Teoria das carteiras

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
Teoria das Carteiras
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Luiz Felipe de Araújo Pontes Girão
Conteúdo: diversificação e seleção de carteiras em geral. Tipos de retornos.
Variabilidade dos retornos. Características das carteiras. Mensuração do risco.
Otimização de carteiras. Efeito da diversificação. Críticas ao modelo de
Markowitz.
“Não coloque todos os ovos em apenas uma cesta”
(autores: nossos avós).

Felipe Pontes
www.contabilidademq.blogspot.com
INTRODUÇÃO
• A Teoria de Markowitz foi publicada em 1952. Antes disso, os agentes
superavitários da época analisavam seus investimentos apenas pelo
retorno esperado.
• As decisões financeiras têm que estar voltadas para o futuro e o futuro
é incerto: adição de um componente de risco às carteiras.
• Hipóteses da Teoria da Carteiras:
1. Os investidores têm aversão ao risco;
2. As taxas de retorno têm distribuição normal.
2

Felipe Pontes
Meios de se evitar o risco
• O tema “risco” foi tratado na aula anterior: ele é a incerteza que
importa (BODIE; MERTON, 2002).
1. Evitar o risco (um trader/especulador pode evitar o risco?)
2. Outras formas de “minimizar” o efeito do risco
a) Prevenir e controlar as perdas (e.g. stop loss);
b) Reter (“assumir”) o risco (e.g. pessoas sem plano de saúde); e
c) Transferências de risco (hedge, seguro, diversificação do investimento etc).
3

Felipe Pontes
O que é diversificar?
• Manter quantidades similares de ativos de múltiplo risco em vez de
concentrar todos os recursos em um único ativo (BODIE; MERTON, 2002).
• A análise da correlação é essencial:
Ativos que não sejam positivamente correlacionados
(ou com a menor correlação possível)
• Quando há a diversificação, resta apenas o risco sistemático (não
diversificável).
Conceito incompleto, segundo a Teoria de Markowitz (1952)
4

Felipe Pontes
Seleção de Carteiras e a Teoria de Markowitz
• A seleção da carteira é uma etapa posterior à seleção dos ativos. Ela
busca reduzir o risco por meio da combinação de ativos que não “se
movam” na mesma direção.
• Considera-se que os “retornos esperados” são desejados e a variância
é indesejada: deve-se formar uma carteira com o maior retorno
esperado e a menor variância.
No Folhainvest vocês selecionaram os ativos de alguma
maneira. Mas e a carteira?!
5

Felipe Pontes
Fronteira eficiente de Markowitz
6

Felipe Pontes
• Uma explicação mais divertida para o gráfico anterior neste vídeo
7

Felipe Pontes
• Como plotar a fronteira eficiente: https://youtu.be/9WXW1I62VHQ
8

Felipe Pontes
Retorno simples x composto
• Relembrando como se calcula o retorno simples (R):
𝑅 =
𝑃𝑡−𝑃𝑡−1
𝑃𝑡−1
9

Felipe Pontes
• O retorno composto, diferente do simples (R), é calculado em ln (e
geralmente chamado de r):
𝑟 = ln(
𝑃𝑡
𝑃𝑡−1
)
Transformar r em R Transformar R em r
R = exp(r) – 1
** exp = 2,7182818285^r
r = ln(R+1)
10

Felipe Pontes
• Vantagens de cada um dos dois tipos de retorno em relação ao outro:
– R é uma boa medida para analisar os retornos agregados entre ativos (carteiras)
(o ln não é linear);
– r é uma boa medida para analisar os retornos agregados de um ativo ao longo do
tempo (e.g. estimativa do beta).
• Para verificar justificativas mais estatísticas, leiam as referências abaixo:
– MathBabe1 e 2
– Quantitivity
11

Felipe Pontes
• Resumindo:
• O Retorno simples de uma carteira é a soma ponderada dos retornos
simples dos ativos da carteira.
• O retorno em log para um período de tempo é a soma dos retornos em
log em cada período de tempo. O retorno em log de um ano, por
exemplo, é a soma dos retornos em log de todos os dias do ano.
12

Felipe Pontes
t P R r
1 10
2 12 20.00% 18.23%
3 13 8.33% 8.00%
4 16 23.08% 20.76%
5 17 6.25% 6.06%
6 15 -11.76% -12.52%
7 20 33.33% 28.77%
Soma dos retornos em cada t 79.23% 69.31%
Retorno no período 100.00% 69.31%
13

Felipe Pontes
Retorno esperado do ativo
ij
M
j
iji RPR *
1


Se as probabilidades de ocorrência dos retornos forem iguais, basta somar os retornos e
dividir pela quantidade de observações.
Se as probabilidades forem diferentes, multiplicam-se os retornos pelas probabilidades,
somando os produtos no final.

Felipe Pontes
Variabilidade
• Por que os desvios não são boas medidas de variabilidade?
• Elton e Gruber (1995) sugerem duas soluções:
a) Simplesmente ignorar os sinais negativos dos desvios e somá-los
b) Encontrar os quadrados dos desvios.
Matematicamente, qual é a melhor solução?
15

Felipe Pontes
Variância do ativo
Com probabilidades iguais (lembrem de que alguns autores dividem por “n-1”
e outros apenas por “n”, pelo ajuste amostral)
Com probabilidades diferentes
16

Felipe Pontes
Qual é o melhor ativo a se investir?
CONDIÇÕES DE
MERCADO
RETORNO
CHUVA
RETORNO DO
ATIVO 4DO ATIVO 1 DO ATIVO 2 DO ATIVO 3 DO ATIVO 5
BOM 15 16 1 16 MUITA 16
MÉDIO 9 10 10 10 MÉDIO 10
RUIM 3 4 19 4 RUIM 4
RETORNO MÉDIO 9 10 10 10 10
VARIÂNCIA 24 24 54 24 24
DESVIO PADRÃO 4.9 4.9 7.35 4.90 4.9
Tabela 4.3 RETORNOS SOBRE VÁRIOS INVESTIMENTOS
Os retornos alternativos de cada ativo são considerados igualmente prováveis e, assim, cada um deles tem uma
probabilidade de 1/3.
Calcular a média (mean return), variância (variance) e desvio padrão (standard
deviation) dos diversos ativos (assets).
Como exemplo, escolheremos dois ativos para comparar.

Felipe Pontes
Qual é o melhor ativo a se investir?
CONDIÇÕES DE
MERCADO
RETORNO
CHUVA
RETORNO DO
ATIVO 4DO ATIVO 1 DO ATIVO 2 DO ATIVO 3 DO ATIVO 5
BOM 15 16 1 16 MUITA 16
RETORNO MÉDIO 9 10 10 10 10
VARIÂNCIA 24 24 54 24 24
DESVIO PADRÃO 4.9 4.9 7.35 4.90 4.9
Por exemplo, na combinação do ativo 2 (60%) com o ativo 3 (40%),
qual é a chance de obter um retorno abaixo da média?
Na combinação do ativo 5 (60%) e do ativo 1 (40%)?

Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (RETORNO)
• O retorno de uma carteira de ativos é simplesmente a média
ponderada do retorno sobre os ativos individuais.
19
ij
N
i
iPj RXR 

1

Felipe Pontes
• O retorno esperado é também a média ponderada dos retornos
esperados sobre os ativos individuais
20
  





 
N
i
ijiPP RXERER
1

Felipe Pontes
• O valor esperado da soma é a soma dos valores esperados (propriedade
do somatório)
21
 

N
i
ijiP RXER
1

Felipe Pontes
• O valor esperado de uma constante vezes o retorno é a constante vezes
o retorno esperado (propriedade do somatório):
22
 

N
i
iiP RXR
1

Felipe Pontes
• Qual é o retorno esperado de uma carteira formada pelos ativos de 1, 2, 3 e 5, cada um com a mesma
participação (25%)?
23
CONDIÇÕES DE
MERCADO
RETORNO
CHUVA RETORNO DO
ATIVO 4
DO ATIVO 1 DO ATIVO 2 DO ATIVO 3 DO ATIVO 5
BOM
15 16 1 16 MUITA 16
RETORNO
MÉDIO
9 10 10 10 10
VARIÂNCIA 24 24 54 24 24
DESVIO PADRÃO 4.9 4.9 7.35 4.90 4.9
Os retornos alternativos de cada ativo são considerados igualmente prováveis e, assim, cada um deles tem uma probabilidade de 1/3.

Felipe Pontes
• Calcular retorno esperados não é nenhuma novidade para vocês: é só
calcular a média ponderada do retorno de cada ativo na carteira.
• O “problema” está em calcular o risco de uma carteira, pois não é a
simples média ponderada dos riscos dos ativos individuais.
24

Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (VARIÂNCIA)
• A variância esperada de uma carteira é o valor esperado dos desvios
quadrados dos retornos de uma carteira em comparação com o retorno
médio da carteira (demonstração com dois ativos):
1. Desmembro o retorno observado e o médio da carteira nos retornos dos
ativos individuais (organizando-os); e
2. Aplico o “quadrado da soma” e retiro as constantes da esperança (X1, X2 e
2X1X2).
25
𝜎 𝑝
2
= 𝐸 𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑝
2
𝜎 𝑝
2 = 𝑋1
2
E 𝑅1 − 𝑅1
2 + 2𝑋1 𝑋2 𝐸 𝑅1 − 𝑅1 𝑅2 − 𝑅2 + 𝑋2
2
E 𝑅2 − 𝑅2
2

Felipe Pontes
• A que medidas estatísticas essas expressões nos remetem (em azul e
em preto)?
• Variância e covariância, respectivamente, sendo elas os conceitos
“chave” para a diversificação de uma carteira.
• O que acontece quando a variância individual aumenta? E a covariância
aumenta? Quem tem efeito mais forte?!
• Finalmente (organizando pelos fatores semelhantes):
26
2,121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2  XXXXp 

Felipe Pontes
• Assim como a variância, a covariância é de difícil análise.
• Solução: padronizar para que ela varie entre - 1 e 1 (correlação):
Reescrever a fórmula anterior, considerando a correlação e o DP
individual.
27
21
2,1
2,1


 

Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (Efeito
diversificação)
• Calcule a covariância e a correlação entre os dois pares de ativos, de
modo a analisar o risco das duas carteiras, formadas por 1 e 2 e 1 e 3.
28
CONDIÇÃO DE
MERCADO
DESVIO
MÉDIO
Ativo 1
DESVIO
MÉDIO
Ativo 2
PRODUTOS
DOS DESVIOS
DE 1 COM 2
DESVIO
MÉDIO
Ativo 1
DESVIO
MÉDIO
Ativo 3
PRODUTOS
DOS DESVIOS
DE 1 COM 3
BOM (15 – 9) (16 – 10) 36 (15 – 9) (1 – 10) -54
MÉDIO (9 – 9) (10 – 10) 0 (9 – 9) (10 – 10) 0
RUIM (3 – 9) (4 – 10) 36 (3 – 9) (19 – 10) -54
72 -108
Tabela 4.6 Calculando Covariâncias

Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (Efeito
diversificação)
• Qual será a variância da carteira A (formada pelos ativos 1 e 2, 60% e
40%) e da carteira B (formada pelos ativos 1 e 3, 60% e 40%)?
29
CONDIÇÃO DE
MERCADO
DESVIO
MÉDIO
Ativo 1
DESVIO
MÉDIO
Ativo 2
PRODUTOS
DOS DESVIOS
DE 1 COM 2
DESVIO
MÉDIO
Ativo 1
DESVIO
MÉDIO
Ativo 3
PRODUTOS
DOS DESVIOS
DE 1 COM 3
BOM (15 – 9) (16 – 10) 36 (15 – 9) (1 – 10) -54
MÉDIO (9 – 9) (10 – 10) 0 (9 – 9) (10 – 10) 0
RUIM (3 – 9) (4 – 10) 36 (3 – 9) (19 – 10) -54
72 -108
Tabela 4.6 Calculando Covariâncias

Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (mais de dois
ativos)
• Para analisar mais de dois ativos, basta incluir o “seu” risco adicional
(exemplo com três ativos):
Façam uma combinação dos três ativos do
slide anterior com participação de 40%, 30%
e 30%, respectivamente
30
3,232
2
3,131
2
2,121
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
 XXXXXXXXX
P


Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (Participação
na carteira)
• Para maximizar o retorno e minimizar o risco, deve-se escolher a
combinação “ótima”.
• Quando a correlação (ou covariância) entre os ativos é DIFERENTE DE
ZERO, deve-se retirar o efeito do “risco conjunto”.
31
Exemplo: O ativo A tem desvio padrão de 0,1337 e o ativo B
tem desvio padrão de 0,4065. Sabendo que a correlação entre
eles é de 0,1161, qual deverá ser a participação de cada ativo
numa carteira?

Felipe Pontes
Características das carteiras em geral (Participação
na carteira)
• Ativos com correlação nula devem ser incluídos na medida em que
contribuem menos com a inclusão de risco
• Participação do Ativo:
• Exemplo: Dois ativos têm correlação nula. O σ de A é de 15% e o de B é
12%. Qual é a combinação de mínima variância desses dois ativos?
32

Felipe Pontes
Críticas ao modelo de Markowitz
• Toda teoria tem pressupostos para simplificar sua utilização, o que faz
com que elas sejam criticadas (existem outras críticas e pressupostos):
1. Distribuição normal dos retornos não é vista na prática;
2. Considera-se que as correlações entre os ativos são fixas e constantes para
sempre (as crises podem mudar as correlações para positivas, eg);
3. Todos os investidores são racionais e com aversão ao risco (será?);
4. Não existe informação privilegiada (ver GIRÃO; MARTINS; PAULO, 2014 -
RAUSP);
33

Felipe Pontes
Críticas ao modelo de Markowitz
5. As crenças dos investidores sobre os retornos é semelhante (ver o modelo de
precificação de ativos baseado no excesso de confiança de Daniel, Hirshleifer e
Subrahmanyam, 2001);
6. Não existem tributos ou custos de transação;
7. Todos os investidores são “formadores de preços” (eu tenho o mesmo poder de
Warren Buffet?);
8. Qualquer investidor pode emprestar e tomar emprestado à taxa livre de risco;
9. Os ativos são infinitamente divisíveis;
10. As preferências de risco e retorno mudam com o tempo; e
11. O custo de aplicação da teoria é muito alto!
34

Felipe Pontes
Exercícios (RWJL, 2015)
2) Você possui uma carteira que apresenta $ 2.100 de investimento na
Ação A e $ 3.200 de investimento na Ação B. Se os retornos esperados
dessas ações são, respectivamente, 11% e 14%, qual é o retorno esperado
da carteira?
35

Felipe Pontes
Exercícios (RWJL, 2015)
7) Em uma carteira, há 10% de investimento na Ação G, 65% na Ação J e
25% na Ação K. Os retornos esperados dessas ações são, respectiva-
mente, 9%, 11% e 14%. Qual é o retorno esperado da carteira? Como você
interpreta sua resposta?
36

Felipe Pontes
Exercício extra 1
• Calcule o desvio padrão da carteira formada por 50% de cada um dos
dois ativos abaixo.
Condição
do
mercado
Retorno
do ativo A
(%)
Retorno
do ativo B
(%)
Boa 25 10
Média 15 20
Ruim 5 20
37

Felipe Pontes
Exercício extra 2
• Com base nos dados do exercício anterior:
a) Calcule o peso dos ativos na carteira para que ela seja a de menor variância; e
38

Felipe Pontes
Exercício extra 3
• Com base nos dados abaixo, calcule o desvio padrão da carteira:
A B
Desvio-padrão
do ativo
10% 10,41%
X% do ativo
na carteira
50% 50%
Correlação entre os
ativos
96,08%
39

Felipe Pontes
Exercícios
• Na próxima aula é possível que façamos aplicações práticas no Excel,
com o Solver.
• Recomenda-se que vocês busquem previamente ler sobre o
funcionamento do Solver no Excel.
• Obrigatoriamente, assistam aos vídeos do Projeto de Monitoria em
Finanças Quantitativas da UFPB, no próximo slide.
40

Felipe Pontes
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=VgjlF3GORVE
41

Felipe Pontes
Vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=8_ATnvhIPKE
42

Felipe Pontes
Vídeo
• O vídeo do monitor Leony é mais avançado e envolve assuntos que
veremos no final da disciplina.
• Porém serve como referência adicional:
https://www.youtube.com/watch?v=11x_JgYMskk&t=21s
43

Felipe Pontes
Vídeo
• Aqui está o vídeo em espanhol, feito pelo monitor Calvin Lei:
• https://www.youtube.com/watch?v=x8ZYW6x2RoA
44

Felipe Pontes
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