Este documento é uma apostila sobre cálculo I que introduz o conceito de derivada de uma função real. A derivada representa a inclinação de uma curva em um ponto e pode ser usada para encontrar a equação da reta tangente. A apostila fornece exemplos e exercícios sobre como calcular derivadas e usar suas propriedades.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
Este documento apresenta uma série de exercícios de cálculo que envolvem derivar funções, encontrar equações de retas tangentes e aplicar a regra da cadeia. Os alunos devem calcular derivadas, derivar funções usando regras, encontrar equações de retas tangentes dadas funções e seus pontos e aplicar a regra da cadeia para encontrar derivadas compostas.
1) O documento apresenta exemplos e conceitos sobre funções, incluindo cálculo de funções, domínio, funções pares e ímpares, funções compostas e inversas.
2) São mostrados exemplos de cálculo de funções, determinação do domínio, identificação de funções pares e ímpares.
3) Também são explicados os conceitos de função composta e como calcular funções compostas, assim como o processo para encontrar a função inversa.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
1. O documento contém 32 questões sobre funções compostas e relações entre funções.
2. As questões envolvem determinar expressões algébricas, valores numéricos, domínios e conjuntos solução a partir de informações fornecidas sobre definições, gráficos e valores de funções.
3. Os tipos de funções envolvidas incluem polinômios, radiciais, exponenciais e funções definidas por partes.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
A regra da cadeia fornece uma fórmula para calcular a derivada de uma função composta f(g(x)) em termos das derivadas de f e g. A fórmula é d/dx[f(g(x))] = (d/du[f(u)])*(d/dx[g(x)]), onde u = g(x). O documento apresenta exemplos ilustrando como aplicar a regra da cadeia para calcular derivadas de funções compostas.
Este documento apresenta uma série de exercícios de cálculo que envolvem derivar funções, encontrar equações de retas tangentes e aplicar a regra da cadeia. Os alunos devem calcular derivadas, derivar funções usando regras, encontrar equações de retas tangentes dadas funções e seus pontos e aplicar a regra da cadeia para encontrar derivadas compostas.
1) O documento apresenta exemplos e conceitos sobre funções, incluindo cálculo de funções, domínio, funções pares e ímpares, funções compostas e inversas.
2) São mostrados exemplos de cálculo de funções, determinação do domínio, identificação de funções pares e ímpares.
3) Também são explicados os conceitos de função composta e como calcular funções compostas, assim como o processo para encontrar a função inversa.
O documento fornece uma introdução concisa sobre limites, derivadas e integrais, apresentando fórmulas e propriedades essenciais destes conceitos em menos de 3 frases. Inclui também exemplos resolvidos para ilustrar a aplicação destas técnicas.
1. O documento contém 32 questões sobre funções compostas e relações entre funções.
2. As questões envolvem determinar expressões algébricas, valores numéricos, domínios e conjuntos solução a partir de informações fornecidas sobre definições, gráficos e valores de funções.
3. Os tipos de funções envolvidas incluem polinômios, radiciais, exponenciais e funções definidas por partes.
1. Este documento é uma apostila de exercícios resolvidos de cálculo contendo dois capítulos:
2. O capítulo 1 trata de limites e continuidade, enquanto o capítulo 2 aborda derivadas.
3. A apostila foi produzida por Celton Ribeiro Barbosa e Prof. Gislan Silveira Santos para o Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
O documento contém 4 problemas sobre funções. O primeiro pede para identificar a função f dado fog. O segundo calcula a composição de funções gof. O terceiro pede a função inversa de f(x)=2x+5. O quarto calcula o valor da inversa f-1 para um dado valor.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos básicos de matemática elementar, incluindo funções, inversas de funções, composição de funções e domínios de funções. Inclui seis questões resolvidas como exemplos.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1. O documento apresenta 28 questões sobre funções polinomiais e trigonométricas. As questões abordam conceitos como cálculo de raízes, vértice, domínio, conjunto imagem, gráficos e resolução de equações e inequações funcionais.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
A aula apresenta regras de derivação para funções como exponencial, logaritmo, soma, produto e quociente de funções. Inclui demonstrações das fórmulas de derivação e exemplos de cálculo de derivadas de funções compostas.
1) O documento apresenta a ementa da disciplina de Física Geral ministrada no Campus Capanema da Universidade Federal Rural da Amazônia no ano de 2014, com os principais tópicos abordados, cronograma de avaliações e métodos de avaliação.
2) Os tópicos abordados incluem sistemas de medidas, mecânica newtoniana, gravitação, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e aplicações da física nuclear e biofísica.
3) As avaliações consistem
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Este documento descreve um trabalho de grupo para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I no SENAI/CETIQT. O trabalho deve ser entregue até 31 de março de 2012 e seguir certos requisitos de formatação.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
O documento contém 4 problemas sobre funções. O primeiro pede para identificar a função f dado fog. O segundo calcula a composição de funções gof. O terceiro pede a função inversa de f(x)=2x+5. O quarto calcula o valor da inversa f-1 para um dado valor.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos básicos de matemática elementar, incluindo funções, inversas de funções, composição de funções e domínios de funções. Inclui seis questões resolvidas como exemplos.
O documento apresenta as regras básicas de derivação de funções, incluindo derivadas de constantes, funções potência, funções multiplicadas por uma constante, soma, produto e quociente de funções. As regras são ilustradas com exemplos numéricos de cada uma.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
1. O documento apresenta 28 questões sobre funções polinomiais e trigonométricas. As questões abordam conceitos como cálculo de raízes, vértice, domínio, conjunto imagem, gráficos e resolução de equações e inequações funcionais.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
1. O documento apresenta um relatório sobre cálculo de integrais.
2. Nele são definidas integral indefinida, integral definida e integração trigonométrica.
3. Exemplos resolvidos são fornecidos para cada tópico a fim de ilustrar os conceitos apresentados.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisGustavo Fernandes
O documento resume os principais métodos para integrar funções racionais, incluindo substituição algébrica, frações parciais para polinômios com raízes reais ou complexas, e divisão polinomial quando o grau do numerador é maior que o denominador. O documento também explica como decompor funções racionais em frações parciais usando fatores lineares, quadráticos redutíveis e irredutíveis.
A aula apresenta regras de derivação para funções como exponencial, logaritmo, soma, produto e quociente de funções. Inclui demonstrações das fórmulas de derivação e exemplos de cálculo de derivadas de funções compostas.
1) O documento apresenta a ementa da disciplina de Física Geral ministrada no Campus Capanema da Universidade Federal Rural da Amazônia no ano de 2014, com os principais tópicos abordados, cronograma de avaliações e métodos de avaliação.
2) Os tópicos abordados incluem sistemas de medidas, mecânica newtoniana, gravitação, termodinâmica, eletromagnetismo, óptica e aplicações da física nuclear e biofísica.
3) As avaliações consistem
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Este documento descreve um trabalho de grupo para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I no SENAI/CETIQT. O trabalho deve ser entregue até 31 de março de 2012 e seguir certos requisitos de formatação.
Este documento resume os principais conceitos de funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, explica a forma geral da função linear f(x)=ax+b e conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, aborda a forma geral da parábola f(x)=ax2+bx+c, conceitos como vértice, concavidade, raízes e estudo do sinal.
O documento apresenta as regras básicas para derivação de funções, incluindo derivadas de funções constantes, potências, soma, produto e quociente. Exemplos ilustram a aplicação destas regras para derivar funções como polinômios, exponenciais e logarítmicas.
1. O documento apresenta uma série de exercícios de cálculo diferencial e integral resolvidos. Inclui determinar conjuntos de diferenciabilidade, derivadas, tangentes, aplicação do teorema de Lagrange, desenvolvimento em séries de Taylor e limites.
2. As questões abordam tópicos como derivadas de funções compostas, derivadas implícitas, aplicação de regras como a de Cauchy para calcular limites, estudos de funções como extremos, assíntotas e pontos de inflexão.
3. As respostas
(a) O documento apresenta exercícios sobre limites e continuidade de funções;
(b) Inclui o cálculo de limites quando x tende a um valor específico;
(c) Discutem-se as condições para uma função ser contínua em um ponto.
(a) O documento apresenta exercícios sobre limites e continuidade de funções;
(b) Inclui o cálculo de limites quando x tende a um valor específico;
(c) Discutem-se as condições para uma função ser contínua em um ponto.
1) O documento apresenta 16 exercícios sobre funções inversas compostas, com questões envolvendo cálculo de funções inversas, composição de funções, resolução de equações e inequações funcionais.
2) Os exercícios abordam temas como funções inversas, composição de funções, sistemas de equações e inequações do 1o e 2o grau, máximos e mínimos de funções, entre outros.
3) São propostos exercícios para cálculo de funções inversas, determinação de relações
Este documento apresenta questões sobre conceitos fundamentais de matemática para um exame. A primeira questão pede para classificar um sistema de equações lineares e resolvê-lo para valores específicos. A segunda questão analisa propriedades de uma função, incluindo seu domínio, zeros, derivada e representação gráfica. A terceira questão pede para determinar primitivas de funções e calcular áreas. A quarta questão estuda a convergência de séries e calcula suas somas. A quinta questão trata de combinatórias envolvendo distribuição de técn
O documento apresenta exercícios sobre limites laterais, limites de funções e continuidade. No primeiro exercício, é pedido para calcular limites laterais de funções no ponto x=1. No segundo, esboçar gráficos de funções e calcular limites no ponto x=1. No terceiro, dar um exemplo onde o limite do módulo de f existe, mas o limite de f não existe quando x vai a 0.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites infinitos e no infinito, teoremas do confronto e anulamento, e limites trigonométricos. Inclui 33 exercícios para calcular limites ou verificar a continuidade de funções.
2. As respostas fornecem os valores dos limites ou justificam a não existência para cada exercício, demonstrando o uso correto dos conceitos apresentados no documento.
3. Alguns exercícios pedem também a determinação de assíntotas ou verificação da extensão
1) O documento discute limites de funções, definindo-os formalmente como a aproximação do comportamento de uma função quando sua variável se aproxima de um número real.
2) Apresenta exemplos numéricos e gráficos para ilustrar o cálculo de limites laterais esquerdo e direito.
3) Lista propriedades algébricas dos limites, como a soma, produto e quociente de limites.
O documento descreve diferentes tipos de funções polinomiais e suas propriedades, incluindo grau de uma função, função identidade, função constante, função modular, função composta, função sobrejetora, função injetora e função bijetora. Exemplos ilustram cada tipo de função.
1) A função é definida no conjunto dos números reais.
2) A função intersecta os eixos nos pontos (0,-1), (-1,0) e (1,0).
3) A derivada primeira indica que a função é crescente em (0,∞) e decrescente em (-∞,0).
Este documento discute funções quadráticas. Define uma função quadrática como f(x)=ax2+bx+c, onde a é um número real diferente de zero e b e c são números reais. Explica como identificar funções quadráticas e determinar seus coeficientes a, b e c. Também discute como calcular o valor numérico ou imagem de uma função quadrática para um dado valor de x ou quando f(x)=α.
1. O documento apresenta uma série de problemas sobre funções em geral, incluindo determinação de valores de funções, análise de gráficos e propriedades de funções.
2. São abordados conceitos como função do primeiro grau, função afim, composição de funções, inversa de funções, máximos e mínimos, entre outros.
3. São propostos diversos exercícios para que o leitor teste seu entendimento sobre esses conceitos e resolva problemas envolvendo diferentes tipos de funções.
1) Uma lista de exercícios de matemática com 7 questões sobre funções afins e não afins, incluindo classificar funções e calcular valores de funções.
2) Os alunos devem verificar quais funções são afins e encontrar os valores de a e b, classificar funções como afim, linear, etc, calcular valores de funções afins para diferentes entradas e determinar valores reais de x.
3) Há também indicações sobre quais exercícios dos alunos devem resolver em determinadas páginas do livro texto.
1) A função f(x) = 8x - x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (4,16). Seu domínio é R e imagem é (-∞,16]. É crescente em (-∞,4) e decrescente em (4,+∞).
2) A função f(x) = |3-x| é modular com vértice em (3,0). Seu domínio é R e imagem é [0,+∞). É decrescente em (-∞,3) e crescente em (3,+∞).
Este documento fornece uma introdução às funções quadráticas. Define funções quadráticas como funções da forma f(x)=ax2+bx+c e identifica quais das funções dadas são quadráticas determinando os valores dos coeficientes a, b e c. Explica como calcular o valor numérico ou imagem de uma função quadrática para um dado valor de x ou quando f(x)=α. Fornece exemplos para ilustrar esses conceitos.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
1. Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - UEMS
APOSTILA DE CÁLCULO I
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
Parte I
Profª. MSc. Adriana de Fátima Vilela Biscaro
2. Veremos nesta apostila que a DERIVADA, representa a inclinação de uma curva num ponto.
Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em diversos ramos da Física,
Engenharia, Economia etc.
3.
4.
5. Exercícios:
1. Encontrar uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1).
2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2.
Como vimos na seção anterior, esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto (x0, f(x0). Portanto, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto
x0, representa a inclinação da curva neste ponto.
O termo “derivada” é usado porque a função f’ deriva da função f por meio de um limite.
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
6. Exercícios:
1. Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x2 +1 e use-a para encontrar a equação da reta
tangente a y = x2 +1 em x=2.
2. Dada f(x) = 5x2 + 6x -1, encontre f’ (2).
x− 2
3. Dada f ( x ) = , encontre f’(x).
x+ 3
4. Dada f ( x ) = x , encontre f’(4).
5. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o
gráfico em cada caso.
a) f(x) = x2 -1 ; x=0
b) f(x) = x2 – 3x + 6; x = -1
6. Dadas as funções f(x) = 5 – 2x e g(x) = 3x2 -1, determinar:
a) f’ (1) + g’(1)
b) 2f’(0) – g’(-2)
c) f(2) – f’(2)
d) [g’(0)]2 + 1/2g’(0) + g(0)
7. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1 – 4x2
b) f(x) = 2x2 – x -1
c) f(x) = 1/x+2
d) f(x) = 1-x/x+3
8. Dada a função f(x)= 2x2 – 3x -2, determinar os intervalos em que:
a)f’(x) >0 b) f’(x) <0
7. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
TEOREMA: Toda função derivável num ponto x1 é contínua nesse ponto
Prova: (i) f(x1) existe;
(ii) lim f ( x) existe;
x→ x1
(iii) x→ x1 f ( x) = f(x1)
lim
Por hipótese, f(x) é derivável em x1. Logo f’ (x1) existe e, pela fórmula
f ( x) − f ( x1 )
f ' ( x1 ) = lim
x → x1 x − x1
Concluímos que f(x1) deve existir para que o limite tenha significado.
Exemplo:
Seja a função definida por
3 x − 1, sex < 2
f ( x) =
7 − x, sex ≥ 2
a) Mostre que f é contínua em 2.
b) Encontre f’+ (2) e f’-(2).
a) Esta função é contínua em 2.
De fato, existe f(2) = 5; existe o limite:
8. lim f ( x) = lim+ (7 − x) = lim (3 x − 1) = 5
x→ 2 x→ 2 −
x→ 2
E finalmente,
lim f ( x) = f (2) = 5
x→ 2
b) Obtemos f’+(2) usando a definição:
f ( x ) − f (2)
f +' (2) = lim
x→ 2 x− 2
7− x− 5
f +' (2) = lim
x→ 2 x− 2
− x+ 2
f +' (2) = lim
x→ 2 x − 2
− ( x − 2)
f +' (2) = lim
x→ 2 x− 2
f +' (2) = − 1
Usando a definição, obtemos f’-, temos;
f ( x) − f ( 2)
f −' (2) = lim
−
x→ 2 x− 2
3x − 1 − 5
f −' (2) = lim
x → 2− x− 2
3x − 6
f −' (2) = lim
x→ 2 x − 2
−
3( x − 2)
f −' (2) = lim
x → 2− x− 2
f − (2) = 3
'
Como
f ( x) − f (2) f ( x) − f ( 2)
f +' (2) = lim ≠ f −' (2) = lim
+
x→ 2 x− 2 x→ 2−
x− 2
Concluímos que não existe o
f ( x ) − f ( x0 )
lim , Portanto, a função f(x) não é derivável em x0 = 2
x → x0 x − x0
9. Exercícios:
2 x + 1sex < 1
1. Mostre que a função g ( x) = não é derivável em x=1.
− x + 4 sex ≥ 1
x 2 + 2 sex < 1
2. Seja g ( x) =
2 x + 1sex ≥ 1
a) Mostre que g é derivável em p =1 e calcule g’(1).
b) Esboce e gráfico de g.
Exemplo: Calcule as derivadas das funções abaixo
11. Exemplo:
Proposição. Se f ( x) = x − n onde n é um inteiro positivo e x ≠ 0, então f ' ( x) = − n.x − n − 1 .
1
Prova: Podemos escrever f ( x ) = . Aplicando a regra do quociente, temos:
xn
x n .0 − 1.nx n − 1
f ' ( x) =
(x n )2
− nx n − 1
f ' ( x) =
(xn )2
f ' ( x) = − n.x n − 1 .x − 2 n
f ' ( x) = − nx − n − 1
Exercícios:
1. Encontrar a derivada das funções dadas:
a) f(x) = 3x2 + 5 b) f(x) = x3 + x2 + 1
c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4 d) f(x) = 3 x + x
1
e) f(x) = 23 x f) f(x) = 3 x +
x
4 5 x
g) f ( x ) = + 2 h) f(x) = 2
x x x +1
x −1
2
3x 2 + 3
i) f ( x) = j) f ( x) =
x+ 1 5x − 3
k) f ( x ) = (3 x − 1)(2 − x )
5 4
l) f(x) = (7x – 1)(x+4)