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FUNÇÃO EXPONENCIAL 1 www.ricardinhomatematica.com.br
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Considere a equação 2
x
= 16. Nela a variável aparece
como expoente. Uma equação em que isso ocorre é
denominada equação exponencial. Para compreender bem
esse assunto, vamos recordar algumas propriedades.
Sendo a ∈∈∈∈ R e a ≠≠≠≠ 0 e m ∈∈∈∈ Z. Tem-se que:
a
m
= a. a. a. a. a..... a.
←←←← m fatores →→→→
a) a
0
= 1 para a ≠ 0
b) a a
m
n mn
=
c) a
-n
=
1
an
d) a
m
.a
n
= a
m + n
e)
a
a
a
m
n
m n
= −
f) (a
m
)
n
= a
m.n
g) (a.b)
n
= a
n
.b
n
h)
a
b
a
b
n n
n





 =
Definição:
Chama-se equação exponencial toda equação que pode
ser reduzida a forma a
x
= b, com 0 < a ≠ 1.
Exemplos: a) 2
x
= 16 b) 3
x - 1
= 27
Para resolver tais equações é necessário transformar a
equação dada em:
• Igualdade de potência de mesma base.
a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) =g(x)
• Potências de expoentes iguais. a
f(x)
= b
f(x)
⇔ a = b
sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R
*
+.
Exercícios Resolvidos
1) Resolver a equação 2
x
= 128
Resolução: Transformando a equação dada em
igualdade de mesma base temos:
2
x
= 2
8
Logo temos que x = 8
2) Resolver a equação 2
x
=
1
16
Resolução: Sabemos que 1
16
é o mesmo que 2−4
.
Então: 2
x
= 2−4
Portanto x = −−−−4
Algumas equações exponenciais não são possíveis
transformar em igualdade de bases iguais de imediato.
Nestes casos é necessário utilizar uma variável auxiliar.
Veja os exercícios resolvidos:
1) Resolver a equação 3
x − 1
+ 3
x + 1
= 90
Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte
forma:
3
x
.3 −1
+ 3
x
.3
1
= 90 fazendo 3
x
= y, temos:
y.
1
3
+ y.3 = 90
y + 9y = 270
10y = 270
y = 27
Mas 3
x
= y então 3
x
= 27 ∴ x = 3
2) Resolver a equação 3
2x
– 4.3
x
+ 3 = 0
Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte
forma.
(3
x
)
2
– 4.3
x
+ 3 = 0 fazendo 3
x
= y
temos:
y
2
– 4y + 3 = 0
resolvendo a equação temos:
y ´ = 3 y ´´ = 1
Porém 3
x
= y, então
3
x
= 3 ou 3
x
= 1
∴ x = 1 ou x = 0
EXERCÍCIOS
01) Resolva, em R, as equações a seguir:
a) 2
x
= 128
b) 2
x
=
1
16
c) 3
x − 1
+ 3
x + 1
= 90
d) 25.3
x
= 15
x
é:
e) 2
2x
−−−− 2
x + 1
+ 1 = 0
f) 5
x + 1
+ 5
x
+ 5
x - 1
= 775
FUNÇÃO EXPONENCIAL 2 www.ricardinhomatematica.com.br
02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação
3.9
x
− 26.3
x
− 9 = 0, é:
03) ( UFSC ) O valor de x que satisfaz a equação
5
5
1
125
4 12
3 8
x
x
−
+ = é:
04) ( UFSC ) Sendo: 7
x + 1
+ 7
x
- 34.256 = 100.200,
determine o valor de 18x.
05) Resolvendo a equação 4
x
+ 4 = 5.2
x
, obtemos:
a) x1 = 0 e x2 = 1
b) x1 = 1 e x2 = 4
c) x1 = 0 e x2 = 2
d) x1 = x2 = 3
06) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal
que 2 2
2
2x x
= +
, então ( )xx
x
x 2
é igual a:
07) A maior raiz da equação 4
|3x −−−− 1|
= 16
08) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação
9
4
3
1
1
2
1
x
x
−
−− = − é:
09) A soma das raízes da equação
2
3
1
13 2
3
2 1
1





 + =
−
+
x x
x
.
é:
10) Resolver, em reais, as equações abaixo:
a) 5
x
+ 0,2
x
= 5,2
b) 5.4
x
+ 2.5
2x
= 7.10
x
GABARITO – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 f) 03 2) 02 3) 17
4) 90 5) c 6) 02 7) 01 8) 01
9) 00 10) a) {-1, 1} b) {0, 1}
FUNÇÃO EXPONENCIAL 3 www.ricardinhomatematica.com.br
AULA 02
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1. Função Exponencial
Definição:
Denomina-se função exponencial de base a, com a > 0 e
a ≠ 1 a função f de R → R definida por:
f(x) = a
x
Exemplos: a) f(x) = 2
x
a = 2
b) f(x) = 3
x
a = 3
c) f(x) =
x






2
1
a =
1
2
Gráfico:
(a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
Note que para dois valores distintos de x, tem-se imagens
distintas, logo a função exponencial é injetora. Se
definirmos f(x) = a
x
de R em
*
R+ , ela também se torna
sobrejetora, logo ela será bijetora. Assim sendo ela admite
inversa: a função logarítmica f(x) = logax, que será
estudada mais adiante.
Exercícios Resolvidos:
1) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2
x
e definir a
imagem dessa função.
Im(f) = {y ∈ R| y > 0}
2) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2
x
– 1 e definir a
imagem dessa função.
Im(f) = {y ∈ R| y > - 1}
3) Esboçar o gráfico da função f(x) =
x






2
1 e definir a
imagem dessa função.
Im(f) = {y ∈ R| y > 0}
2) Esboçar o gráfico da função f(x) =
x






3
1
+ 1 e definir
a imagem dessa função.
Im(f) = {y ∈ R| y > 1}
FUNÇÃO EXPONENCIAL 4 www.ricardinhomatematica.com.br
2. Inequação Exponencial
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos
respeitar as seguintes propriedades.
• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a
relação de desigualdade se mantém.
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) > g(x)
• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e
1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade
se inverte.
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) < g(x)
Exercícios Resolvidos
1) Resolver a inequação: 2
2x − 1
> 2
x + 1
Resolução: Como a base é maior que 1 (a > 1) a
desigualdade se mantém:
2
2x − 1
> 2
x + 1
2x − 1 > x + 1
x > 2
S = { x∈ R| x > 2 }
2) Resolver a inequação: (0,1)
5x − 1
< (0,1)
2x + 8
Resolução: Como a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1) a
desigualdade se inverte.
(0,1)
5x − 1
< (0,1)
2x + 8
5x − 1 > 2x + 8
3x > 9
x > 3
S = { x∈ R| x > 3 }
3) Determinar o domínio da função 16
2
1
)( −= 





x
xf
Resolução: Numa função irracional de índice par, devemos
impor a condição de que o radicando tem que ser maior ou
igual a zero, logo:
16
2
1
−





x
≥ 0
16
2
1
≥





x
4
2
1
2
1
−
≥ 











x
→ x ≤ – 4
D = { x∈ R| x ≤ – 4}
EXERCÍCIOS
01) ( PUC – RS – 2010 ) A função exponencial é usada
para representar as frequências das notas musicais.
Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a
função f ( x ) = e
x
+ 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
02) ( UEL-PR ) A função real definida por f(x) = a
x
, com
a > 0 e a ≠ 1:
a) só assume valores positivos
b) assume valores positivos somente se x > 0
c) assume valores negativos para x < 0
d) é crescente para 0 < a < 1
e) é decrescente para a > 1
FUNÇÃO EXPONENCIAL 5 www.ricardinhomatematica.com.br
03) Dadas f(x) =
1
2






−x
e as proposições:
I) f(x) é crescente
II) f(x) é decrescente
III) f(3) = 8
IV) ( 0,1 ) ∈ f(x)
podemos afirmar que:
a) todas as proposições são verdadeiras
b) somente II é falsa
c) todas são falsas
d) II e III são falsas
e) somente III e IV são verdadeiras
04) Resolva, em R, as inequações a seguir:
a) 2
2x − 1
> 2
x + 1
b) (0,1)
5x − 1
< (0,1)
2x + 8
c)
31
4
7
4
7
2






<





−x
05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por
y =
243
3
1
1
−





x
, é:
06) ( UFSM ) Num raio de x km, marcado a partir de uma
escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o
número de famílias que recebem menos de 4 salários
mínimos é dado por N(x) = k.2
2x
, em que k é uma
constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação
num raio de 5km da escola, o número que você
encontraria delas, num raio de 2km da escola, seria:
FUNÇÃO EXPONENCIAL 6 www.ricardinhomatematica.com.br
07) ( UFPR – 09 ) Em estudos realizados numa área de
proteção ambiental, biólogos constataram que o
número N de indivíduos de certa espécie primata está
crescendo em função do tempo t (dado em anos),
segundo a expressão:
t
tN
1,0
2.35
600
)(
−
+
=
Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início
desse estudo e que essa expressão continue sendo
válida com o passar dos anos, considere as seguintes
afirmativas:
1. O número de primatas dessa espécie presentes na
reserva no início do estudo era de 75 indivíduos.
2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de
primatas dessa espécie será superior a 110
indivíduos.
3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120
indivíduos.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
08) Determine o domínio da função
7
5
)4,1()( 52
−= −x
xf
09) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto.
01. A função f(x) = a
x
, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o
eixo das abscissas no ponto (1,0)
02. A solução da equação 2
x
.3
x
=
3
36 pertence ao
intervalo [0, 1]
04. Dada a função f(x) = 4
x
, então D = R e Im =
*
+R
08. A função f(x) = ( )x
2 é crescente
16. ba
ba
<⇒> 











2
1
2
1
10) ( UDESC-05 ) O conjunto solução da desigualdade
122 2
2
1
ln
2
1
ln
−+






<





xx
é:
a) S = {x ∈ R tal que – 1 < x < 3}
b) S = {x ∈ R tal que – 1 ≤ x ≤ 3}
c) S = {x ∈ R tal que x < – 1 ou 3 < x }
d) S = {x ∈ R tal que – 3 < x < 1}
e) S = {x ∈ R tal que 1 < x < 3}
FUNÇÃO EXPONENCIAL 7 www.ricardinhomatematica.com.br
11) Seja f = R
*
em R, onde f(x) = 2
1
x
. O conjunto dos
valores de x para os quais f(x) <
1
8
12) ( UEL-PR ) O crescimento de uma colônia de bactérias
é descrito por P(t) = α.4λ t
onde t ≥ 0 é o tempo, dado
em horas, e P(t) é a população de bactérias no
instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da
colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias
da colônia será:
a) 6 α
b) 8 α
c) 9 α
d) 8 α − 4
e) α + 8
13) ( UEPG-PR ) Dadas as funções definidas por
f(x) =
x






5
4
e g(x) =
x






4
5
, é correto afirmar que:
01. os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam
02. f(x) é crescente e g(x) é decrescente
04. g(-2).f(-1) = f(1)
08. f(g(0)) = f(1)
16. f(-1) + g(1) =
2
5
14) ( UERJ ) A inflação anual de um país decresceu no
período de 7 anos. Esse fenômeno pode ser
representadopor uma função exponencial do tipo
f (x) = ab
x
, conforme o gráfico a seguir. Determine a
taxa de inflação desse país no 4°ano de declínio.
FUNÇÃO EXPONENCIAL 8 www.ricardinhomatematica.com.br
15) Um grande lago está sendo infestado por algas. A área
do lago afetada pelas algas cresce exponencialmente
de acordo com a função f(x) = 10.2
x
, na qual x é o
tempo em meses após a observação inicial e f
representa a área em metros quadrados.
a) Qual a área, em metros quadrados, afetada pelas
algas após dois meses?
b) Em quantos meses a área afetada pelas algas
será de 320 m
2
16) ( ACAFE – 2010.2 ) O número de bactérias de uma
cultura, t horas após o início de um experimento, é
dado por: B(t) = BO . 2
2t
em que BO é o número de
bactérias quando t = 0 . Sabendo que após 2 horas do
início do experimento havia 19200 bactérias na
cultura, o valor de BO é igual a:
a) 4800
b) 19200
c) 2400
d) 1200
17) Para que valores de x a desigualdade e
x
> x é
verdadeira?
18) ( ACAFE – 2011 ) A Curva de Aprendizagem é um
conceito criado por psicólogos que constataram a
relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a
quantidade de treinamento ou experiência possuída por
este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem
é dado pela expressão Q =1512 − 2
−0,5t +16
em que:
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente
por um funcionário.
T = meses de experiência.
Em quantos meses um funcionário produzirá 1000
peças mensalmente?
a) 14 meses
b) 12 meses
c) 16 meses
d) 13 meses
FUNÇÃO EXPONENCIAL 9 www.ricardinhomatematica.com.br
19) Suponha que o número de indivíduos de uma
determinada população seja dado pela função:
f(t) = a . 2
-bt
onde a variável t é dada em anos e a e b
são constantes. Sabe-se que a população inicial (t =
0) é igual a 1024 indivíduos e a população após 10
anos é a metade da população inicial. Com base no
exposto, determine a soma dos números associados
às proposições VERDADEIRAS:
01. a constante a vale 512.
02. a constante b vale 0,1.
04. o tempo mínimo para que a população se reduza
a 1/8 da população inicial é 30 anos.
08. o gráfico da função f(t) para t ∈[0, 40] está
indicado pela figura abaixo
20) ( UFSM – 2010 ) O gráfico a seguir retrata o
comportamento da evolução das populações rural e
urbana no Brasil. Se for considerado o tempo t = 0 (t é
dado em anos) iniciando em 1970, como sugere o
gráfico, pode-se obter um modelo matemático
aproximado que calcula a diferença, em milhões de
habitantes, entre a população urbana e a rural em
relação ao tempo, diferença essa dada pela fórmula
d(t) = 150 – a.3
bt
onde a,b são constantes reais a
serem determinadas.
Baseando-se nos valores do gráfico, pode-se
afirmar que a diferença entre a população
urbana e a rural em 2030 será,
aproximadamente, de:
a) 113 milhões.
b) 118 milhões.
c) 123 milhões.
d) 128 milhões.
e) 133 milhões.
GABARITO - FUNÇÃO EXPONENCIAL
1) a 2) a 3) b 4 ) a) S = { x∈ R| x > 2 }
b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 }
5) ( −∞, −5 [ 6) 96 7) c
8) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 9) 30 10) a 11) ] -1/3, 0 [
12) c 13) 28 14) 60% 15) a) 40m2
b) 5 meses
16) d 17) ℜ 18) a 19) 14 20) e

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Funcao exponencial

  • 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL 1 www.ricardinhomatematica.com.br EQUAÇÃO EXPONENCIAL Considere a equação 2 x = 16. Nela a variável aparece como expoente. Uma equação em que isso ocorre é denominada equação exponencial. Para compreender bem esse assunto, vamos recordar algumas propriedades. Sendo a ∈∈∈∈ R e a ≠≠≠≠ 0 e m ∈∈∈∈ Z. Tem-se que: a m = a. a. a. a. a..... a. ←←←← m fatores →→→→ a) a 0 = 1 para a ≠ 0 b) a a m n mn = c) a -n = 1 an d) a m .a n = a m + n e) a a a m n m n = − f) (a m ) n = a m.n g) (a.b) n = a n .b n h) a b a b n n n       = Definição: Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma a x = b, com 0 < a ≠ 1. Exemplos: a) 2 x = 16 b) 3 x - 1 = 27 Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em: • Igualdade de potência de mesma base. a f(x) = a g(x) ⇔ f(x) =g(x) • Potências de expoentes iguais. a f(x) = b f(x) ⇔ a = b sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R * +. Exercícios Resolvidos 1) Resolver a equação 2 x = 128 Resolução: Transformando a equação dada em igualdade de mesma base temos: 2 x = 2 8 Logo temos que x = 8 2) Resolver a equação 2 x = 1 16 Resolução: Sabemos que 1 16 é o mesmo que 2−4 . Então: 2 x = 2−4 Portanto x = −−−−4 Algumas equações exponenciais não são possíveis transformar em igualdade de bases iguais de imediato. Nestes casos é necessário utilizar uma variável auxiliar. Veja os exercícios resolvidos: 1) Resolver a equação 3 x − 1 + 3 x + 1 = 90 Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte forma: 3 x .3 −1 + 3 x .3 1 = 90 fazendo 3 x = y, temos: y. 1 3 + y.3 = 90 y + 9y = 270 10y = 270 y = 27 Mas 3 x = y então 3 x = 27 ∴ x = 3 2) Resolver a equação 3 2x – 4.3 x + 3 = 0 Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte forma. (3 x ) 2 – 4.3 x + 3 = 0 fazendo 3 x = y temos: y 2 – 4y + 3 = 0 resolvendo a equação temos: y ´ = 3 y ´´ = 1 Porém 3 x = y, então 3 x = 3 ou 3 x = 1 ∴ x = 1 ou x = 0 EXERCÍCIOS 01) Resolva, em R, as equações a seguir: a) 2 x = 128 b) 2 x = 1 16 c) 3 x − 1 + 3 x + 1 = 90 d) 25.3 x = 15 x é: e) 2 2x −−−− 2 x + 1 + 1 = 0 f) 5 x + 1 + 5 x + 5 x - 1 = 775
  • 2. FUNÇÃO EXPONENCIAL 2 www.ricardinhomatematica.com.br 02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação 3.9 x − 26.3 x − 9 = 0, é: 03) ( UFSC ) O valor de x que satisfaz a equação 5 5 1 125 4 12 3 8 x x − + = é: 04) ( UFSC ) Sendo: 7 x + 1 + 7 x - 34.256 = 100.200, determine o valor de 18x. 05) Resolvendo a equação 4 x + 4 = 5.2 x , obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3 06) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal que 2 2 2 2x x = + , então ( )xx x x 2 é igual a: 07) A maior raiz da equação 4 |3x −−−− 1| = 16 08) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação 9 4 3 1 1 2 1 x x − −− = − é: 09) A soma das raízes da equação 2 3 1 13 2 3 2 1 1       + = − + x x x . é: 10) Resolver, em reais, as equações abaixo: a) 5 x + 0,2 x = 5,2 b) 5.4 x + 2.5 2x = 7.10 x GABARITO – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 f) 03 2) 02 3) 17 4) 90 5) c 6) 02 7) 01 8) 01 9) 00 10) a) {-1, 1} b) {0, 1}
  • 3. FUNÇÃO EXPONENCIAL 3 www.ricardinhomatematica.com.br AULA 02 FUNÇÃO EXPONENCIAL 1. Função Exponencial Definição: Denomina-se função exponencial de base a, com a > 0 e a ≠ 1 a função f de R → R definida por: f(x) = a x Exemplos: a) f(x) = 2 x a = 2 b) f(x) = 3 x a = 3 c) f(x) = x       2 1 a = 1 2 Gráfico: (a > 1) → função crescente (0 < a < 1) → função decrescente Note que para dois valores distintos de x, tem-se imagens distintas, logo a função exponencial é injetora. Se definirmos f(x) = a x de R em * R+ , ela também se torna sobrejetora, logo ela será bijetora. Assim sendo ela admite inversa: a função logarítmica f(x) = logax, que será estudada mais adiante. Exercícios Resolvidos: 1) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 x e definir a imagem dessa função. Im(f) = {y ∈ R| y > 0} 2) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 x – 1 e definir a imagem dessa função. Im(f) = {y ∈ R| y > - 1} 3) Esboçar o gráfico da função f(x) = x       2 1 e definir a imagem dessa função. Im(f) = {y ∈ R| y > 0} 2) Esboçar o gráfico da função f(x) = x       3 1 + 1 e definir a imagem dessa função. Im(f) = {y ∈ R| y > 1}
  • 4. FUNÇÃO EXPONENCIAL 4 www.ricardinhomatematica.com.br 2. Inequação Exponencial Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades. • Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém. a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x) • Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade se inverte. a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x) Exercícios Resolvidos 1) Resolver a inequação: 2 2x − 1 > 2 x + 1 Resolução: Como a base é maior que 1 (a > 1) a desigualdade se mantém: 2 2x − 1 > 2 x + 1 2x − 1 > x + 1 x > 2 S = { x∈ R| x > 2 } 2) Resolver a inequação: (0,1) 5x − 1 < (0,1) 2x + 8 Resolução: Como a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1) a desigualdade se inverte. (0,1) 5x − 1 < (0,1) 2x + 8 5x − 1 > 2x + 8 3x > 9 x > 3 S = { x∈ R| x > 3 } 3) Determinar o domínio da função 16 2 1 )( −=       x xf Resolução: Numa função irracional de índice par, devemos impor a condição de que o radicando tem que ser maior ou igual a zero, logo: 16 2 1 −      x ≥ 0 16 2 1 ≥      x 4 2 1 2 1 − ≥             x → x ≤ – 4 D = { x∈ R| x ≤ – 4} EXERCÍCIOS 01) ( PUC – RS – 2010 ) A função exponencial é usada para representar as frequências das notas musicais. Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a função f ( x ) = e x + 2 é: a) b) c) d) e) 02) ( UEL-PR ) A função real definida por f(x) = a x , com a > 0 e a ≠ 1: a) só assume valores positivos b) assume valores positivos somente se x > 0 c) assume valores negativos para x < 0 d) é crescente para 0 < a < 1 e) é decrescente para a > 1
  • 5. FUNÇÃO EXPONENCIAL 5 www.ricardinhomatematica.com.br 03) Dadas f(x) = 1 2       −x e as proposições: I) f(x) é crescente II) f(x) é decrescente III) f(3) = 8 IV) ( 0,1 ) ∈ f(x) podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras b) somente II é falsa c) todas são falsas d) II e III são falsas e) somente III e IV são verdadeiras 04) Resolva, em R, as inequações a seguir: a) 2 2x − 1 > 2 x + 1 b) (0,1) 5x − 1 < (0,1) 2x + 8 c) 31 4 7 4 7 2       <      −x 05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por y = 243 3 1 1 −      x , é: 06) ( UFSM ) Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por N(x) = k.2 2x , em que k é uma constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação num raio de 5km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2km da escola, seria:
  • 6. FUNÇÃO EXPONENCIAL 6 www.ricardinhomatematica.com.br 07) ( UFPR – 09 ) Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos de certa espécie primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão: t tN 1,0 2.35 600 )( − + = Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início desse estudo e que essa expressão continue sendo válida com o passar dos anos, considere as seguintes afirmativas: 1. O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo era de 75 indivíduos. 2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de primatas dessa espécie será superior a 110 indivíduos. 3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120 indivíduos. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 08) Determine o domínio da função 7 5 )4,1()( 52 −= −x xf 09) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto. 01. A função f(x) = a x , 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0) 02. A solução da equação 2 x .3 x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1] 04. Dada a função f(x) = 4 x , então D = R e Im = * +R 08. A função f(x) = ( )x 2 é crescente 16. ba ba <⇒>             2 1 2 1 10) ( UDESC-05 ) O conjunto solução da desigualdade 122 2 2 1 ln 2 1 ln −+       <      xx é: a) S = {x ∈ R tal que – 1 < x < 3} b) S = {x ∈ R tal que – 1 ≤ x ≤ 3} c) S = {x ∈ R tal que x < – 1 ou 3 < x } d) S = {x ∈ R tal que – 3 < x < 1} e) S = {x ∈ R tal que 1 < x < 3}
  • 7. FUNÇÃO EXPONENCIAL 7 www.ricardinhomatematica.com.br 11) Seja f = R * em R, onde f(x) = 2 1 x . O conjunto dos valores de x para os quais f(x) < 1 8 12) ( UEL-PR ) O crescimento de uma colônia de bactérias é descrito por P(t) = α.4λ t onde t ≥ 0 é o tempo, dado em horas, e P(t) é a população de bactérias no instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias da colônia será: a) 6 α b) 8 α c) 9 α d) 8 α − 4 e) α + 8 13) ( UEPG-PR ) Dadas as funções definidas por f(x) = x       5 4 e g(x) = x       4 5 , é correto afirmar que: 01. os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam 02. f(x) é crescente e g(x) é decrescente 04. g(-2).f(-1) = f(1) 08. f(g(0)) = f(1) 16. f(-1) + g(1) = 2 5 14) ( UERJ ) A inflação anual de um país decresceu no período de 7 anos. Esse fenômeno pode ser representadopor uma função exponencial do tipo f (x) = ab x , conforme o gráfico a seguir. Determine a taxa de inflação desse país no 4°ano de declínio.
  • 8. FUNÇÃO EXPONENCIAL 8 www.ricardinhomatematica.com.br 15) Um grande lago está sendo infestado por algas. A área do lago afetada pelas algas cresce exponencialmente de acordo com a função f(x) = 10.2 x , na qual x é o tempo em meses após a observação inicial e f representa a área em metros quadrados. a) Qual a área, em metros quadrados, afetada pelas algas após dois meses? b) Em quantos meses a área afetada pelas algas será de 320 m 2 16) ( ACAFE – 2010.2 ) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de um experimento, é dado por: B(t) = BO . 2 2t em que BO é o número de bactérias quando t = 0 . Sabendo que após 2 horas do início do experimento havia 19200 bactérias na cultura, o valor de BO é igual a: a) 4800 b) 19200 c) 2400 d) 1200 17) Para que valores de x a desigualdade e x > x é verdadeira? 18) ( ACAFE – 2011 ) A Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q =1512 − 2 −0,5t +16 em que: Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário. T = meses de experiência. Em quantos meses um funcionário produzirá 1000 peças mensalmente? a) 14 meses b) 12 meses c) 16 meses d) 13 meses
  • 9. FUNÇÃO EXPONENCIAL 9 www.ricardinhomatematica.com.br 19) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: f(t) = a . 2 -bt onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. Sabe-se que a população inicial (t = 0) é igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos é a metade da população inicial. Com base no exposto, determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. a constante a vale 512. 02. a constante b vale 0,1. 04. o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial é 30 anos. 08. o gráfico da função f(t) para t ∈[0, 40] está indicado pela figura abaixo 20) ( UFSM – 2010 ) O gráfico a seguir retrata o comportamento da evolução das populações rural e urbana no Brasil. Se for considerado o tempo t = 0 (t é dado em anos) iniciando em 1970, como sugere o gráfico, pode-se obter um modelo matemático aproximado que calcula a diferença, em milhões de habitantes, entre a população urbana e a rural em relação ao tempo, diferença essa dada pela fórmula d(t) = 150 – a.3 bt onde a,b são constantes reais a serem determinadas. Baseando-se nos valores do gráfico, pode-se afirmar que a diferença entre a população urbana e a rural em 2030 será, aproximadamente, de: a) 113 milhões. b) 118 milhões. c) 123 milhões. d) 128 milhões. e) 133 milhões. GABARITO - FUNÇÃO EXPONENCIAL 1) a 2) a 3) b 4 ) a) S = { x∈ R| x > 2 } b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 } 5) ( −∞, −5 [ 6) 96 7) c 8) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 9) 30 10) a 11) ] -1/3, 0 [ 12) c 13) 28 14) 60% 15) a) 40m2 b) 5 meses 16) d 17) ℜ 18) a 19) 14 20) e