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Cálculo vetorial - Seções 16.1-9

                                   Cálculo II - ECT 1202

                                  Escola de Ciências e Tecnologia
                            Universidade Federal do Rio Grande do Norte


                                          Maio 2011




Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                 Maio 2011   1 / 168
Campos Vetoriais

Até agora estudamos funções que associam um número a um vetor (funções
vetoriais) e funções que associam um vetor a um número (funções de duas e
ou mais variáveis). A seguir estudaremos outro tipo função.

Campos vetoriais
Seja D um subconjunto do R2 . Um campo vetorial em R2 é uma função F que
associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F(x, y).




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Campos Vetoriais


Campos vetoriais
Como F(x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de
suas funções componentes P e Q, da seguinte forma:


                     F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j = P(x, y), Q(x, y) .

As componentes P(x, y) e Q(x, y) são funções (de duas variáveis) que
associam cada ponto (x, y) ∈ D um número real. Funções desse tipo são
chamadas de campos escalares. Como no caso das funções vetoriais,
podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que F será
contínua se e somente se suas funções componentes forem contínuas.



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Campos Vetoriais

Exemplo 1
Um campo vetorial em R2 é definido por F(x, y) = −yi + xj. Faça um esboço
de F .




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Campos Vetoriais
Exemplo 1
Um campo vetorial em R2 é definido por F(x, y) = −yi + xj. Faça um esboço
de F .

Solução
Inicialmanete marcamos F nos vetores unitários i e j. Em seguida, seja
r = x, y o vetor posição em relação a origem do plano cartesiano. Note que:

                                 F(x, y) =    x2 + y2 = r .
Note ainda que:

                               r · F(x, y) = −y, x · x, y = 0.
Logo F e r são ortogonais.

 Ver figura

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Campos Vetoriais

Podemos também definir um campo vetorial no espaço da seguinte maneira.
Campos vetoriais
Seja E um subconjunto do R3 . Um campo vetorial em R3 é uma função F que
associa a cada ponto (x, y, z) em E um vetor tridimensional F , de componentes
P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z):

                      F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.




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Campos Vetoriais

Exemplo 2
Esboce o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = zk.




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Campos Vetoriais

Exemplo 2
Esboce o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = zk.

Solução
Note que F(x, y, z) = ±z. Se z > 0 o vetor F(x, y, z) aponta na direção de z
crescente, e se z < 0 na direção inversa. Para z = 0, isto é, no plano xy
F(x, y, z) é o vetor nulo.




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Campos Vetoriais


Campos Vetoriais
Se f (x, y, z) é um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir do
gradiente aplicado a f :


                     ∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k.

O campo vetorial assim obtido é chamado de campo vetorial gradiente. No
caso de um campo escalar g(x, y), aplicando o operador gradiente a g,
obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional:


                               ∇g(x, y) = gx (x, y)i + gy (x, y)j.


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Campos Vetoriais

Exemplo 3
Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2 + y2 , e esboce o campo.




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Campos Vetoriais


Exemplo 3
Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2 + y2 , e esboce o campo.

Solução
Note que ∇f (x, y) é dado por:

                               ∇f (x, y) = 2xi + 2yj = 2r.
Repare ainda que ∇f (x, y) é paralelo ao vetor posição, e tem módulo duas
vezes maior que r.

  Ver figura




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Campos Vetoriais

Campo vetorial conservativo
Dizemos que F(x, y, z) é um campo vetorial conservativo se existir um campo
escalar f (x, y, z) (chamada de função potencial) tal que:

                               F(x, y, z) = ∇f (x, y, z).
A equação acima nos fornece um método para determinar a função potencial
f . Note que:
                               fx (x, y, z) = P(x, y, z),
                               fy (x, y, z) = Q(x, y, z),
                               fz (x, y, z) = R(x, y, z).

Assim para determinar a função potencial, basta resolver o sistema de
equações diferenciais acima.

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Campos Vetoriais
Exemplo 4
Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriais
conservativos.
(a) F(x, y) = 2xi + 2yj,
                     2x            2y          2z
(b) F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 .




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Campos Vetoriais

Exemplo 4
Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriais
conservativos.
 (a) F(x, y) = 2xi + 2yj,

Solução
Note que fx (x, y) = 2x           e   fy (x, y) = 2y. Integrando a primeira equação em
relação a x temos:

                               f (x, y) =   2xdx + g(y) = x2 + g(y).

Derivando a relação acima em relação a y temos que:
                                  g (y) = 2y =⇒ g(y) = y2 + c.
Logo a função potencial é f (x, y) = x2 + y2 + c.

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Campos Vetoriais


Exemplo 4 continuação
                      2x                  2y    2z
 (b) F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 .
                  2x                              2y                     2z
Note que fx = x2 +y2 +z2 , fy = x2 +y2 +z2                e   fz =   x2 +y2 +z2
                                                                                .   Integrando a
primeira equação em relação a x temos:
                                     2x
        f (x, y, z) =                          dx + g(y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + g(y, z).
                               x 2 + y2 + z2
Derivando a relação acima em relação a y temos que:
                    2y               ∂g(y, z)     2y
                                 +            = 2          =⇒ g(y, z) = h(z).
             x 2 + y2 + z2             ∂y      x + y2 + z2
Assim ficamos com f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + h(z). Derivando essa
equação em relação a z temos:


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Campos Vetoriais



Exemplo 4 continuação
Derivando essa equação em relação a z temos:

                          2z                        2z
                                   + h (z) =                  =⇒ h(z) = c.
                   x 2 + y2 + z2               x2 + y2 + z2
                                              2x                   2y   2z
Logo a função potencial para F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 é:

                               f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + c.




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Integrais de linha

Já aprendemos como calcular a integral de uma função z = f (x, y) sob uma
região plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma função de
duas ou mais variáveis ao longo de uma curva.

Integral de linha no plano
Seja f (x, y) uma função definida em uma região plana D. Seja ainda
r(t) = x(t), y(t) uma curva C suave em D, i.e. r (t) = 0, definida no intervalo
I = [a, b]. Para cada ti∗ ∈ [ti , ti+1 ] ⊂ I podemos associar a seguinte soma de
Riemann:
                                          n
                                         ∑ f (xi∗ , y∗ )∆si ,
                                                     i
                                         i=1

onde = ∗
      xi      x(ti∗ ), y∗
                    =          y(ti∗ )
                             e ∆si é o arco que liga o ponto Pi = (xi , yi ) ao
                        i
ponto Pi+1 = (xi+1 , yi+1 ).


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Integrais de linha

Integral de linha no plano
No limite quando o número de subdivisões n → ∞ do intervalo I , temos:
                                      n
                               lim
                               n→∞
                                     ∑ f (xi∗ , y∗ )∆si =
                                                 i
                                                            C
                                                                f (x, y)ds.
                                     i=1

Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x, y)
ao longo de C em relação ao comprimento de arco.




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Integrais de linha



Integral de linha no plano
Podemos reescrever a integral de linha notando que x = x(t), y = y(t) e que

                                                        2             2
                                                  dx            dy
                                 ds =                       +             dt.
                                                  dt            dt
De forma que:

                                          b                               2            2
                                                                 dx               dy
                       f (x, y)ds =           f (x(t), y(t))                  +            dt.
                   C                  a                          dt               dt




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Integrais de linha

Exemplo 5
Calcule C (2 + x2 y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitário
x2 + y2 = 1.
  Ver figura




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Integrais de linha

Exemplo 5
Calcule C (2 + x2 y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitário
x2 + y2 = 1.

Solução
A parametrização do semicírculo é:
                 x = cos(t),             y = sin(t) com 0 ≤ t ≤ π.
O elemento de arco ds fica:
                                ds =    cos2 (t) + sin2 (t)dt = dt.
Assim:
                                                  π
                             (2 + x2 y)ds =           [2 + cos2 (t) sin(t)]dt
                         C                    0
                                                         cos3 (t)   π
                                                                              2
                                         = 2π −                         = 2π + .
                                                            3       0         3

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Integrais de linha

Integral de linha no plano
Suponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C é a união de um
número finito de curvas suaves C1 , C2 , . . . , Cn , como na figura abixo.




Neste caso a integral de linha ao logo de C é dada por:

                f (x, y)ds =        f (x, y)ds +        f (x, y)ds + · · · +        f (x, y)ds.
            C                  C1                  C2                          Cn



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Integrais de linha

Exemplo 6
Calcule C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a
(1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).
 Ver figura




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Cálculo vetorial
Exemplo 6
Calcule C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a
(1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).
Solução
                                                                                      √
Para o caminho C1 tem-se que x = x, y = x2 com 0 ≤ x ≤ 1 e ds =                        1 + 4x2 dx:
                                                                                1    √
                               1                            1 2                     5 5−1
               2xds =              2x    1 + 4x2 dx       =     (1 + 4x2 )3/2     =       .
          C1               0                                4 3                 0      6
Para o caminho C2 tem-se que x = 1, y = y com 1 ≤ y ≤ 2 e ds = dy:
                                                      1
                                         2xds =           2(1)dy = 2[y]2 = 2.
                                                                       1
                                    C2            0
Então,                                                √
                                                     5 5−1
                          2xds =    2xds +    2xds =       + 2.
                        C        C1        C2           6

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Integrais de linha

Integral de linha no espaço
Seja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equações paramétricas:

                    x = x(t),           y = y(t),     z = z(t) com a ≤ t ≤ b.
A integral de linha de uma função f (x, y, z) ao longo de C é dada por:


                                   b                                     2            2            2
                                                                    dx           dy           dz
           f (x, y, z)ds =             f (x(t), y(t), z(t))                  +            +            dt,
       C                       a                                    dt           dt           dt

ou em notação vetorial:

                                                            b
                                   f (x, y, z)ds =              f (r(t)) r (t) dt.
                               C                        a


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Integrais de linha

Exemplo 7
Calcule C y sin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações
x = cos(t), y = sin(t), z = t e 0 ≤ t ≤ 2π.
  Ver figura




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Cálculo vetorial

Exemplo 7
Calcule C y sin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações
x = cos(t), y = sin(t), z = t e 0 ≤ t ≤ 2π.

Solução
O elemento de comprimento arco é dado por:
                                                                         √
                           ds =            sin2 (t) + cos2 (t) + 1dt =    2dt.
Assim:
                                                            √                    2π
                                      2π
                                              2
                                                  √          2    sin(2t)                √
               y sin(z)ds =                sin (t) 2dt =       t−                     = π 2.
           C                      0                         2        2           0



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Integrais de linha

Já vimos como calcular a integral de linha de um campo escalar f (x, y, z) ao
longo de uma curva C. Vejamos agora como calcular a integral de linha de um
campo vetorial sobre uma curva C.

Integrais de linha de um campo vetorial
Seja F(x, y, z) um campo vetorial, um campo de forças por exemplo. Podemos
perguntar pelo trabalho W ao mover uma partícula ao longo de uma curva C
sob a ação do campo de forças F(x, y, z).




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Integrais de linha
Integrais de linha de um campo vetorial
Particionando o caminho r(t) = x(t), y(t), z(t) , com a ≤ t ≤ b, em n − 1
intervalos, obtemos n arcos ∆si que ligam os pontos Pi = (xi , y∗ , z∗ ) e
                                                             ∗
                                                                i i
Pi+1 = (xi+1 , y∗ , z∗ ). O trabalho para levar uma partícula do ponto Pi para
          ∗
                i+1 i+1
Pi+1 é dado por F(xi , y∗ , z∗ ) · [T(xi , y∗ , z∗ )∆si ], onde T(xi , y∗ , z∗ ) é o vetor
                    ∗
                        i i
                                       ∗
                                            i i
                                                                   ∗
                                                                        i i
tangente ao arco ∆si no ponto Pi . Assim o trabalho para levar a partícula do
ponto P0 = r(a) até Pn = r(b) é dado pela soma de Riemann:
                                      n
                               W ≈ ∑ F(xi , y∗ , z∗ ) · T(xi , y∗ , z∗ )∆si .
                                        ∗
                                             i i
                                                           ∗
                                                                i i
                                      i
Tomando o limite quando o número de intervalos n → ∞ obtemos,
                       n
        W = lim ∑ F(xi , y∗ , z∗ ) · T(x, y, z)∆si =
                     ∗
                          i i                                        F(x, y, z) · T(x, y, z)ds,
                n→∞                                              C
                        i

a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) sob a curva C.

   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                            Maio 2011   29 / 168
Integrais de linha

Integrais de linha de um campo vetorial
Podemos reescrever a integral de linha anterior notando que x = x(t), y = y(t),
z = z(t) e
                                                          r (t)
                     T(x(t), y(t), z(t)) =                            e ds = r (t) dt.
                                                          r (t)
Assim a integral de linha de F(x, (t), y(t), z(t)) = F(r(t)) é dada por:
                                                   b                              b
                               F · Tds =               F(r(t)) · r (t)dt =            F · dr.
                         C                     a                              a

Ou em termos das funções componentes P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z) de F :
                                      b                      b
                                          F · dr =               Pdx + Qdy + Rdz.
                                  a                      a



   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                                    Maio 2011   30 / 168
Integrais de linha
Exemplo 8
Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x2 i − xyj ao se
mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sin(t)j,
0 ≤ t ≤ π/2.
  Ver figura




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                      Maio 2011   31 / 168
Integrais de linha


Exemplo 8
Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x2 i − xyj ao se
mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sin(t)j,
0 ≤ t ≤ π/2.

Solução
Note primeiramente que F(r(t)) = cos2 (t), − cos(t) sin(t) , e que
r (t) = − sin(t), cos(t) . Assim:

                 b                                                              π/2
                                    π/2                            2                    2
                     F · dr =             −2 cos2 (t) sin(t)dt =     cos3 (t)         =− .
             a                  0                                  3            0       3



   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                           Maio 2011   32 / 168
Integrais de linha
Exemplo 9
Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une
(2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a
(3, 4, 0).
  Ver figura




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Integrais de linha

Exemplo 9
Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une
(2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a
(3, 4, 0).

Solução
O campo vetorial a ser integrado é F(r(t)) = y, z, x . O caminho C1 é dado
por r(t) = 2 + t, 4t, 5t com 0 ≤ t ≤ 1. De forma que F(r(t)) = 4t, 5t, 2 + t e
r (t) = 1, 4, 5 . Logo:
                 b                  1                                        1
                     F · dr =           [1(4t) + 4(5t) + 5(2 + t)]dt =           (10 + 29t)dt
             a                  0                                        0
                                                   1
                                            29t2           49
                           = 10t +                     =      .
                                             2     0       2

   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                             Maio 2011   34 / 168
Integrais de linha



Exemplo 9 continuação
O caminho C2 é dado por r(t) = 3, 4, 5 − 5t com 0 ≤ t ≤ 1. De forma que
F(r(t)) = 4, 5 − 5t, 3 e r (t) = 0, 0, −5 . Logo:

             b                  1                                                    1
                 F · dr =           [0(4t) + 0(5 − 5t) + 3(−5)]dt = −15                  dt = −15.
         a                  0                                                    0

Assim a integral C ydx + zdy + xdz vale:

                         F · dr =            F · dr +        F · dr = 24.5 − 15 = 9.5 .
                     C                  C1              C2




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                                Maio 2011   35 / 168
Teorema Fundamental das integrais de linha

No cálculo 1 vimos que se F (x) é uma função contínua no intervalo I = [a, b]
        b
então a F (x)dx = F(b) − F(a), é igual a variação de F (x) sobre I . Para as
integrais de linha, sob certas condições, temos um resultado parecido.

Teorema 1
Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b. Seja f uma
função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇f é
contínuo em C. Então


                                          ∇f · dr = f (r(b)) − f (r(a)).
                                      C

Se r(b) e r(a) tiverem coordenadas (x2 , y2 , z2 ) e (x1 , y1 , z1 ), então

                                   ∇f · dr = f (x2 , y2 , z2 ) − f (x1 , y1 , z1 ).
                               C


   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                          Maio 2011   36 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 10
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
                 2x           2y           2z
F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , ao mover uma partícula de massa m
do ponto (1, 0, 0) para o ponto (1, 1, 1) ao longo de uma curva lisa por partes
C.




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                            Maio 2011   37 / 168
Teorema fundamental das integrais de linha


Exemplo 10
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
                 2x           2y           2z
F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , ao mover uma partícula de massa m
do ponto (1, 0, 0) para o ponto (1, 1, 1) ao longo de uma curva lisa por partes
C.

Solução
Já vimos que o campo vetorial acima é conservativo, com função potencial
dada por f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + c. Dessa forma:

             W=            F · dr =       ∇f · dr = f (1, 1, 1) − f (1, 0, 0) = ln (3).
                       C              C




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Teorema fundamental das integrais de linha
Exemplo 11
Calcule C y2 dx + xdy, onde
(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2),
(b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2).
  Ver figura




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Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 11
Calcule C y2 dx + xdy, onde
(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2),
(b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2).

Solução
O caminho C1 tem a seguite parametrização x = 5t − 5, y = 5t − 3 com
0 ≤ t ≤ 1.
                                             1                   dx            dy
                         y2 dx + xdy =               (5t − 3)2      + (5t − 5)    dt
                    C1                   0                       dt            dt
                                             1
                                    =            [5(5t − 3)2 + 5(5t − 5)]dt
                                         0
                                                 1                         5
                                    =5               (25t2 − 25t + 4)dt = − .
                                             0                             6

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Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 11 continuação
Calcule C y2 dx + xdy, onde
(a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2),
(b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2).

Solução
O caminho C2 tem a seguite parametrização y = t, x = 4 − t2 com −3 ≤ t ≤ 2.
                                           2          dx             dy
                           y2 dx + xdy =         t2      + (4 − t2 )    dt
                      C2                   −3         dt             dt
                                            2
                                      =         [−2t3 + (4 − t2 )]dt
                                           −3
                                            2                            245
                                      =         (−2t3 − t2 + 4)dt = −        .
                                           −3                             6


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Independência do caminho de integração
O resultado do exemplo anterior nos diz que em geral C1 F · dr = C2 F · dr,
onde C1 e C2 são dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final.
Mas segue do teorema anterior que

                                    ∇f · dr =        ∇f · dr.
                               C1               C2

A integral de um campo vetorial contínuo F é dita independente do caminho, se

                                     F · dr =        F · dr,
                                C1              C2

para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos incial e final.



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Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e.,
r(a) = r(b). O teorema a seguir nos fornece uma condição sob a qual a
integral de linha de um campo vetorial é independente do caminho de
integração.

Teorema 2

 C F · dr é independente do caminho, em uma região, D se e somente se
 C F · dr = 0 para todo caminho C fechado em D.

Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo F , C F · dr = 0.
Assim, se F representa um campo de forças, o trabalho realizado para mover
uma partícula ao longo de um caminho fechado é nulo.




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Exemplo 12
Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = 2x, 2y independe do
caminho de integração.




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Teorema fundamental das integrais de linha


Exemplo 12
Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = 2x, 2y independe do
caminho de integração.

Solução
Vamos calcular a integral de linha do campo acima sobre uma curva fechada
C qualquer. Para isso, note que F = ∇f , com f (x, y) = x2 + y2 + c. Assim

                                                            d
                               F · dr =       ∇f · dr =        f (r(t))dt = 0.
                          C               C               C dt

Como C F · dr = 0, para um caminho qualquer C segue que C F · dr é
independente do caminho.



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Teorema fundamental das integrais de linha

Uma região no plano D é dita aberta se para cada ponto P ∈ D existir um
disco com centro em P contida em D. E chamamos uma região plana D de
conexa se dois pontos quaisquer em D podem ser ligados por um caminho
inteiramente em D.
Teorema 3
Suponha que F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região aberta
conexa D. Se C F · dr for independente do caminho em D, então F é um
campo conservativo, ou seja, existe um campo escalar f tal que ∇f = F .

Para um campo vetorial conservativo são equivalentes as proposições:
(a) F = ∇f ,
(b)    C F · dr   = 0,
 (c)   C F · dr   independe do caminho de integração.


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Teorema fundamental das integrais de linha


O teorema a seguir nos permite determinar se um campo vetorial é
conservativo.
Teorema 4
Se F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j é um campo vetorial conservativo, onde P e Q
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então
em todos os pontos de D temos

                                  ∂P ∂Q
                                     =    .
                                  ∂y   ∂x

A recíproca do teorema acima só é válida para um tipo especial de região D.



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Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 13
Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j é ou não
conservativo.




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Teorema fundamental das integrais de linha



Exemplo 13
Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j é ou não
conservativo.

Solução
Note que P(x, y) = x − y e que Q(x, y) = x − 2, de forma que:

                               ∂P         ∂Q
                                  = −1       = 1.
                               ∂y         ∂x
Logo o campo não é conservativo.




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Teorema fundamental das integrais de linha

Uma cuva é dita simples se ela não se autointercepta. E uma região é dita
simplesmente conexa se a mesma é conexa e não contem buracos, ou seja,
qualquer curva simples fechada em D contorna pontos que estão somente em
D.
Teorema 5
Seja F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j um campo vetorial sobre uma região D
aberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais
de primeira ordem contínuas e que

                                ∂P ∂Q
                                   =    ,
                                ∂y   ∂x
em D. Então F é conservativo.



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Exemplo 14
Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2 )j é ou não
conservativo.




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Teorema fundamental das integrais de linha


Exemplo 14
Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2 )j é ou não
conservativo.

Solução
Note que P(x, y) = 3 + 2xy e que Q(x, y) = x2 − 3y2 , de forma que:

                               ∂P        ∂Q
                                  = 2x =    .
                               ∂y        ∂x
Como o domínio de F é o plano R2 que é aberto e simplesmente conexo,
então o campo é conservativo.



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Exemplo 15
                                             −y       x
Determine se o campo vetorial F(x, y) = x2 +y2 i + x2 +y2 j, (x, y) = (0, 0) é ou
não conservativo.




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Exemplo 15
                                             −y       x
Determine se o campo vetorial F(x, y) = x2 +y2 i + x2 +y2 j, (x, y) = (0, 0) é ou
não conservativo.

Solução
Note que

                               ∂P −x2 + y2 ∂Q
                                  = 2      =    .
                               ∂y   x + y2   ∂x
O resultado acima sugere que F é conservativo.




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Exemplo 15 continuação
Mas se este for o caso, a integral de linha de F ao longo de qualquer curva
fechada C deve ser zero. Assim seja C o círculo unitário percorrido no sentido
anti-horário, com parametrização dada por x = cos(t), y = sin(t) e 0 ≤ t ≤ 2π.
Neste caso

                                              2π
                               F · dr =            [sin2 (t) + cos2 (t)]dt = 2π.
                           C              0
Como a integral acima é diferente de zero, o campo não é conservativo. Note
que apesar das derivadas parciais ∂P e ∂Q serem iguais, o domínio de F não é
                                   ∂y   ∂x
uma região simplesmente conexa, de forma que o teorema anterior não se
aplica.



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Teorema fundamental das integrais de linha


Condição para um campo vetorial F(x, y, z) ser conservativo
Para que um campo vetorial F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k
definido em uma região aberta e simplesmente conexa D, P, Q e R com
derivadas parciais de primeira ordem contínuas, seja conservativo, devem ser
satisfeitas as seguintes igualdades


                                  ∂P ∂Q
                                     =    ,
                                  ∂y   ∂x
                                  ∂P ∂R
                                     =    ,
                                  ∂z   ∂x
                                  ∂Q ∂R
                                     =    .
                                  ∂z   ∂y


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Teorema fundamental das integrais de linha

Exemplo 16
Determine se o campo vetorial F(x, y, z) = (yz)i + (xz)j + (xy + 2z)k, é ou não
conservativo.




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Exemplo 16
Determine se o campo vetorial F(x, y, z) = (yz)i + (xz)j + (xy + 2z)k, é ou não
conservativo.

Solução
Note que F está definido em todo o R3 , conjunto aberto e simplesmente
conexo. Note também que
                                ∂P     ∂Q
                                   =z=    ,
                                ∂y     ∂x
                                ∂P     ∂R
                                   =y=    ,
                                ∂z     ∂x
                                ∂Q     ∂R
                                   =x=    .
                                ∂z     ∂y
Logo o campo acima é conservativo.

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Teorema de Green

O teorema a seguir relaciona o cálculo de uma integral de linha de um campo
vetorial ao longo de uma curva fechada simples C, com uma integral dupla na
região D delimitada por C. Antes, precisamos definir orientação de uma curva.

Oritentação de uma curva fechada simples C
Seja C uma curva fechada simples dada por r(t), com a ≤ t ≤ b. Dizemos que
C tem orientação positiva se ao percorrer C no sentido anti-horário, uma única
vez, a região D estiver sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C.




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Teorema de Green


Uma vez definida orientação de uma curva C, podemos enunciar o teorema de
Green.
Teorema de Green
Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada
positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas
parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha
D, então

                                                     ∂Q ∂P
                                   Pdx + Qdy =         −   dA.
                               C                 D   ∂x ∂y




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Teorema de Green

Exemplo 17
Calcule c x4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituida pelos
segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).

  Ver figura




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Teorema de Green

Exemplo 17
Calcule c x4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituida pelos
segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).

Solução
Note que o caminho é fechado, simples e com orientação positiva. Como as
funções P(x, y) = x4 e Q(x, y) = xy têm derivadas contínuas na região
triangular acima, podemos utilizar o teorema de Green.


                                           ∂Q ∂P
      x4 dx + xydy =                         −   dA =                     ydA
  C                                D       ∂x ∂y                      D
                                   1       1−x                   1                             1
                                                         1                         1              1
                      =                          ydydx =             (1 − x) dx = − (1 − x)3
                                                                            2
                                                                                                 = .
                               0       0                 2   0                     6           0  6

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Teorema de Green

Exemplo 18
Calcule C (3y − esin(x) )dx + (7x +   y4 + 1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.




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Teorema de Green

Exemplo 18
Calcule C (3y − esin(x) )dx + (7x +                    y4 + 1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9.

Solução
Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla para
coordenadas polares temos

                                            (3y − esin(x) )dx + (7x +            y4 + 1)dy =
                                        C
                               ∂                              ∂
                                  (7x +           y4 + 1) −      (3y − esin(x) ) dA =
                        D      ∂x                             ∂y
                         2π         3                              2π            3
                                        (7 − 3)rdrdθ = 4                dθ           rdr = 36π.
                        0       0                              0             0



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Teorema de Green
Cálculo de área via integral de linha
Seja C uma curva fechada simples que dilimita uma região D. Se no teorema
de Green o integrando da integral dupla for 1, obtemos a área da região D.
                                       ∂Q ∂P
                                         −   = 1.
                                       ∂x ∂y
As possíveis funções P(x, y) e Q(x, y) que fornecem o resultado desejado são
                                                                         1
                   P(x, y) = 0,       P(x, y) = −y,           P(x, y) = − y,
                                                                         2
                                                                       1
                   Q(x, y) = x,       Q(x, y) = 0,           Q(x, y) = x.
                                                                       2
Assim podemos calcular a área de D através das seguintes fórmulas

                                                         1
                          A=       xdy = −       ydx =           xdy − ydx.
                               C             C           2   C


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Teorema de Green

Exemplo 19
                                        x2   y2
Determine a área delimitada pela elipse a2 + b2 = 1.




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Teorema de Green


Exemplo 19
                                        x2   y2
Determine a área delimitada pela elipse a2 + b2 = 1.


Solução
Podemos parametrizar a elipse através das seguintes equações x = a cos(t),
y = b sin(t) com 0 ≤ t ≤ 2π.


              1                1       2π
         A=       xdy − ydx =               [a cos(t)b cos(t) + b sin(t)a sin(t)]dt
              2 C              2   0
              ab 2π
            =        dt = πab.
               2 0


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Teorema de Green

Exemplo 20
Calcule C y2 dx + 3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contida
no semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.




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Teorema de Green

Exemplo 20
Calcule C y2 dx + 3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contida
no semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

Solução
Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla para
coordenadas polares teremos

                                                   ∂         ∂
                        y3 dx + 3xydy =               (3xy) − (y2 ) dA =
                    C                         D    ∂x        ∂y
                                                              π           2
                                     =            ydA =                       r2 sin(θ)drdθ
                                              D           0           1
                                              π                   2                14
                                     =        sin(θ)dθ                r2 dr =         .
                                          0                   1                    3

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Teorema de Green
Teorema de Green para regiões que não são simplesmente conexa
Considere a seguinte região D limitada pelas curvas fechadas C1
(externamente) e C2 (internamente), isto é, D é uma região com um buraco.




Podemos utilizar o teorema de Green e mostrar que a integral de linha ao
longo do caminho C = C1 C2 é dada por:
            ∂Q ∂P
              −   dA =              Pdx + Qdy +        Pdx + Qdy =       Pdx + Qdy.
      D     ∂x ∂y              C1                 C2                 C


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Teorema de Green

Exemplo 21
Calcule C y3 dx − x3 dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2
centrados na origem com orientação positiva.




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Teorema de Green

Exemplo 21
Calcule C y3 dx − x3 dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2
centrados na origem com orientação positiva.

Solução
Note que a região D é a região contida entre as circunferências de raios 1 e 2
assim


                                          ∂Q ∂P
              y3 dx − x3 dy =               −   dA = −3                      (x2 + y2 )dA
          C                       D       ∂x ∂y                          D
                                                                        2π         2
                                          2π       2                          r4            45π
                               = −3                    r3 drdθ = −3 θ                  =−       .
                                      0        1                        0     4    1         2


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Rotacional e divergente


Já vimos que podemos contruir um campo vetorial a partir de um campo
escalar aplicando o operador ∇ a um campo escalar f (∇f campo gradiente).
Agora veremos como obeter um campo vetorial a partir de outro campo
vetorial.
Rotacional
Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 , e as derivadas parciais de P,
Q e R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R3 definido por

                               ∂R ∂Q      ∂P ∂R    ∂Q ∂P
        rot F = ∇ × F =           −    i+   −   j+   −   k.
                               ∂y   ∂z    ∂z ∂x    ∂x ∂y




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Rotacional e divergente


Rotacional
Se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z,
podemos também considerar o produto vetorial formal de ∇ pelo campo
vetorial F , como se segue:


                              i    j    k
                              ∂    ∂    ∂
             ∇×F =            ∂x   ∂y   ∂z
                              P    Q    R
                               ∂R ∂Q      ∂P ∂R    ∂Q ∂P
                       =          −    i+   −   j+   −   k
                               ∂y   ∂z    ∂z ∂x    ∂x ∂y
                       = rot F.


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Rotacional e divergente

Exemplo 22
Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, determine o rotacional de F .




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Rotacional e divergente

Exemplo 22
Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, determine o rotacional de F .

Solução
Utilizando a definição temos que

               i      j        k
              ∂       ∂        ∂
∇×F =         ∂x      ∂y       ∂z
              xz xyz −y2
                ∂(−y2 ) ∂(xyz)    ∂(−y2 ) ∂(xz)    ∂(xyz) ∂(xz)
         =             −       i−        −      j+       −      k
                  ∂y      ∂z        ∂x     ∂z        ∂x    ∂y
         = −y(2 + x)i + xj + yzk.


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Rotacional e divergente


Teorema 1
Se f é um campo escalar que tem derivadas parciais contínuas de segunda
ordem então,
                              rot (∇f ) = 0.

Já vimos que se um campo vetorial é conservativo, então F = ∇f . Assim
podemos enunciar o teorema acima da seguinte forma

                               Se F é conservativo, então rot F = 0.

A recíproca do teorema acima não é, em geral, verdadeira. Dizemos então que
a condição (F é conservativo) é nescessária (para que rot F = 0) porém
(rot F = 0) não é sufuciente (para que F seja conservativo).



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Rotacional e divergente

Exemplo 23
Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k não é conservativo.




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Rotacional e divergente



Exemplo 23
Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k não é conservativo.

Solução
Suponha que F seja conservativo. Então devemos ter que rot F = 0. Mas
como vimos no exemplo anterior
                               ∇ × F = −y(2 + x)i + xj + yzk.
Logo F não pode ser conservativo.




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Rotacional e divergente




O teorema a seguir nos dá uma condição suficiente para que um campo
vetorial F ∈ R3 seja conservativo.

Teorema 2
Se F for um campo vetorial definido sobre todo o R3 (domínio aberto e
simplesmente conexo) cujas componentes tenham derivadas parciais de
segunda ordem contínuas e rot F = 0, então F será um campo vetorial
conservativo.




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Rotacional e divergente

Exemplo 24
Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y2 z3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z2 k é
conservativo e determine sua função potencial.




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Rotacional e divergente

Exemplo 24
Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y2 z3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z2 k é
conservativo e determine sua função potencial.

Solução
Note que

                        i        j       k
                        ∂       ∂        ∂
       ∇×F =           ∂x       ∂y       ∂z
                      y2 z3    2xyz3   3xy2 z2
                 = (6xyz2 − 6xyz2 )i − (3y2 z2 − 3y2 z2 )j + (2yz3 − 2yz3 )k = 0.

Assim o campo é conservativo (note que o domínio de F é aberto e
simplesmente conexo).

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Rotacional e divergente


Exemplo 24 continuação
Para determinar a função potencial basta integral (parcialmente) uma das
funções componetes e utilizar as demais para determinar as constantes de
integração. Assim
             fx = y2 z3        =⇒    f (x, y, z) =   y2 z3 dx = xy2 z3 + g(y, z).

Como fy = 2xyz3 obtemos que g(y, z) = h(z). Note ainda que fz = 3xy2 z2 ,
assim h(z) = c. Logo a função potencial é dada por

                                    f (x, y, z) = xy2 z3 + c.
Um campo vetorial F com rotacional nulo é chamado de irrotacional.



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Rotacional e divergente
Já vimos como obter um campo vetorial a partir de um campo escalar e de um
campo vetorial. Agora veremos como obter um campo escalar através de um
campo vetorial.

Divergente
Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 e existem ∂P/∂x, ∂Q/∂y e
∂R/∂z, então o divergente de F é o campo escalar dado por
                                                ∂P ∂Q ∂R
                              div F = ∇ · F =     +   + .
                                                ∂x ∂y  ∂z
Novamente se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e
∂/∂z, podemos reescrever o divergente como se segue:
                                            ∂ ∂ ∂
                          div F = ∇ · F =     , ,    · P, Q, R .
                                            ∂x ∂y ∂z


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Rotacional e divergente

Exemplo 25
Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, encontre div F .




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Rotacional e divergente



Exemplo 25
Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, encontre div F .

Solução
Pela definição temos que

                                    ∂(xz) ∂(xyz) ∂(−y2 )
                  div F = ∇ · F =        +      +        = z + xz.
                                     ∂x     ∂y     ∂z




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Rotacional e divergente

Exemplo 26
Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetor
nulo.




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Rotacional e divergente

Exemplo 26
Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetor
nulo.

Solução
Seja F = Pi + Qj + Rk um campo vetorial, cujas funções componentes
apresentam derivadas de segunda ordem contínuas. Assim
                               ∂R ∂Q      ∂P ∂R    ∂Q ∂P
           G = rot F =            −    i+   −   j+   −   k.
                               ∂y   ∂z    ∂z ∂x    ∂x ∂y
Calculando o divergente do campo G temos que
          div G = div rot F
                       ∂ ∂R ∂Q      ∂ ∂P ∂R    ∂ ∂Q ∂P
                   =         −    +      −   +      −   .
                       ∂x ∂y   ∂z   ∂y ∂z ∂x   ∂z ∂x ∂y

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Rotacional e divergente



Exemplo 26 continuação


                div G = div rot F
                            ∂2 R   ∂2 Q   ∂2 P   ∂2 R   ∂2 Q   ∂2 P
                         =       −      +      −      +      −
                           ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
                         = 0.

uma vez que os termos se cancelam aos pares (teorema de Schwarz).




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Rotacional e divergente


Laplaciano
Ainda podemos definir outro campo escalar ao aplicarmos o operador ∇ a um
campo gradiente ∇f . O resultado é o seguinte campo escalar

                                                   ∂2 f ∂2 f ∂2 f
                          div(∇f ) = ∇ · (∇f ) =       +    +     .
                                                   ∂x2 ∂y2 ∂z2
Essa expressão aperecer com tanta frequencia de forma que vamos abreviá-la
como ∇2 f . Ao operador ∇2 chamamos de laplaciano. E se F = Pi + Qj + Rk é
um campo vetorial, podemos também aplicar ∇2 a F como

                               ∇2 F = ∇2 Pi + ∇2 Qj + ∇2 Rk.



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Rotacional e divergente
Exemplo 27
Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:
(a) f (x, y, z) = exyz ,
(b) F(x, y, z) = ex , exy , exyz .




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Rotacional e divergente


Exemplo 27
Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos:
 (a) f (x, y, z) = exyz ,
 (b) F(x, y, z) = ex , exy , exyz .

Solução
Note que ∇f = yzexyz , xzexyz , xyexyz , de forma que


               ∂(yzexyz ) ∂(xzexyz ) ∂(xyexyz )
     ∇2 f =              +          +           = exyz [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ].
                  ∂x         ∂y         ∂z



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Rotacional e divergente



Exemplo 27 continuação
No exemplo (b) note que P = ex , Q = exy e R = exyz . Assim

                        ∇2 P = ∇2 ex = ex
                        ∇2 Q = ∇2 exy = (x2 + y2 )exy
                        ∇2 R = ∇2 exyz = [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]exyz .

Logo temos que

                  ∇2 F = ex , (x2 + y2 )exy , [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]exyz .




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Superfícies parametrizadas
Uma superfície parametrizada é uma função vetorial r(u, v) de dois
parâmetros u e v, que pode ser expressa da seguinte forma

                               r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.
Note que na equação acima o domínio de r é uma região do plano uv, e sua
imagem é um subconjunto do R3 , chamada de superfície parametrizada.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 28
Identifique e esboce a superfície com equação vetorial
r(u, v) = 2 cos(u)i + vj + 2 sin(u)k.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 28
Identifique e esboce a superfície com equação vetorial
r(u, v) = 2 cos(u)i + vj + 2 sin(u)k.
Solução
Da função acima temos que x(u, v) = 2 cos(u), y(u, v) = v e z(u, v) = 2 sin(u).
Note ainda que x2 + z2 = 4 para qualquer valor de u, e que y pode assumir
qualquer valor v. Assim a superfície resultante é um cilindro infinito com exio
do cilindro sobre o eixo y.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 29
Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0
com vetor posição r0 e que contenha dois vetores não paralelos a e b.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 29
Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0
com vetor posição r0 e que contenha dois vetores não paralelos a e b.

Solução
                                                   −→
                                                    −
Seja P um ponto do plano em questão, então o vetor P0 P pode ser escrito
                                                −→
                                                 −
como uma combinação dos vetores a e b, isto é, P0 P = ua + vb. Mas o vetor
−→ −→ −→
       −     −
OP = OP0 + P0 P, ou seja, r = r0 + ua + vb. Assim r(u, v) = r0 + ua + vb.




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Exemplo 30
Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centrada
na origem.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas


Exemplo 30
Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centrada
na origem.

Solução
Devemos parametrizar x2 + y2 + z2 = a2 . Para tanto basta tomarmos
x = a sin(φ) cos(θ), y = a sin(φ) sin(θ) e z = a cos(φ). Assim a equação
vetorial resultante é

               r(θ, φ) = a sin(φ) cos(θ)i + a sin(φ) sin(θ)j + a cos(φ)k,
com θ ∈ [0, 2π] e φ ∈ [0, π/2].



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Exemplo 31
Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico
z = x2 + 2y2 .




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Superfícies parametrizadas e suas áreas


Exemplo 31
Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico
z = x2 + 2y2 .

Solução
Neste caso podemos utilizar o fato de que z = f (x, y) e considerar a seguinte
parametrização x = x, y = y e z = x2 + 2y2 , de forma que

                               r(x, y) = xi + yj + (x2 + 2y2 )k.
De forma geral, para uma função do tipo z = f (x, y), temos a seguinte
parametrização r(x, y) = xi + yj + f (x, y)k, chamada de parametrização
natural.


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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Dada uma superfície parametrizada S, podemos perguntar pelo plano tangente
em um ponto (x0 , y0 , z0 ) pertencente à S. Quando tal plano existe para todo
ponto P ∈ S dizemos que S é diferenciável ou lisa.

Planos tangentes
Seja r(u, v) uma superfícies parametrizada. Seja ainda (u0 , v0 ) um ponto do
domínio de r. Note que as funções r(u, v0 ) e r(u0 , v) representam curvas
sobre S, chamadas de curvas coordenadas.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Planos tangentes
Os vetores tangentes às curvas coordenadas r(u, v0 ) e r(u0 , v) são dados por
ru e rv , respectivamente, isto é, tomando-se as derivadas parciais de r(u, v)
em relação a u e v. Assim o plano tangente à S em P0 = (x0 , y0 , z0 ), que
contem os vetores ru e rv , tem vetor normal dado por

                      N(P0 ) = ru × rv = ru (x0 , y0 , z0 ) × rv (x0 , y0 , z0 ).
Ou ainda
                                                      i    j     k
                                                     ∂x    ∂y    ∂z
                                N(x0 , y0 , z0 ) =   ∂u    ∂u    ∂u
                                                                      .
                                                     ∂x    ∂y    ∂z
                                                     ∂v    ∂v    ∂v

Sejam então N = (a, b, c) e P0 = (x0 , y0 , z0 ), o plano tangente fica
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0.

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Exemplo 32
Determine a equação do plano tangente à superfície com equações
paramétricas x = u2 , y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3).




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Exemplo 32
Determine a equação do plano tangente à superfície com equações
paramétricas x = u2 , y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3).

Solução
O vetor normal ao plano é dado por

                                       i    j    k       i j k
                                            ∂y
N(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) =         ∂x
                                       ∂u   ∂u
                                                 ∂z
                                                 ∂u
                                                      = 2u 0 1 = −2vi − 4uj + 4uvk.
                                       ∂x   ∂y   ∂z      0 v 2
                                       ∂v   ∂v   ∂v

O ponto (1, 1, 3) corresponde a u = v = 1. Assim N(1, 1, 3) = −2i − 4j + 4k,
de forma que o plano fica
                               −2(x − 1) − 4(y − 1) + 4(z − 3) = 0.


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Área de superfície
Seja (u0 , v0 ) um ponto do domínio D de r(u, v). Os pontos (u0 , v0 ),
(u0 + ∆u, v0 ), (u0 , v0 + ∆v) e (u0 + ∆u, v0 + ∆v) definem um retângulo no plano
uv com área ∆u∆v. A parametrização r(u, v) transforma esse retângulo
aproximadamente em um paralelogramo de área
                                        ∆S ≈ ru × rv ∆u∆v.

Definição
Dada uma superfície lisa S com parametrização r(u, v), a área de S é dada por


                               A(S) =         dS =       ru × rv dudv,
                                          S          D

onde dS = ru × rv dudv é chamado elemento de superfície.


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Exemplo 33
Determine a área da esfera de raio a.




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Exemplo 33
Determine a área da esfera de raio a.

Solução
A parametrização da esfera é
r(u, v) = a sin(φ) cos(θ)i + a sin(φ) sin(θ)j + a cos(φ)k. de forma que

                   i      j    k             i                j           k
                  ∂x    ∂y     ∂z
  rφ × rθ =       ∂φ    ∂φ     ∂φ   = a cos(φ) cos(θ) a cos(φ) sin(θ) −a sin(φ)
                  ∂x    ∂y     ∂z     −a cos(φ) sin(θ) a sin(φ) cos(θ)    0
                  ∂θ    ∂θ     ∂θ
             = a sin (φ) cos(θ)i + a2 sin2 (φ) sin(θ)j + a2 sin(φ) cos(φ)k.
                  2     2


Assim rφ × rθ = a2 sin(φ).


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Exemplo 33 continuação
Logo a área é dada por


                                                           2π       π
                 A(S) =           a2 sin(φ)dφdθ =                       a2 sin(φ)dφdθ
                              D                        0        0
                                   2π              π
                         = a2 θ         − cos(φ)       = 4πa2 .
                                   0               0




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 34
Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 34
Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h.

Solução
O cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma
r(θ, z) = a cos(θ)i + a sin(θ)j + zk, com θ ∈ [0, 2π] e z ∈ [0, h] de forma que

                                   i    j   k          i         j    k
                                       ∂y
                  rθ × rz =       ∂x
                                  ∂θ   ∂θ
                                            ∂z
                                            ∂θ
                                                 = −a sin(θ) a cos(θ) 0
                                  ∂x   ∂y   ∂z         0         0    1
                                  ∂z   ∂z   ∂z
                               = a cos(θ)i + a sin(θ)j.

Assim temos que rθ × rz = a.


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Superfícies parametrizadas e suas áreas


Exemplo 34 continuação
Logo a área é dada por

                                                   2π       h
                      A(S) =       adzdθ = a                    dzdθ = 2πah.
                               D               0        0




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 35
Determine a área de uma superfície dada por z = f (x, y).




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 35
Determine a área de uma superfície dada por z = f (x, y).

Solução
A parametrização neste caso é r(x, y) = xi + yi + f (x, y)k, de forma que

                                           i    j     k      i j k
                                           ∂x   ∂y    ∂z
                               rx × ry =   ∂x   ∂x    ∂x   = 1 0 fx
                                           ∂x   ∂y    ∂z
                                           ∂y   ∂y    ∂y
                                                             0 1 fy
                                      = −fx i − fy j + k.

Assim temos que rx × ry =                  1 + (fx )2 + (fy )2 .


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Superfícies parametrizadas e suas áreas
Exemplo 35 continuação
Logo a área é dada por


                                                                   2          2
                                                              ∂f         ∂f
   A(S) =               1 + (fx )2 + (fy )2 dxdy   =       1+          +          dxdy.
                  D                                    D      ∂x         ∂y

Note que a expressão acima é geral, isto é, dada uma superfície S do tipo
z = f (x, y), podemos aplicar a equação acima para determinar sua área.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas

Exemplo 36
Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo do
plano z = 9.




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Superfícies parametrizadas e suas áreas


Exemplo 36
Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo do
plano z = 9.

Solução
Podemos utilizar o resultado do exemplo anterior, de forma que


                                           2            2
                                      ∂f           ∂f
    A(S) =                     1+              +            dxdy =            1 + 4(x2 + y2 )dxdy
                      D               ∂x           ∂y                     D
                      2π       3                        2π        37            π √
            =                       1 + 4r2 rdrdθ =                    u1/2 du = (37 37 − 1).
                  0        0                             8    1                 6


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Integral de superfície

Definição
Seja f (x, y, z) um campo escalar definido em uma superfície parametrizada S,
definimos a integral de superfície de f sobre S como a seguinte integral

                               f (x, y, z)dS =           f (r(u, v)) ru × rv dudv.
                          S                          D

Note a semelhança da integral de superfície definida acima com a integral de
linha de um campo escalar:
                                                             b
                                     f (x, y, z)ds =             f (r(t)) r (t) dt.
                                 C                       a
No caso particular onde o campo escalar é o campo constante f (x, y, z) = 1,
pela definição temos então que

                                      1dS =          ru × rv dudv = A(S).
                                  S              D


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Integrais de superfícies

Exemplo 37
                                        2 dS,
Calcule a integral de superfície   Sx           onde S é a esfera unitária
x2 + y2 + z2 = 1.




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Integrais de superfícies

Exemplo 37
                                                            2 dS,
Calcule a integral de superfície                       Sx           onde S é a esfera unitária
x2 + y2 + z2 = 1.

Solução
Já vimos que o elemente dá área superficial para uma esfera de raio a é
dS = a2 sin(φ)dφdθ. Assim a integral é dada por

             x2 dS =             sin2 (φ) cos2 (θ)[sin(φ)]dφdθ
         S                  D
                            2π             π
                   =                           sin3 (φ) cos2 (θ)dφdθ
                        0              0
                                   π                                    1       2π                       4π
                   =−                  [1 − cos2 (φ)]d[cos(φ)]                       [1 + cos(2θ)]dθ =      .
                               0                                        2   0                             3

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Integrais de superfícies

Exemplo 38
Calcule     S ydS,   onde S é a superfície z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.




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Integrais de superfícies



Exemplo 38
Calcule      S ydS,   onde S é a superfície z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.

Solução
Neste caso podemos utilizar a parametrização natural e reescrever a integral
de superfície como
                                                                   2            2
                                                              ∂f           ∂f
                f (x, y, z)dS =       f (x, y, g(x, y)) 1 +            +            dxdy,
            S                     D                           ∂x           ∂y
onde z = g(x, y) é a equação da superfície.




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Integrais de superfícies



Exemplo 38 continuação
Assim temos que


                                                           1       2
                   ydS =          y   2 + 2y2 dxdy =                   y     2 + 2y2 dydx
               S              D                        0       0
                              1       2        1                       18     1     1 3
                       =      dxy 2 + 4y2 dy =                              u 2 du = [u 2 ]18
                                                                                           2
                         0    0                4                   2                6
                                            √
                        1   √      √      13 2
                       = [18 18 − 2 2] =       .
                        6                   3




  Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                              Maio 2011   124 / 168
Integrais de superfícies




União de superfícies lisas
Se S é uma superfície lisa por partes, ou seja, uma união finita de superfícies
lisas S1 , S2 , . . . , Sn , que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras,
então a integral de superfície de f (x, y, z) sobre S é definida por


        f (x, y, z)dS =             f (x, y, z)dS +        f (x, y, z)dS + · · · +        f (x, y, z)dS.
    S                          S1                     S2                             Sn




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Integrais de superfícies

Exemplo 39
Calcule S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindro
x2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3
é a parte do plano z = 1 + x que está acima de S2 .




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Integrais de superfícies

Exemplo 39
Calcule      S zdS,
                 onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindro
x2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3
é a parte do plano z = 1 + x que está acima de S2 .

Solução
A superfície desejada tem a seguinte forma




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                       Maio 2011   127 / 168
Integrais de superfícies



Exemplo 39 continuação
Sobre a superfície S2 onde x2 + y2 ≤ 1 temos que                       S2 zdS   =   S2 0dS    = 0.
Sobre a S3 temos
                                    √       √          2π       1
             zdS =           (1 + x) 2dydx = 2                      [1 + r cos(θ)]rdrdθ
        S3               D                         0        0
                      √            2π                 √ θ sin(θ)                    2π       √
                                        1 1
                  =    2                 + cos(θ) dθ = 2 +                               =    2π.
                               0        2 3             2    3                      0




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                             Maio 2011   128 / 168
Integrais de superfícies

Exemplo 39 continuação
Já vimos que o elemento de área lateral para um cilindro de raio a é
dS = adθdz, assim
                                                         2π       1+cos(θ)
                         zdS =          zdθdz =                              zdzdθ
                    S1              D                0        0
                                 1 2π
                               =      [1 + 2 cos(θ) + cos2 (θ)]dθ
                                 2 0
                                                                                     2π
                                 1               1      sin(2θ)
                               =   θ + sin(θ) + θ +                                       = 2π.
                                 2               2          2                        0

Assim a integral de superfície procurada é

                                                                                  3π √
                       zdS =            zdS +        zdS +                zdS =      + 2π.
                   S               S1           S2                   S3            2

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Integrais de superfícies
Superfícies orientadas
Dada uma parametrização r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k de um
superfície S, definimos o vetor normal unitário em S como
                                           ru × rv
                               n(u, v) =           .
                                           ru × rv
Se n estiver definido em todo ponto de S, dizemos que a superfície é
orientada. Dizemos ainda que S tem orientação positiva se o vetor normal
unitário aponta para fora de S, e negativa se aponta para dentro de S.




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Integrais de superfícies

Fluxo de um campo vetorial
Seja V o campo de velocidade de uma fluido com densidade ρ. A massa dm
que atravessa o elemento de superfície dS, na direção do vetor unitário n, por
unidade de tempo, é dada por

                                    dm = ρV · ndS.
Podemos definir a quantidade F = ρV como um campo vetorial. Assim o fluxo
de massa através da superfície S é dado por

                               m=       ρV · ndS =       F · ndS.
                                    S                S
Podemos utilizar o exemplo acima para definir o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície S.


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Integrais de superfícies


Definição
Se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S
com vetor unitário n, então a integral de superfície (fluxo) de F sobre S é


                               Fluxo de F =           F · ndS =           F · dS.
                                                  S                   S

Note que se r(u, v) é uma parametrização de uma superfície S, então
podemos reescrever a expessão acima notando que n(u, v) = ru ×rv e que
                                                              r ×r                  u     v
dS = ru × rv dudv. Assim

                                      F · ndS =           F · (ru × rv )dudv.
                                  S                   D




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Integrais de superfícies

Exemplo 40
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera
unitária x2 + y2 + z2 = 1.




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Integrais de superfícies

Exemplo 40
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera
unitária x2 + y2 + z2 = 1.

Solução
Dada a parametrização r(φ, θ) = sin(φ) cos(θ)i + sin(φ) sin(θ)j + cos(φ)k,
temos que rφ × rθ = sin2 (φ) cos(θ)i + sin2 (φ) sin(θ)j + sin(φ) cos(φ)k. Note
ainda que
                F(r(φ, θ)) = cos(φ)i + sin(φ) sin(θ)j + sin(φ) cos(θ)k.
De forma que
 F · (rφ × rθ ) = sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ) + sin2 (φ) cos(φ) cos(θ)
                  = 2 sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ).


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Integrais de superfícies


Exemplo 40 continuação
Assim o fluxo é dado por


                                      2π        π
      F · (rφ × rθ )dφdθ =                          [2 sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ)]dφdθ
  D                               0         0
                                      2π        π
                              =                     sin3 (φ) sin2 (θ)dφdθ
                                  0         0
                                      2π                        π
                              =            sin2 (θ)dθ               sin3 (φ)dφ
                                  0                         0
                               4π
                              = .
                                3



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Integrais de superfícies

Exemplo 41
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk através de uma
superfície dada por z = g(x, y).




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Integrais de superfícies

Exemplo 41
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk através de uma
superfície dada por z = g(x, y).

Solução
Note que rx × ry = −gx i − gy j + k, de forma que

                                 F · (rx × ry ) = −Pgx − Qgy + R.
Assim o fluxo do campo vetorial é dado por

                                                   ∂g    ∂g
                               F · dS =       −P      − Q + R dxdy.
                           S              D        ∂x    ∂y


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Integrais de superfícies

Exemplo 42
Calcule S F · dS, onde F(x, y, z) = yi + xj + zk e S é a fronteira da região
sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano z = 0.




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Integrais de superfícies
Exemplo 42
Calcule S F · dS, onde F(x, y, z) = yi + xj + zk e S é a fronteira da região
sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano z = 0.

Solução
A superfície (fechada) tem a seguinte forma:




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Integrais de superfícies

Exemplo 42 continuação
Sobre a superfície S2 o vetor n = −k, de forma que F · (−k) = −z. Mas sobre
o plano xy temos que z = 0, assim S2 F · dS = 0. Sobre S1 temos que


                                           ∂g    ∂g
          F · dS =               −P           − Q + R dxdy =                  [1 − x2 − y2 + 4xy]dxdy
     S1                    D               ∂x    ∂y                       D
                           2π        1
                 =                       [1 − r2 + 4r2 cos(θ) sin(θ)]rdrdθ
                       0         0
                                π             2π                    π
                 = π−             +                cos(θ) sin(θ)dθ = .
                                2         0                         2

Assim      S F · dS   =         S1 F · d S +          S2 F · d S   = π.
                                                                     2



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O teorema do divergente

Já vimos que no cálculo de certas integrais de linha sobre um caminho
fechado, podemos converter a integral de linha em uma integral dupla
(Teorema de Green). Veremos agora sobre que condições poderemos
converter uma integral de superfície em uma integral tripla.

Teorema do divergente ou de Gauss
Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada
positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções
componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que
contenha E. Então


                                   F · ndS =       div FdV.
                               S               E




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O teorema do divergente

Exemplo 43
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera
unitária x2 + y2 + z2 = 1.




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                      Maio 2011   142 / 168
O teorema do divergente



Exemplo 43
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera
unitária x2 + y2 + z2 = 1.

Solução
Como a superfície em questão é fechada, uma esfera unitária, podemos
aplicar o Teorema de Guass. Note que ∇ · F = 1. Assim

                                                                      4π
                        F · ndS =       div FdV =       dV = V(E) =      .
                    S               E               E                  3




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O teorema do divergente

Exemplo 44
                                                   2
Calcule S F · ndS, onde F(x, y, z) = xyi + (y2 + exz )j + sin(xy)k e S é a
superfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planos
z = 0, y = 0 e y + z = 2.




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                       Maio 2011   144 / 168
O teorema do divergente

Exemplo 44
                                                                   2
Calcule S F · ndS, onde F(x, y, z) = xyi + (y2 + exz )j + sin(xy)k e S é a
superfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planos
z = 0, y = 0 e y + z = 2.

Solução
Note que ∇ · F = 3y, assim
                                      1      1−x2       2−z
      F · dS =             3ydV = 3                           ydydzdx
  S                    E              −1 0          0
                                                                        2
                                                  (2 − z)3 1−x
                                2
               3 1 1−x                   3 1
             =           (2 − z)2 dzdx =       −               dx
               2 −1 0                    2 −1        3     0
               −1 1 2                    −1 1 6                        184
             =       [(x + 1)3 − 8]dx =        (x + 3x4 + 3x2 − 7)dx =     .
                2 −1                      2 −1                          35

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O teorema do divergente

Exemplo 45
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + xj + yk através do cilindro
x2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                       Maio 2011   146 / 168
O teorema do divergente
Exemplo 45
Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + xj + yk através do cilindro
x2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1.

Solução
Note que ∇ · F = 0, de forma que o fluxo de F através do cilindro é dado por

                               F · ndS =       div FdV =       0dV = 0.
                           S               E               E




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O teorema de Stokes
Veremos agora uma generalização do teorema de Green.

Curva fronteira de uma superfície orientada
Seja S uma superfície orientada positivamente. Uma curva C que delimita as
bordas de S é chamada de curva fronteira. A curva fronteira tem orientação
positiva se ao deslizarmos o dedo indicador a longo de C, o polegar apontar
na mesma direção do vetor n de S. Do contrário, C tem oritentação negativa.




   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                    Maio 2011   148 / 168
O teorema de Stokes

Teorema de Stokes
Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por
uma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja F
um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em
uma região aberta do R3 que contém S. Então


                                           F · dr =           rot F · dS.
                                       C                  S

                                                              ∂Q
Note que se F = Pi + Qj, então rot F =                        ∂x   − ∂P k, e que dS = kdxdy. Assim
                                                                     ∂y

                                                              ∂Q ∂P
                                   Pdx + Qdy =                  −   dxdy,
                               C                      D       ∂x ∂y
que é o teorema de Green.

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O teorema de Stokes

Exemplo 46
Calcule C F · dr, onde F(x, y, z) = −y2 i + xj + z2 k e C é a curva da
intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.

  Ver figura




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O teorema de Stokes

Exemplo 46
Calcule C F · dr, onde F(x, y, z) = −y2 i + xj + z2 k e C é a curva da
intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1.

Solução
Note que
                                                i         j    k
                                                ∂         ∂     ∂
                                ∇×F =           ∂x        ∂y   ∂z   = (1 + 2y)k.
                                              −y2         x    z2
Assim
          F · dr =          rot F · dS =                 (1 + 2y)dxdy
      C                    S                         D
                           2π       1                                     2π   1 2
                  =                     [1 + 2r sin(θ)]rdrdθ =                  + sin(θ) dθ = π.
                       0        0                                     0        2 3

   Leonardo Mafra (ECT-UFRN)                                                             Maio 2011   151 / 168
O teorema de Stokes
Exemplo 47
Use o teorema de Stokes para calcular S rot F · dS, onde
F(x, y, z) = xzi + yzj + xyk e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está
dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.

  Ver figura




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O teorema de Stokes

Exemplo 47
Use o teorema de Stokes para calcular S rot F · dS, onde
F(x, y, z) = xzi + yzj + xyk e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está
dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.

Solução
A curva fronteira C é obtida pela intersecção de x2 + y2 + z2 √ 4 com
                                                              =
x2 + y2 = 1, isto é, uma circunferência unitária no plano z = 3. Assim temos
                              √
que r(t) =√cos(t)i + sin(t)j + 3k. Logo r (t) = − sin(t)i + cos(t)j e
                        √
F(r(t)) = 3 cos(t)i + 3 sin(t)j + cos(t) sin(t)k. De forma que

                rot F · dS =           F · dr
            S                      C
                                    2π     √                 √
                               =         [− 3 cos(t) sin(t) + 3 cos(t) sin(t)]dt = 0.
                                   0


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O teorema de Stokes
Exemplo 48
Use o teorema de Stokes para calcular C F · dr, onde
F(x, y, z) = z2 i + y2 j + xk e C é o triangulo com vérteces (1, 0, 0), (0, 1, 0) e
(0, 0, 1) no sentido antihorário.
  Ver figura




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O teorema de Stokes


Exemplo 48
Use o teorema de Stokes para calcular C F · dr, onde
F(x, y, z) = z2 i + y2 j + xk e C é o triangulo com vérteces (1, 0, 0), (0, 1, 0) e
(0, 0, 1) no sentido antihorário.

Solução
Note que o plano que liga os vértices do triangulo é dada por z = 1 − x − y.
Assim
                                       i    j    k
                                        ∂    ∂   ∂
                               ∇×F =   ∂x   ∂y   ∂z   = (2z − 1)j.
                                       z2   y2   x



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O teorema de Stokes



Exemplo 48 continuação
Note ainda que G = ∇ × F = (2z − 1)j, assim
                  F · dr =            rot F · dS
              C                   S
                                                                ∂g    ∂g
                         =            G · dS =         −P          − Q + R dxdy
                                  S                D            ∂x    ∂y
                                                            1        1−x
                         =            (2z − 1)dxdy =                       (1 − 2x − 2y)dydx
                                  S                     0        0
                                  1             1
                         =        (x2 − x)dx = − .
                              0                 6




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Cálculo vetorial

Campo vetorial F(x, y) = −yi + xj




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Cálculo vetorial

Campo vetorial ∇f (x, y) = 2xi + 2yj




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Integrais de linha


Semicírculo unitário x2 + y2 = 1




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Integrais de linha

Caminho C como a união de C1 e C2




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Integrais de linha


Hélice x = cos(t), y = sin(t) e z = t




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Integrais de linha

Campo vetorial F(x, y, z) = x2 i − xyj




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Integrais de linha


Caminhos de integração C1 e C2




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  • 1. Cálculo vetorial - Seções 16.1-9 Cálculo II - ECT 1202 Escola de Ciências e Tecnologia Universidade Federal do Rio Grande do Norte Maio 2011 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 1 / 168
  • 2. Campos Vetoriais Até agora estudamos funções que associam um número a um vetor (funções vetoriais) e funções que associam um vetor a um número (funções de duas e ou mais variáveis). A seguir estudaremos outro tipo função. Campos vetoriais Seja D um subconjunto do R2 . Um campo vetorial em R2 é uma função F que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F(x, y). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 2 / 168
  • 3. Campos Vetoriais Campos vetoriais Como F(x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes P e Q, da seguinte forma: F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j = P(x, y), Q(x, y) . As componentes P(x, y) e Q(x, y) são funções (de duas variáveis) que associam cada ponto (x, y) ∈ D um número real. Funções desse tipo são chamadas de campos escalares. Como no caso das funções vetoriais, podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar que F será contínua se e somente se suas funções componentes forem contínuas. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 3 / 168
  • 4. Campos Vetoriais Exemplo 1 Um campo vetorial em R2 é definido por F(x, y) = −yi + xj. Faça um esboço de F . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 4 / 168
  • 5. Campos Vetoriais Exemplo 1 Um campo vetorial em R2 é definido por F(x, y) = −yi + xj. Faça um esboço de F . Solução Inicialmanete marcamos F nos vetores unitários i e j. Em seguida, seja r = x, y o vetor posição em relação a origem do plano cartesiano. Note que: F(x, y) = x2 + y2 = r . Note ainda que: r · F(x, y) = −y, x · x, y = 0. Logo F e r são ortogonais. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 5 / 168
  • 6. Campos Vetoriais Podemos também definir um campo vetorial no espaço da seguinte maneira. Campos vetoriais Seja E um subconjunto do R3 . Um campo vetorial em R3 é uma função F que associa a cada ponto (x, y, z) em E um vetor tridimensional F , de componentes P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z): F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 6 / 168
  • 7. Campos Vetoriais Exemplo 2 Esboce o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = zk. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 7 / 168
  • 8. Campos Vetoriais Exemplo 2 Esboce o campo vetorial em R3 dado por F(x, y, z) = zk. Solução Note que F(x, y, z) = ±z. Se z > 0 o vetor F(x, y, z) aponta na direção de z crescente, e se z < 0 na direção inversa. Para z = 0, isto é, no plano xy F(x, y, z) é o vetor nulo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 8 / 168
  • 9. Campos Vetoriais Campos Vetoriais Se f (x, y, z) é um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir do gradiente aplicado a f : ∇f (x, y, z) = fx (x, y, z)i + fy (x, y, z)j + fz (x, y, z)k. O campo vetorial assim obtido é chamado de campo vetorial gradiente. No caso de um campo escalar g(x, y), aplicando o operador gradiente a g, obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional: ∇g(x, y) = gx (x, y)i + gy (x, y)j. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 9 / 168
  • 10. Campos Vetoriais Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2 + y2 , e esboce o campo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 10 / 168
  • 11. Campos Vetoriais Exemplo 3 Determine o campo vetorial gradiente de f (x, y) = x2 + y2 , e esboce o campo. Solução Note que ∇f (x, y) é dado por: ∇f (x, y) = 2xi + 2yj = 2r. Repare ainda que ∇f (x, y) é paralelo ao vetor posição, e tem módulo duas vezes maior que r. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 11 / 168
  • 12. Campos Vetoriais Campo vetorial conservativo Dizemos que F(x, y, z) é um campo vetorial conservativo se existir um campo escalar f (x, y, z) (chamada de função potencial) tal que: F(x, y, z) = ∇f (x, y, z). A equação acima nos fornece um método para determinar a função potencial f . Note que: fx (x, y, z) = P(x, y, z), fy (x, y, z) = Q(x, y, z), fz (x, y, z) = R(x, y, z). Assim para determinar a função potencial, basta resolver o sistema de equações diferenciais acima. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 12 / 168
  • 13. Campos Vetoriais Exemplo 4 Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriais conservativos. (a) F(x, y) = 2xi + 2yj, 2x 2y 2z (b) F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 13 / 168
  • 14. Campos Vetoriais Exemplo 4 Determine a função potencial para cada um dos seguintes campos vetoriais conservativos. (a) F(x, y) = 2xi + 2yj, Solução Note que fx (x, y) = 2x e fy (x, y) = 2y. Integrando a primeira equação em relação a x temos: f (x, y) = 2xdx + g(y) = x2 + g(y). Derivando a relação acima em relação a y temos que: g (y) = 2y =⇒ g(y) = y2 + c. Logo a função potencial é f (x, y) = x2 + y2 + c. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 14 / 168
  • 15. Campos Vetoriais Exemplo 4 continuação 2x 2y 2z (b) F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 . 2x 2y 2z Note que fx = x2 +y2 +z2 , fy = x2 +y2 +z2 e fz = x2 +y2 +z2 . Integrando a primeira equação em relação a x temos: 2x f (x, y, z) = dx + g(y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + g(y, z). x 2 + y2 + z2 Derivando a relação acima em relação a y temos que: 2y ∂g(y, z) 2y + = 2 =⇒ g(y, z) = h(z). x 2 + y2 + z2 ∂y x + y2 + z2 Assim ficamos com f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + h(z). Derivando essa equação em relação a z temos: Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 15 / 168
  • 16. Campos Vetoriais Exemplo 4 continuação Derivando essa equação em relação a z temos: 2z 2z + h (z) = =⇒ h(z) = c. x 2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 2x 2y 2z Logo a função potencial para F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 é: f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + c. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 16 / 168
  • 17. Integrais de linha Já aprendemos como calcular a integral de uma função z = f (x, y) sob uma região plana D. Veremos agora como calcular a integral de uma função de duas ou mais variáveis ao longo de uma curva. Integral de linha no plano Seja f (x, y) uma função definida em uma região plana D. Seja ainda r(t) = x(t), y(t) uma curva C suave em D, i.e. r (t) = 0, definida no intervalo I = [a, b]. Para cada ti∗ ∈ [ti , ti+1 ] ⊂ I podemos associar a seguinte soma de Riemann: n ∑ f (xi∗ , y∗ )∆si , i i=1 onde = ∗ xi x(ti∗ ), y∗ = y(ti∗ ) e ∆si é o arco que liga o ponto Pi = (xi , yi ) ao i ponto Pi+1 = (xi+1 , yi+1 ). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 17 / 168
  • 18. Integrais de linha Integral de linha no plano No limite quando o número de subdivisões n → ∞ do intervalo I , temos: n lim n→∞ ∑ f (xi∗ , y∗ )∆si = i C f (x, y)ds. i=1 Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x, y) ao longo de C em relação ao comprimento de arco. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 18 / 168
  • 19. Integrais de linha Integral de linha no plano Podemos reescrever a integral de linha notando que x = x(t), y = y(t) e que 2 2 dx dy ds = + dt. dt dt De forma que: b 2 2 dx dy f (x, y)ds = f (x(t), y(t)) + dt. C a dt dt Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 19 / 168
  • 20. Integrais de linha Exemplo 5 Calcule C (2 + x2 y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitário x2 + y2 = 1. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 20 / 168
  • 21. Integrais de linha Exemplo 5 Calcule C (2 + x2 y)ds, onde C é a metade superior do cícurlo unitário x2 + y2 = 1. Solução A parametrização do semicírculo é: x = cos(t), y = sin(t) com 0 ≤ t ≤ π. O elemento de arco ds fica: ds = cos2 (t) + sin2 (t)dt = dt. Assim: π (2 + x2 y)ds = [2 + cos2 (t) sin(t)]dt C 0 cos3 (t) π 2 = 2π − = 2π + . 3 0 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 21 / 168
  • 22. Integrais de linha Integral de linha no plano Suponha que a curva C seja suave (ou lisa) por partes, i.e., C é a união de um número finito de curvas suaves C1 , C2 , . . . , Cn , como na figura abixo. Neste caso a integral de linha ao logo de C é dada por: f (x, y)ds = f (x, y)ds + f (x, y)ds + · · · + f (x, y)ds. C C1 C2 Cn Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 22 / 168
  • 23. Integrais de linha Exemplo 6 Calcule C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 23 / 168
  • 24. Cálculo vetorial Exemplo 6 Calcule C 2xds, onde C é formada pelo arco C1 da parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2). Solução √ Para o caminho C1 tem-se que x = x, y = x2 com 0 ≤ x ≤ 1 e ds = 1 + 4x2 dx: 1 √ 1 1 2 5 5−1 2xds = 2x 1 + 4x2 dx = (1 + 4x2 )3/2 = . C1 0 4 3 0 6 Para o caminho C2 tem-se que x = 1, y = y com 1 ≤ y ≤ 2 e ds = dy: 1 2xds = 2(1)dy = 2[y]2 = 2. 1 C2 0 Então, √ 5 5−1 2xds = 2xds + 2xds = + 2. C C1 C2 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 24 / 168
  • 25. Integrais de linha Integral de linha no espaço Seja C uma curva espacial lisa dada pelas seguintes equações paramétricas: x = x(t), y = y(t), z = z(t) com a ≤ t ≤ b. A integral de linha de uma função f (x, y, z) ao longo de C é dada por: b 2 2 2 dx dy dz f (x, y, z)ds = f (x(t), y(t), z(t)) + + dt, C a dt dt dt ou em notação vetorial: b f (x, y, z)ds = f (r(t)) r (t) dt. C a Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 25 / 168
  • 26. Integrais de linha Exemplo 7 Calcule C y sin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações x = cos(t), y = sin(t), z = t e 0 ≤ t ≤ 2π. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 26 / 168
  • 27. Cálculo vetorial Exemplo 7 Calcule C y sin(z)ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações x = cos(t), y = sin(t), z = t e 0 ≤ t ≤ 2π. Solução O elemento de comprimento arco é dado por: √ ds = sin2 (t) + cos2 (t) + 1dt = 2dt. Assim: √ 2π 2π 2 √ 2 sin(2t) √ y sin(z)ds = sin (t) 2dt = t− = π 2. C 0 2 2 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 27 / 168
  • 28. Integrais de linha Já vimos como calcular a integral de linha de um campo escalar f (x, y, z) ao longo de uma curva C. Vejamos agora como calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva C. Integrais de linha de um campo vetorial Seja F(x, y, z) um campo vetorial, um campo de forças por exemplo. Podemos perguntar pelo trabalho W ao mover uma partícula ao longo de uma curva C sob a ação do campo de forças F(x, y, z). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 28 / 168
  • 29. Integrais de linha Integrais de linha de um campo vetorial Particionando o caminho r(t) = x(t), y(t), z(t) , com a ≤ t ≤ b, em n − 1 intervalos, obtemos n arcos ∆si que ligam os pontos Pi = (xi , y∗ , z∗ ) e ∗ i i Pi+1 = (xi+1 , y∗ , z∗ ). O trabalho para levar uma partícula do ponto Pi para ∗ i+1 i+1 Pi+1 é dado por F(xi , y∗ , z∗ ) · [T(xi , y∗ , z∗ )∆si ], onde T(xi , y∗ , z∗ ) é o vetor ∗ i i ∗ i i ∗ i i tangente ao arco ∆si no ponto Pi . Assim o trabalho para levar a partícula do ponto P0 = r(a) até Pn = r(b) é dado pela soma de Riemann: n W ≈ ∑ F(xi , y∗ , z∗ ) · T(xi , y∗ , z∗ )∆si . ∗ i i ∗ i i i Tomando o limite quando o número de intervalos n → ∞ obtemos, n W = lim ∑ F(xi , y∗ , z∗ ) · T(x, y, z)∆si = ∗ i i F(x, y, z) · T(x, y, z)ds, n→∞ C i a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) sob a curva C. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 29 / 168
  • 30. Integrais de linha Integrais de linha de um campo vetorial Podemos reescrever a integral de linha anterior notando que x = x(t), y = y(t), z = z(t) e r (t) T(x(t), y(t), z(t)) = e ds = r (t) dt. r (t) Assim a integral de linha de F(x, (t), y(t), z(t)) = F(r(t)) é dada por: b b F · Tds = F(r(t)) · r (t)dt = F · dr. C a a Ou em termos das funções componentes P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z) de F : b b F · dr = Pdx + Qdy + Rdz. a a Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 30 / 168
  • 31. Integrais de linha Exemplo 8 Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x2 i − xyj ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sin(t)j, 0 ≤ t ≤ π/2. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 31 / 168
  • 32. Integrais de linha Exemplo 8 Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x, y, z) = x2 i − xyj ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i + sin(t)j, 0 ≤ t ≤ π/2. Solução Note primeiramente que F(r(t)) = cos2 (t), − cos(t) sin(t) , e que r (t) = − sin(t), cos(t) . Assim: b π/2 π/2 2 2 F · dr = −2 cos2 (t) sin(t)dt = cos3 (t) =− . a 0 3 0 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 32 / 168
  • 33. Integrais de linha Exemplo 9 Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une (2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a (3, 4, 0). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 33 / 168
  • 34. Integrais de linha Exemplo 9 Calcule C ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 que une (2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a (3, 4, 0). Solução O campo vetorial a ser integrado é F(r(t)) = y, z, x . O caminho C1 é dado por r(t) = 2 + t, 4t, 5t com 0 ≤ t ≤ 1. De forma que F(r(t)) = 4t, 5t, 2 + t e r (t) = 1, 4, 5 . Logo: b 1 1 F · dr = [1(4t) + 4(5t) + 5(2 + t)]dt = (10 + 29t)dt a 0 0 1 29t2 49 = 10t + = . 2 0 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 34 / 168
  • 35. Integrais de linha Exemplo 9 continuação O caminho C2 é dado por r(t) = 3, 4, 5 − 5t com 0 ≤ t ≤ 1. De forma que F(r(t)) = 4, 5 − 5t, 3 e r (t) = 0, 0, −5 . Logo: b 1 1 F · dr = [0(4t) + 0(5 − 5t) + 3(−5)]dt = −15 dt = −15. a 0 0 Assim a integral C ydx + zdy + xdz vale: F · dr = F · dr + F · dr = 24.5 − 15 = 9.5 . C C1 C2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 35 / 168
  • 36. Teorema Fundamental das integrais de linha No cálculo 1 vimos que se F (x) é uma função contínua no intervalo I = [a, b] b então a F (x)dx = F(b) − F(a), é igual a variação de F (x) sobre I . Para as integrais de linha, sob certas condições, temos um resultado parecido. Teorema 1 Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b. Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente ∇f é contínuo em C. Então ∇f · dr = f (r(b)) − f (r(a)). C Se r(b) e r(a) tiverem coordenadas (x2 , y2 , z2 ) e (x1 , y1 , z1 ), então ∇f · dr = f (x2 , y2 , z2 ) − f (x1 , y1 , z1 ). C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 36 / 168
  • 37. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 10 Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial 2x 2y 2z F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , ao mover uma partícula de massa m do ponto (1, 0, 0) para o ponto (1, 1, 1) ao longo de uma curva lisa por partes C. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 37 / 168
  • 38. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 10 Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial 2x 2y 2z F(x, y, z) = x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , x2 +y2 +z2 , ao mover uma partícula de massa m do ponto (1, 0, 0) para o ponto (1, 1, 1) ao longo de uma curva lisa por partes C. Solução Já vimos que o campo vetorial acima é conservativo, com função potencial dada por f (x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2 ) + c. Dessa forma: W= F · dr = ∇f · dr = f (1, 1, 1) − f (1, 0, 0) = ln (3). C C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 38 / 168
  • 39. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 11 Calcule C y2 dx + xdy, onde (a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2), (b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 39 / 168
  • 40. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 11 Calcule C y2 dx + xdy, onde (a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2), (b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2). Solução O caminho C1 tem a seguite parametrização x = 5t − 5, y = 5t − 3 com 0 ≤ t ≤ 1. 1 dx dy y2 dx + xdy = (5t − 3)2 + (5t − 5) dt C1 0 dt dt 1 = [5(5t − 3)2 + 5(5t − 5)]dt 0 1 5 =5 (25t2 − 25t + 4)dt = − . 0 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 40 / 168
  • 41. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 11 continuação Calcule C y2 dx + xdy, onde (a) C = C1 é o segmento de reta de (−5, −3) a (0, 2), (b) C = C2 é o arco x = 4 − y2 de (−5, −3) a (0, 2). Solução O caminho C2 tem a seguite parametrização y = t, x = 4 − t2 com −3 ≤ t ≤ 2. 2 dx dy y2 dx + xdy = t2 + (4 − t2 ) dt C2 −3 dt dt 2 = [−2t3 + (4 − t2 )]dt −3 2 245 = (−2t3 − t2 + 4)dt = − . −3 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 41 / 168
  • 42. Teorema fundamental das integrais de linha Independência do caminho de integração O resultado do exemplo anterior nos diz que em geral C1 F · dr = C2 F · dr, onde C1 e C2 são dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final. Mas segue do teorema anterior que ∇f · dr = ∇f · dr. C1 C2 A integral de um campo vetorial contínuo F é dita independente do caminho, se F · dr = F · dr, C1 C2 para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos incial e final. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 42 / 168
  • 43. Teorema fundamental das integrais de linha Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e., r(a) = r(b). O teorema a seguir nos fornece uma condição sob a qual a integral de linha de um campo vetorial é independente do caminho de integração. Teorema 2 C F · dr é independente do caminho, em uma região, D se e somente se C F · dr = 0 para todo caminho C fechado em D. Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo F , C F · dr = 0. Assim, se F representa um campo de forças, o trabalho realizado para mover uma partícula ao longo de um caminho fechado é nulo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 43 / 168
  • 44. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 12 Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = 2x, 2y independe do caminho de integração. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 44 / 168
  • 45. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 12 Mostre que a integral de linha do campo vetorial F = 2x, 2y independe do caminho de integração. Solução Vamos calcular a integral de linha do campo acima sobre uma curva fechada C qualquer. Para isso, note que F = ∇f , com f (x, y) = x2 + y2 + c. Assim d F · dr = ∇f · dr = f (r(t))dt = 0. C C C dt Como C F · dr = 0, para um caminho qualquer C segue que C F · dr é independente do caminho. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 45 / 168
  • 46. Teorema fundamental das integrais de linha Uma região no plano D é dita aberta se para cada ponto P ∈ D existir um disco com centro em P contida em D. E chamamos uma região plana D de conexa se dois pontos quaisquer em D podem ser ligados por um caminho inteiramente em D. Teorema 3 Suponha que F seja um campo vetorial contínuo sobre uma região aberta conexa D. Se C F · dr for independente do caminho em D, então F é um campo conservativo, ou seja, existe um campo escalar f tal que ∇f = F . Para um campo vetorial conservativo são equivalentes as proposições: (a) F = ∇f , (b) C F · dr = 0, (c) C F · dr independe do caminho de integração. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 46 / 168
  • 47. Teorema fundamental das integrais de linha O teorema a seguir nos permite determinar se um campo vetorial é conservativo. Teorema 4 Se F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j é um campo vetorial conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então em todos os pontos de D temos ∂P ∂Q = . ∂y ∂x A recíproca do teorema acima só é válida para um tipo especial de região D. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 47 / 168
  • 48. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 13 Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j é ou não conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 48 / 168
  • 49. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 13 Determine se o campo vetorial F(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j é ou não conservativo. Solução Note que P(x, y) = x − y e que Q(x, y) = x − 2, de forma que: ∂P ∂Q = −1 = 1. ∂y ∂x Logo o campo não é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 49 / 168
  • 50. Teorema fundamental das integrais de linha Uma cuva é dita simples se ela não se autointercepta. E uma região é dita simplesmente conexa se a mesma é conexa e não contem buracos, ou seja, qualquer curva simples fechada em D contorna pontos que estão somente em D. Teorema 5 Seja F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j um campo vetorial sobre uma região D aberta e simplesmente conexa. Suponha que P e Q tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas e que ∂P ∂Q = , ∂y ∂x em D. Então F é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 50 / 168
  • 51. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 14 Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2 )j é ou não conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 51 / 168
  • 52. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 14 Determine se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2 )j é ou não conservativo. Solução Note que P(x, y) = 3 + 2xy e que Q(x, y) = x2 − 3y2 , de forma que: ∂P ∂Q = 2x = . ∂y ∂x Como o domínio de F é o plano R2 que é aberto e simplesmente conexo, então o campo é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 52 / 168
  • 53. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 15 −y x Determine se o campo vetorial F(x, y) = x2 +y2 i + x2 +y2 j, (x, y) = (0, 0) é ou não conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 53 / 168
  • 54. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 15 −y x Determine se o campo vetorial F(x, y) = x2 +y2 i + x2 +y2 j, (x, y) = (0, 0) é ou não conservativo. Solução Note que ∂P −x2 + y2 ∂Q = 2 = . ∂y x + y2 ∂x O resultado acima sugere que F é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 54 / 168
  • 55. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 15 continuação Mas se este for o caso, a integral de linha de F ao longo de qualquer curva fechada C deve ser zero. Assim seja C o círculo unitário percorrido no sentido anti-horário, com parametrização dada por x = cos(t), y = sin(t) e 0 ≤ t ≤ 2π. Neste caso 2π F · dr = [sin2 (t) + cos2 (t)]dt = 2π. C 0 Como a integral acima é diferente de zero, o campo não é conservativo. Note que apesar das derivadas parciais ∂P e ∂Q serem iguais, o domínio de F não é ∂y ∂x uma região simplesmente conexa, de forma que o teorema anterior não se aplica. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 55 / 168
  • 56. Teorema fundamental das integrais de linha Condição para um campo vetorial F(x, y, z) ser conservativo Para que um campo vetorial F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k definido em uma região aberta e simplesmente conexa D, P, Q e R com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, seja conservativo, devem ser satisfeitas as seguintes igualdades ∂P ∂Q = , ∂y ∂x ∂P ∂R = , ∂z ∂x ∂Q ∂R = . ∂z ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 56 / 168
  • 57. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 16 Determine se o campo vetorial F(x, y, z) = (yz)i + (xz)j + (xy + 2z)k, é ou não conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 57 / 168
  • 58. Teorema fundamental das integrais de linha Exemplo 16 Determine se o campo vetorial F(x, y, z) = (yz)i + (xz)j + (xy + 2z)k, é ou não conservativo. Solução Note que F está definido em todo o R3 , conjunto aberto e simplesmente conexo. Note também que ∂P ∂Q =z= , ∂y ∂x ∂P ∂R =y= , ∂z ∂x ∂Q ∂R =x= . ∂z ∂y Logo o campo acima é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 58 / 168
  • 59. Teorema de Green O teorema a seguir relaciona o cálculo de uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada simples C, com uma integral dupla na região D delimitada por C. Antes, precisamos definir orientação de uma curva. Oritentação de uma curva fechada simples C Seja C uma curva fechada simples dada por r(t), com a ≤ t ≤ b. Dizemos que C tem orientação positiva se ao percorrer C no sentido anti-horário, uma única vez, a região D estiver sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 59 / 168
  • 60. Teorema de Green Uma vez definida orientação de uma curva C, podemos enunciar o teorema de Green. Teorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por trechos, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dA. C D ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 60 / 168
  • 61. Teorema de Green Exemplo 17 Calcule c x4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituida pelos segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0). Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 61 / 168
  • 62. Teorema de Green Exemplo 17 Calcule c x4 dx + xydy, onde C é a curva triangular constituida pelos segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0). Solução Note que o caminho é fechado, simples e com orientação positiva. Como as funções P(x, y) = x4 e Q(x, y) = xy têm derivadas contínuas na região triangular acima, podemos utilizar o teorema de Green. ∂Q ∂P x4 dx + xydy = − dA = ydA C D ∂x ∂y D 1 1−x 1 1 1 1 1 = ydydx = (1 − x) dx = − (1 − x)3 2 = . 0 0 2 0 6 0 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 62 / 168
  • 63. Teorema de Green Exemplo 18 Calcule C (3y − esin(x) )dx + (7x + y4 + 1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 63 / 168
  • 64. Teorema de Green Exemplo 18 Calcule C (3y − esin(x) )dx + (7x + y4 + 1)dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 9. Solução Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla para coordenadas polares temos (3y − esin(x) )dx + (7x + y4 + 1)dy = C ∂ ∂ (7x + y4 + 1) − (3y − esin(x) ) dA = D ∂x ∂y 2π 3 2π 3 (7 − 3)rdrdθ = 4 dθ rdr = 36π. 0 0 0 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 64 / 168
  • 65. Teorema de Green Cálculo de área via integral de linha Seja C uma curva fechada simples que dilimita uma região D. Se no teorema de Green o integrando da integral dupla for 1, obtemos a área da região D. ∂Q ∂P − = 1. ∂x ∂y As possíveis funções P(x, y) e Q(x, y) que fornecem o resultado desejado são 1 P(x, y) = 0, P(x, y) = −y, P(x, y) = − y, 2 1 Q(x, y) = x, Q(x, y) = 0, Q(x, y) = x. 2 Assim podemos calcular a área de D através das seguintes fórmulas 1 A= xdy = − ydx = xdy − ydx. C C 2 C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 65 / 168
  • 66. Teorema de Green Exemplo 19 x2 y2 Determine a área delimitada pela elipse a2 + b2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 66 / 168
  • 67. Teorema de Green Exemplo 19 x2 y2 Determine a área delimitada pela elipse a2 + b2 = 1. Solução Podemos parametrizar a elipse através das seguintes equações x = a cos(t), y = b sin(t) com 0 ≤ t ≤ 2π. 1 1 2π A= xdy − ydx = [a cos(t)b cos(t) + b sin(t)a sin(t)]dt 2 C 2 0 ab 2π = dt = πab. 2 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 67 / 168
  • 68. Teorema de Green Exemplo 20 Calcule C y2 dx + 3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 68 / 168
  • 69. Teorema de Green Exemplo 20 Calcule C y2 dx + 3xydy, onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. Solução Utilizando o teorema de Green e convertendo a integral dupla para coordenadas polares teremos ∂ ∂ y3 dx + 3xydy = (3xy) − (y2 ) dA = C D ∂x ∂y π 2 = ydA = r2 sin(θ)drdθ D 0 1 π 2 14 = sin(θ)dθ r2 dr = . 0 1 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 69 / 168
  • 70. Teorema de Green Teorema de Green para regiões que não são simplesmente conexa Considere a seguinte região D limitada pelas curvas fechadas C1 (externamente) e C2 (internamente), isto é, D é uma região com um buraco. Podemos utilizar o teorema de Green e mostrar que a integral de linha ao longo do caminho C = C1 C2 é dada por: ∂Q ∂P − dA = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy = Pdx + Qdy. D ∂x ∂y C1 C2 C Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 70 / 168
  • 71. Teorema de Green Exemplo 21 Calcule C y3 dx − x3 dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2 centrados na origem com orientação positiva. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 71 / 168
  • 72. Teorema de Green Exemplo 21 Calcule C y3 dx − x3 dy, onde C é composta de dois círculos de raios 1 e 2 centrados na origem com orientação positiva. Solução Note que a região D é a região contida entre as circunferências de raios 1 e 2 assim ∂Q ∂P y3 dx − x3 dy = − dA = −3 (x2 + y2 )dA C D ∂x ∂y D 2π 2 2π 2 r4 45π = −3 r3 drdθ = −3 θ =− . 0 1 0 4 1 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 72 / 168
  • 73. Rotacional e divergente Já vimos que podemos contruir um campo vetorial a partir de um campo escalar aplicando o operador ∇ a um campo escalar f (∇f campo gradiente). Agora veremos como obeter um campo vetorial a partir de outro campo vetorial. Rotacional Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 , e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de F é o campo vetorial em R3 definido por ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rot F = ∇ × F = − i+ − j+ − k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 73 / 168
  • 74. Rotacional e divergente Rotacional Se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z, podemos também considerar o produto vetorial formal de ∇ pelo campo vetorial F , como se segue: i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z P Q R ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = − i+ − j+ − k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = rot F. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 74 / 168
  • 75. Rotacional e divergente Exemplo 22 Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, determine o rotacional de F . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 75 / 168
  • 76. Rotacional e divergente Exemplo 22 Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, determine o rotacional de F . Solução Utilizando a definição temos que i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z xz xyz −y2 ∂(−y2 ) ∂(xyz) ∂(−y2 ) ∂(xz) ∂(xyz) ∂(xz) = − i− − j+ − k ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y = −y(2 + x)i + xj + yzk. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 76 / 168
  • 77. Rotacional e divergente Teorema 1 Se f é um campo escalar que tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem então, rot (∇f ) = 0. Já vimos que se um campo vetorial é conservativo, então F = ∇f . Assim podemos enunciar o teorema acima da seguinte forma Se F é conservativo, então rot F = 0. A recíproca do teorema acima não é, em geral, verdadeira. Dizemos então que a condição (F é conservativo) é nescessária (para que rot F = 0) porém (rot F = 0) não é sufuciente (para que F seja conservativo). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 77 / 168
  • 78. Rotacional e divergente Exemplo 23 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k não é conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 78 / 168
  • 79. Rotacional e divergente Exemplo 23 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k não é conservativo. Solução Suponha que F seja conservativo. Então devemos ter que rot F = 0. Mas como vimos no exemplo anterior ∇ × F = −y(2 + x)i + xj + yzk. Logo F não pode ser conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 79 / 168
  • 80. Rotacional e divergente O teorema a seguir nos dá uma condição suficiente para que um campo vetorial F ∈ R3 seja conservativo. Teorema 2 Se F for um campo vetorial definido sobre todo o R3 (domínio aberto e simplesmente conexo) cujas componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rot F = 0, então F será um campo vetorial conservativo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 80 / 168
  • 81. Rotacional e divergente Exemplo 24 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y2 z3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z2 k é conservativo e determine sua função potencial. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 81 / 168
  • 82. Rotacional e divergente Exemplo 24 Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = y2 z3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z2 k é conservativo e determine sua função potencial. Solução Note que i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z y2 z3 2xyz3 3xy2 z2 = (6xyz2 − 6xyz2 )i − (3y2 z2 − 3y2 z2 )j + (2yz3 − 2yz3 )k = 0. Assim o campo é conservativo (note que o domínio de F é aberto e simplesmente conexo). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 82 / 168
  • 83. Rotacional e divergente Exemplo 24 continuação Para determinar a função potencial basta integral (parcialmente) uma das funções componetes e utilizar as demais para determinar as constantes de integração. Assim fx = y2 z3 =⇒ f (x, y, z) = y2 z3 dx = xy2 z3 + g(y, z). Como fy = 2xyz3 obtemos que g(y, z) = h(z). Note ainda que fz = 3xy2 z2 , assim h(z) = c. Logo a função potencial é dada por f (x, y, z) = xy2 z3 + c. Um campo vetorial F com rotacional nulo é chamado de irrotacional. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 83 / 168
  • 84. Rotacional e divergente Já vimos como obter um campo vetorial a partir de um campo escalar e de um campo vetorial. Agora veremos como obter um campo escalar através de um campo vetorial. Divergente Se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial em R3 e existem ∂P/∂x, ∂Q/∂y e ∂R/∂z, então o divergente de F é o campo escalar dado por ∂P ∂Q ∂R div F = ∇ · F = + + . ∂x ∂y ∂z Novamente se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z, podemos reescrever o divergente como se segue: ∂ ∂ ∂ div F = ∇ · F = , , · P, Q, R . ∂x ∂y ∂z Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 84 / 168
  • 85. Rotacional e divergente Exemplo 25 Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, encontre div F . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 85 / 168
  • 86. Rotacional e divergente Exemplo 25 Se F(x, y, z) = xzi + xyzj − y2 k, encontre div F . Solução Pela definição temos que ∂(xz) ∂(xyz) ∂(−y2 ) div F = ∇ · F = + + = z + xz. ∂x ∂y ∂z Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 86 / 168
  • 87. Rotacional e divergente Exemplo 26 Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetor nulo. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 87 / 168
  • 88. Rotacional e divergente Exemplo 26 Mostre que o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual ao vetor nulo. Solução Seja F = Pi + Qj + Rk um campo vetorial, cujas funções componentes apresentam derivadas de segunda ordem contínuas. Assim ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P G = rot F = − i+ − j+ − k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Calculando o divergente do campo G temos que div G = div rot F ∂ ∂R ∂Q ∂ ∂P ∂R ∂ ∂Q ∂P = − + − + − . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 88 / 168
  • 89. Rotacional e divergente Exemplo 26 continuação div G = div rot F ∂2 R ∂2 Q ∂2 P ∂2 R ∂2 Q ∂2 P = − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y = 0. uma vez que os termos se cancelam aos pares (teorema de Schwarz). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 89 / 168
  • 90. Rotacional e divergente Laplaciano Ainda podemos definir outro campo escalar ao aplicarmos o operador ∇ a um campo gradiente ∇f . O resultado é o seguinte campo escalar ∂2 f ∂2 f ∂2 f div(∇f ) = ∇ · (∇f ) = + + . ∂x2 ∂y2 ∂z2 Essa expressão aperecer com tanta frequencia de forma que vamos abreviá-la como ∇2 f . Ao operador ∇2 chamamos de laplaciano. E se F = Pi + Qj + Rk é um campo vetorial, podemos também aplicar ∇2 a F como ∇2 F = ∇2 Pi + ∇2 Qj + ∇2 Rk. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 90 / 168
  • 91. Rotacional e divergente Exemplo 27 Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos: (a) f (x, y, z) = exyz , (b) F(x, y, z) = ex , exy , exyz . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 91 / 168
  • 92. Rotacional e divergente Exemplo 27 Aplique o operador laplaciano aos seguintes campos: (a) f (x, y, z) = exyz , (b) F(x, y, z) = ex , exy , exyz . Solução Note que ∇f = yzexyz , xzexyz , xyexyz , de forma que ∂(yzexyz ) ∂(xzexyz ) ∂(xyexyz ) ∇2 f = + + = exyz [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]. ∂x ∂y ∂z Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 92 / 168
  • 93. Rotacional e divergente Exemplo 27 continuação No exemplo (b) note que P = ex , Q = exy e R = exyz . Assim ∇2 P = ∇2 ex = ex ∇2 Q = ∇2 exy = (x2 + y2 )exy ∇2 R = ∇2 exyz = [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]exyz . Logo temos que ∇2 F = ex , (x2 + y2 )exy , [(yz)2 + (xz)2 + (xy)2 ]exyz . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 93 / 168
  • 94. Superfícies parametrizadas e suas áreas Superfícies parametrizadas Uma superfície parametrizada é uma função vetorial r(u, v) de dois parâmetros u e v, que pode ser expressa da seguinte forma r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k. Note que na equação acima o domínio de r é uma região do plano uv, e sua imagem é um subconjunto do R3 , chamada de superfície parametrizada. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 94 / 168
  • 95. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 28 Identifique e esboce a superfície com equação vetorial r(u, v) = 2 cos(u)i + vj + 2 sin(u)k. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 95 / 168
  • 96. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 28 Identifique e esboce a superfície com equação vetorial r(u, v) = 2 cos(u)i + vj + 2 sin(u)k. Solução Da função acima temos que x(u, v) = 2 cos(u), y(u, v) = v e z(u, v) = 2 sin(u). Note ainda que x2 + z2 = 4 para qualquer valor de u, e que y pode assumir qualquer valor v. Assim a superfície resultante é um cilindro infinito com exio do cilindro sobre o eixo y. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 96 / 168
  • 97. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 29 Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0 com vetor posição r0 e que contenha dois vetores não paralelos a e b. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 97 / 168
  • 98. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 29 Determine a função vetorial que representa um plano que passa pelo ponto P0 com vetor posição r0 e que contenha dois vetores não paralelos a e b. Solução −→ − Seja P um ponto do plano em questão, então o vetor P0 P pode ser escrito −→ − como uma combinação dos vetores a e b, isto é, P0 P = ua + vb. Mas o vetor −→ −→ −→ − − OP = OP0 + P0 P, ou seja, r = r0 + ua + vb. Assim r(u, v) = r0 + ua + vb. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 98 / 168
  • 99. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 30 Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centrada na origem. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 99 / 168
  • 100. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 30 Determine uma representação paramétrica para uma esfera de raio a centrada na origem. Solução Devemos parametrizar x2 + y2 + z2 = a2 . Para tanto basta tomarmos x = a sin(φ) cos(θ), y = a sin(φ) sin(θ) e z = a cos(φ). Assim a equação vetorial resultante é r(θ, φ) = a sin(φ) cos(θ)i + a sin(φ) sin(θ)j + a cos(φ)k, com θ ∈ [0, 2π] e φ ∈ [0, π/2]. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 100 / 168
  • 101. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 31 Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z = x2 + 2y2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 101 / 168
  • 102. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 31 Determine uma função vetorial que represente o paraboloide elíptico z = x2 + 2y2 . Solução Neste caso podemos utilizar o fato de que z = f (x, y) e considerar a seguinte parametrização x = x, y = y e z = x2 + 2y2 , de forma que r(x, y) = xi + yj + (x2 + 2y2 )k. De forma geral, para uma função do tipo z = f (x, y), temos a seguinte parametrização r(x, y) = xi + yj + f (x, y)k, chamada de parametrização natural. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 102 / 168
  • 103. Superfícies parametrizadas e suas áreas Dada uma superfície parametrizada S, podemos perguntar pelo plano tangente em um ponto (x0 , y0 , z0 ) pertencente à S. Quando tal plano existe para todo ponto P ∈ S dizemos que S é diferenciável ou lisa. Planos tangentes Seja r(u, v) uma superfícies parametrizada. Seja ainda (u0 , v0 ) um ponto do domínio de r. Note que as funções r(u, v0 ) e r(u0 , v) representam curvas sobre S, chamadas de curvas coordenadas. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 103 / 168
  • 104. Superfícies parametrizadas e suas áreas Planos tangentes Os vetores tangentes às curvas coordenadas r(u, v0 ) e r(u0 , v) são dados por ru e rv , respectivamente, isto é, tomando-se as derivadas parciais de r(u, v) em relação a u e v. Assim o plano tangente à S em P0 = (x0 , y0 , z0 ), que contem os vetores ru e rv , tem vetor normal dado por N(P0 ) = ru × rv = ru (x0 , y0 , z0 ) × rv (x0 , y0 , z0 ). Ou ainda i j k ∂x ∂y ∂z N(x0 , y0 , z0 ) = ∂u ∂u ∂u . ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v Sejam então N = (a, b, c) e P0 = (x0 , y0 , z0 ), o plano tangente fica a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 104 / 168
  • 105. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 32 Determine a equação do plano tangente à superfície com equações paramétricas x = u2 , y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 105 / 168
  • 106. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 32 Determine a equação do plano tangente à superfície com equações paramétricas x = u2 , y = v2 e z = u + 2v no ponto (1, 1, 3). Solução O vetor normal ao plano é dado por i j k i j k ∂y N(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = ∂x ∂u ∂u ∂z ∂u = 2u 0 1 = −2vi − 4uj + 4uvk. ∂x ∂y ∂z 0 v 2 ∂v ∂v ∂v O ponto (1, 1, 3) corresponde a u = v = 1. Assim N(1, 1, 3) = −2i − 4j + 4k, de forma que o plano fica −2(x − 1) − 4(y − 1) + 4(z − 3) = 0. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 106 / 168
  • 107. Superfícies parametrizadas e suas áreas Área de superfície Seja (u0 , v0 ) um ponto do domínio D de r(u, v). Os pontos (u0 , v0 ), (u0 + ∆u, v0 ), (u0 , v0 + ∆v) e (u0 + ∆u, v0 + ∆v) definem um retângulo no plano uv com área ∆u∆v. A parametrização r(u, v) transforma esse retângulo aproximadamente em um paralelogramo de área ∆S ≈ ru × rv ∆u∆v. Definição Dada uma superfície lisa S com parametrização r(u, v), a área de S é dada por A(S) = dS = ru × rv dudv, S D onde dS = ru × rv dudv é chamado elemento de superfície. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 107 / 168
  • 108. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 33 Determine a área da esfera de raio a. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 108 / 168
  • 109. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 33 Determine a área da esfera de raio a. Solução A parametrização da esfera é r(u, v) = a sin(φ) cos(θ)i + a sin(φ) sin(θ)j + a cos(φ)k. de forma que i j k i j k ∂x ∂y ∂z rφ × rθ = ∂φ ∂φ ∂φ = a cos(φ) cos(θ) a cos(φ) sin(θ) −a sin(φ) ∂x ∂y ∂z −a cos(φ) sin(θ) a sin(φ) cos(θ) 0 ∂θ ∂θ ∂θ = a sin (φ) cos(θ)i + a2 sin2 (φ) sin(θ)j + a2 sin(φ) cos(φ)k. 2 2 Assim rφ × rθ = a2 sin(φ). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 109 / 168
  • 110. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 33 continuação Logo a área é dada por 2π π A(S) = a2 sin(φ)dφdθ = a2 sin(φ)dφdθ D 0 0 2π π = a2 θ − cos(φ) = 4πa2 . 0 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 110 / 168
  • 111. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 34 Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 111 / 168
  • 112. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 34 Determine a área lateral do cilindro x2 + y2 = a2 e altura h. Solução O cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma r(θ, z) = a cos(θ)i + a sin(θ)j + zk, com θ ∈ [0, 2π] e z ∈ [0, h] de forma que i j k i j k ∂y rθ × rz = ∂x ∂θ ∂θ ∂z ∂θ = −a sin(θ) a cos(θ) 0 ∂x ∂y ∂z 0 0 1 ∂z ∂z ∂z = a cos(θ)i + a sin(θ)j. Assim temos que rθ × rz = a. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 112 / 168
  • 113. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 34 continuação Logo a área é dada por 2π h A(S) = adzdθ = a dzdθ = 2πah. D 0 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 113 / 168
  • 114. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 35 Determine a área de uma superfície dada por z = f (x, y). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 114 / 168
  • 115. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 35 Determine a área de uma superfície dada por z = f (x, y). Solução A parametrização neste caso é r(x, y) = xi + yi + f (x, y)k, de forma que i j k i j k ∂x ∂y ∂z rx × ry = ∂x ∂x ∂x = 1 0 fx ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂y 0 1 fy = −fx i − fy j + k. Assim temos que rx × ry = 1 + (fx )2 + (fy )2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 115 / 168
  • 116. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 35 continuação Logo a área é dada por 2 2 ∂f ∂f A(S) = 1 + (fx )2 + (fy )2 dxdy = 1+ + dxdy. D D ∂x ∂y Note que a expressão acima é geral, isto é, dada uma superfície S do tipo z = f (x, y), podemos aplicar a equação acima para determinar sua área. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 116 / 168
  • 117. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 36 Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo do plano z = 9. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 117 / 168
  • 118. Superfícies parametrizadas e suas áreas Exemplo 36 Determine a área da parte do paraboloide z = x2 + y2 que está abaixo do plano z = 9. Solução Podemos utilizar o resultado do exemplo anterior, de forma que 2 2 ∂f ∂f A(S) = 1+ + dxdy = 1 + 4(x2 + y2 )dxdy D ∂x ∂y D 2π 3 2π 37 π √ = 1 + 4r2 rdrdθ = u1/2 du = (37 37 − 1). 0 0 8 1 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 118 / 168
  • 119. Integral de superfície Definição Seja f (x, y, z) um campo escalar definido em uma superfície parametrizada S, definimos a integral de superfície de f sobre S como a seguinte integral f (x, y, z)dS = f (r(u, v)) ru × rv dudv. S D Note a semelhança da integral de superfície definida acima com a integral de linha de um campo escalar: b f (x, y, z)ds = f (r(t)) r (t) dt. C a No caso particular onde o campo escalar é o campo constante f (x, y, z) = 1, pela definição temos então que 1dS = ru × rv dudv = A(S). S D Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 119 / 168
  • 120. Integrais de superfícies Exemplo 37 2 dS, Calcule a integral de superfície Sx onde S é a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 120 / 168
  • 121. Integrais de superfícies Exemplo 37 2 dS, Calcule a integral de superfície Sx onde S é a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Solução Já vimos que o elemente dá área superficial para uma esfera de raio a é dS = a2 sin(φ)dφdθ. Assim a integral é dada por x2 dS = sin2 (φ) cos2 (θ)[sin(φ)]dφdθ S D 2π π = sin3 (φ) cos2 (θ)dφdθ 0 0 π 1 2π 4π =− [1 − cos2 (φ)]d[cos(φ)] [1 + cos(2θ)]dθ = . 0 2 0 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 121 / 168
  • 122. Integrais de superfícies Exemplo 38 Calcule S ydS, onde S é a superfície z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 122 / 168
  • 123. Integrais de superfícies Exemplo 38 Calcule S ydS, onde S é a superfície z = x + y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Solução Neste caso podemos utilizar a parametrização natural e reescrever a integral de superfície como 2 2 ∂f ∂f f (x, y, z)dS = f (x, y, g(x, y)) 1 + + dxdy, S D ∂x ∂y onde z = g(x, y) é a equação da superfície. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 123 / 168
  • 124. Integrais de superfícies Exemplo 38 continuação Assim temos que 1 2 ydS = y 2 + 2y2 dxdy = y 2 + 2y2 dydx S D 0 0 1 2 1 18 1 1 3 = dxy 2 + 4y2 dy = u 2 du = [u 2 ]18 2 0 0 4 2 6 √ 1 √ √ 13 2 = [18 18 − 2 2] = . 6 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 124 / 168
  • 125. Integrais de superfícies União de superfícies lisas Se S é uma superfície lisa por partes, ou seja, uma união finita de superfícies lisas S1 , S2 , . . . , Sn , que se interceptam somente ao longo de suas fronteiras, então a integral de superfície de f (x, y, z) sobre S é definida por f (x, y, z)dS = f (x, y, z)dS + f (x, y, z)dS + · · · + f (x, y, z)dS. S S1 S2 Sn Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 125 / 168
  • 126. Integrais de superfícies Exemplo 39 Calcule S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindro x2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3 é a parte do plano z = 1 + x que está acima de S2 . Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 126 / 168
  • 127. Integrais de superfícies Exemplo 39 Calcule S zdS, onde S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindro x2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o círculo x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3 é a parte do plano z = 1 + x que está acima de S2 . Solução A superfície desejada tem a seguinte forma Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 127 / 168
  • 128. Integrais de superfícies Exemplo 39 continuação Sobre a superfície S2 onde x2 + y2 ≤ 1 temos que S2 zdS = S2 0dS = 0. Sobre a S3 temos √ √ 2π 1 zdS = (1 + x) 2dydx = 2 [1 + r cos(θ)]rdrdθ S3 D 0 0 √ 2π √ θ sin(θ) 2π √ 1 1 = 2 + cos(θ) dθ = 2 + = 2π. 0 2 3 2 3 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 128 / 168
  • 129. Integrais de superfícies Exemplo 39 continuação Já vimos que o elemento de área lateral para um cilindro de raio a é dS = adθdz, assim 2π 1+cos(θ) zdS = zdθdz = zdzdθ S1 D 0 0 1 2π = [1 + 2 cos(θ) + cos2 (θ)]dθ 2 0 2π 1 1 sin(2θ) = θ + sin(θ) + θ + = 2π. 2 2 2 0 Assim a integral de superfície procurada é 3π √ zdS = zdS + zdS + zdS = + 2π. S S1 S2 S3 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 129 / 168
  • 130. Integrais de superfícies Superfícies orientadas Dada uma parametrização r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k de um superfície S, definimos o vetor normal unitário em S como ru × rv n(u, v) = . ru × rv Se n estiver definido em todo ponto de S, dizemos que a superfície é orientada. Dizemos ainda que S tem orientação positiva se o vetor normal unitário aponta para fora de S, e negativa se aponta para dentro de S. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 130 / 168
  • 131. Integrais de superfícies Fluxo de um campo vetorial Seja V o campo de velocidade de uma fluido com densidade ρ. A massa dm que atravessa o elemento de superfície dS, na direção do vetor unitário n, por unidade de tempo, é dada por dm = ρV · ndS. Podemos definir a quantidade F = ρV como um campo vetorial. Assim o fluxo de massa através da superfície S é dado por m= ρV · ndS = F · ndS. S S Podemos utilizar o exemplo acima para definir o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície S. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 131 / 168
  • 132. Integrais de superfícies Definição Se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor unitário n, então a integral de superfície (fluxo) de F sobre S é Fluxo de F = F · ndS = F · dS. S S Note que se r(u, v) é uma parametrização de uma superfície S, então podemos reescrever a expessão acima notando que n(u, v) = ru ×rv e que r ×r u v dS = ru × rv dudv. Assim F · ndS = F · (ru × rv )dudv. S D Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 132 / 168
  • 133. Integrais de superfícies Exemplo 40 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 133 / 168
  • 134. Integrais de superfícies Exemplo 40 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Solução Dada a parametrização r(φ, θ) = sin(φ) cos(θ)i + sin(φ) sin(θ)j + cos(φ)k, temos que rφ × rθ = sin2 (φ) cos(θ)i + sin2 (φ) sin(θ)j + sin(φ) cos(φ)k. Note ainda que F(r(φ, θ)) = cos(φ)i + sin(φ) sin(θ)j + sin(φ) cos(θ)k. De forma que F · (rφ × rθ ) = sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ) + sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) = 2 sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 134 / 168
  • 135. Integrais de superfícies Exemplo 40 continuação Assim o fluxo é dado por 2π π F · (rφ × rθ )dφdθ = [2 sin2 (φ) cos(φ) cos(θ) + sin3 (φ) sin2 (θ)]dφdθ D 0 0 2π π = sin3 (φ) sin2 (θ)dφdθ 0 0 2π π = sin2 (θ)dθ sin3 (φ)dφ 0 0 4π = . 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 135 / 168
  • 136. Integrais de superfícies Exemplo 41 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk através de uma superfície dada por z = g(x, y). Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 136 / 168
  • 137. Integrais de superfícies Exemplo 41 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = Pi + Qj + Rk através de uma superfície dada por z = g(x, y). Solução Note que rx × ry = −gx i − gy j + k, de forma que F · (rx × ry ) = −Pgx − Qgy + R. Assim o fluxo do campo vetorial é dado por ∂g ∂g F · dS = −P − Q + R dxdy. S D ∂x ∂y Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 137 / 168
  • 138. Integrais de superfícies Exemplo 42 Calcule S F · dS, onde F(x, y, z) = yi + xj + zk e S é a fronteira da região sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano z = 0. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 138 / 168
  • 139. Integrais de superfícies Exemplo 42 Calcule S F · dS, onde F(x, y, z) = yi + xj + zk e S é a fronteira da região sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano z = 0. Solução A superfície (fechada) tem a seguinte forma: Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 139 / 168
  • 140. Integrais de superfícies Exemplo 42 continuação Sobre a superfície S2 o vetor n = −k, de forma que F · (−k) = −z. Mas sobre o plano xy temos que z = 0, assim S2 F · dS = 0. Sobre S1 temos que ∂g ∂g F · dS = −P − Q + R dxdy = [1 − x2 − y2 + 4xy]dxdy S1 D ∂x ∂y D 2π 1 = [1 − r2 + 4r2 cos(θ) sin(θ)]rdrdθ 0 0 π 2π π = π− + cos(θ) sin(θ)dθ = . 2 0 2 Assim S F · dS = S1 F · d S + S2 F · d S = π. 2 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 140 / 168
  • 141. O teorema do divergente Já vimos que no cálculo de certas integrais de linha sobre um caminho fechado, podemos converter a integral de linha em uma integral dupla (Teorema de Green). Veremos agora sobre que condições poderemos converter uma integral de superfície em uma integral tripla. Teorema do divergente ou de Gauss Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então F · ndS = div FdV. S E Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 141 / 168
  • 142. O teorema do divergente Exemplo 43 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 142 / 168
  • 143. O teorema do divergente Exemplo 43 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + yj + xk através da esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. Solução Como a superfície em questão é fechada, uma esfera unitária, podemos aplicar o Teorema de Guass. Note que ∇ · F = 1. Assim 4π F · ndS = div FdV = dV = V(E) = . S E E 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 143 / 168
  • 144. O teorema do divergente Exemplo 44 2 Calcule S F · ndS, onde F(x, y, z) = xyi + (y2 + exz )j + sin(xy)k e S é a superfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planos z = 0, y = 0 e y + z = 2. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 144 / 168
  • 145. O teorema do divergente Exemplo 44 2 Calcule S F · ndS, onde F(x, y, z) = xyi + (y2 + exz )j + sin(xy)k e S é a superfície fechada limitada pelo cinlindro parabólico z = 1 − x2 e pelos planos z = 0, y = 0 e y + z = 2. Solução Note que ∇ · F = 3y, assim 1 1−x2 2−z F · dS = 3ydV = 3 ydydzdx S E −1 0 0 2 (2 − z)3 1−x 2 3 1 1−x 3 1 = (2 − z)2 dzdx = − dx 2 −1 0 2 −1 3 0 −1 1 2 −1 1 6 184 = [(x + 1)3 − 8]dx = (x + 3x4 + 3x2 − 7)dx = . 2 −1 2 −1 35 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 145 / 168
  • 146. O teorema do divergente Exemplo 45 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + xj + yk através do cilindro x2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 146 / 168
  • 147. O teorema do divergente Exemplo 45 Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = zi + xj + yk através do cilindro x2 + y2 = 1, limitado pelos planos z = 0 e z = 1. Solução Note que ∇ · F = 0, de forma que o fluxo de F através do cilindro é dado por F · ndS = div FdV = 0dV = 0. S E E Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 147 / 168
  • 148. O teorema de Stokes Veremos agora uma generalização do teorema de Green. Curva fronteira de uma superfície orientada Seja S uma superfície orientada positivamente. Uma curva C que delimita as bordas de S é chamada de curva fronteira. A curva fronteira tem orientação positiva se ao deslizarmos o dedo indicador a longo de C, o polegar apontar na mesma direção do vetor n de S. Do contrário, C tem oritentação negativa. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 148 / 168
  • 149. O teorema de Stokes Teorema de Stokes Seja S uma superfície orientada, lisa por partes, cuja fronteira é formada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientação positiva. Seja F um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta do R3 que contém S. Então F · dr = rot F · dS. C S ∂Q Note que se F = Pi + Qj, então rot F = ∂x − ∂P k, e que dS = kdxdy. Assim ∂y ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy, C D ∂x ∂y que é o teorema de Green. Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 149 / 168
  • 150. O teorema de Stokes Exemplo 46 Calcule C F · dr, onde F(x, y, z) = −y2 i + xj + z2 k e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 150 / 168
  • 151. O teorema de Stokes Exemplo 46 Calcule C F · dr, onde F(x, y, z) = −y2 i + xj + z2 k e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. Solução Note que i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z = (1 + 2y)k. −y2 x z2 Assim F · dr = rot F · dS = (1 + 2y)dxdy C S D 2π 1 2π 1 2 = [1 + 2r sin(θ)]rdrdθ = + sin(θ) dθ = π. 0 0 0 2 3 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 151 / 168
  • 152. O teorema de Stokes Exemplo 47 Use o teorema de Stokes para calcular S rot F · dS, onde F(x, y, z) = xzi + yzj + xyk e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 152 / 168
  • 153. O teorema de Stokes Exemplo 47 Use o teorema de Stokes para calcular S rot F · dS, onde F(x, y, z) = xzi + yzj + xyk e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy. Solução A curva fronteira C é obtida pela intersecção de x2 + y2 + z2 √ 4 com = x2 + y2 = 1, isto é, uma circunferência unitária no plano z = 3. Assim temos √ que r(t) =√cos(t)i + sin(t)j + 3k. Logo r (t) = − sin(t)i + cos(t)j e √ F(r(t)) = 3 cos(t)i + 3 sin(t)j + cos(t) sin(t)k. De forma que rot F · dS = F · dr S C 2π √ √ = [− 3 cos(t) sin(t) + 3 cos(t) sin(t)]dt = 0. 0 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 153 / 168
  • 154. O teorema de Stokes Exemplo 48 Use o teorema de Stokes para calcular C F · dr, onde F(x, y, z) = z2 i + y2 j + xk e C é o triangulo com vérteces (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) no sentido antihorário. Ver figura Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 154 / 168
  • 155. O teorema de Stokes Exemplo 48 Use o teorema de Stokes para calcular C F · dr, onde F(x, y, z) = z2 i + y2 j + xk e C é o triangulo com vérteces (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) no sentido antihorário. Solução Note que o plano que liga os vértices do triangulo é dada por z = 1 − x − y. Assim i j k ∂ ∂ ∂ ∇×F = ∂x ∂y ∂z = (2z − 1)j. z2 y2 x Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 155 / 168
  • 156. O teorema de Stokes Exemplo 48 continuação Note ainda que G = ∇ × F = (2z − 1)j, assim F · dr = rot F · dS C S ∂g ∂g = G · dS = −P − Q + R dxdy S D ∂x ∂y 1 1−x = (2z − 1)dxdy = (1 − 2x − 2y)dydx S 0 0 1 1 = (x2 − x)dx = − . 0 6 Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 156 / 168
  • 157. Cálculo vetorial Campo vetorial F(x, y) = −yi + xj Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 157 / 168
  • 158. Cálculo vetorial Campo vetorial ∇f (x, y) = 2xi + 2yj Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 158 / 168
  • 159. Integrais de linha Semicírculo unitário x2 + y2 = 1 Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 159 / 168
  • 160. Integrais de linha Caminho C como a união de C1 e C2 Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 160 / 168
  • 161. Integrais de linha Hélice x = cos(t), y = sin(t) e z = t Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 161 / 168
  • 162. Integrais de linha Campo vetorial F(x, y, z) = x2 i − xyj Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 162 / 168
  • 163. Integrais de linha Caminhos de integração C1 e C2 Voltar Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Maio 2011 163 / 168