SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 11
Baixar para ler offline
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
1
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
PROF. CARLINHOS
NOME: NO
:
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
2
FUNÇÃO
IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre
presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções:
- O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido;
- A área de um quadrado é função da medida do seu lado;
- O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da
velocidade.
Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum:
- A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável
dependente;
- Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da
variável dependente.
As relações que têm essas características são chamadas de funções.
Exemplos:
1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso,
identifique a variável independente e a dependente.
a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga.
Resolução:
b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada.
Resolução:
2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 ,
denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado.
Determine:
a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros
rodados.
Resolução:
b) O preço de uma corrida de 12 km.
Resolução:
c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida.
Resolução:
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
3
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma
função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um,
elemento y do conjunto B. Indica-se por:
Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma
relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e
uma função.
Observe os exemplos com diagramas:
As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio
A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto
imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No
conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a
relação especial é uma função.
fig.1 fig.2 fig.3
As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de
A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B
e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R
acima do diagrama indica ser apenas uma relação.
fig.4 fig.5 fig.6
Exemplos
1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela
fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B.
a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B.
Resolução:
b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de
f.
Resolução:
2) Seja a função f: definida por f(x) = x2
- 7x + 9. Determine:
f: A B
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
4
a) O valor de f(-1)
Resolução:
b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1.
Resolução:
3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2
+ a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o
valor de a.
Resolução:
4) Dada a função f: definida por f(x) = ax + b, com a e b ℜ∈ . Determine a e b,
sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5.
Resolução:
DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa
função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente.
Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então,
considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser
colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os
cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais.
Exemplos
1) Encontrar o domínio das funções:
a) f(x) = 3x2
- 4x + 2 b) f(x) =
42
53
−
−
x
x
Resolução: Resolução:
c) f(x) = 44 −x d) f(x) =
4
33
2
5
−
−
+
+
−
x
x
x
x
Resolução: Resolução:
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
5
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais.
O sistema de coordenadas ortogonais é composto por:
- Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta
vertical o eixo y (ordenadas).
- O cruzamento das duas retas é a origem do sistema.
- As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.
O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x∈D e y∈Im.
Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas
imagens no eixo y.
Exemplos:
1) Construir o gráfico das funções:
a) BA:f → , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 }
b) f: definida por f(x) = x + 2
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
6
ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES
A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o
comportamento dessa função, como:
- O domínio e a imagem.
- Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados.
- Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante.
- Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo.
- O valor máximo ou mínimo que a função atinge.
- O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função.
Como reconhecer quando um gráfico representa uma função
Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência um único y do
contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos
retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do
domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto.
Como determinar o domínio e a imagem da função
- O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo
x (abscissas)
- A imagem de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo
y (ordenadas)
Exemplo
D(f) = }6x/1x{ ≤≤ℜ∈
Im(f) = }5y2/y{ ≤≤ℜ∈
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
7
Como determinar as raízes ou os zeros de uma função
Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde
o gráfico encontra o eixo x (abscissas).
Exemplo
Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante
- Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem,
temos função crescente.
- Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem,
temos função decrescente.
Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem,
temos função constante.
Valor máximo e Valor mínimo de uma função
Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os
zeros da função
constante
decrescente
crescente
y
o
x
y
o
x
X1 X2
f(x1)
f(x2)
máximo
mínimo
Valor máximo f(x2)
Valor mínimo f(x1)
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
8
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se
anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas
condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.
resp: 156 – 2,5n
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de
lá com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas
2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula:
C = 5(F - 32)/9,onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados.
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. resp: 95
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número
de graus centígrados? resp: 160
3) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é: resp: b
a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x
4) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir
R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o
custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por:
a) C(n) = 200 000 + 0,50 resp: c
b) C(n) = 200 000n
c) C(n) = n/2 + 200 000
d) C(n) = 200 000 - 0,50n
e) C(n) = (200 000 + n)/2
5) (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma
pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente.
Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso:
resp: a
a) T = 12,50 (12 - x)
b) T = 12,50x
c) T = 12,50x -12
d) T = 12,50 (x + 12)
e) T = 12,50x + 12
6) (Puccamp) Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se a
velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo,
em horas, que ele leva para percorrer os x km é: resp: b
a) (6x + 5)/6 b) (x + 50)/60 c) (6x + 5)/120 d) (x/60) + 50 e) x + (50/6)
7) Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o
domínio, a imagem e o contradomínio.
resp: a) R1 é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
9
8) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2} e B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, faça o diagrama das relações abaixo, e
diga, qual delas é uma função A em B. resp: b
a) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = x2
– 2 }
b) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = 2x + 1 }
9) Dado o conjunto A = { -2; -1; 0; 1}, determine o conjunto imagem da função f: A→ℜ definida
por
f(x) = 1 – x2
. resp: Im = { -3; 0; 1}
10) Seja a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2
-10x+8. Calcular:
a) f(4) resp: -16
b) Os valores de x de modo que f(x)=-1. resp: 1 e 9
11) Dadas as funções f(x)=
2
1
x + 1 e g(x) = x2
-1, calcule f(6)+g(-2). resp: 7
12) São dadas as funções f(x)= 3x+1 e g(x)=
5
4
x + a . Sabendo que f(1)-g(1)=
3
2
, calcule o valor de a .
resp: 38/15
13) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= ax + b, com a, b ∈ℜ, calcule:
a) a e b sabendo que f(1)=4 e f(-1)= -2; resp: a=3 e b=1
b) f(4). resp: 13
14) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2
-x-12, determine a de modo f(a+1) = 0.
resp: -4 ou 3
15)Encontrar o domínio das funções:
a) y=3x+4 resp: D=ℜ b) f(x)=x2
-3x+6 resp: D=ℜ c) f(x)=
4
93
+
+
x
x
resp: D=ℜ-{-4}
d) f(x) =
84
52
+
+
x
x
+
3
75
+
−
x
x
resp: D=ℜ-{-3;-2} e) f(x)=
81
10
2
−
−
x
x
-
7
35
+
−
x
x
resp: D=ℜ-{-9;-7;9}
f) f(x)= 63 −x resp: D={x∈ℜ/ x≥2} g) f(x)=
44
5
+x
+
4
102
+
−
x
x
resp: D={x∈ℜ/ x≥5}
16) Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem:
a) f: A→B, definida por f(x) = x2
+1, sendo A={-1,0,1} e B={1,2,3,4}
b) f: A→B, definida por f(x) = 3x+1, sendo A=[-1,2] e B=[-4;8]
c) f: A→B, definida por f(x)=-4x, sendo A=]-2,1/2] e B= [-10,5]
resp:
a) y b) y c) y
7 ● ● 8
● 2 ●
1 ●
-1 o 1 x -1 0 2 x -2 0 x
● -2
-2 ●
D={-1,0,1} e IM={1,2} D=[-1,2] e IM=[-2,7] D=]-2,1/2] IM=[-2,8[
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
10
17) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções.
a) y b) y c) y
o x o x o x
Resp: a, b e c
18). (Ufes) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido
projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o
preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 80 ≤≤ t , e esboce o gráfico da função P.
Resp:
P(t) = - 1250t + 10000 ( 80 ≤≤ t )
19) (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira
ou (F) se for falsa.
O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o
ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que:
( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária.
( ) 20 foi o ano de maior lucro.
( ) 25 foi um ano deficitário.
( ) 15 foi um ano de lucro.
( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano
Resp: F V F F V
APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS
11
20) (Uff) O gráfico da função f está representado na figura:
Sobre a função f é FALSO afirmar que:
a) f(1) + f(2) = f(3)
b) f(2) = f(7)
c) f(3) = 3f(1)
d) f(4) - f(3) = f(1)
e) f(2) + f(3) = f(5) Resp: e
Prof. Carlinhos
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Lista de exercícios PG
Lista de exercícios PGLista de exercícios PG
Lista de exercícios PGprofederson
 
Exemplos de função afim
Exemplos de função afimExemplos de função afim
Exemplos de função afimProfessoraIve
 
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talesMat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talestrigono_metrico
 
Exercios extras de lei dos senos e cossenos
Exercios extras de lei dos senos e cossenosExercios extras de lei dos senos e cossenos
Exercios extras de lei dos senos e cossenosProfessor Carlinhos
 
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANO
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANOEXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANO
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANOP Valter De Almeida Gomes
 
Lista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grauLista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grauManoel Silva
 
AULÃO SOBRE O SPAECE.pptx
AULÃO SOBRE O SPAECE.pptxAULÃO SOBRE O SPAECE.pptx
AULÃO SOBRE O SPAECE.pptxmessias ferreira
 
Relacoes metricas no triangulo retangulo 9 ano
Relacoes metricas no triangulo retangulo 9 anoRelacoes metricas no triangulo retangulo 9 ano
Relacoes metricas no triangulo retangulo 9 anoDiogo Satiro
 
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)
2ª lista de exercícios   9º ano (eq. 2º grau)2ª lista de exercícios   9º ano (eq. 2º grau)
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)Ilton Bruno
 
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exercicios
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciosMat utfrs 18. semelhanca de triangulos exercicios
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
 
MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5
MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5
MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5Alexander Mayer
 
Lista de Exercícios – Juros Simples
Lista de Exercícios – Juros Simples Lista de Exercícios – Juros Simples
Lista de Exercícios – Juros Simples Everton Moraes
 
Lista de exercícios análise combinatória
Lista de exercícios   análise combinatóriaLista de exercícios   análise combinatória
Lista de exercícios análise combinatóriaJacques Douglas Silva
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)carlos josé gomes
 
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade iiLista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade iiRodrigo Borges
 
{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...
{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...
{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...alanpegado
 
Atividade de matemática plano cartesiano
Atividade de matemática   plano cartesianoAtividade de matemática   plano cartesiano
Atividade de matemática plano cartesianoDanyGoncalves
 
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton brunoIlton Bruno
 
Lista de Exercícios 1 – Porcentagem
Lista de Exercícios 1 – PorcentagemLista de Exercícios 1 – Porcentagem
Lista de Exercícios 1 – PorcentagemEverton Moraes
 

Mais procurados (20)

Lista de exercícios PG
Lista de exercícios PGLista de exercícios PG
Lista de exercícios PG
 
Exemplos de função afim
Exemplos de função afimExemplos de função afim
Exemplos de função afim
 
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de talesMat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
Mat exercicios gabarito semelhança de triângulos e teorema de tales
 
Exercios extras de lei dos senos e cossenos
Exercios extras de lei dos senos e cossenosExercios extras de lei dos senos e cossenos
Exercios extras de lei dos senos e cossenos
 
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANO
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANOEXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANO
EXERCÍCIOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - 2ª AULA - 9º ANO
 
Aula 01 conjuntos
Aula 01   conjuntosAula 01   conjuntos
Aula 01 conjuntos
 
Lista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grauLista 01 exercícios de função do 1º grau
Lista 01 exercícios de função do 1º grau
 
AULÃO SOBRE O SPAECE.pptx
AULÃO SOBRE O SPAECE.pptxAULÃO SOBRE O SPAECE.pptx
AULÃO SOBRE O SPAECE.pptx
 
Relacoes metricas no triangulo retangulo 9 ano
Relacoes metricas no triangulo retangulo 9 anoRelacoes metricas no triangulo retangulo 9 ano
Relacoes metricas no triangulo retangulo 9 ano
 
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)
2ª lista de exercícios   9º ano (eq. 2º grau)2ª lista de exercícios   9º ano (eq. 2º grau)
2ª lista de exercícios 9º ano (eq. 2º grau)
 
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exercicios
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciosMat utfrs 18. semelhanca de triangulos exercicios
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exercicios
 
MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5
MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5
MATEMÁTICA - CONJUNTOS NUMÉRICOS - AULA 5
 
Lista de Exercícios – Juros Simples
Lista de Exercícios – Juros Simples Lista de Exercícios – Juros Simples
Lista de Exercícios – Juros Simples
 
Lista de exercícios análise combinatória
Lista de exercícios   análise combinatóriaLista de exercícios   análise combinatória
Lista de exercícios análise combinatória
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)
 
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade iiLista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
Lista de exercícios - 8° ANO - unidade ii
 
{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...
{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...
{92 d944d5 511c-465b-add5-fa2b516fc1e0}-exercícios de reforço - medidas de vo...
 
Atividade de matemática plano cartesiano
Atividade de matemática   plano cartesianoAtividade de matemática   plano cartesiano
Atividade de matemática plano cartesiano
 
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
 
Lista de Exercícios 1 – Porcentagem
Lista de Exercícios 1 – PorcentagemLista de Exercícios 1 – Porcentagem
Lista de Exercícios 1 – Porcentagem
 

Semelhante a (Apostila função)

Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptx
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxAula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptx
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxJuliana Menezes
 
MAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdf
MAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdfMAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdf
MAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdfGernciadeProduodeMat
 
Funçoes2
Funçoes2Funçoes2
Funçoes2jwfb
 
Relações e funções
Relações e funçõesRelações e funções
Relações e funções48470490206
 
Relações e funções
Relações e funçõesRelações e funções
Relações e funçõesIvaneteseixas
 
Apostila3funes 111212025004-phpapp01
Apostila3funes 111212025004-phpapp01Apostila3funes 111212025004-phpapp01
Apostila3funes 111212025004-phpapp01Romilda Dores Brito
 
Apostila função do 1 grau
Apostila   função do 1 grauApostila   função do 1 grau
Apostila função do 1 grauCelia Lana
 
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdfMAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdfGernciadeProduodeMat
 
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoFunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
 
Introdução ao estudo das funções
Introdução ao estudo das funçõesIntrodução ao estudo das funções
Introdução ao estudo das funçõesEverton Moraes
 

Semelhante a (Apostila função) (20)

Aulaemgrupo
AulaemgrupoAulaemgrupo
Aulaemgrupo
 
Função do 1º grau
Função do 1º grau Função do 1º grau
Função do 1º grau
 
Funcão afim:exercicios
Funcão afim:exerciciosFuncão afim:exercicios
Funcão afim:exercicios
 
Função algébrica
Função algébricaFunção algébrica
Função algébrica
 
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptx
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxAula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptx
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptx
 
MAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdf
MAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdfMAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdf
MAT 1ª Série 3º BimestreEstudante.pdf
 
Funçoes2
Funçoes2Funçoes2
Funçoes2
 
Relações e funções
Relações e funçõesRelações e funções
Relações e funções
 
Relações e funções
Relações e funçõesRelações e funções
Relações e funções
 
Apostila3funes 111212025004-phpapp01
Apostila3funes 111212025004-phpapp01Apostila3funes 111212025004-phpapp01
Apostila3funes 111212025004-phpapp01
 
Apostila função do 1 grau
Apostila   função do 1 grauApostila   função do 1 grau
Apostila função do 1 grau
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
 
Mat ppt1
Mat ppt1Mat ppt1
Mat ppt1
 
Funcões-7ºAno
Funcões-7ºAnoFuncões-7ºAno
Funcões-7ºAno
 
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdfMAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
MAT 1ª Série 3º Bimestre Professor.pdf
 
Funcoes
FuncoesFuncoes
Funcoes
 
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoFunçãO Do 1º  E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
 
Introdução ao estudo das funções
Introdução ao estudo das funçõesIntrodução ao estudo das funções
Introdução ao estudo das funções
 
Cursocalc1ead
Cursocalc1eadCursocalc1ead
Cursocalc1ead
 

Último

UFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdf
UFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdfUFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdf
UFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdfManuais Formação
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxIlda Bicacro
 
Dados espaciais em R - 2023 - UFABC - Geoprocessamento
Dados espaciais em R - 2023 - UFABC - GeoprocessamentoDados espaciais em R - 2023 - UFABC - Geoprocessamento
Dados espaciais em R - 2023 - UFABC - GeoprocessamentoVitor Vieira Vasconcelos
 
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresModelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresAna Isabel Correia
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilMariaHelena293800
 
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdfUFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdfManuais Formação
 
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...WelitaDiaz1
 
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...LuizHenriquedeAlmeid6
 
O que é literatura - Marisa Lajolo com.pdf
O que é literatura - Marisa Lajolo com.pdfO que é literatura - Marisa Lajolo com.pdf
O que é literatura - Marisa Lajolo com.pdfGisellySobral
 
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEEdital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEblogdoelvis
 
transcrição fonética para aulas de língua
transcrição fonética para aulas de línguatranscrição fonética para aulas de língua
transcrição fonética para aulas de línguaKelly Mendes
 
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdfaulasgege
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxprofbrunogeo95
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfKelly Mendes
 
Projeto envolvendo as borboletas - poema.doc
Projeto envolvendo as borboletas - poema.docProjeto envolvendo as borboletas - poema.doc
Projeto envolvendo as borboletas - poema.docCarolineWaitman
 
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na Áfricajuekfuek
 
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docxSílvia Carneiro
 
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...azulassessoria9
 
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...Eró Cunha
 
Acróstico - Maio Laranja
Acróstico  - Maio Laranja Acróstico  - Maio Laranja
Acróstico - Maio Laranja Mary Alvarenga
 

Último (20)

UFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdf
UFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdfUFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdf
UFCD_10659_Ficheiros de recursos educativos_índice .pdf
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
 
Dados espaciais em R - 2023 - UFABC - Geoprocessamento
Dados espaciais em R - 2023 - UFABC - GeoprocessamentoDados espaciais em R - 2023 - UFABC - Geoprocessamento
Dados espaciais em R - 2023 - UFABC - Geoprocessamento
 
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autoresModelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
Modelos de Inteligencia Emocional segundo diversos autores
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
 
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdfUFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
UFCD_8291_Preparação e confeção de peixes e mariscos_índice.pdf
 
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
atividade para 3ª serie do ensino medi sobrw biotecnologia( transgenicos, clo...
 
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
Slides Lição 7, Betel, Ordenança para uma vida de fidelidade e lealdade, 2Tr2...
 
O que é literatura - Marisa Lajolo com.pdf
O que é literatura - Marisa Lajolo com.pdfO que é literatura - Marisa Lajolo com.pdf
O que é literatura - Marisa Lajolo com.pdf
 
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PEEdital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
Edital do processo seletivo para contratação de agentes de saúde em Floresta, PE
 
transcrição fonética para aulas de língua
transcrição fonética para aulas de línguatranscrição fonética para aulas de língua
transcrição fonética para aulas de língua
 
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
 
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptxAspectos históricos da educação dos surdos.pptx
Aspectos históricos da educação dos surdos.pptx
 
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdfGramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
Gramática - Texto - análise e construção de sentido - Moderna.pdf
 
Projeto envolvendo as borboletas - poema.doc
Projeto envolvendo as borboletas - poema.docProjeto envolvendo as borboletas - poema.doc
Projeto envolvendo as borboletas - poema.doc
 
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na ÁfricaPeriodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
Periodo da escravidAo O Brasil tem seu corpo na América e sua alma na África
 
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
[2.3.3] 100%_CN7_CAP_[FichaAvaliacao3].docx
 
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...QUESTÃO 4   Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
QUESTÃO 4 Os estudos das competências pessoais é de extrema importância, pr...
 
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
 
Acróstico - Maio Laranja
Acróstico  - Maio Laranja Acróstico  - Maio Laranja
Acróstico - Maio Laranja
 

(Apostila função)

  • 1. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 1 ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: NO :
  • 2. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 2 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções: - O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido; - A área de um quadrado é função da medida do seu lado; - O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da velocidade. Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum: - A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável dependente; - Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável dependente. As relações que têm essas características são chamadas de funções. Exemplos: 1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso, identifique a variável independente e a dependente. a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga. Resolução: b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada. Resolução: 2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 , denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado. Determine: a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros rodados. Resolução: b) O preço de uma corrida de 12 km. Resolução: c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. Resolução:
  • 3. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 3 DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um, elemento y do conjunto B. Indica-se por: Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e uma função. Observe os exemplos com diagramas: As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a relação especial é uma função. fig.1 fig.2 fig.3 As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R acima do diagrama indica ser apenas uma relação. fig.4 fig.5 fig.6 Exemplos 1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. Resolução: b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de f. Resolução: 2) Seja a função f: definida por f(x) = x2 - 7x + 9. Determine: f: A B
  • 4. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 4 a) O valor de f(-1) Resolução: b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. Resolução: 3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o valor de a. Resolução: 4) Dada a função f: definida por f(x) = ax + b, com a e b ℜ∈ . Determine a e b, sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5. Resolução: DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então, considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais. Exemplos 1) Encontrar o domínio das funções: a) f(x) = 3x2 - 4x + 2 b) f(x) = 42 53 − − x x Resolução: Resolução: c) f(x) = 44 −x d) f(x) = 4 33 2 5 − − + + − x x x x Resolução: Resolução:
  • 5. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O sistema de coordenadas ortogonais é composto por: - Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta vertical o eixo y (ordenadas). - O cruzamento das duas retas é a origem do sistema. - As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x∈D e y∈Im. Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas imagens no eixo y. Exemplos: 1) Construir o gráfico das funções: a) BA:f → , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 } b) f: definida por f(x) = x + 2
  • 6. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 6 ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o comportamento dessa função, como: - O domínio e a imagem. - Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. - Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante. - Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo. - O valor máximo ou mínimo que a função atinge. - O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função. Como reconhecer quando um gráfico representa uma função Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência um único y do contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto. Como determinar o domínio e a imagem da função - O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo x (abscissas) - A imagem de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo y (ordenadas) Exemplo D(f) = }6x/1x{ ≤≤ℜ∈ Im(f) = }5y2/y{ ≤≤ℜ∈
  • 7. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 7 Como determinar as raízes ou os zeros de uma função Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde o gráfico encontra o eixo x (abscissas). Exemplo Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante - Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem, temos função crescente. - Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem, temos função decrescente. Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem, temos função constante. Valor máximo e Valor mínimo de uma função Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os zeros da função constante decrescente crescente y o x y o x X1 X2 f(x1) f(x2) máximo mínimo Valor máximo f(x2) Valor mínimo f(x1)
  • 8. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. resp: 156 – 2,5n b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas 2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C = 5(F - 32)/9,onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. resp: 95 b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? resp: 160 3) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: resp: b a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x 4) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: a) C(n) = 200 000 + 0,50 resp: c b) C(n) = 200 000n c) C(n) = n/2 + 200 000 d) C(n) = 200 000 - 0,50n e) C(n) = (200 000 + n)/2 5) (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso: resp: a a) T = 12,50 (12 - x) b) T = 12,50x c) T = 12,50x -12 d) T = 12,50 (x + 12) e) T = 12,50x + 12 6) (Puccamp) Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se a velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, em horas, que ele leva para percorrer os x km é: resp: b a) (6x + 5)/6 b) (x + 50)/60 c) (6x + 5)/120 d) (x/60) + 50 e) x + (50/6) 7) Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. resp: a) R1 é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função
  • 9. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 9 8) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2} e B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, faça o diagrama das relações abaixo, e diga, qual delas é uma função A em B. resp: b a) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = x2 – 2 } b) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = 2x + 1 } 9) Dado o conjunto A = { -2; -1; 0; 1}, determine o conjunto imagem da função f: A→ℜ definida por f(x) = 1 – x2 . resp: Im = { -3; 0; 1} 10) Seja a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2 -10x+8. Calcular: a) f(4) resp: -16 b) Os valores de x de modo que f(x)=-1. resp: 1 e 9 11) Dadas as funções f(x)= 2 1 x + 1 e g(x) = x2 -1, calcule f(6)+g(-2). resp: 7 12) São dadas as funções f(x)= 3x+1 e g(x)= 5 4 x + a . Sabendo que f(1)-g(1)= 3 2 , calcule o valor de a . resp: 38/15 13) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= ax + b, com a, b ∈ℜ, calcule: a) a e b sabendo que f(1)=4 e f(-1)= -2; resp: a=3 e b=1 b) f(4). resp: 13 14) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2 -x-12, determine a de modo f(a+1) = 0. resp: -4 ou 3 15)Encontrar o domínio das funções: a) y=3x+4 resp: D=ℜ b) f(x)=x2 -3x+6 resp: D=ℜ c) f(x)= 4 93 + + x x resp: D=ℜ-{-4} d) f(x) = 84 52 + + x x + 3 75 + − x x resp: D=ℜ-{-3;-2} e) f(x)= 81 10 2 − − x x - 7 35 + − x x resp: D=ℜ-{-9;-7;9} f) f(x)= 63 −x resp: D={x∈ℜ/ x≥2} g) f(x)= 44 5 +x + 4 102 + − x x resp: D={x∈ℜ/ x≥5} 16) Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem: a) f: A→B, definida por f(x) = x2 +1, sendo A={-1,0,1} e B={1,2,3,4} b) f: A→B, definida por f(x) = 3x+1, sendo A=[-1,2] e B=[-4;8] c) f: A→B, definida por f(x)=-4x, sendo A=]-2,1/2] e B= [-10,5] resp: a) y b) y c) y 7 ● ● 8 ● 2 ● 1 ● -1 o 1 x -1 0 2 x -2 0 x ● -2 -2 ● D={-1,0,1} e IM={1,2} D=[-1,2] e IM=[-2,7] D=]-2,1/2] IM=[-2,8[
  • 10. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 10 17) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções. a) y b) y c) y o x o x o x Resp: a, b e c 18). (Ufes) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 80 ≤≤ t , e esboce o gráfico da função P. Resp: P(t) = - 1250t + 10000 ( 80 ≤≤ t ) 19) (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que: ( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. ( ) 20 foi o ano de maior lucro. ( ) 25 foi um ano deficitário. ( ) 15 foi um ano de lucro. ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano Resp: F V F F V
  • 11. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 11 20) (Uff) O gráfico da função f está representado na figura: Sobre a função f é FALSO afirmar que: a) f(1) + f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) d) f(4) - f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) Resp: e Prof. Carlinhos Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática