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FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
O que você deve saber sobre
O conceito de função é estabelecido a partir das relações entre
grandezas, tão presentes no cotidiano, sendo fundamental na
modelagem matemática de fenômenos naturais, econômicos
e sociais.
I. Definição de função
A = {}
Sejam A e B conjuntos.
Dizemos que f é uma função se qualquer elemento de A corresponder
a um, e somente um, elemento de B.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
II. Alguns conceitos básicos
a) x e y: variável independente e variável
dependente, respectivamente
b) Domínio da função: conjunto A
c) Contradomínio da função: conjunto B
d) Imagem de x pela função: cada elemento y do contradomínio
que tem algum correspondente x no domínio.
e) Conjunto imagem da função: formado por todos os valores de
y que são imagens de algum valor de x. É um subconjunto do
contradomínio; em alguns casos, eles podem ser iguais.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
III. Diagrama de Venn
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10}
Representação da função f: A B
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
IV. Função polinomial na variável real x
É toda função definida por uma expressão analítica do tipo:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
V. Raízes de uma função
 É(São) o(s) valor(es) de x que torna(m) f(x) nula. Também
pode(m) ser chamado(s) de zero(s) da função. Para funções
polinomiais, dependendo do grau da função (maior expoente de x
na expressão de f(x)), pode haver mais de uma raiz. Na verdade, o
número de raízes reais da função é menor ou igual ao grau da
função.
 Para o cálculo da(s) raiz(ízes), conhecendo-se a expressão
analítica de f(x), basta fazer f(x) = 0 e isolar x na equação. Para
funções polinomiais de grau n < 5, existem fórmulas construídas a
partir dos coeficientes da função que permitem a determinação de
suas raízes. No caso de funções de grau n ≥ 5, devem ser
aplicadas outras técnicas.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VI. Análise do gráfico de uma função
A representação gráfica de uma função evidencia algumas
de suas características mais relevantes e auxilia na análise
do comportamento delas à medida que percorremos o domínio
e verificamos como varia a imagem da função.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VI. Análise do gráfico de uma função
Máximo e mínimo
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VI. Análise do gráfico de uma função
O sinal
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Função modular
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
VII. Funções por partes



<−
≥+
=
12
11
)(
x,x
x,x
xg
Exemplo:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
y
x
Função inversa
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, chamamos função composta
de g com f a função (g О f): A → C, tal que:
Ou seja, a composição das funções f e g se dá de tal forma que, para
todo x ∈ A, a imagem de f(x) seja tomada como valor no domínio
para a função g.
VIII. Função composta
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
, para todo x ∈ A
Para garantir a existência da função composta (g О f)(x):
• o contradomínio de f deve ser igual ao domínio de g;
•numa composição de três ou mais funções, o uso de parênteses
indica a ordem na composição; por exemplo, (g О f) О h indica
primeiro a composição de g com f, seguida da composição com h;
• quando a composição de funções for possível, ela deve respeitar
a propriedade associativa, ou seja:
VIII. Função composta
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
IX. Função inversa
Consideremos a função f: A → B.
Função sobrejetora: o conjunto imagem de f é igual a seu
contradomínio, ou seja, Im(f) = B.
Função injetora: para quaisquer valores x1 ≠ x2 no domínio,
f(x1) ≠ f(x2).
Função bijetora: a sobrejetora e a injetora, simultaneamente.
Função inversa: a função f -1
: B → A, tal que, para todo par
de valores (x, y) ∈ f, existe um par (y, x) ∈ f -1
.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
IX. Função inversa
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
Função inversa
Clique na imagem abaixo para ver a animação.
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
(FGV-SP)
Considere uma função p(x), tal que 2p(x) – p(2 – x) = 3x2
– 3x – 2.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma p(−1) + p(3)?
2EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
(Unesp)
Considere as funções polinomiais f(x) = x3
+ x2
+ 2x - 1 e g(x) = x3
+ 3x + 1,
cujos gráficos se interceptam em dois pontos, como
esboçado na figura (não em escala).
Determine para quais valores reais f(x) g(x), isto é, determine
o conjunto S ={x ∈ IR| f(x) g(x)}.
3EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
≥
≥
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
(Ufla-MG)
Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
5EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
(Unesp)
Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente,
a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. A média de variação do nível do mar, em
cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = 1 x. Seja h a função que fornece a média de variação do
5
nível do mar em função da concentração de CO2. No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h.
Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos
centímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração de
CO2 na atmosfera for de 400 ppm.
7EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
(Unesp)
É dado o polinômio cúbico P(x) = x3
+ x2
- 2x, com x ∈ IR.
a) Calcule todas as raízes de P(x).
b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x, P(x)), fazendo-o
passar por suas raízes.
8EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
(UFU-MG)
Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = x2
− 3 e g(x) = |x|. Determine quantas soluções tem a equação
(g O f)(x) = 2, em que g O f é a função composta de g com f.
12EXERCÍCIOSESSENCIAIS
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FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
123)(
2
2
)( +−=
−
−
= xxge
x
x
xf
(UFSCar-SP)
Considere as funções reais f e g, definidas por:
a) Determine o domínio da função f e a imagem da função g.
b) Determine o domínio de f(g(x)).
13EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
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Considere a função f(x):
Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa.
14EXERCÍCIOSESSENCIAIS
RESPOSTA:
FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
.
283
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)( 2
2
−−−
−
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xx
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Mat ppt1

  • 1. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS O que você deve saber sobre O conceito de função é estabelecido a partir das relações entre grandezas, tão presentes no cotidiano, sendo fundamental na modelagem matemática de fenômenos naturais, econômicos e sociais.
  • 2. I. Definição de função A = {} Sejam A e B conjuntos. Dizemos que f é uma função se qualquer elemento de A corresponder a um, e somente um, elemento de B. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 3. II. Alguns conceitos básicos a) x e y: variável independente e variável dependente, respectivamente b) Domínio da função: conjunto A c) Contradomínio da função: conjunto B d) Imagem de x pela função: cada elemento y do contradomínio que tem algum correspondente x no domínio. e) Conjunto imagem da função: formado por todos os valores de y que são imagens de algum valor de x. É um subconjunto do contradomínio; em alguns casos, eles podem ser iguais. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 4. III. Diagrama de Venn A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10} Representação da função f: A B FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 5. IV. Função polinomial na variável real x É toda função definida por uma expressão analítica do tipo: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 6. V. Raízes de uma função  É(São) o(s) valor(es) de x que torna(m) f(x) nula. Também pode(m) ser chamado(s) de zero(s) da função. Para funções polinomiais, dependendo do grau da função (maior expoente de x na expressão de f(x)), pode haver mais de uma raiz. Na verdade, o número de raízes reais da função é menor ou igual ao grau da função.  Para o cálculo da(s) raiz(ízes), conhecendo-se a expressão analítica de f(x), basta fazer f(x) = 0 e isolar x na equação. Para funções polinomiais de grau n < 5, existem fórmulas construídas a partir dos coeficientes da função que permitem a determinação de suas raízes. No caso de funções de grau n ≥ 5, devem ser aplicadas outras técnicas. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 7. VI. Análise do gráfico de uma função A representação gráfica de uma função evidencia algumas de suas características mais relevantes e auxilia na análise do comportamento delas à medida que percorremos o domínio e verificamos como varia a imagem da função. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 8. VI. Análise do gráfico de uma função Máximo e mínimo FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 9. VI. Análise do gráfico de uma função O sinal FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 10. Função modular Clique na imagem abaixo para ver a animação. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 11. VII. Funções por partes    <− ≥+ = 12 11 )( x,x x,x xg Exemplo: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS y x
  • 12. Função inversa Clique na imagem abaixo para ver a animação. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 13. Dadas as funções f: A → B e g: B → C, chamamos função composta de g com f a função (g О f): A → C, tal que: Ou seja, a composição das funções f e g se dá de tal forma que, para todo x ∈ A, a imagem de f(x) seja tomada como valor no domínio para a função g. VIII. Função composta FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS , para todo x ∈ A
  • 14. Para garantir a existência da função composta (g О f)(x): • o contradomínio de f deve ser igual ao domínio de g; •numa composição de três ou mais funções, o uso de parênteses indica a ordem na composição; por exemplo, (g О f) О h indica primeiro a composição de g com f, seguida da composição com h; • quando a composição de funções for possível, ela deve respeitar a propriedade associativa, ou seja: VIII. Função composta FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 15. IX. Função inversa Consideremos a função f: A → B. Função sobrejetora: o conjunto imagem de f é igual a seu contradomínio, ou seja, Im(f) = B. Função injetora: para quaisquer valores x1 ≠ x2 no domínio, f(x1) ≠ f(x2). Função bijetora: a sobrejetora e a injetora, simultaneamente. Função inversa: a função f -1 : B → A, tal que, para todo par de valores (x, y) ∈ f, existe um par (y, x) ∈ f -1 . FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 16. IX. Função inversa FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 17. Função inversa Clique na imagem abaixo para ver a animação. FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS
  • 18. (FGV-SP) Considere uma função p(x), tal que 2p(x) – p(2 – x) = 3x2 – 3x – 2. a) Calcule p(1). b) Qual é o valor da soma p(−1) + p(3)? 2EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 19. (Unesp) Considere as funções polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x - 1 e g(x) = x3 + 3x + 1, cujos gráficos se interceptam em dois pontos, como esboçado na figura (não em escala). Determine para quais valores reais f(x) g(x), isto é, determine o conjunto S ={x ∈ IR| f(x) g(x)}. 3EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: ≥ ≥ FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 20. (Ufla-MG) Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é: 5EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 21. (Unesp) Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente, a média de concentração de CO2 na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. A média de variação do nível do mar, em cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = 1 x. Seja h a função que fornece a média de variação do 5 nível do mar em função da concentração de CO2. No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h. Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos centímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração de CO2 na atmosfera for de 400 ppm. 7EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 22. (Unesp) É dado o polinômio cúbico P(x) = x3 + x2 - 2x, com x ∈ IR. a) Calcule todas as raízes de P(x). b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano (x, P(x)), fazendo-o passar por suas raízes. 8EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 23. (UFU-MG) Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = x2 − 3 e g(x) = |x|. Determine quantas soluções tem a equação (g O f)(x) = 2, em que g O f é a função composta de g com f. 12EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 24. 123)( 2 2 )( +−= − − = xxge x x xf (UFSCar-SP) Considere as funções reais f e g, definidas por: a) Determine o domínio da função f e a imagem da função g. b) Determine o domínio de f(g(x)). 13EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR
  • 25. (UFRRJ) Considere a função f(x): Determine os intervalos nos quais f(x) é estritamente negativa. 14EXERCÍCIOSESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÕES: CONCEITOS BÁSICOS − NO VESTIBULAR . 283 64 )( 2 2 −−− − = xx xx xf

Notas do Editor

  1. Professor: com base nessa animação, mostre aos alunos uma função alternativa de construir gráficos de forma modular, “refletindo” o gráfico em relação ao eixo x.
  2. Professor: esse exemplo de função por partes não consta no módulo impresso. Use a animação para mostrar aos alunos uma forma alternativa de construir gráficos de função inversa, “refletindo” o gráfico em relação ao gráfico da função identidade.
  3. Professor: Esse exemplo de função por partes não consta do módulo impresso. Use a animação para mostrar aos alunos uma forma alternativa de construir gráficos de função inversa, “refletindo” o gráfico em relação ao gráfico da função identidade.
  4. Professor: nesse tópico, é preciso ressaltar a nomenclatura y = f(x), que a princípio parece simples, mas depende de um salto de compreensão dos alunos do ensino médio. Conceitos como raiz de uma função, análise de sinal e de crescimento também são importantes para facilitar a resolução de questões que, em um primeiro exame, parecem difíceis. A inversão e a composição de funções também são fundamentais para a solução dos problemas propostos.