Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

  1. 1. Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
  2. 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MULTIDIMENSIONAIS
  3. 3. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.0 - Introdução É muito comum estarmos interessados no comportamento conjunto de várias variáveis. Vamos tratar agora de duas variáveis. Todavia, os conceitos discutidos valem para situações de três ou mais variáveis. As informações em um conjunto de dados, sejam elas referentes ao todo ou parte de uma população, quase sempre contêm observações multidimensionais, isto é, observações relacionadas a várias variáveis. Por exemplo, num questionário, aplicado a alunos de uma universidade, podemos obter a idade, o tamanho da família e o número de disciplinas já cursadas, entre outras quantidades que podem Ter interesse para cada aluno. Considerando duas variáveis, digamos a idade e o tamanho da família, podemos listar todos os pares que ocorrem. Como pode haver repetição de valores, os resultados podem ser organizados em uma tabela, com os possíveis pares associados às suas respectivas frequências.
  4. 4. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.1 – A distribuição conjunta Vamos trabalhar com um exemplo prático disso. Suponha que estamos interessados em estudar a composição de famílias com três crianças, quanto ao sexo. Definamos: X = o nº de meninos 1, se o primeiro filho for homem Y 0, se o primeiro filho for mulher, Z = nº de vezes em que houve variação do sexo entre um nascimento e outro, dentro da mesma família. A partir de tais dados, e supondo que as possíveis combinações tenham a mesma probabilidade, obtemos a Tabela abaixo:
  5. 5. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.1 - A distribuição conjunta Eventos Probabilidade X Y Z HHH 1/8 3 1 0 HHM 1/8 2 1 1 HMH 1/8 2 1 2 MHH 1/8 2 0 1 HMM 1/8 1 1 1 MHM 1/8 1 0 2 MMH 1/8 1 0 1 MMM 1/8 0 0 0 Tabela 1
  6. 6. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.1 - A distribuição conjunta
  7. 7. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.1 - A distribuição conjunta A partir da primeira tabela, podemos formar também as distribuições conjuntas de X e Z, de Y e Z, bem como a distribuição conjunta de X, Y, Z, que segue na tabela abaixo. Tabela 3: Distribuição conjunta das v.a. X Y e Z
  8. 8. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.1 - A distribuição conjunta 1/8 Corrigir no texto 0
  9. 9. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.1 - A distribuição conjunta
  10. 10. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.2 – Distribuições Marginais e condicionais
  11. 11. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.2 – Distribuições condicionais x 1 2 3 1/4 1/2 1/4
  12. 12. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.2 – Distribuições condicionais y 0 1 1/3 2/3
  13. 13. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.2 – Distribuições condicionais
  14. 14. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.3 – Funções de variáveis aleatórias 1/8 0
  15. 15. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.3 – Funções de variáveis aleatórias Dadas essas informações podemos então construir a tabela 7 Tabela 7: Funções de v.a.
  16. 16. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.3 – Funções de variáveis aleatórias A partir da tabela 7, podemos achar as distribuições de X+Y e XY, para as duas situações teríamos: Tabela 8: Distribuição de X+Y Tabela 9: Distribuição de XY
  17. 17. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.3 – Funções de variáveis aleatórias
  18. 18. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias
  19. 19. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias
  20. 20. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias 1/8 0
  21. 21. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias Consideremos uma nova distribuição conjunta de X e Y dada pela tabela 10 abaixo Tabela 10: distribuição conjunta
  22. 22. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias Assim teremos: Obtendo assim, Esse resultado demonstra que as variáveis X e Y não são correlacionadas entre si.
  23. 23. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias
  24. 24. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias
  25. 25. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias
  26. 26. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática no R Exemplo: Numa loja de eletrodomésticos vendem-se máquinas de lavar louça e máquinas de lavar roupa. O número de máquinas de lavar louça vendidas, X , e o número de máquinas de lavar roupa vendidas, Y , têm uma função de probabilidade conjunta parcialmente indicada no quadro abaixo: a) Complete o quadro acima e faça a função de probabilidade marginal da v.a. X YX 0 1 2 P( Y=y ) 2 0.10 0.20 ? 0.40 3 0.04 ? 0.10 0.22 4 ? 0.12 0.15 0.38
  27. 27. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática b) Calcule E(X) e E(X+Y) YX 0 1 2 P( Y=y ) 2 0.10 0.20 0.10 0.40 3 0.04 0.08 0.10 0.22 4 0.11 0.12 0.15 0.38 P( X=x ) 0.25 0.40 0.35 1
  28. 28. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática Para E(X+Y) temos que construir a tabela de probabilidade: 1,135,0240,0125,00)( 1 k i ii pxXE (X,Y) X+Y P(X,Y) (0,2) 2 0.10 (0,3) 3 0.04 (0,4) 4 0.11 (1,2) 3 0.20 (1,3) 4 0.08 (1,4) 5 0.12 (2,2) 4 0.10 (2,3) 5 0.10 (2,4) 6 0.15 X+Y 2 3 4 5 6 P(X+Y) 0.10 0.24 0.29 0.22 0.15
  29. 29. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática c) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique sua resposta. 08,415,0622,0529,0424,0310,02)()( 1 k i ii pyxYXE XY 0 2 3 4 6 8 P(XY) 0.25 0.20 0.08 0.22 0.10 0.15 32,315,0810,0622,0408,0320,0225,00)()( 1 k i ii pxyXYE 1,135,0240,0125,00)( 1 k i ii pxXE 98,238,0422,0340,02)( 1 k i ii pyYE
  30. 30. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática Como então X e Y não são independentes. 278,398,21,1)()( YEXE ),()()( YEXEXYE
  31. 31. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática Covariância de duas v.a. Uma medida de dependência linear entre X e Y é dada pela covariância: Em palavras, a covariância é o valor esperado do produto dos desvios de cada variável em relação à sua média. Usando o exemplo anterior temos: .))((),( , YXYX YXEYXCov YX 0 1 2 P( Y=y ) 2 0.10 0.20 0.10 0.40 3 0.04 0.08 0.10 0.22 4 0.11 0.12 0.15 0.38 P( X=x ) 0.25 0.40 0.35 1
  32. 32. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática Já verificamos que a E(X)=1,1 e a E(Y)=2,98 Portanto a Covariância será Outro elemento a ser calculado é a correlação, para isso vamos ter que calcular os desvios de X e Y para jogar na seguinte expressão: As respectivas variâncias serão obtidas por: 0420,098,210,132,3)()()(),( , YEXEXYEYXCov YX k i ii xp 1 22 )( 59,0)1,12(35,0)1,11(40,0)1,10(25,0)( 222 2 0 22 i iiX xp 7796,0)98,24(38,0)98,23(22,0)98,22(40,0)( 222 2 0 22 i iiY yp
  33. 33. I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS Prática Cov(X,Y) = 0,0420 Ou seja, temos entre as variáveis uma baixa correlação, porém existe sim uma pequena relação entre as mesmas. , ( , ) 0,0420 0,062 0,5900 0,7796 X Y X Y Cov X Y

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