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Matemática I
Tópico 04– Funções (equações e
Inequações)
Ricardo Bruno N. dos Santos
Professor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA
2.1.1) Conceito: Uma função é uma relação entre duas variáveis x
e y (ou conjuntos A e B) tal que o conjunto de valores para x é
determinado, e a cada valor x está associado a um e somente um
valor para y.
As variáveis x e y são conhecidas também como variável
dependente (y) e independente (x).
A relação entre x e y é expressa por: y=f(x).
2.1.2) Domínio de uma função: O domínio da função são todos
os valores encontrados no conjunto de dados de x, ou conjunto A.
2.2.3) Contradomínio e imagem: O contradomínio é a
representação de todos os elementos que temos no conjunto
B, enquanto que a imagem são todos os elementos do
contradomínio (conjunto B) que possuem alguma correspondência
com o domínio (conjunto A)
FUNÇÕES
Conceito, domínio, contradomínio e imagem
Representando através de um diagrama teremos:
FUNÇÕES
Conceito, domínio, contradomínio e imagem
Vamos observar o seguinte exemplo para fixarmos a ideia de
domínio, contradomínio e imagem de uma função:
Dada a seguinte função f(x)=x+1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e
B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Então pelo diagrama de flechas teremos:
FUNÇÕES
Conceito, domínio, contradomínio e imagem
Quais dos gráficos abaixo podemos classificar como função:
FUNÇÕES
Conceito, domínio, contradomínio e imagem
FUNÇÕESDeterminação do domínio de funções
algébricas.
Alguns conceitos importantes
Continuidade de uma função:
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
Funções Constantes crescentes e decrescentes.
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
Funções limitadas: Uma função f é limitada inferiormente se
existe algum número b que seja menor ou igual a todo número da
imagem de f. Qualquer que seja o número b este é chamado de
limite inferior de f.
Uma função f é limitada superiormente se existe algum número
B que seja maior ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer
que seja o número B, este é chamado de limite superior de f.
Uma função f é limitada se é limitada das duas formas, superior
e inferiormente.
Graficamente é fácil visualizar isso:
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
Extremo Local e Absoluto: Um máximo local de uma função f é o
valor f (c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de f
sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é maior ou igual a
todos os valores da imagem de f então f (c) é o valor máximo (ou
máximo absoluto) de f.
Um mínimo local de uma função f é o valor f (c) que é menor ou
igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo
aberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valores
da imagem de f então f(c) é o valor mínimo (ou mínimo
absoluto) de f.
Extremos locais são chamados também de extremos relativos.
Vejamos o gráfico
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
FUNÇÕES
Alguns conceitos importantes
A Função: Afim (1º Grau)
A Função: Afim (1º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função: Afim (1º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função: Afim (1º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares
se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm
coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1
Por exemplo, y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois
k’=5 e k’’=(-1/5) e k’k’’=-1.
Graficamente teríamos:
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
3.2.3) Intersecção de retas: Quando temos um intersecção de
retas, verifica-se um ponto em comum entre elas, nesse caso temos
retas concorrentes.
Na economia, essas retas devem ser concorrentes nos eixos
positivos tanto de y como de x do plano cartesiano, esse intersecção
é conhecida na economia como o ponto de equilíbrio.
Nesse caso nossas equações lineares representam preço (x) e
quantidade (y).
O modelo com inclinação negativa é conhecido como demanda, e
com inclinação positiva é conhecido como oferta, assim temos:
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
A Função: Afim (1º Grau)
Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
A Função Quadrática(2º Grau)
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
Sabemos que o gráfico f(x) = x2 tem a seguinte representação
gráfica:
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
55
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
A Função Quadrática (2º Grau)
Definição, domínio, gráfico e imagem
Agora vamos abrir espaço para verificar algumas aplicações das
funções no Geogebra, Octave e no Calc.
- Geogebra. Clicke aqui para ir direto ao link
- Octave. Clique aqui para ir direto ao link
- Calc. Clique aqui para ir direto ao link
No Slideshare você poderá ver na sequência os três vídeos acima.
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
Assim o conjunto solução será:
S = {x | -7/3 < x < -1}
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
Graficamente temos
O ponto de variação do sinal seria:
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
2
( ) 2 1f x x x
2
( ) 2g x x x
A Função Quadrática (2º Grau)
Inequações do 2º grau
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( ) 2 1f x x x
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( ) 2g x x x
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Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações

  • 1. Matemática I Tópico 04– Funções (equações e Inequações) Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA FACULDADE DE ECONOMIA
  • 2. 2.1.1) Conceito: Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y (ou conjuntos A e B) tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado a um e somente um valor para y. As variáveis x e y são conhecidas também como variável dependente (y) e independente (x). A relação entre x e y é expressa por: y=f(x). 2.1.2) Domínio de uma função: O domínio da função são todos os valores encontrados no conjunto de dados de x, ou conjunto A. 2.2.3) Contradomínio e imagem: O contradomínio é a representação de todos os elementos que temos no conjunto B, enquanto que a imagem são todos os elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem alguma correspondência com o domínio (conjunto A) FUNÇÕES Conceito, domínio, contradomínio e imagem
  • 3. Representando através de um diagrama teremos: FUNÇÕES Conceito, domínio, contradomínio e imagem
  • 4. Vamos observar o seguinte exemplo para fixarmos a ideia de domínio, contradomínio e imagem de uma função: Dada a seguinte função f(x)=x+1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Então pelo diagrama de flechas teremos: FUNÇÕES Conceito, domínio, contradomínio e imagem
  • 5. Quais dos gráficos abaixo podemos classificar como função: FUNÇÕES Conceito, domínio, contradomínio e imagem
  • 6. FUNÇÕESDeterminação do domínio de funções algébricas.
  • 7. Alguns conceitos importantes Continuidade de uma função: FUNÇÕES Alguns conceitos importantes
  • 8. Funções Constantes crescentes e decrescentes. FUNÇÕES Alguns conceitos importantes
  • 10. Funções limitadas: Uma função f é limitada inferiormente se existe algum número b que seja menor ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número b este é chamado de limite inferior de f. Uma função f é limitada superiormente se existe algum número B que seja maior ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número B, este é chamado de limite superior de f. Uma função f é limitada se é limitada das duas formas, superior e inferiormente. Graficamente é fácil visualizar isso: FUNÇÕES Alguns conceitos importantes
  • 12. Extremo Local e Absoluto: Um máximo local de uma função f é o valor f (c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é maior ou igual a todos os valores da imagem de f então f (c) é o valor máximo (ou máximo absoluto) de f. Um mínimo local de uma função f é o valor f (c) que é menor ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valores da imagem de f então f(c) é o valor mínimo (ou mínimo absoluto) de f. Extremos locais são chamados também de extremos relativos. Vejamos o gráfico FUNÇÕES Alguns conceitos importantes
  • 14. A Função: Afim (1º Grau)
  • 15. A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 16. A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 17. A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 18. A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 19. A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 20. A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 21. A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 22. Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1 Por exemplo, y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k’=5 e k’’=(-1/5) e k’k’’=-1. Graficamente teríamos: A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 23. 3.2.3) Intersecção de retas: Quando temos um intersecção de retas, verifica-se um ponto em comum entre elas, nesse caso temos retas concorrentes. Na economia, essas retas devem ser concorrentes nos eixos positivos tanto de y como de x do plano cartesiano, esse intersecção é conhecida na economia como o ponto de equilíbrio. Nesse caso nossas equações lineares representam preço (x) e quantidade (y). O modelo com inclinação negativa é conhecido como demanda, e com inclinação positiva é conhecido como oferta, assim temos: A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 24. A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  • 26. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 27. Sabemos que o gráfico f(x) = x2 tem a seguinte representação gráfica: A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem 55
  • 28. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 29. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 30. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 31. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 32. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 33. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem
  • 34. A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem Agora vamos abrir espaço para verificar algumas aplicações das funções no Geogebra, Octave e no Calc. - Geogebra. Clicke aqui para ir direto ao link - Octave. Clique aqui para ir direto ao link - Calc. Clique aqui para ir direto ao link No Slideshare você poderá ver na sequência os três vídeos acima.
  • 35. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 36. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 37. Assim o conjunto solução será: S = {x | -7/3 < x < -1} A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 38. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 39. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 40. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 41. Graficamente temos O ponto de variação do sinal seria: A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 42. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 43. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau
  • 44. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau 2 ( ) 2 1f x x x 2 ( ) 2g x x x
  • 45. A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau 2 ( ) 2 1f x x x 2 ( ) 2g x x x ( ) ( ) f x g g