1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito. 2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade. 3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.

1. 1
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Lista de Exercícios de Calculo I – Limites e Continuidade
1) O gráfico a seguir representa uma função f de
[6, 9] em . Determine:
a) f (2) b) lim ( )
2
f x
x  
c) lim ( )
2
f x
x  
d) lim ( )
2
f x
x
e) f (2) f) f (7)
2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura
constante. A medida que o gás é comprimido, o
volume V decresce até que atinja uma certa
pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás
assume forma líquida. Observando a figura a
seguir, determine:
a) V
p  100
lim b) V
p  100
lim c) V
p 100
lim

3) Dada a função f definida por:



 

 

2 , 1
2, 1
4 , 1
( )
2
2
x se x
se x
x se x
f x .
Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite quando x
tende a 1.
4) Um paciente em um hospital recebe uma dose
inicial de 200 miligramas de um medicamento. A
cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg.
A quantidade f(t) do medicamento presente na
corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a
seguir. Determine e interprete:
a) lim ( )
8
f t
t  
b) lim ( )
8
f t
p  
5) O gráfico a seguir representa uma função f de
[3, 4[ em . Determine:
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR

2. 2
a) f (1) b) lim ( )
1
f x
x  
c) lim ( )
1
f x
x  
6) Calcule o limite, se existir:
a) lim( 5 1) 3 2
1
  

x x x
x
b) lim( 2 4 3) 3 2
1
  

x x x
x
c) lim (4x 2x 2x 1) 3 2
x 2
  

d)
x 5
x 5x 4
lim 2
2
x 3 
 

e)
x 2
x 7x 10
lim
2
x 2 
 

f)
x 3
x 2x 3
lim
2
x 3 
 

g)
x x
3x x 5x 2x
lim 2
4 3 2
x 0 
  

h)
x 2x 1
x 4x 3
lim 5
3
x 1  
 

i)
x 6
x 36
lim
2
x 6 


j)
x 3x 2
x 1
lim 2
2
x 1  


k)
x 2
x 32
lim
5
x 2 


l)
x 10x 36x 54x 27
x 8x 18x 27
lim 4 3 2
4 3 2
x 3    
  

m)
2x 4
x 2
lim
x 2 


n)
x 2
x 4
lim
x 4 


o)
2 4 x
x
lim
x0  
p)
2 2 x
x
lim
x0  
q)
x 1
2 3 x
lim
x 1 
 

r)
x 1 1
x
lim
x0  
s)
x 2
1 2x 3
lim
x 4 
 

t)
3x 5x 1 1
2x 3x 2 2
lim
2
2
x 2   
  

7) Calcule os limites laterais, se existir:
a)
h
h h
h
4 5 5
lim
2
0
  
 
b)
2
2
lim ( 3)
2 


  x
x
x
x

3. 3
c)
2
2
lim ( 3)
2 


  x
x
x
x
8) Calcule os limites no infinito, se existir:
a)
3 4
3
lim 2
2

 
 x
x x
x
b)
5 3
3 2
lim 2 

 x
x
x
c)
2 6
3
lim 2 

 x
x
x
d)
x
x
x 

 2
4 3
lim
e) x x
x
 

lim 1 2
f) x x x
x
 

2 lim
g)
x x
1
lim

h)
x x
1
lim 2 

i) lim 4 2  

x x
x
j) x
x
e

lim
k)
2
2
1 lim 




x x
l)
3
1
1 lim 




x x
m)
 


 





x
x
e
1
lim 3
n) lim ln 1 2 

x
x
o) lim ln 1 2 

x
x
p) lim 1 2  

x x
x
9) Se 4 9 ( ) 4 7 2 x   f x  x  x  para x  0,
encontre lim ( ) 4 f x x .
10) Se 2 ( ) 2 4 2 x  g x  x  x  para todo x ,
encontre lim ( ) 1 g x x .
11) Encontre as assíntotas verticais e horizontais
das funções abaixo:
a)
1
1


x
y
b)
1
2 1
2
2

 

x
x x
y
c)
3
4



x
x
y
d)
1 2 

x
x
y
12) Calcule o limite:
a) x
x
lim2

g) x
x
3 limlog

b)
x
x




 3
1
lim h) x
x
3
0
lim log
 
c)
x
x




 3
1
lim
0
i) x
x
limln

d) 4 1
1
lim2 

x
x
j) x
x
lim ln 2
0 
e) senx
x
lim2
6


k) x
x
2
1 limlog

f) 2 1
4 2 2
1
3
5 3
lim3  
 

x x
x x x
x
l) x
x
2
1
0
lim log
 
13) Mostre que:
a) 12
4
0
lim(1 3x) x e
x
 

b) x 2
1
x 0
lim(1 2x)  e

c) 3 3
1
x
1
x 0
e e
3
x
1 lim   





d) 7
4
x
1
x 0
e
7
4x
1 lim  





e)
e
1
lim(1 x) e x 1
1
x 0
   

f) π
1
x
1
x 0
e
π
x
1 lim  





14) Calcule os seguintes limites:
a)
2
n
1
lim 1

 





n
n

4. 4
b)
n
3
lim 1
n
n





 
c)
1 x
x
lim
x
x




  
d)
x
5
lim 1
1

 





x
x
e)   sen x
sen x
x
1
lim 1

 
15) Calcule os limites abaixo:
a)
 
 
x 1
ln 2 x
lim Fazer x+ 1 = u
 x+1

b)
 
 
x 2
ln 3 x
lim Fazer x+ 2 = u
 x+2

c)
x
x 0
2 1
lim
 x

d)
senx
x 0
e 1
lim
 senx

e)
 2
x 0
ln 1 x
lim
 x

f)
3
x 1
ln x
lim
 x 1
g)
 cossec x
x 0
lim 1+senx
( Fazer sen x = u)

h)
1
x 4
x 4
1+x
lim
5


 
 
 
i)
x
x 0 x
10 1
lim
 5 1


(dividir por x Num. e Den.)
j)
x
x
2
lim 1+
 x
 
 
 
16) Seja




 

, 2
2
3 , 2
( )
x
x
x x
f x .
a) Determine lim ( ) e lim ( )
2 2
f x f x
x x    
b) Existe lim ( )
2
f x
x
? Se existe, qual é? Se não, por
quê?
c) Determine lim ( )
4
f x
x  
e lim ( )
4
f x
x  
.
d) Existe lim ( )
4
f x
x
? Se existe, qual é? Se não, por
quê?
17) Determine o limite das funções
trigonométricas, se existirem:
a)
x x
1
limcos

b)


 cos
lim
0
c)
x
x
x 5
sen
lim
0
d)
 




 




 
2
cos
lim
2
 
x
x
x
e)


 

 x
x
x
sen sen
lim
f)
0 2 2
sen (1 cos )
lim
x
x x
x


g)
t 2t
sen (3t)
lim
0
h)
sen (3 )
sen (2 )
lim
0 x
x
x
i)
x
x
x
sen ( )
lim
2
0
j)
x
x
x
tg ( )
lim
2
0
k)
    t
t
t
sen ( )
lim
18) Ache os limites lim f (x)
x a 
, lim f (x)
x a 
e
lim f (x)
xa
, caso existam.
a) ; 4
4
4
( ) 


 a
x
x
f x
b) ; 5
5
5
( )  


 a
x
x
f x
c) ; 8
8
1
( )  

 a
x
f x

5. 5
19) Para a função representada graficamente na
Figura a seguir, determine, se existir, cada item
abaixo. Caso não exista, justifique.
g) f(4) h)f(0) i) f(-5)
d) lim ( ) e) lim ( ) f) lim ( )
) lim ( ) b) lim ( ) c) lim ( )
x 4 4 4
0 0 0
-
f x f x f x
a f x f x f x
x x
x x x
  
  

 
20) Calcule os seguintes limites laterais:
9
f ) lim
36
6
e) lim
4
2
) lim
4
c) lim
2
b) lim
4
2
) lim
2
3
2
6
2
2
2 4
2
2
 



  

  
  
  
  
x
x
x
x
x
x
d
x
x
x
x
x
x
a
x x x
x x x
21) Seja
 





 
  

2, se 2
1, se 1 2
1 , se 0 1
( )
2
x
x
x x
f x
a) Quais são o domínio e a imagem de f ?
b) Em que pontos c existe lim f (x)
xc
?
c) Em quais pontos existe apenas o limite à
esquerda?
d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita?
22) Calcule
a) lim (5x 3x 2x 1) 3 2
x
  

b) lim (2x x 2x 1) 5 4 2
x
  

c) lim ( 3x 2x 1) 4 2
x
  

d) lim (3x 5x 8) 4 2
x
 

e) lim ( 5x 3x 2) 3
x
  

f) lim ( x 3x 2) 2
x
  

g)
x x 3
2x 3x x 1
lim 2
3 2
x  
  

h)
x 1
2x 1
lim 2
2
x 


i)
x 3
3x
lim x 2 
j)
9x 5x x 3
3x 5x 2x 1
lim 3 2
3 2
x   
  

k)
4x 8x 7
2x 5x 8
lim 5
3 2
x  
 

l)
x 7
5x 2x 1
lim
3 2
x 
 

m)
3 3
2
x (x 1) x
x x 1
lim
 
 

n)
2x(3x 1)(4x 1)
(3x 2)
lim
3
x  


o)
x 1
x x 1
lim
2
x 
 

p)
x 1
x x 1
lim
2
x 
 

q)
x 1
2x 3x 5
lim
4
2
x 
 

r)
x 1
2x 3x 5
lim
4
2
x 
 

23) Responda:
a) Do gráfico de f mostrado abaixo, diga os
números nos quais f é descontínua e explique por
quê.
b) Para cada um dos números indicados na parte
(a), determine se f é contínua à direita ou à
esquerda, ou nenhum deles.

6. 6
24) Esboce o gráfico de uma função que é contínua
em toda parte, exceto em x  3 e é contínua à
esquerda em x  3.
25) Esboce o gráfico de uma função que tenha
descontinuidade de salto em x  2 e um
descontinuidade removível em x  4 , mas seja
contínua no restante.
26) Se f e g forem contínuas, com f (3)  5 e
lim[2 ( ) ( )] 4
3
 

f x g x
x
, encontre g(3) .
27) Use a definição de continuidade e propriedades
dos limites para demonstrar que cada uma das
funções abaixo é contínua em um dado número a.
a) ( ) 7 , 4 2 f x  x   x a 
b) ( ) ( 2 ) , 1 3 4 f x  x  x a  
c) , 1
1
2 3
( ) 3
2



 a
x
x x
f x
28) Explique por que a função é descontínua no
número dado a. Esboce o gráfico da função.
a) f (x)  ln x  2, a  2
b) , 1
2, se 1
, se 1
1
1
( ) 





  a
x
x
f x x
c) , 0
, se 0
, se 0
( )
2






 a
x x
e x
f x
x
d) , 1
1, se 1
, se 1
( ) 2 1
2








 a
x
x
x
x x
f x
e) , 0
1 , se 0
0, se 0
cos , se 0
( )
2




 


 a
x x
x
x x
f x
29) Para quais valores da constante c a função f
é contínua em (,) ?



 
 

, se 2
2 , se 2
( )
3
2
x cx x
cx x x
f x
30) Encontre os valores de a e b que tornam f
contínua em toda parte.
 


 



  
   




2 , se 3
3, se 2 3
, se 2
2
4
( ) 2
2
x a b x
ax bx x
x
x
x
f x

7. 7
Respostas
1) a) 3 b) 2 c) 5 d) não existe e) 0 f) 0
2) a) 0,8 b) 0,4 c) não existe
3)
lim ( ) 3
1


f x
x
4) a) 150 b) 250
5) a) 4 b) -2 c) 4
6) a) 8 b) 4 c) -5-6 2 d) 5
e) -3 f) -6 g) -2 h) -1/3
i) 12 j) -2 k) 80 l) 2
m) 0 n) 4 o) 4 p) 2 2
q) -1/4 r) 2 s) 4/ 3 t) 5/ 14
7) a)
5
2
b) 1 c) -1
8) a)1/3 b)0 c)0 d) 2 e)0
f) 1 g) 0 h)2 i) + j) 0
k)1 l) 1 m) 4 n) + o) +
p) 0
9) 7 10) 2
11)

8. 8
d) Verticais: x = 1 e x = -1
12) a)  b)  c) 1 d) 8
e) 2 f) 6 g)  h) 
i)  j)  k)  l) 
14) a) e b) e3 c) e-1 d) e5 e) e
15) a) 1 b) 1 c) 1/ e 2 log d) 1 e) 2
f) 3 g) e h) 5 e i) 1/ log5
j) e2
16) a) lim ( ) 2
2

 
f x
x
e lim ( ) 1
2

 
f x
x
b) Não existe lim ( )
2
f x
x
, pois os limites
laterais são diferentes
c) lim ( ) 3
4

 
f x
x
e lim ( ) 3
4

 
f x
x
d) lim ( ) 3
4


f x
x
, pois os limites laterais são
iguais.
17) a) 1 b) 0 c) 1/5 d) 1 e)-1
f) 0 g) 3/2 h) 2/3 i) 0 j) 0
k) -1
18) a) lim ( ) 1
4

 
f x
x
, lim ( ) 1
4
 
 
f x
x
e lim ( )
4
f x
x

b) lim ( ) 1
5

 
f x
x
, lim ( ) 1
5
 
 
f x
x
e lim ( )
5
f x
x

c)  
 
lim ( )
8
f x
x
,  
 
lim ( )
8
f x
x
e lim ( )
8
f x
x

19) a) +  b) -  c) não existe
d) -  e) -  f) não existe
g) não existe h) não existe
i) não existe j) não existe
20) a) - b)  c) -
d)  e)  f) 
21) a) D(f) = [0,2] e Im(f) = [0,1] U{ 2}
b) 0 < c < 1 e 1 < c < 2
c) c = 2
d) c = 0
22) a)  b)  c)  d) 
e)  f)  g)  h)2
i) 0 j)1/3 k)0 l) 
m) 1/3 n) 9/8 o)1 p) 1
q) 2 r) 2
24)
26) g(3) = 6
28) a) c)
e)
29) c = 2/3 30) a = b = 1/2