1) O documento apresenta um estudo de caso sobre a otimização de portfólio de cinco empresas listadas em bolsa utilizando a metodologia proposta por Harry Markowitz. 2) O objetivo é encontrar a alocação de ativos que gere o maior retorno com o menor risco possível entre janeiro e abril de 2016. 3) A metodologia inclui análises descritivas dos dados, cálculo dos retornos esperados, riscos e coeficientes beta de cada empresa para determinar a composição ótima do portfólio.

1. Faculdade de Ciˆecias
Departamento de Matem´atica e Inform´atica
Curso: Estat´ıstica
Cadeira:Gest˜ao de Risco
Trabalho Semestral
Optimiza¸c˜ao de portif´olio utilizando a metodologia proposta por
Harry Markowitz
Estudo de caso:
Cinco empresas que actuam na mesma bolsa de valores, optimiza¸c˜ao e
previs˜oes dos retornos
Docentes: Discente
Regente : Dr.El´ısio Mabasso Ernesto J´unior
Assist: dr. King Cafandame
Maputo
Junho de 2016

2. Sum´ario
1 CAP´ITULO I 2
2 Introdu¸c˜ao 2
3 Objectivos do estudo 2
3.1 Objectivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Objectivos Espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 CAP´ITULO II 3
5 Breve revis˜ao liter´aria das empresas 3
6 Metodologia 4
6.1 Conceitos Iniciais do m´etodo aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7 CAP´ITULO III 7
8 An´alise e Discun¸c˜ao dos Resultados 7
8.1 An´alise descritiva dos dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9 CAP´ITULO IV 11
10 Conclus˜oes e recomenda¸c˜oes 11
11 CAP´ITULO V 12
12 Referˆencias Bibliogr´aficas 12
13 Anexos 12

3. 1 CAP´ITULO I
2 Introdu¸c˜ao
Um dos problemas enfretados no processo de planifica¸c˜ao de um investimento
´e a melhor aloca¸c˜ao dos activos ao ponto de minimizar as perdas e maximizar os
ganhos (G.Albuquerques, 2009).
Neste contexto o investidor esta interessado em encontrar um ponto ´optimo que
se verifica o retorno m´aximo poss´ıvel perante um determinado risco. Numa decis˜ao
que envolve riscos, espera-se que quanto maior for o risco enfrentado, maior ser´a o
retorno, e vice-versa.Portanto o investidor deve procder com a sele¸c˜ao de activos
ao ponto de obter maior retorno com menor risco, onde esse processo ´e designado
optimiza¸c˜ao. E o mesmo poder´a ser efectuados de duas formas: Maximizando o
retorno da carteira perante um certo n´ıvel de risco aceite pelo investidor, ou mi-
nimizando o risco para um certo retorno pr´e-estabelecido(G.Albuquerques, 2009).
No entanto, o primeiro caso tem sido mais implementado. Ent˜ao a satisfa¸c˜ao duma
das duas condi¸c˜oes em destaque gera a chamada carteira eficiente.
A optimiza¸c˜ao duma carteira ´e um processo n˜ao t˜ao simplˆes, ras˜ao pela qual
v´arios pesquisadores estudaram esse processo, dentre eles se destaca o Harry Mar-
kovitz (1952), que desenvolveu um modelo para a´alise de risco-retorno de carteira
de modo a auxiliar o investidor na escolha dos activos que comporiam um po-
tif´olio ´optimo dado um n´ıvel de risco a que esse investidor estivesse disposto a se
submeter (R. Pinto, 2008).
O modelo de Mazkovitz, ´e tamb´em conhecido como modelo M´edia-Variˆancia(M-
V) pois o risco ´e determinado pela Variˆancia. No conceito de risco ´e estabelecido
dois tipo, o risco diversificado ou n˜ao sistem´atico e o risco n˜ao divercificado ou sis-
tem´atico. No presente trabalho pretende-se implementar o modelo de optimiza¸c˜ao
proposto por Markovitz numa sele¸c˜ao aleat´oria de 5 ativos que actuam num certo
´ındice, compondo a poss´ıvel distribui¸c˜ao que gere mais retornos com um risco
m´ınimo.
O trabalho ser´a estruturado por cinco cap´ıtulos, onde:
O primeiro cap´ıtulo, vai abrangir a introdu¸c˜ao e os objectivos; o segundo
cap´ıtulo ser´a a metodologia neste caso a defini¸c˜ao dos principais conceitos, no
terceiro cap´ıtulo, ser´a reservado para as an´alises e discuns˜oes o quarto ser˜ao estabe-
lecidos as conclus˜oes e recomenda¸c˜aes e o quinto ter´a as referˆencias bibliogr´aficas.
3 Objectivos do estudo
3.1 Objectivo geral
Optimizar o portif´olio utilizando a metodologia proposta por Harry Markowitz em
cinco empresas que actuam na mesma bolsa de valores e fazer as previs˜oes dos
retornos no per´ıodo de 01/01/2016 e 30/04/2016.

4. 3.2 Objectivos Espec´ıfico
1. Selecionar 5 (cinco) ativos fazendo a diversifica¸c˜ao de acordo com o sector,
o tipo e avaliando o valor de beta;
2. Proceder com as an´alises descritivas dos dados e an´alise gr´afica dos retornos;
3. Determinar a composi¸c˜ao dos activos que optimizam a carteira;
4. Estabelecer a curva de eficiˆencia d¸c˜oes de activos
5. Implementar os modelos CAPM de cada carteira em rela¸c˜ao ao ´ındice em
em estudo;
6. Encontrar os pesos dados pela maximiza¸c˜ao do r´acio entre o retorno e o risco;
e,
7. Fazer previs˜oes dos retornos do portif´olio no periodo de de 01/01/2016 e
30/04/2016.
4 CAP´ITULO II
5 Breve revis˜ao liter´aria das empresas
Coca-cola (COKE Nazdaq)
Coca-Cola foi inventado por John Pemberton sendo um refrigerante carbo-
nado vendido em lojas, restaurantes e m´aquinas de venda autom´atica em todo o
mundo. Ele ´e produzido pela The Coca-Cola Company, sediada em Atlanta, Es-
tados Unidos desde 27 de mar¸co de 1944.Com base na pesquisa da Interbrand em
2011, a Coca-Cola foi considerada a marca mais valiosa do mundo. Os relat´orios
financeiros s˜ao tabelados (Tabela 6.).
O relat´orio mostra que a empresa esta em crescimento e investir na mesma n˜ao
seria dispendioso pois ´e de se esperar que a mesma venha a progedir.
Microsoft Corporation ( MSFT Nazdaq)
A Microsoft foi fundada por Bill Gates e Paul Allen em 4 de abril de 1975, ´e
uma empresa transnacional americana com sede em Redmond, Washington, que
desenvolve, fabrica, licencia, apoia e vende softwares de computador, produtos
eletrˆonicos, computadores e servi¸cos pessoais. Entre seus produtos de software
mais conhecidos est˜ao as linhas de sistemas operacionais Windows, a linha de
aplicativos para escrit´orio Office e o navegador Internet Explorer. Entre seus
principais produtos de hardware est˜ao os consoles de videogame Xbox, a s´erie
de tablets Surface e os Smartphones Microsoft Lumia. A Microsoft ´e a maior
produtora de softwares do mundo por faturamento, e uma das empresas mais
valiosas do mundo. Nos anexos (Tabela 7.) s˜ao mostrados resultados referentes
aos ´ultimos 4 semestres, os mesmos mostram um crescimento empresarial, oque
mostra que pode-se investir nessa empresa.

5. Facebook ( Nazdaq)
O Facebook foi fundado por Mark Zuckerberg e por seus colegas de quarto da
faculdade Eduardo Saverin, Dustin Moskovitz e Chris Hughes.´E uma rede social
lan¸cada em 4 de fevereiro de 2004.Em 4 de outubro de 2012, o Facebook atingiu a
marca de 1 bilh˜ao de usu´arios ativos, sendo por isso a maior rede social em todo
o mundo.Em m´edia 316.455 pessoas se cadastram, por dia, no Facebook. O seu
relat´orio dos ´ultimos 4 trimestre ´e apresentado nos anexos (Tabela 8.).
NVIDIA ( Nazdaq)
NVIDIA ´e uma empresa multinacional com sede em Santa Clara (Calif´ornia)
que fabrica materiais eletrˆonicas, e ´e mais popularmente conhecida por sua s´erie
de placas de v´ıdeoGeForce. Neste segmento, concorre diretamente com a empresa
AMD (que adquiriu a empresa ATI Technologies), que produz a s´erie de placas de
v´ıdeo Radeon. Relat´orio ´e apresentado nos anexos (Tabela 9.).
Incyte ( Nazdaq)
Incyte, ´e uma empresa farmaceutica situado em Alapocas, Delaware. Incyte
possue medicamentos das quais foram aprovados pela Administra¸c˜ao de medica-
mentos e alimentos dos Estados Unidos e foi subscrito por milhares de pacientes
na America.
6 Metodologia
6.1 Conceitos Iniciais do m´etodo aplicado
A escolha de uma carteira de investimento eta relacionado directamente a dois
factores importantes: Risco e Retorno.(G.Albuquerques, 2009). O risco ´e definido
como sendo a possibilidade de perda financeira e esta relacionado com incerteza
dos resultados dos ativos.
Tal como foi contextualizado no texto introdut´orio, existe dois tipos de risco:
sistem´atico e n˜ao sistem´atico. Enquanto o risco sistem´atico ´e atribuido a factores
do mercado que afectam todas as empresas neste caso n˜ao diversificado, o risco
n˜ao sistem´atico esta associado as variabilidades das empresas individualmente,
nete caso, pode ser diversificado (Guitman, 2004).
Retorno, s˜ao os ganhos ou perdas sofridas por certo investimento(Guitman,
2004).
Nos modelos em causa (Modelos Markowitz), o retorno ´e avaliado pelo valor
m´edio das varia¸c˜oes dos ativos num certo periodo pr´e-definido, e o risco ´e medido
pela variˆancia dos activos no mesmo per´ıodo em causa. Matematicamente os dois
conceitos s˜ao descritos pelas seguintes equa¸c˜oes:

6. rt =
Pt − Pt−1
Pt−1
Onde:
Pt Pre¸co do valor de activo no periodo t, e
Pt−1 re¸co do valor de activo no periodo t-1
Tendo os retornos de cada periodo, pode-se determinar o retorno de cada activo
pela f´ormula:
R =
Σrt
n
Onde n representa o n´umero de periodos em an´alise.
Tamb´em pode-se determinar o risco de duma dum ativo, pela f´ormula:
σi =
(ri − ¯Ri)
2
n − 1
Na maioria dos casos, importa avaliar o risco e retorno n˜ao para s´eries indivi-
duais mas sim para um conjunto de activos, neste caso uma carteira.
Deste modo, supondo que existe uma certa fun¸c˜ao de probabilidade (f(P)=p1 +
p2 + . . . + pi, com Σpi = 1) que melhor decreve a aloca¸c˜ao equilibrada dos ativos
numa carteira, Verifica-se que:
O valor do retorno esperado do portif´olio (Rp) ´e
E(Rp) = p1E(R1) + p2E(R2) + . . . pnE(Rn)
Onde: n representa o n´umero de activos que formam a carteira.
E, o risco correspondente ao portif´olio ´e dado por
σ2
p = Σpipjρi,jσiσj = ΣpipjCov(i, j)
Onde:
Cov(i, j) = {[Ri − E(Ri)][Rj − E(Rj)]}
Importa referir que quanto mais pr´oximo de -1 se encontra o valor de covariancia
entre os activos, menos riscos se espera.
Em caso do risco n˜ao ser diversific´avel a avalia¸c˜ao ´e feita pelo coeficiente beta
(β)(G.Albuquerques, 2009). O coeficiente β Mede o grau da variabilidade do
retorno dum ativo em resposta a uma varia¸c˜ao do retorno ao mercado.
O coeficiente foi avaliado em virtudo dos estudos cr´ıticos feitos pelo Sharpe
(1970), avaliando um conjunto de investidores, gerando o conceito de teoria de
mercado de capital(R. Pinto, 2008).
Usando essa teoria, Sharpe desenvolveu o modelo CAPM (Capital Asset Pricing
Model) que representa a rela¸c˜ao linear entre as carteiras posicionados sobre a linha
central do Mercado de Capital e o risco de carteira de Mercado.(R. Pinto, 2008).
Portanto, a mensura¸c˜ao empirica do β pode ser feita mediante a an´alise de regres˜ao
simples expressa pela equa¸c˜ao:
rj = aj + βjrm + ej
Onde:
βj ´e o coeficiente que mede a varia¸c˜ao esperada do retorno do activo em cada
aumento na taxa de retorno do mercado;
aj corresponde o retorno esperado no ativo j, que ´e independente do desempe-
nho do mercado;

7. ej o termo de erro associado a estima¸c˜ao;e,
rm ´e s˜ao os retornos correspondente ao indice associado ao portif´olio.
Interpreta¸c˜ao do coeficiente β
1. se β > 1 ⇒ O activo tende a sofrer varia¸c˜oes maiores que as do mercado;
2. se 0 < β < 1 ⇒ O activo apresenta menores varia¸c˜oes que as do mercado;
3. se β > 1 ⇒ O activo tende ter´a um comportamento contrario a do mercado;
Caso de estudo
No presente trabalho a sele¸c˜ao das empresas incluidas no modelo considera os
aspectos da diversifica¸c˜ao dos activos, bem como a avalia¸c˜ao do risco beta.
Levando em conta a diversifica¸c˜ao das empresas, selecionou-se 5 empresas das
quais, todas pertencem a sectores diferentes e tamanhos diferente. Os sectores
selecionados s˜ao: sector das bebidas (Coca-cola), sector de consultoria e markiting
(Incyte), Sector Inform´atico de software (Microsot), secctor de comonica¸c˜ao social
(Facebook), e sector eletrˆonico (nVidia).
A sele¸c˜ao tamb´em obedeceu divercifica¸c˜ao das empresas em rela¸c˜ao ao seu ta-
manho, neste contexto, uma empresa de tamanho grande (Coca-cola), duas empre-
sas de tamanho m´edio (Incyte e Facebook) e duas empresas pequenas (a Microsoft
e a nDivia). A avalia¸c˜ao foi feita considerando os ganhos tabelados para o per´ıodo
em estudo (1/01/ 2015 ´a 31/12/ 2015).
Os coeficientes β s tamb´em foram diversifivados. Seria convˆeniente compˆor
uma carteira que possui todos os coeficientes β s entre 0 e 1, pois tal como foi
descrito anteriormente, isso revelaria ter um conjunto de activos que sofreria me-
nores varian¸c˜oes em rela¸c˜ao ao mercado, mas assumindo o poss´ıvel crescimento das
empresas nVidia, Microsoft e Coca-cola (as empresas que possuem β s superior a
um), foram incluso na cart´eira.

8. 7 CAP´ITULO III
8 An´alise e Discun¸c˜ao dos Resultados
8.1 An´alise descritiva dos dados.
Empresas selecionadas
Tabela 1.
Empresa Coke Incyte Microsoft Facebook nVidia
Sector Bebidas Markiting Inform´atica Comonica¸c˜ao Eletrˆonica
Tipo Grande M´edia Pequena Grande Pequena
Risco β 1.00984 0.5598 1.0451 0.785265 1.1307
No anexo 2. Foi represebtado o gr´afico de variabilidade dos retornos dos
5 activos, os mesmos mostram que as varia¸c˜oes s˜ao ligeiras entre os activos, e
tamb´em pode se dizer que os dados sugerem um padr˜ao aleat´orio.
Tabela 1: Estat´ısticas descritivas dos pre¸cos de ac¸coes das 5 empresas
Estat´ısticas Coke Incyte Microsoft Facebook nVidia
M´edia 144.7106904 102.6878176 45.7939285 88.66398431 23.45486081
Desvio-p 38.0732918 13.6375902 4.50478432 10.1876122 4.189072685
Variˆancia 1449.575548 185.9838665 20.29308177 103.7874423 17.54832996
Intervalo 128.871803 59.980003 17.097926 34.959999 14.868107
M´ınimo 87.671259 71.489998 39.048944 74.050003 18.759379
M´aximo 216.543062 131.470001 56.14687 109.010002 33.627486
No que concerne com a descri¸c˜ao dos dados verifica-se que de facto a empresa
Coke ´e que possue pre¸cos elev´ados j´a que o seu valor m´edio ´e elevado em rela¸c˜ao
as outras empresa com m´edia de 144.71$ , na mesma linhagem, podemos verificar
que o valor m´ınimo no conjunto dos activos ´e verificado na empresa nVidia com
pre¸co m´edio de venda de ac¸coes de 23.45$.
Com aux´ılio do software excel, foram determinados os retornos e as respectivas
descritivas s˜ao abaixo tabelados.
Tabela 2.
Estat´ısticas Coke Incyte Microsoft Facebook nVidia
M´edia 0.3130% 0.2023% 0.0959% 0.1402% 0.2263%
Desvio-p. 2.3270% 3.1174% 1.7793% 1.6200% 2.1773%
Da tabela verifica-se que todos os activos possuem retornos posetivos, oque
mostra que qualquer uma das empresas pode conter uma certa probabilidade de
ser priorizada no processo de sele¸c˜ao que melhor optimizam a carteira.

9. Optimiza¸c˜ao da carteira
Tal como foi refenciado na metodologia do presente trabalho, a optimiza¸c˜ao da
cart´eira usando o m´etodo Marhowitz, ´e baseada nos retornos dos activos a respec-
tiva matriz de covariancia e os pesos. Da tabela Tabela 2., foram estabelecidos
os retornos dos activos, e a matriz de covariancia esta no anexo 1.. Com aux´ılio
do software Excel determinou-se a primeira solu¸c˜ao, a mesma conteve os seguintes
resultados:
Tabela 3.
Empresas Probabilidade Retorno
Coke 19.7234% 0.0617%
Incyte 9.6699% 0.0196%
Microsoft 26.3169% 0.0252%
Facebook 44.2898% 0.0621%
nVidia 0.0000% 0.0000%
POTIF´OLIO Risco= 1.0832% Retorno= 0.1686%
Da tabela 3, Verifica-se que a carteira ser´a ´optimo se o risco e retorno forem
de 1.0832% e 0.1686% respectivamente.
Com a carteira ´optima verifica-se que do conjunto dos activos selecionados, o
investidor deve dar mais cr´edito na empresa Facebok e em seguida no Microsoft,
Mas n˜ao deve investir suas a¸c˜oes na nVidia pois na carteira ´optima o peso sugerido
´e nulo. Com investimento na empresa Facebook espera-se um retorno de 0.0621%.
Fazendo as inter¸c˜oes de maximiza¸c˜ao dos retornos sendo alterado o valor de risco
de forma infima aceit´avel com base em 73 intera¸c˜oes obtem-se a seguinte curva de
eficiˆencia:
Figura 1: Curva de eficiencia das poss´ıveis combina¸c˜oes dos activos
A mesma ´e estabelecido nos anexo 3. em forma de linha.

10. Modelos CAPM
Tendo se encontrado o ponto ´otimo do portif´olio, em seguida ´e estabelecido os
modelos que corresponde aos declives das rectas na rela¸c˜ao activo-Mercado, que,
tal como foram descritos na sec¸c˜ao de metodologia, estes s˜ao modelos de regre˜ao
no qual os coeficientes angulares indica o aumento ou diminui¸c˜ao esperado no certo
activo em cada varia¸c˜ao no indice do mercado do conjunto de a¸c˜oes. No presente
estudo as empresas correspondem ao ´ındice de Nazdaq100 ´e uma das empresas
Americanas que gerencia a varia¸c˜ao de 100 empresas.
Portanto, os medelos CAPM s˜ao:
Coke Incyte Microsoft Facebook nVidia
Intercepto 0.003 0.002 0.0008 0.001 0.002
Coeficiente β 0.318 0.444 0.686 0.070 0.775
Valor P 0.001 0.001 ≈ 0 0.318 ≈ 0
Da tabela verifica-se que todos os coeficientes β s˜ao menores que 1, os mesmos
sugerindo que a carteira contem activos que n˜ao sofrem altas varia¸c˜oes com a
varia¸c˜ao no indece do mercado (Nasdaq). Verifica-se insignificancia estat´ıstica no
coeficiente β da a¸c˜ao de Facebook, oque conduz a concluir que esse coeficiente ´e
estatisticamente igual a zero, ou por outra, os retornos esperados para o activo de
Facebook n˜ao s˜ao influenciado pelo endice do mercado.
Maximiza¸c˜ao do r´acio do retorno versos o risco.
Neste ponto, pretende-se obter os poss´ıveis pesos dos activos derivados pela
maximiza¸c˜ao do quociente entre o retorno e o risco. Portanto, partindo dos re-
sultados obtidos na primeira intera¸c˜ao (tabela 3.). O r´acio do risco e o retorno
´e:
r´acio =
retorno ´optimo
risco ´optimo
= 0.1556475
Tabela 5.
Empresas Probabilidade Retorno
Coke 40.1841% 0.1258%
Incyte 14.0464% 0.0284%
Microsoft 5.3580% 0.0051%
Facebook 40.4115% 0.0566%
nVidia 0.0000% 0.0000%
POTIF´OLIO Risco=1.2260% Retorno= 0.2160%
A ´optimiza¸c˜ao do quociente entre o retorno e o risco sugere que seja feito mais
investimento na empresa Facebook pois ´e onde se encontra a elevada propor¸c˜ao
sugerido pela maximiza¸c˜ao do r´acio entre o risco e o retorno, neste caso seguido
da Coke ( A empresa das bebidas coca-cola).

11. Compara¸c˜ao das estimativas
As estimativas das taxas de retornos do portif´olio dadas pela pondera¸c˜ao das
taxas de retornos de cada activo pelo peso sugerido por r´acio de retorno e risco
que optimizam a carteira, podem ser comparados com as taxas de retornos
do portif´olio de cada periodo que resultam de pesos sem nenhum crit´erio
cient´ıfico (usando mesmos pesos para cada activo).
O procedimento ser´a efectuado a partir da f´ormula 2.2 descrito na metodologia
do presente trabalho. Neste caso, tendo em conta os resultados dos pesos dados na
tabela 5. com ajuda do software Excel foram determinados os retornos esperados
de cart´eira para cada activo e em cada per´ıodo. Fazendo o mesmo procedimento
mas usando pesos de 20% para cada activo foram obtidos os resultdos abaixo
expressados graficamente, sendo retorno1, s´erie dos dados usando metodologia
cient´ıfica e a retorno 2, representando a s´erie das taxas de retornos de portif´olio
sem nenhum crit´erio metodol´ogico.
Figura 2: Compara¸c˜ao das estimativas
Tal como revelam as duas s´eries, verifica-se que as taxas de retornos determi-
nados pelo crit´erio de maximiza¸c˜ao do r´acio de retorno e riscos ´optimos do modelo
Markovitz (s´erie de cor azul) s˜ao inferiores que as taxas de retornos do portif´olio de
cada periodo que resultaram de pesos sem nenhum crit´erio cient´ıfico. Oque
mostra uma evidˆencia da importancia do m´etodo corente.

12. 9 CAP´ITULO IV
10 Conclus˜oes e recomenda¸c˜oes
Neste trabalho foram selecionados 5 empresas que s˜ao: Coca-cola (Coke), Mi-
crosoft, Facebook, Incyte e Nvidia, as mesmas foram diversificadas em grandes
empresas (Coca-cola),m´edias empresas (Facebock e Incyte) e pequenas empresas
(Microsoft e Nvidia), cuja as classifica¸c˜oes foram feitas de acordo com o n´ıvel de
pre¸co de ac¸c˜ao no periodo em estudo (1/1/2015 a 31/12/2015).Quanto a diversi-
fica¸c˜ao das empresas com rela¸c˜ao aos sectores de atua¸c˜ao, verifica-se que o facto
foi observado ja que: a Coca-cola esta no sector de bebidas, Microsoft esta no
sector Tecnol´ogico ou Inform´atico, a Facebook esta no sector de Comonica¸c˜ao, a
Incyte esta no sector da sa´ude (Farmaceutica) e a Nvidia esta no sector eletronico.
Tamb´em foi observado a escolha dos activos considerando o valor do coeficiente
beta (β) e para garantir a diversifica¸c˜ao do coeficiente foram escolhidas duas em-
presas com β s inferiores a unidade, e tres com β s superior a unidade.
Em an´alises individuais verificou-se que a Coca-cola eque possuia maior taxa
de retorno no periodo (0.3130% ) e Microsoft possuia menor retorno esperado(
0.0959%).
Usando o modelo de optimiza¸c˜ao proposto por Markowitz(1952), foram es-
tabelecidos resultados iniciais que se referem ao ponto ´optimo enque o risco ´e o
m´ınimo poss´ıvel e o seu retorno correspondente, neste caso, o ponto de optimiza¸c˜ao
foi de risco=1.0832% e retorno=0.1686%. Neste mesmo ponto verificou-se que o
investidor n˜ao deve investir na empresa Nvidia pois foi sugerido um peso nulo, e
deve priorizar o seu investimento na Facebook (peso=44,3%), Microsoft (26.3%) e
finalmente distribuir os ivestimento na Coca-cola e Icyte respectivamente.
Foram construido as equa¸c˜oes de regress˜ao correspondente aos modelos CAPM,
e os mesmos sugeriram que o portif´olio ´e adequado a longo praso pois os β s foram
todos inferior que unidade oque indica que o aumento do ´ındice do mercado n˜ao
influˆencia significativamente no retorno da ¸c˜ao.
Determinou-se uma nova solu¸c˜ao ´optima resultante da maximiza¸c˜ao do r´acio
do retorno e o risco, que continuou a sugerir que o investidor deve alocar maior
investimento na empresa Facebook (com 40.4% do peso), e agora, dar considera¸c˜ao
a Coca-cola por possuir um peso de 40.2% e o resto passa para Incyte e Microsoft
desconsiderando a Nvidia.
Foram feitas an´alises comparativas dos retornos dados pelos pesos do m´etodo
de maximiza¸c˜ao do r´acio de retorno e o risco com as taxas de retornos dadas pelos
pesos sem crit´erio isto ´e, distribui¸c˜ao equitativa, e verificou-se que o modelo inicial
contˆem estimativas menores em rela¸c˜ao ao segundo sem regra de estabelecimento
dos pesos.

13. 11 CAP´ITULO V
12 Referˆencias Bibliogr´aficas
Referˆencias
[1] Albuquerque, G. 2009, Um estudo do problema de escolha de portif´olio ´optimo,
1 edi¸c˜ao S˜ao Paulo
[2] Pinto, R. 2008, Uma an´alise da utiliza¸c˜ao do coefiente do coeficiente beta no
sector el´etrico Brasileiro, Edi¸c˜ao S˜ao Paulo.
13 Anexos
Tabela 6.
Resumo anual 01.04.2016 31.12.2015 02.10.2015 03.07.2015
Receita Total 10282 10000 11427 12156
Lucro Bruto 6213 5946 6850 7408
Receitas Operacionais 2141 1518 2379 2535
Lucro L´ıquido 1483 1237 1449 3108
Tabela 7.
Resumo anual 31.03.2016 31.12.2015 30.09.2015 30.06.2015
Total do activo 52075 5189 5049 4678
Total do Passivo 4925 5946 6850 7408
Total do Lucro
L´ıquido
47150 44218 41420 39452
Tabela 8.
Resumo anual 01.04.2016 31.12.2015 02.10.2015 03.07.2015
Receita Total 1305 1305 1305 1153
Lucro Bruto 751 791 734 634
Receitas Operacionais 245 252 245 76
Lucro L´ıquido 196 208 246 26
Tabela 10.
Resumo anual 31.03.2016 31.12.2015 30.09.2015 30.06.2015
Receita Total 263.46 243.88 187.61 162.98
Lucro Bruto 257.46 234.18 179.57 156.73
Receitas Operacionais 36.04 65.08 -0.1 -7.39
Lucro L´ıquido 24.05 55.18 -39.58 9.29
Anexo 2.

14. Tabela 2: Matriz de Variˆancia-covariˆancia
Coke INCAYTE Microsoft Incyte nDivia
Coke 0.000539322 2.5439E-05 5.49914E-05 -1.34705E-05 7.64597E-05
Incyte 2.5439E-05 0.000967959 0.000120328 -2.92315E-05 5.82928E-05
Microsoft 5.49914E-05 0.000120328 0.000315346 2.67949E-05 0.000176217
Facebook -1.34705E-05 -2.92315E-05 2.67949E-05 0.000261392 1.35341E-05
nDivia 7.64597E-05 5.82928E-05 0.000176217 1.35341E-05 0.000472196
Figura 3: Gr´afico que mostra o comportamento das s´eries de retormnos
Figura 4: Curva de eficiencia das poss´ıveis combina¸c˜oes dos activos