Este documento discute a Teoria das Carteiras de Markowitz, que busca maximizar retornos dentro de níveis de risco aceitáveis através da diversificação. A teoria propõe que investidores devem escolher ativos com baixa correlação entre si para reduzir o risco total da carteira. Além disso, discute como calcular retornos, riscos e participações ótimas de cada ativo na carteira para minimizar sua variância.

1. Objetivo: explanar a Teoria das Carteiras e formas de diversificação do
risco para a maximização dos retornos
Professor: Felipe Pontes
Teoria das Carteiras

2. Introdução
• A Teoria das Carteiras foi formulada por Harry Markowitz em 1952.
Anteriormente a ela os analistas de investimentos levavam em
consideração apenas o retorno esperado dos ativos como critério de
formação do portfólio.
• A incerteza do futuro faz com que as decisões financeiras levem em
consideração o Risco.
• Dessa forma, um investidor deve buscar no mercado de ações,
opções ou obrigações o máximo retorno possível de seu
investimento, dentro de níveis de risco aceitáveis.

3. Hipóteses da Teoria da Carteiras
1. Os investidores têm aversão ao risco;
2. As taxas de retorno têm distribuição normal.

4. Problema Básico
• Dados as opções de investimento, quais os ativos de risco que o
investidor deve ter em sua carteira?
• Abordagem de Markowitz:
1. Assumir o Preço inicial
2. Especificar o período
3. Preço final
4. Diversificar

5. Mecanismos de evitar o Risco
• Risco  Incerteza que importa (BODIE; MERTON, 2002).
1. Evitar o Risco (trader consegue evitar o risco?)
2. Outras formas de Minimizar o efeito do risco:
a. Prevenir e controlar as perdas (e.g. stop loss);
b. Reter (“assumir”) o risco (e.g. pessoas sem plano de saúde); e
c. Transferências de risco (hedge, seguro, diversificação de
investimento, etc).

6. O que é diversificar?
• Manter quantidades similares de ativos de múltiplo risco em vez de
concentrar todos os recursos em um único ativo (BODIE; MERTON,
2002).
• Investir em mais de um tipo de ativo, significa aplicar os recursos em
títulos de renda fixa, ações, commodities, títulos públicos e etc.
• Investir em diferentes modalidades de títulos de cada ativo (e.g.,
empresas, LCI, LCA, letras do tesouro pré e pós fixadas e indexadas à
taxas de juros, etc).

7. O que é diversificar?
• Conceito incompleto de acordo com a teoria de Markowitz (1952).
• Necessário levar em consideração a correlação.
• Dessa forma, Ativos que não sejam positivamente correlacionados (ou com
a menor correlação possível).
• Quando há a diversificação, resta apenas o risco sistemático (não
diversificável)
• A ideia é escolher diferentes classes de ativos e títulos com diferentes
tempos e ciclos de vida de forma a minimizar o impacto de quaisquer
condições negativas que poderiam afetar adversamente a carteira.
• Diversificação ingênua X ótima?

8. 8
Resultado da diversificação
Número de Ativos
Variância da Carteira (Risco)

9. Seleção de Carteiras e a Teoria de Markowitz
• A seleção da carteira é uma etapa posterior à seleção dos ativos. Ela
busca reduzir o risco por meio da combinação de ativos que não “se
movam” na mesma direção.
• Considera-se que os “retornos esperados” são desejados e a variância
é indesejada: deve-se formar uma carteira com o maior retorno
esperado e a menor variância (Relação retorno/risco).

10. Correlação entre ativos

12. Retorno esperado do ativo
Se as probabilidades de ocorrência dos retornos forem iguais, basta somar os
retornos e dividir pela quantidade de observações.
Se as probabilidades forem diferentes, multiplicam-se os retornos pelas
probabilidades, somando os produtos no final.

13. Variabilidade
• Por que os desvios não são boas medidas de variabilidade?
• Elton e Gruber (1995) sugerem duas soluções:
a) Simplesmente ignorar os sinais negativos dos desvios e somá-los;
b) Encontrar os quadrados dos desvios.

14. Variância do ativo
Com probabilidades iguais (lembrem de que alguns autores
dividem por “n-1” e outros apenas por “n”, pelo ajuste amostral).

15. Qual o melhor ativo a se investir?

16. Qual o melhor ativo a se investir?
Condição de Mercado
Retorno
Ativo 1 Ativo 2 Ativo 3 Ativo 5
Bom 15 16 1 16
Médio 9 10 10 10
Ruim 3 4 19 4
Média Retorno 9 10 10 10
Variância 24 24 54 24
Desvio-Padrão 4.9 4.9 7.35 4.9

17. Características das carteiras em geral
(RETORNO)
• O retorno de uma carteira de ativos é simplesmente a média
ponderada do retorno sobre os ativos individuais.

18. Características das carteiras em geral
(RETORNO)
• O retorno esperado é também a média ponderada dos retornos
esperados sobre os ativos individuais.

19. Características das carteiras em geral
(RETORNO)
• O valor esperado da soma é a soma dos valores esperados
(propriedade do somatório)

20. Características das carteiras em geral
(RETORNO)
• O valor esperado de uma constante vezes o retorno é a constante
vezes o retorno esperado (propriedade do somatório):

21. Características das carteiras em geral
(RETORNO)
• Qual é o retorno esperado de uma carteira formada pelos ativos de 1,
2, 3 e 5, cada um com a mesma participação (25%)?

22. Características das carteiras em geral
(VARIÂNCIA)
• A variância esperada de uma carteira é o valor esperado dos desvios
quadrados dos retornos de uma carteira em comparação com o retorno
médio da carteira (demonstração com dois ativos ):
𝝈 𝒑
𝟐 = 𝑬(𝑹 𝒑 − 𝑹 𝒑) 𝟐
1. Desmembrando o retorno observado e médio da carteira nos dos ativos
individuais;
2. Aplica-se o quadrado da soma e retira-se as constantes da esperança.
𝝈 𝒑
𝟐 = 𝑿 𝟏
𝟐
𝑬[(𝑹 𝟏 − 𝑹 𝟏) 𝟐] + 𝟐𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝑬 𝑹 𝟏 − 𝑹 𝟏 𝑹 𝟐 − 𝑹 𝟐 + 𝑿 𝟐
𝟐
𝑬[(𝑹 𝟐 − 𝑹 𝟐) 𝟐]

23. Características das carteiras em geral
(VARIÂNCIA)
𝝈 𝒑
𝟐 = 𝑿 𝟏
𝟐
𝑬[(𝑹 𝟏 − 𝑹 𝟏) 𝟐] + 𝟐𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝑬 𝑹 𝟏 − 𝑹 𝟏 𝑹 𝟐 − 𝑹 𝟐 + 𝑿 𝟐
𝟐
𝑬[(𝑹 𝟐 − 𝑹 𝟐) 𝟐]
• Variância e Covariância dos retornos dos ativos;
• São conceitos chaves para a diversificação de uma carteira.
• Por fim, organizando a equação pelos fatores semelhantes:
𝝈 𝒑
𝟐 = 𝑿 𝟏
𝟐
𝝈 𝟏
𝟐
+ 𝑿 𝟐
𝟐
𝝈 𝟐
𝟐
+ 𝟐𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝝈 𝟏,𝟐

24. Características das carteiras em geral
(VARIÂNCIA)
• Assim como a variância, a covariância é de difícil análise.
• Solução: padronizar para que ela varie entre - 1 e 1 (correlação):
𝝆 𝟏,𝟐 =
𝝈 𝟏,𝟐
𝝈 𝟏 𝝈 𝟐
𝝈 𝒑
𝟐
= 𝑿 𝟏
𝟐
𝝈 𝟏
𝟐
+ 𝑿 𝟐
𝟐
𝝈 𝟐
𝟐
+ 𝟐𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝝆 𝟏,𝟐 𝝈 𝟏 𝝈 𝟐
Nota-se que este termo pode ser negativo, o que pode
reduzir a variância da carteira. Por isso que é importante
que a correlação entre os ativos seja negativa.

25. Características das carteiras em geral (Efeito
diversificação)
• Calcule a covariância e a correlação entre os dois pares de ativos, de
modo a analisar o risco das duas carteiras, formadas por 1 e 2 e 1 e 3
(resolver um no quadro e o outro no excel).

26. Características das carteiras em geral (Efeito
diversificação)
• Qual será a variância da carteira A (formada pelos ativos 1 e 2, 60% e
40%) e da carteira B (formada pelos ativos 1 e 3, 60% e 40%)?

27. Características das carteiras em geral (mais de
dois ativos)
• Para analisar mais de dois ativos, basta incluir o “seu” risco adicional
(exemplo com três ativos):
𝝈 𝒑
𝟐 = 𝑿 𝟏
𝟐
𝝈 𝟏
𝟐
+ 𝑿 𝟐
𝟐
𝝈 𝟐
𝟐
+ 𝑿 𝟑
𝟐
𝝈 𝟑
𝟐
+ 𝟐𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝝈 𝟏,𝟐 + 𝟐𝑿 𝟏 𝑿 𝟑 𝝈 𝟏,𝟑 + 𝟐𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝝈 𝟐,𝟑
• Exercício: faça uma combinação dos três ativos do slide anterior com as
seguintes participações: 40% para o Ativo 1; 30% para o Ativo 2; e 30% para
o Ativo 3.
• Resposta: Variância = 0,96

28. Características das carteiras em geral
(Participação na carteira)
• Para maximizar o retorno e minimizar o risco, deve-se escolher a
combinação “ótima”.
• Quando a correlação (ou covariância) entre os ativos é DIFERENTE DE
ZERO, deve-se retirar o efeito do “risco conjunto”.

29. Participação na carteira
• Exemplo: : O ativo A tem desvio padrão de 0,1337 e o ativo B tem
desvio padrão de 0,4065. Sabendo que a correlação entre eles é de
0,1161, qual deverá ser a participação de cada ativo numa carteira?
• Ativos com correlação nula devem ser incluídos na medida em que
contribuem menos com a inclusão de risco:

30. Críticas ao modelo de Markowitz
• A simplificação da teoria faz com que ela sofra críticas.
1. Distribuição normal dos retornos não é vista na prática;
2. Considera-se que as correlações entre os ativos são fixas e
constantes para sempre (as crises podem mudar as correlações para
positivas, eg);
3. Todos os investidores são racionais e com aversão ao risco (será?);
4. Não existe informação privilegiada (ver GIRÃO; MARTINS; PAULO,
2014 - RAUSP);

31. Críticas ao modelo de Markowitz
5. As crenças dos investidores sobre os retornos é semelhante (ver o modelo de
precificação de ativos baseado no excesso de confiança de Daniel, Hirshleifer e
Subrahmanyam, 2001);
6. Não existem tributos ou custos de transação;
7. Todos os investidores são “formadores preços” (eu tenho o mesmo poder de
Warren Buffet?);
8. Qualquer investidor pode emprestar e tomar emprestado à taxa livre de risco;
9. Os ativos são infinitamente divisíveis;
10. As preferências de risco e retorno mudam com o tempo; e
11. O custo de aplicação da teoria é muito alto!