y ≤ π}.
4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
ex

(a)

2 +y 2

D

(b)
D

b2 }
(c)

dx dy, sendo D = {(x, y)/x2 + y 2 ≤ 1}

ln(x2 + y 2 ) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y 2 ≤
sen( x2 + y 2 )
x2 + y 2

D

dx dy, sendo D limitadas por x2 +y 2 =

π2
4

e x2 +y 2 =

π2
5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 − y 2 e x + 2 y −
4 = 0.
6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas:
(a) r = 1 e r =

2cos(θ)
√
3

(fora a circunferência r = 1).

(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).
(c) r = 2 (1 − cos(θ)) e r = 2.
sen(x2 + y 2 ) dx dy, sendo D o disco unitário centrado na origem.

7. Calcule
D

8. Sendo dadas a parábola y 2 = x + 1 e a reta x + y = 1, calcule o momento de
inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
254

CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS

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  • 1. Capítulo 8 INTEGRAÇÃO DUPLA 8.1 Integração Dupla sobre Retângulos Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2 . Consideremos P1 = {x0 , x1 , ...., xn } e P2 = {y0 , y1 , ...., yn } partições de ordem n de [a, b] e [c, d] respectivamente, tais que: e a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e xi+1 − xi = c = y 0 < y 1 < . . . . . . < yn = d d−c b−a , yj+1 − yj = . n n d yj+1 yj R R ij c xi a x i+1 b Figura 8.1: Partição de R. O conjunto P1 × P2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2 sub-retângulos Rij = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0, ...., n − 1). Considere a função limitada f : R −→ R. A soma n−1 n−1 f (cij ) ∆x ∆y, Sn = i=0 j=0 onde ∆x = d−c b−a e ∆y = é dita soma de Riemann de f sobre R. n n 203
  • 2. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 204 Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se lim Sn , n→+∞ existe independente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite por: f (x, y) dx dy, R que é denominada integral dupla de f sobre R. Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável. A prova deste teorema pode ser vista em [EL]. 8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de f sobre R tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3 definido por: W = {(x, y, z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)} Figura 8.2: O sólido W . W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente por R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por V (W ) o volume de W , então: f (x, y) dx dy V (W ) = R De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então f (cij ) × ∆x × ∆y é o volume do paralelepípedo de base Rij e altura f (cij ).
  • 3. 8.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 205 Figura 8.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente. n−1 n−1 f (cij ) ∆x ∆y Sn = i=0 j=0 é o volume do sólido circunscrito a W . Analogamente se eij é o ponto onde f atinge seu mínimo sobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então: n−1 n−1 f (eij ) ∆x ∆y sn = i=0 j=0 é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites das somas de Riemann Sn e sn independem da escolha de cij e eij : f (x, y) dx dy. lim Sn = lim sn = n→∞ n→∞ R Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W . Figura 8.4: Reconstrução do sólido.
  • 4. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 206 Figura 8.5: Reconstrução do sólido. Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij . A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma variável. Proposição 8.1. 1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então para todo α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e: g(x, y) dx dy. f (x, y) dx dy + β α f (x, y) + β g(x, y) dx dy = α R R R 2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f (x, y), para todo (x, y) ∈ R, então: R g(x, y) dx dy ≤ f (x, y) dx dy. R 3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri , i = 1, ..., k então f é integrável sobre R e, k f (x, y) dx dy. f (x, y) dx dy = R i=1 Ri 8.3 Integrais Iteradas Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo: b d f (x, y) dx dy. c a b f (x, y) dx como integral de uma Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral a veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com limites de integração c e d. b d A integral f (x, y) dy dx é calculada de forma análoga. a c
  • 5. 8.3. INTEGRAIS ITERADAS 207 Exemplo 8.1. 3 2 [1] Calcule 1 0 3 x2 y dy dx. 3 x2 y dy = x2 y dy = 4x2 2 e 3 0 cos(x + y) dx = sen(x + y) x=π x=0 1 π 4x2 dx = 0 1 1 2 x2 y dy dx = 32 . 3 π [2] Calcule cos(x + y) dx dy. 0 0 π 0 e π π π cos(x + y) dx dy = 0 = sen(y + π) − sen(y), 0 0 1 1 −1 (sen(y + π) − sen(y)) dy = −4. −2 [3] Calcule (x2 + y 2 ) dx dy. 1 (x2 + y 2 ) dx = −2 x=1 x3 + x y2 3 = 3 + 3 y2 x=−2 e 1 −1 π 3 [4] Calcule 4 π 6 1 −2 4 1 (x2 + y 2 ) dx dy = (3 + 3 y 2 ) dy = 8. −1 3 ρ2 eρ sen(φ) dρ dφ. 0 4 3 ρ2 eρ sen(φ) dρ = sen(φ) 3 3 ρ2 eρ dρ = sen(φ) 0 0 eρ 3 4 = sen(φ) 0 e64 − 1 3 e π 3 π 6 4 0 e64 − 1 ρ e sen(φ) dρ dφ = 3 0 0 √ 1 [5] Calcule √ π 3 2 ρ3 0 1−y 2 1− y 2 dx π 6 √ (e64 − 1) ( 3 − 1) . sen(φ) dφ = 6 1−y 2 1 − y 2 dx dy. 2 =1−y , e √ 1 0 0 1−y 2 1 1 − y 2 dx dy = 0 (1 − y 2 ) dy = 2 . 3
  • 6. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 208 [6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por: se x ∈ Q se x ∈ Q. / 1 2y f (x, y) = Então: 1 dy = 0 1 Logo, 1 dy dx = 1. 0        1 dy = 1 se x ∈ Q 2 y dy = 1 0 se x ∈ Q. / 1 0 0 1 Por outro lado 0 1 f (x, y) dx não existe, exceto quando y = ; logo, 2 1 1 dx dy 0 0 não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas. 8.4 Teorema de Fubini O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradas, o que facilitará seu cálculo. Teorema 8.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então: R d b b d f (x, y) dy dx f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy = c a a c Prova: Veja o apêndice. Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princípio de Cavalieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção transversal ao sólido, medida a uma distância y de um plano de referência, o volume do d sólido é dado por: V = c A(y) dy, onde c e d são as distâncias mínima e máxima ao plano de referência”. Se f é uma função contínua e f (x, y) ≥ 0 em todo R, então senta o volume do sólido W : W = {(x, y, z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, f (x, y) dx dy repreR 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.
  • 7. 8.4. TEOREMA DE FUBINI 209 c d a R b Figura 8.6: Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da d origem, obtemos uma seção plana que tem como área A(x) = c f (x, y) dy. Pelo princípio de Cavalieri, o volume total do sólido é: d b b f (x, y) dy dx. A(x) dx = f (x, y) dx dy = c a a R Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma b distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) = a f (x, y) dx e pelo princípio de Cavalieri: d d b A(y) dy = f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy. c c R a Exemplo 8.2. [1] Calcule R dx dy, onde R = [a, b] × [c, d]. b dy dx = a R b d dx dy = a c (d − c) dx = (b − a) (d − c); dx dy, corresponde a área de R ou ao volume numericamente a integral dupla R do paralelepípedo de base R e altura 1. [2] Calcule R positiva. f (x, y) dx dy, onde R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante f (x, y) dx dy = h R R dx dy = h × A(R) = h (b − a) (d − c), onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura h. [3] Calcule R (x y + x2 ) dx dy, onde R = [0, 1] × [0, 1]. 1 (x y + x2 ) dx dy = 0 R 0 1 (x y + x2 ) dx dy = 0 1 = 1 7 y 1 + dy = . 2 3 12 0 x2 y x3 + 2 3 x=1 dy x=0
  • 8. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 210 7 representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico 12 da função f (x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]). O número 0 1 1 0 Figura 8.7: Exemplo [4]. [4] Calcule R x y 2 dx dy, onde R = [−1, 0] × [0, 1]. 1 x y 2 dx dy = 0 R [5] Calcule R −1 x y 2 dx dy = − 1 2 1 0 1 y 2 dy = − . 6 sen(x + y) dx dy, onde R = [0, π] × [0, 2π]. 2π 2π π (cos(y)−cos(y +π)) dy = 0. sen(x+y) dx dy = sen(x+y) dx dy = 0 R 0 0 0 [6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1−y e inferiormente pelo retângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 Figura 8.8: Sólido do exemplo [6]. O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo retângulo R = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é: 1 V = R (1 − y) dx dy = 0 1 0 1 (1 − y) dx dy = 0 (1 − y) dy = 1 u.v. 2
  • 9. 8.4. TEOREMA DE FUBINI 211 [7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 + y 2 e pelos planos x = 0, x = 3, y = 0 e y = 1. Figura 8.9: Sólido do exemplo [7]. R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é: 1 (x2 + y 2 ) dx dy = V = 0 R 3 1 (x2 + y 2 ) dx dy = (9 + 3y 2 ) dy = 10 u.v. 0 0 u.v. =unidades de volume. [8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1−y 2 e pelos planos x = −1, x = 1, y = −1 e y = 1. Figura 8.10: Sólido do exemplo [8]. R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é: V = R 8.4.1 (1 − y 2 ) dx dy = 1 1 −1 −1 (1 − y 2 ) dx dy = 2 1 −1 (1 − y 2 ) dy = 8 u.v. 3 Extensão do Teorema de Fubini Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma genereralização do teorema 8.1.
  • 10. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 212 Definição 8.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo nulo se existe um número finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que A ⊂ R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪ Rn−1 ∪ Rn e: n lim n→+∞ i=1 |Ri | = 0; onde |Ri | é a área de Ri . Exemplo 8.3. [1] Se A = {p1 , p2 , ......., pm }, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo. Utilizando uma partição de ordem n de R como antes, temos: |Ri | = (b − a) (d − c) , n2 1 ≤ i ≤ n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então: n 4 m (b − a) (d − c) . |Ri | ≤ 0< n2 i=1 n Logo lim n→+∞ i=1 |Ri | = 0. [2] ∂R tem conteúdo nulo. d yj+1 yj R Rij c a xi x i+1 b Figura 8.11: ∂R. Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij : n 0< i=1 pois n−1 n |Ri | ≤ (4 n − 4) (b − a) (d − c) 4 (b − a) (d − c) ≤ , 2 n n < 1. Logo: n lim n→+∞ i=1 |Ri | = 0. É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem conteúdo nulo.
  • 11. 8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 213 Figura 8.12: G(f ). Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdo nulo, então f é integra´ el sobre R. v Prova: Veja [EL] na bibliografia. 8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais 8.6 Regiões Elementares Seja D ⊂ R2 . Regiões de tipo I D é uma região de tipo I se pode ser descrita por: D = {(x, y) ∈ R2 /a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)} sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1 (x) ≤ φ2 (x) para todo x ∈ [a, b]. φ 2 φ2 D D φ a φ1 1 b a Figura 8.13: Regiões de tipo I. b
  • 12. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 214 Regiões de tipo II D é uma região de tipo II se pode ser descrita por: D = {(x, y) ∈ R2 /c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)} sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) para todo y ∈ [c, d]. d ψ D ψ ψ 1 D 1 2 ψ 2 c Figura 8.14: Regiões de tipo II. Regiões de tipo III D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II. As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. As regiões elementares são fechadas e limitadas. Exemplo 8.4. [1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 pode ser descrita como de tipo I: A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: y = x2 y = 4 x − x2 , do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4x − x2 }. 5 4 3 2 1 0.5 1.0 1.5 2.0 Figura 8.15: Região de tipo I.
  • 13. 8.6. REGIÕES ELEMENTARES 215 [2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y 2 − x = 1 e y 2 + x = 1. A região pode ser descrita por: D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y 2 − 1 ≤ x ≤ 1 − y 2 }; D é uma região de tipo II. 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 Figura 8.16: Região de tipo II. [3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II: D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}. 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 Figura 8.17: Região de tipo III. [4] A região D limitada pelas curvas y = x − 1 e y 2 = 2 x + 6, pode ser descrita como de tipo II. A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: y =x−1 y 2 = 2 x + 6, do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo: D = {(x, y) ∈ R2 / − 2 ≤ y ≤ 4, y2 − 3 ≤ x ≤ y + 1}. 2
  • 14. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 216 3 2 1 1 2 3 Figura 8.18: Região de tipo II. [5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y 2 = 1; esta região é do tipo III. De fato: De tipo I: D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 1, φ1 (x) = − 1 − x2 ≤ y ≤ φ2 (x) = 1 − x2 }. 1 − y 2 ≤ x ≤ ψ2 (y) = 1 − y 2 }. De tipo II: D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, ψ1 (y) = − 8.7 Extensão da Integral Dupla Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R uma função contínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por: f ∗ (x, y) = f (x, y) se (x, y) ∈ D 0 se (x, y) ∈ R − D. f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f ∗ é integrável sobre R. R R D D Figura 8.19: Gráficos de f e f ∗ , respectivamente. Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R e em tal caso definimos: f ∗ (x, y) dx dy. f (x, y) dx dy = D R
  • 15. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 217 ∗ Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f1 : R1 −→ R é definida como antes, então: f ∗ (x, y) dx dy = R1 R pois f∗ = ∗ f1 ∗ f1 (x, y) dx dy, = 0 onde R e R1 diferem. f* =f* =0 1 R D R1 Figura 8.20: Logo, 8.8 D f (x, y) dx dy não depende da escolha do retângulo. Integral Dupla e Volume de Sólidos Proposição 8.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então: 1. Se D é uma região de tipo I: φ2 (x) b f (x, y) dy dx f (x, y) dx dy = φ1 (x) a D 2. Se D é uma região de tipo II: ψ2 (y) d f (x, y) dx dy f (x, y) dx dy = ψ1 (y) c D Para a prova, veja o apêndice. Corolário 8.4. Se f (x, y) = 1 em todo D, então: dx dy = Área(D) D b De fato, se D é de tipo I, temos dx dy = D a φ2 (x) − φ1 (x) dx = A(D).
  • 16. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 218 Se f (x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integral dupla de f sobre D como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de f e inferiormente por D. W = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x, y)} D é a projeção de W sobre o plano xy e: f (x, y) dx dy V (W ) = D 8.8.1 Exemplos 1 [1] Calcule 0 1 2 ex dx dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada. y Observe que: 1 2 ex dx dy = 0 D 1 2 ex dx dy. y A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1. 1 1 Figura 8.21: A região D. A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x e: 1 2 ex dx dy = 0 D 1 1 x 0 1 2 ex dy dx = 0 1 2 x ex dx = (e − 1). 2 sen(y) dy dx. y x 0 A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por outro lado, D é de tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y: [2] Calcule
  • 17. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 219 1 1 Figura 8.22: A região D. 1 1 0 x 1 sen(y) dy dx = y [3] Calcule D meiro quadrante. y 0 0 1 sen(y) dx dy = y 0 sen(y) dy = 1 − cos(1). 1 − y 2 dx dy, onde D é a região limitada por x2 + y 2 = 1 no pri- 1 1 Figura 8.23: A região D. Consideramos D como região de tipo II: D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 − y 2 }. Pela proposicão: √ 1 D 1− y 2 dx dy = 0 0 1−y 2 1 1 − y 2 dx dy = 0 2 (1 − y 2 ) dy = . 3 Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais complicada. (x + y)2 dx dy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o [4] Calcule eixo dos y. D
  • 18. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 220 1 1 2 Figura 8.24: A região D. As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I: x 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ + 1. 2 x +1 2 2 2 (x + y) dx dy = 0 D (x + y)2 dy dx = x 1 3 2 0 3x +1 2 3 − 8x3 dx = 21 . 6 [5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planos coordenados. Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) e inferiormente pelo plano z = 0. 1 -1 Figura 8.25: O sólido e a região, respectivamente. A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função z = f (x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região D projeção de W no plano xy. W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D, onde D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 0, volume é: 0 ≤ z ≤ 1 + x − y}, 0 ≤ y ≤ x + 1} é região do tipo I. Seu 0 (1 + x − y) dx dy = V (W ) = = 1 2 D 0 −1 (x + 1)2 dx = 1 u.v. 6 −1 x+1 0 (1 + x − y) dy dx
  • 19. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 221 [6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y 2 e x − y = 2. 5 5 4 4 3 3 2 2 1 -2 1 0 0 -2 0 4 0 4 2 2 2 0 4 2 0 4 -2 -2 Figura 8.26: O sólido do exemplo [6]. 1 1 2 -1 Figura 8.27: A região D. Observe que z = f (x, y) = 2 x + 1 e (2 x + 1) dx dy, V (W ) = D onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo II, ela é definida por: D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y 2 ≤ x ≤ y + 2}. O volume é: 2 y+2 (2 x + 1) dx dy (2x + 1) dx dy = V (W ) = D 2 = −1 (5 y + 6 − y 4 ) dy = −1 y2 189 u.v. 10 [7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por z = x2 + 4 y 2 e x2 + 4 y 2 = 4.
  • 20. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 222 O gráfico de z = x2 + 4 y 2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y 2 = 4 é um cilindro elítico. y y 0.5 1 0 -0.5 -1 3 -0.5 0.5 0 1 3 2 2 z z 1 1 0 -2 -2 0 -1 -1 0 x 0 1 x 2 1 2 Figura 8.28: O sólido do exemplo [7]. 1 -1 1 2 -1 Figura 8.29: A região do exemplo [7]. Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 4. 1 1 2 Figura 8.30: A região D. √ 4 − x2 D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2
  • 21. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 223 e, 2 √ 2 2 (x + 4y ) dx dy = 4 V =4 0 D 2 =2 4−x2 2 (x2 + 4 y 2 ) dy dx 0 3 x 2 4− 0 x2 (4 − x2 ) 2 + dx = 4 π u.v. 3 [8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 . Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4). 5 4 3 2 1 0.5 1.0 1.5 2.0 Figura 8.31: A região D. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x − x2 . 2 4x−x2 D 2 dy dx = 2 dx dy = A= 0 x2 0 (2x − x2 ) dx = 8 u.a. 3 [9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2 + y 2 = a2 e x2 + z 2 = a2 , a = 0. O sólido é simétrico em relação à origem.
  • 22. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 224 Figura 8.32: Interseção dos cilindros. Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8. Figura 8.33: O sólido no primeiro octante. Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ √ W é dada por z = f (x, y) = a2 − x2 e: V =8 D a √ a2 −x2 0 a =8 0 a2 − x2 . A altura do sólido a2 − x2 dx dy =8 0 √ a2 − x2 dy dx (a2 − x2 ) dx = 16 a3 . 3
  • 23. 8.8. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 225 [10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2 + y 2 e situado acima do plano xy, no primeiro octante. 0 1 2 3 8 2 6 4 1 2 0 3 2 1 1 0 2 3 Figura 8.34: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente. D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤ 2 0 D 2 81 2 =− 81 5 2 0 5 2 0 10−4 y 3 5 2 2 (x + y ) dx dy = V = =− 5 10 − 4y e0≤x≤ ; logo: 2 3 (x2 + y 2 ) dx dy 0 [2 y − 5] [43 y 2 − 80 y + 100] dy [86 y 3 − 375 y 2 + 600 y − 500] dy = 15625 u.v. 1296 [11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 e y 2 − x = 0. Figura 8.35: Sólido do exemplo [11]. D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤ √ x,
  • 24. CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO DUPLA 226 1 1 Figura 8.36: Região D. Logo: 1 √ x y dx dy = V = x y dy dx = 0 D x x2 1 2 1 0 [x2 − x5 ] dx = 1 u.v. 12 8.9 Exercícios f (x, y) dx dy, se: 1. Calcule R (a) f (x, y) = x2 y 3 e R = [0, 1] × [0, 1] (b) f (x, y) = (x + y)2 (x2 − y 2 ) e R = [0, 1] × [0, 1] (c) f (x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3] x2 e R = [−1, 1] × [−1, 1] y2 + 1 (e) f (x, y) = ex y (x2 + y 2 ) e R = [−1, 3] × [−2, 1] (d) f (x, y) = (f) f (x, y) = x y − y 2 e R = [0, 5] × [0, 4] (g) f (x, y) = 5 x y 2 e R = [1, 3] × [1, 4] (h) f (x, y) = 2 x + c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1] (i) f (x, y) = x2 − y 2 e R = [1, 2] × [−1, 1]. 2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inferiormente pelo retângulo dado: (a) z = 9 − y 2 e R = [0, 4] × [0, 2] (b) z = x2 + y 2 e R = [−2, 2] × [−3, 3] (c) z = y 2 − x2 e R = [−1, 1] × [1, 3] (d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [−1, 2] × [2, 3] (e) z = a cos(2 θ) + b sen(2 α) e R = [0, π ] × [0, π ] 2 2 (f) z = x sen(y) e R = [0, π] × [0, π]
  • 25. 8.9. EXERCÍCIOS 227 3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: 1 (a) 0 1 y 2 (b) √ 1 0 0 1 − y 2 dy dx 1 y 3 3y 9 0 (f) sen(y 2 ) dy dx x 1 (e) 1−x2 0 1 (d) x2 dy dx y2 x 1 1 (c) tg(x2 ) dx dy 2 ex dx dy y cos(x2 ) dx dy y2 0 4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas: (a) D (b) y dx dy; y = 2 x2 − 2, y = x2 + x x y dx dy; D x2 a2 + y2 b2 = 1, x, y ≥ 0 D x dx dy; x − y 2 = 0, x = 1 D dx dy ; y − x2 = 0, y = 1 x2 + 1 (c) (d) D (x2 + y 2 ) dx dy; y = 0, y = x − 1 e x = 1, x = 0 D ex+y dx dy; y = 0, y = x e x − 1 = 0 (e) (f) x cos(y) dx dy; y = 0, y = x2 e x = 1 (g) D D 4 y 3 dx dy; y = x − 6 e y 2 = x D (y 2 − x) dx dy; y 2 = x e x = 3 − 2 y 2 (h) (i) (x2 + 2 y) dx dy; y = 2 x2 e y = x2 + 1 (j) D (1 + 2 x) dx dy; x = y 2 e y + x = 2 (k) D dx dy; y 2 = x3 e y = x (l) D
  • 27. Capítulo 9 MUDANÇA DE COORDENADAS 9.1 Introdução Seja D ∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e: x, y : D ∗ −→ R, onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num retângulo aberto R tal que D ∗ ⊂ R. Estas duas funções determinam uma transformação do plano uv no plano xy. De fato: T : D ∗ −→ R2 , onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformação T é também denotada por: x= y= x(u, v) y(u, v), (u, v) ∈ D ∗ . Denotemos a imagen de D ∗ por T como D = T (D ∗ ), contida no plano xy. v y T D* u D x Figura 9.1: Mudança de coordenadas. Exemplo 9.1. Seja D ∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)), Determinemos D = T (D ∗ ) no plano xy. x = r cos(t) y = r sen(t); 229
  • 28. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 230 logo: x2 + y 2 = r 2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}. t y 2π T L D D* 1 1 x r Figura 9.2: Definição 9.1. Uma transformação T é injetiva em D ∗ se T (u1 , v1 ) = T (u2 , v2 ) implica em u1 = u2 e v1 = v2 , para todo (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ D ∗ . No exemplo 9.1, temos que: D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). A transformação T não é injetiva: De fato, T (0, t1 ) = T (0, t2 ) = (0, 0) para t1 = t2 . Observe que: T (L) = (0, 0), onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}. Mas se D ∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva. 9.1.1 Jacobiano da Mudança de Coordenadas Seja T : D ∗ −→ D uma transformação definida por: x= y= x(u, v) y(u, v), (u, v) ∈ D ∗ . Considere a seguinte matriz: ∂x  ∂u  J =  ∂y ∂u   ∂x ∂v    ∂y  ∂v onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D ∗ . J é chamada matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T . Definição 9.2. O determinante da matriz J, dito jacobiano de T , é denotado e definido por: ∂x ∂y ∂x ∂y ∂(x, y) = det(J) = − ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D ∗ .
  • 29. 9.1. INTRODUÇÃO 231 A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova: Proposição 9.1. Se: ∂(x, y) (u0 , v0 ) = 0, ∂(u, v) (u0 , v0 ) ∈ D ∗ , então existe uma vizinhança do ponto (u0 , v0 ) tal que a restrição de T a esta vizinhança é injetiva. Exemplo 9.2. [1] No exemplo 9.1, temos que D ∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t), r sen(t)). Logo, ∂(x, y) = r. ∂(r, t) Note que para todo (r, t) ∈ L temos ∂(x, y) = 0. ∂(r, t) [2] Seja o quadrado D ∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u + v, u − v). x y =u+v = u − v. Se u = 0, então y = −x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2 − x e se v = 1, então y = x − 2. A região D = T (D ∗ ) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x, y = −x, y = x − 2 e y = 2 − x. O jacobiano: ∂(x, y) = −2. ∂(u, v) 1 1 1 2 1 1 Figura 9.3: Regiões D ∗ e D, respectivamente. [3] Seja D ∗ a região limitada pelas curvas u2 − v 2 = 1, u2 − v 2 = 9, u v = 1 e u v = 4 no primeiro quadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v 2 , u v). Determinemos T (D ∗ ) = D, fazendo: x = u2 − v 2 y = u v;
  • 30. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 232 se u2 − v 2 = 1, então x = 1; se u2 − v 2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se u v = 4, então y = 4 2 4 1 1 1 2 3 1 5 Figura 9.4: Regiões D ∗ e D, respectivamente. ∂(x, y) = 2(u2 + v 2 ), que não se anula em D ∗ . ∂(u, v) 9.2 Mudança de Coordenadas e Integrais Duplas O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudanças de coordenadas. Teorema 9.1. Sejam D e D ∗ regiões elementares no plano, T uma transformação de classe C 1 e injetiva em D ∗ . Suponha que T (D ∗ ) = D. Então, para toda função integrável f sobre D temos: f (u, v) f (x, y) dx dy = D∗ D onde ∂(x, y) du dv ∂(u, v) ∂(x, y) é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)). ∂(u, v) Em particular a área de D é: dx dy = A(D) = D D∗ ∂(x, y) du dv ∂(u, v) É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num subconjunto de conteúdo nulo de D ∗ , como no caso de L, no exemplo 1. Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva. 9.3 Mudança Linear de Coordenadas Consideremos a seguinte transformação: x = x(u, v) = a1 u + b1 v y = y(u, v) = a2 u + b2 v 9
  • 31. 9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 233 onde a1 b2 − a2 b1 = 0. Como: ∂(x, y) = |a1 b2 − a2 b1 |, ∂(u, v) do teorema anterior, segue: Corolário 9.2. Se f (u, v) = f (a1 u + b1 v, a2 u + b2 v), então: D f (x, y) dx dy = |a1 b2 − a2 b1 | f (u, v) du dv D∗ Em particular, a área de D é: A(D) = |a1 b2 − a2 b1 | A(D ∗ ) Note que:  u =    e que ∂(u, v) ∂(x, y) = ∂(x, y) ∂(u, v)    v = −1 u(x, y) = b2 x − b 1 y a1 b2 − a2 b1 , −a2 x + a1 y v(x, y) = a1 b2 − a2 b1 . Exemplo 9.3. [1] Seja D a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x − 2 e y = x + 1, calcule: x y dx dy. D A presença dos termos 2 x − y e y − x sugerem a seguinte mudança: u v = 2x − y = y − x. A nova região D ∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1. 4 1 3 2 1 1 2 3 2 Figura 9.5: Regiões D e D ∗ , respectivamente. 1
  • 32. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 234 Note que: x y =u+v = u + 2 v, ∂(x, y) = 1 e f (u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v 2 . Então: ∂(u, v) logo, 1 0 (u2 + 3 u v + 2 v 2 ) du dv = 1. x y dx dy = 0 D −2 [2] Seja D a região limitada pela curva y + x = 2 e pelos eixos coordenados, calcule: y−x e x+y dx dy. D A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança: u v =x+y = y − x. D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x + y = 2; então, D ∗ é limitada pelas curvas u = v, u = −v e u = 2, respectivamente. 2 2 1 1 1 2 2 Figura 9.6: Regiões D ∗ e D, respectivamente. v ∂(u, v) ∂(x, y) 1 =2e = , f (u, v) = e u ; então: ∂(x, y) ∂(u, v) 2 y−x e x+y dx dy = D 1 2 1 = 2 v e u du dv = D∗ 2 ue v=u v u 2 u v e u dv du 0 −u du 0 e − e−1 2 = e − e−1 . 1 2 v=−u 2 = u du 0 [3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada (2 x − 4 y + 7)2 + (x − 5 y)2 = 16. 2
  • 33. 9.3. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 235 Considere a mudança: u= v= 2x − 4y x − 5 y. D∗ é a região limitada pela curva (u + 7)2 + v 2 = 16 que é um círculo centrado em (−7, 0) de raio 4. 1 6 4 -10 -5 1 2 14 12 10 8 6 4 2 2 4 -3 6 Figura 9.7: Regiões D ∗ e D, respectivamente. ∂(u, v) 1 ∂(x, y) = 6; então = e: ∂(x, y) ∂(u, v) 6 1 8 1 du dv = A(D ∗ ) = πu.a. A(D) = 6 D∗ 6 3 [4] Seja D a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos coordenados, calcule: cos D x−y dx dy. x+y A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança: u v =x−y = x + y. 1 1 1 -1 1 Figura 9.8: Regiões D ∗ e D, respectivamente. D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1, e 1 ∂(x, y) = ∂(u, v) 2
  • 34. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 236 f (u, v) = cos u ; então: v cos D y−x x+y u du dv v D∗ 1 v u du dv cos v 0 −v 1 2 1 = 2 cos dx dy = 1 1 v sen(1) − sen(−1) dv = sen(1) 2 0 sen(1) = . 2 1 = v dv 0 [5] Seja D a região limitada pelas curvas y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1 e y + 2 x = 1, calcule: y + 2x dx dy. 2 D (y − 2 x) A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança: u v = y + 2x = y − 2 x. D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2. 2 2 1 1 -1 -0.5 0.5 1 1 Figura 9.9: Regiões D ∗ e D, respectivamente. ∂(x, y) u 1 = e f (u, v) = 2 ; então: ∂(u, v) 4 v y + 2x u 1 dx dy = du dv 2 2 4 D (y − 2 x) D∗ v 2 u 1 2 du dv = 2 4 1 1 v 3 = . 16 2
  • 35. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 9.4 237 Mudança Polar de Coordenadas Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P . P’ y P r r θ x Figura 9.10: Mudança polar de coordenadas. A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por: r θ x2 + y 2 y x = 0. = arctg x = Ou, equivalentemente: x = r cos(θ) y = r sen(θ). Esta mudança é injetiva em: D ∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π}, com θ0 =constante. Note que a região circular D = {(x, y) /x2 + y 2 ≤ a2 } corresponde, em coordenadas polares, à região retangular: D ∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π]. Exemplo 9.4. [1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y 2 = coordenadas polares fica r = 1 − sen(θ), r ≥ 0. x2 + y 2 − y; em
  • 36. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 238 -1 1 -1 -2 Figura 9.11: Cardióide. [2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana: (x2 + y 2 )2 = a2 (x2 − y 2 ); em coordenadas polares fica r 2 = a2 cos(2θ). Figura 9.12: Lemniscata. [3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o seguinte conjunto: C = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = a2 , a ≥ 0}; em coordenadas polares: C ∗ = {(r, θ, z) ∈ R3 /r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}. Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares: ∂(x, y) = r > 0. ∂(u, v) Do teorema anterior, segue: Corolário 9.3. Se f (r, θ) = f (r cos(θ), r sen(θ)), então: r f (r, θ) dr dθ f (x, y) dx dy = D∗ D Esta igualdade ainda é válida se D ∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}. Em particular a área de D é: r dr dθ dx dy = A(D) = D D∗
  • 37. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 9.4.1 239 Regiões Limitadas por Círculos Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y 2 = a2 , em coordenadas polares é dada por: D∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}. Figura 9.13: A região D. Neste caso: 2π a r f (r, θ) dr dθ f (x, y) dx dy = 0 D 0 A região D, limitada pelo círculo (x − a)2 + y 2 ≤ a2 , em coordenadas polares é: D ∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 a cos(θ), − π π ≤ θ ≤ }. 2 2 Figura 9.14: A região D. Neste caso: f (x, y) dx dy = D π 2 −π 2 2 acos(θ) r f (r, θ) dr dθ 0 A região D, limitada pelo círculo x2 + (y − a)2 ≤ a2 , em coordenadas polares é: D∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 a sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.
  • 38. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 240 Figura 9.15: A região D. Neste caso: 2a sen(θ) π r f (r, θ) dr dθ f (x, y) dx dy = 0 0 D Exemplo 9.5. (x2 + y 2 ) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas: [1] Calcule D 2 2 2 x + y = 1, 2 x + y = 4, y=x e y= √ 3x , 3 no primeiro quadrante. 1 1 2 Figura 9.16: A região D. Usando coordenadas polares, a nova região D ∗ no plano rθ é determinada por: D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2, π π ≤ θ ≤ }. 6 4 Como x2 + y 2 = r 2 , temos: 2 π 4 3 2 r dr dθ = (x + y ) dx dy = D∗ D π 6 2 r 3 dr dθ = 1 5π . 16 ln(x2 + y 2 ) dx dy, onde D é a região limitada pelas curvas: [2] Calcule D x2 + y 2 = a2 e x2 + y 2 = b2 , (0 < a < b).
  • 39. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 241 Usando coordenadas polares temos que D ∗ está determinada por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2π. Por outro lado, ln(x2 + y 2 ) = 2 ln(r), ln(x2 + y 2 ) dx dy = 2 r ln(r) dr dθ D∗ D b r ln(r) dr = 4π a b = π (r 2 (2 ln(r) − 1)) 2 a 2 = π (2 b ln(b) − 2 a ln(a) + a2 − b2 ). [3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos gráficos de z = x2 + y 2 e x2 + y 2 = 2 y. O gráfico de z = x2 + y 2 é um parabolóide centrado na origem e o de x2 + y 2 = 2y é um cilindro circular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escrever x2 + y 2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1. x 2 1 0 0.75 1 1 2 0.5 0.25 0 4 3 3 2 2 z 1 1 0 2 02 1 1.5 1 0 1 y 0.5 0 2 Figura 9.17: O sólido do exemplo [3]. Logo D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é: D ∗ = {(r, θ) ∈ R2 /0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}. (x2 + y 2 ) dx dy. O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide. V = Utilizando coordenadas polares temos x2 + y 2 = r 2 e: D∗ D 2sen(θ) π r 3 dr dθ = (x2 + y 2 ) dx dy = V = 0 0 π 3 cos(4θ sen(2θ =4 + − dθ 8 8 2 0 3θ 3 = −sen3 (θ) cos(θ) − cos(θ) sen(θ) + 2 2 3π u.v. = 2 π 0 D π r 3 dr dθ = 4 0 sen4 (θ) dθ
  • 40. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 242 [4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y 2 + z 2 = 25 e internamente por x2 + y 2 = 9. y 0 4 3 2 1 3 z 2 1 0 0 1 2 3 x 4 5 Figura 9.18: O sólido do exemplo [4]. 5 3 3 5 Figura 9.19: A região D. Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8. V =8 D 25 − x2 − y 2 dx dy, onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos a nova região D ∗ definida por: e 25 − x2 − y 2 = V =8 D √ D ∗ = {(r, θ) / 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π } 2 25 − r 2 : 25 − x2 − y 2 dx dy π 2 =8 0 5 r 3 25 − r 2 dr dθ = [5] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide: 256π u.v. 3
  • 41. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 243 x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1; a2 b c onde a, b, c = 0. Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo: x2 y 2 + 2 dx dy. a2 b 1− V = 8c D x2 y 2 A região D é limitada pela porção de elipse 2 + 2 = 1 no primeiro quadrante. a b Usemos primeiramente a seguinte mudança: x = au y = b v; o determinante Jacobiano da mudança é a b e D ∗ é limitada por u2 + v 2 = 1. Temos: V = 8c x2 y 2 + 2 dx dy = 8 a b c a2 b 1− D 1 − u2 − v 2 du dv. D∗ Agora, usamos coordenadas polares: u = r cos(θ) v = r sen(θ). √ √ O determinante Jacobiano é r; 1 − u2 − v 2 = 1 − r 2 e a nova região D ∗∗ é defiπ nida por 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ : 2 1 − r 2 dr dθ = r V = 8abc D ∗∗ 4abcπ u.v. 3 Em particular, se a = b = c temos uma esfera de raio a e V = +∞ [6] Calcule 4 π a3 u.v. 3 2 e−x dx. 0 Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a]. Então: e−(x R 2 +y 2 ) a a 2 2 a −a O gráfico de f (x, y) = e−(x −a 2 +y 2 ) é: 2 a −a 2 e−y dy . e−x dx e−x e−y dy dx = dx dy = −a
  • 42. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 244 Figura 9.20: a a 2 Se denotamos por L(a) = 2 e−u du, temos: e−u du = 2 0 −a L2 (a) = e−(x 2 +y 2 ) dx dy. R Sejam D e D1 regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1 onde D é a região limitada pelo círculo inscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R: R D D1 Figura 9.21: Como f (x, y) = e−(x 2 +y 2 ) e−(x é contínua em D1 e e−(x 2 +y 2 ) D dx dy ≤ L2 (a) ≤ 2 +y 2 ) > 0, para todo x, y, e−(x 2 +y 2 ) dx dy. D1 Usando coordenadas polares, D é definida por 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2π, D1 é √ 2 2 2 definida por 0 ≤ r ≤ 2 a e 0 ≤ θ ≤ 2π; e−(x +y ) = e−r e: 2π a 0 0 2 2 r e−r dr dθ = π (1 − e−a ); então, π (1 − e−a2 ) ≤ L(a) ≤ a Como lim a→+∞ 0 +∞ 2 e−u du = 0 2 e−u du, temos: π (1 − e−2a2 ).
  • 43. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS +∞ −u2 e du = 245 √ 0 π . 2 [7] Se D = {(x, y) ∈ R2 /1 ≤ (x − y)2 + (x + y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x + y ≥ 0}, calcule: x+y e x−y dx dy. 2 D (x − y) Usamos mudança linear: u= v= x−y x + y. Logo, a nova região D ∗ é limitada pelas curvas u2 + v 2 = 1, u2 + v 2 = 4, v ≤ u e 0 ≤ v: 2 1 1 2 Figura 9.22: Região D. ∂(u, v) ∂(x, y) 1 = 2 então = e ∂(x, y) ∂(u, v) 2 x+y e x−y 1 dx dy = (x − y)2 2 D v eu du dv. 2 D∗ u Usando coordenadas polares obtemos a região D ∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2 e π 0≤θ≤ : 4 1 2 v eu 1 du dv = 2 2 D∗ u r etg(θ) D 2 2 ∗∗ r cos (θ) dr dθ = ln(2) (e − 1). 2 9.4.2 Aplicação Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ) e r = h(θ) e definida por: D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2 }, onde g, h : [θ1 , θ2 ] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).
  • 44. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 246 θ θ y h 2 D D* θ1 θ2 θ1 g r x Figura 9.23: Então: h(θ2 ) θ2 r f (r, θ) dr dθ f (x, y) dx dy = g(θ1 ) θ1 D Em particular, a área de D é: dx dy = A(D) = D 1 2 θ2 θ1 (h(θ))2 − (g(θ))2 dθ Exemplo 9.6. [1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z = r = 4 sen(θ), no primeiro octante. x2 + y 2 e pelo cilindro Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o π cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ . 2 y 4 0 4 2 1 3 4 3 3 2 z 2 1 1 0 0 0.5 1 -2 -1 1 1.5 2 x 2 Figura 9.24: π 2 2 r dr dθ = V = D∗ 0 4 sen(θ) 0 r 2 dr dθ = 128 u.v. 9 [2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo exterior do círculo r = 2.
  • 45. 9.4. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 247 2 -2 2 -2 Figura 9.25: Os círculos se intersectam em: θ = A(D) = 1 2 5π 6 π 6 π 6 eθ= 5π 6 e: (16 sen2 (θ) − 4) dθ = √ 2π + 2 3 u.a. 3 [3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)). 4 3 2 1 -2 -1 1 2 Figura 9.26: 0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo: 2π A(D) = 2 (1 + sen(θ))2 dθ = 6πu.a. 0 [4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ). Figura 9.27:
  • 46. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 248 0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo: A(D) = 1 2 2π sen2 (3θ) dθ = 0 π u.a. 2 9.5 Outras Aplicações da Integral Dupla Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e momento de inércia. 9.5.1 Massa Total Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e consideremos que a massa está distribuida sobre D com densidade conhecida, isto é, existe uma função z = f (x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em cada ponto (x, y) ∈ D. Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa total da lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f é uma função integrável sobre D, a massa total M (D) de D é dada por: f (x, y) dx dy M (D) = D 9.5.2 Momento de Massa O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente: y f (x, y) dx dy, Mx = x f (x, y) dx dy My = D D (x,y) y D x Figura 9.28: 9.5.3 Centro de Massa O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde: x= My , M (D) y= Mx M (D)
  • 47. 9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 249 Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f (x, y) = k, (k > 0) em todo D, (x, y) é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa é o centro geométrico da região D. Exemplo 9.7. [1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela função: f (x, y) = ex+y . A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é: 1 1 M (D) = 0 0 ex+y dx dy = e2 − 2e + 1. Os momentos de massa respectivos são: 1 1 Mx = 0 0 y ex+y dx dy = e − 1 e 1 1 My = 0 0 x ex+y dx dy = e − 1 1 1 , ). e−1 e−1 [2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D de raio a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto à origem. e o centro de massa de D é ( Figura 9.29: f (x, y) = k x2 + y 2 . Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A nova região D ∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π; x2 + y 2 = r: π a M (D) = k 0 r 2 dr dθ = 0 k π a3 . 3 Os momentos de massa respectivos são: π a Mx = 0 0 0 o centro de massa de D é (0, 3a ). 2kπ π a r 3 cos(θ) dθ dr = 0 e My = 0 r 3 sen(θ) dθ dr = a4 ; 2
  • 48. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 250 [3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 . 4 2 1 2 Figura 9.30: Neste caso f (x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde: D = {(x, y) ∈ R2 /0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x − x2 } 8 . Esta área já foi calculada anteriormente. 3 e M (D) = A(D) = 4x−x2 2 Mx = 0 x2 16 y dy dx = 3 e 2 4x−x2 My = 0 x2 8 x dy dx = ; 3 o centróide de D é (2, 1). [4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2 , y = 0 y e x = 2 se a densidade em cada ponto é f (x, y) = 1+x . 2 x(x+1) M (D) = 0 0 2 x(x+1) Mx = 0 0 2 x(x+1) My = 0 0 o centro de massa de D é ( 9.5.4 1 y dy dx = 1+x 2 y2 1 dy dx = 1+x 2 1 xy dy dx = 1+x 3 2 (x3 + x2 ) dx = 10 , 3 (x4 + x3 ) dx = 412 , 45 0 2 0 2 0 (x5 + 2 x4 + x3 ) dx = 26 ; 5 39 206 , ). 25 75 Momento de Inércia Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde d é a distância no plano e (x, y) ∈ D.
  • 49. 9.5. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 251 δ (x,y) L D Figura 9.31: Se f (x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em relação à reta L é: δ2 (x, y) f (x, y) dx dy IL = D Em particular, se L é o eixo dos x: y 2 f (x, y) dx dy Ix = D Se L é o eixo dos y: x2 f (x, y) dx dy Iy = D O momento de inércia polar em relação à origem é: (x2 + y 2 ) f (x, y) dx dy I0 = Ix + Iy = D O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à aceleração angular em torno desse eixo. Exemplo 9.8. [1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex , x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto é f (x, y) = x y. ex 1 3 xy dx dy = Ix = 0 D ex yx dx dy = Iy = 0 D 1 (3 e4 + 1), 64 y x3 dy dx = 1 2 (e + 3); 16 0 1 3 x y 3 dy dx = 0 logo, o momento de inércia polar é: I0 = Ix + Iy = 1 (3 e4 + 4 e2 + 13). 64 [2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y 2 = a2 e x2 + y 2 = b2 , (0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.
  • 50. CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS 252 Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2 π e o momento de inércia polar é: 2π b I0 = k 0 r 3 dr dθ = a k (b4 − a4 )π . 2 9.6 Exercícios 1. Determine o volume dos seguintes sólidos: (a) Limitado superiormente por z = x2 + y 2 e inferiormente pela região limitada por y = x2 e x = y 2 . (b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y 2 e inferiormente pela região limitada por y = x e x = y 2 − y. (c) Limitado por y 2 + z 2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante. (d) Limitado por z = x2 + y 2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1. (e) Limitado por x2 + y 2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante. 2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e y = cos(x). 3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: (a) y = x2 , y = 2x + 5 4 (b) y = −x2 − 4, y = −8 (c) y = 5 − x2 , y = x + 3 (d) x = y 2 , y = x + 3, y = −2, y = 3 (e) y 3 = x, y = x (f) y = −x2 − 1, y = −2x − 4 (g) x = y 2 + 1, y + x = 7 (h) y = 4 − x2 , y = x2 − 14 4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade dada f : (a) R é limitado por x2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante e f (x, y) = x y (b) R é limitado por y = x e y = x2 e f (x, y) = x2 + y 2 5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por: VM = 1 A onde A é a área de D. Calcule VM se: f (x, y) dx dy, D
  • 51. 9.6. EXERCÍCIOS (a) (b) (c) (d) 253 f (x, y) = x2 , e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2) f (x, y) = x2 y 2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2) f (x, y) = x2 y 2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2) f (x, y) = x2 y 2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1) Mudanças de Variáveis 1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u − v, calcule: 1 1 x2 + y 2 dx dy. 0 0 2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x − y = v, calcule: x+y 2 D (x − y)2 dx dy, onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1). 3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x − y e v = x + y, calcule: D x2 − y 2 sen2 (x + y) dx dy, onde D = {(x, y)/ − π ≤ x + y ≤ π, −π ≤ x − y ≤ π}. 4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas: ex (a) 2 +y 2 D (b) D b2 } (c) dx dy, sendo D = {(x, y)/x2 + y 2 ≤ 1} ln(x2 + y 2 ) dx dy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y 2 ≤ sen( x2 + y 2 ) x2 + y 2 D dx dy, sendo D limitadas por x2 +y 2 = π2 4 e x2 +y 2 = π2 5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 − y 2 e x + 2 y − 4 = 0. 6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas: (a) r = 1 e r = 2cos(θ) √ 3 (fora a circunferência r = 1). (b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ). (c) r = 2 (1 − cos(θ)) e r = 2. sen(x2 + y 2 ) dx dy, sendo D o disco unitário centrado na origem. 7. Calcule D 8. Sendo dadas a parábola y 2 = x + 1 e a reta x + y = 1, calcule o momento de inércia em relação a cada eixo e o momento de inércia polar.
  • 52. 254 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDENADAS