1) O documento é uma atividade avaliativa de desafio de aprendizagem para a disciplina de matemática de um curso de tecnologia em gestão pública.
2) Ele apresenta conceitos sobre funções do primeiro e segundo grau, exponenciais, logarítmicas e inversas.
3) Exemplos práticos ilustram como aplicar essas funções em situações contábeis e financeiras.
O documento discute funções polinomiais do 1o grau, especificamente a função linear. Apresenta exemplos de como estas funções podem ser usadas para modelar situações como depreciação de máquinas e gastos com faculdade. Também mostra como construir gráficos de funções lineares e como analisar suas inclinações e pontos de interseção.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
O documento explica as funções exponenciais, incluindo sua definição, gráficos e como resolver equações e inequações exponenciais. Apresenta exemplos de funções exponenciais e como identificar se uma função é crescente ou decrescente dependendo do valor da base. Demonstra métodos para resolver equações e inequações exponenciais, com ou sem o uso de artifícios.
O documento apresenta os conceitos de funções afim, quadrática e exponencial, incluindo suas definições, gráficos e propriedades. Exemplos ilustram como essas funções podem ser usadas para modelar situações do cotidiano e resolver problemas envolvendo taxímetros, crescimento de populações bacterianas e sistemas de equações.
O documento descreve um projeto final sobre função quadrática para o ensino médio. O projeto utiliza softwares e atividades práticas para ensinar conceitos-chave como gráficos, raízes, vértices, máximos e mínimos de funções quadráticas.
Este documento discute funções polinomiais do primeiro grau. Explica que estas funções são equações com variáveis de expoente um, e que seus gráficos formam uma reta. Apresenta exemplos de problemas envolvendo funções lineares e como representá-los graficamente.
O documento define funções matemáticas, explicando seus conceitos fundamentais como domínio, contradomínio e imagem. Também aborda tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, além de funções compostas e inversas. Por fim, fornece exemplos de funções reais e atividades sobre o tema.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento discute funções polinomiais do 1o grau, especificamente a função linear. Apresenta exemplos de como estas funções podem ser usadas para modelar situações como depreciação de máquinas e gastos com faculdade. Também mostra como construir gráficos de funções lineares e como analisar suas inclinações e pontos de interseção.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
O documento explica as funções exponenciais, incluindo sua definição, gráficos e como resolver equações e inequações exponenciais. Apresenta exemplos de funções exponenciais e como identificar se uma função é crescente ou decrescente dependendo do valor da base. Demonstra métodos para resolver equações e inequações exponenciais, com ou sem o uso de artifícios.
O documento apresenta os conceitos de funções afim, quadrática e exponencial, incluindo suas definições, gráficos e propriedades. Exemplos ilustram como essas funções podem ser usadas para modelar situações do cotidiano e resolver problemas envolvendo taxímetros, crescimento de populações bacterianas e sistemas de equações.
O documento descreve um projeto final sobre função quadrática para o ensino médio. O projeto utiliza softwares e atividades práticas para ensinar conceitos-chave como gráficos, raízes, vértices, máximos e mínimos de funções quadráticas.
Este documento discute funções polinomiais do primeiro grau. Explica que estas funções são equações com variáveis de expoente um, e que seus gráficos formam uma reta. Apresenta exemplos de problemas envolvendo funções lineares e como representá-los graficamente.
O documento define funções matemáticas, explicando seus conceitos fundamentais como domínio, contradomínio e imagem. Também aborda tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, além de funções compostas e inversas. Por fim, fornece exemplos de funções reais e atividades sobre o tema.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre funções do 1o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O projeto tem como objetivos específicos definir igualdades, expressões numéricas e funções afins, e apresentar seus respectivos gráficos. Também pretende promover a interdisciplinaridade com física e estimular a interação entre os alunos por meio de atividades em grupo.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Este documento descreve as funções de 1° grau, suas características e como representá-las graficamente. Explica que uma função de 1° grau tem a forma y=ax+b, e descreve como os coeficientes a e b influenciam a inclinação e posição do gráfico. Também mostra como calcular os pontos de interseção com os eixos x e y e traça um gráfico de exemplo passo a passo.
Este documento fornece um resumo sobre funções polinomiais do 1o e 2o grau. Ele define o que são funções do 1o grau e suas características, como ter um gráfico em forma de reta. Também define funções do 2o grau, cujo gráfico forma uma parábola, e explica como determinar zeros, vértice e máximos/mínimos destas funções.
Conceito Básico De Funções (Álgebra I) Wendel Chaves
O documento apresenta os conceitos básicos de funções, incluindo noções intuitivas de conjuntos de partida e chegada e relações, funções no plano cartesiano, domínio, contradomínio e imagem, tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, e leis de formação de funções.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo: (1) a história do conceito de função, atribuída a Gottfried Leibniz; (2) exemplos de situações do cotidiano que podem ser representadas por funções; (3) definição formal de função afim; e (4) características e propriedades das funções afins como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear, e análise do sinal.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definição de função matemática e exemplos de relações que representam funções;
2) Noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função;
3) Exemplos de funções compostas e determinação da função inversa.
O documento define e explica os conceitos de função algébrica, função constante, função identidade, função polinomial, função racional, função do 1o grau e função do 2o grau. Apresenta exemplos e exercícios de aplicação destes conceitos.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
[1] Uma função do primeiro grau é definida como uma função cuja regra de associação relaciona elementos do domínio com elementos do contradomínio na forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a não pode ser zero.
[2] O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta, e pode ser esboçado a partir de dois pontos: o coeficiente linear b é o ponto de interseção com o eixo y, e o ponto de interseção com o eixo x é obtido trocando o sinal de
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Elas são definidas por uma equação da forma f(x)=ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função afim é uma reta. O documento também aborda conceitos como coeficientes angular e linear, zeros da função, inequações do 1o grau e casos particulares como função linear, identidade e constante.
O documento explica os principais conceitos de funções matemáticas, incluindo: conjunto domínio, conjunto contradomínio, conjunto imagem, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras e funções compostas. Um exemplo de função é dado relacionando professores e disciplinas que lecionam.
Uma função do 1o grau é definida como f(x) = ax + b, onde a pertence aos reais menos zero e b pertence aos reais. Exemplos incluem f(x) = 2x + 1 e f(x) = -5x - 1. Uma função do 1o grau tem domínio, imagem e contradomínio, onde os valores de x formam o domínio e a imagem e os valores de y formam o contradomínio.
O documento discute funções do primeiro grau, definindo-as como f(x)=ax+b e fornecendo exemplos. Explica que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta, e descreve como calcular o zero e estudar o crescimento/decrescimento e sinal de uma função do primeiro grau. Por fim, discute como resolver inequações do primeiro grau.
Este documento fornece uma introdução às funções de primeiro grau, definindo variáveis, domínio e contradomínio, e explicando como ler e criar gráficos de funções lineares. Explica também como calcular raízes, determinar se uma função é crescente ou decrescente, e estudar o sinal de uma função.
Este documento contém uma série de exercícios matemáticos sobre funções, incluindo identificar funções, determinar domínios e contradomínios, representar funções graficamente e algebraicamente, calcular imagens e objetos, e resolver problemas envolvendo gráficos de distância versus tempo.
Uma função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função polinomial é dado pelo grau do polinômio na fórmula. Uma função composta é aquela resultante da composição de duas ou mais funções, onde a imagem de uma é o domínio da outra.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
O documento descreve os conceitos básicos de funções afins, incluindo sua representação, construção de gráficos, coeficiente angular, coeficiente linear, zero da função e identificação de crescente ou decrescente. Também aborda como resolver sistemas e inequações do 1o grau usando gráficos e estudo de sinal.
apresentação power-point que contém as ideias iniciais sobre funções: definição, domínio, imagem, gráficos, funções compostas, por partes, crescente, decrescente, periódica...
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Estas funções possuem a forma geral f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O gráfico de uma função do 1o grau é sempre uma reta, e sua raiz ou zero é encontrada quando f(x) = 0. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar o conceito.
- O documento apresenta um resumo de vários tópicos de matemática ensinados para alunos do 9o ano, incluindo funções do 1o e 2o grau, noções financeiras, área de figuras e estatística.
- Inclui exemplos de aplicação de conceitos como fórmulas de Bhaskara, juros compostos, área do quadrado e relações métricas na circunferência.
- Fornece definições-chave de termos como taxa de juros, montante, capitalização simples vs composta e
Este documento descreve um projeto de ensino sobre funções do 1o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O projeto tem como objetivos específicos definir igualdades, expressões numéricas e funções afins, e apresentar seus respectivos gráficos. Também pretende promover a interdisciplinaridade com física e estimular a interação entre os alunos por meio de atividades em grupo.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Este documento descreve as funções de 1° grau, suas características e como representá-las graficamente. Explica que uma função de 1° grau tem a forma y=ax+b, e descreve como os coeficientes a e b influenciam a inclinação e posição do gráfico. Também mostra como calcular os pontos de interseção com os eixos x e y e traça um gráfico de exemplo passo a passo.
Este documento fornece um resumo sobre funções polinomiais do 1o e 2o grau. Ele define o que são funções do 1o grau e suas características, como ter um gráfico em forma de reta. Também define funções do 2o grau, cujo gráfico forma uma parábola, e explica como determinar zeros, vértice e máximos/mínimos destas funções.
Conceito Básico De Funções (Álgebra I) Wendel Chaves
O documento apresenta os conceitos básicos de funções, incluindo noções intuitivas de conjuntos de partida e chegada e relações, funções no plano cartesiano, domínio, contradomínio e imagem, tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, e leis de formação de funções.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo: (1) a história do conceito de função, atribuída a Gottfried Leibniz; (2) exemplos de situações do cotidiano que podem ser representadas por funções; (3) definição formal de função afim; e (4) características e propriedades das funções afins como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear, e análise do sinal.
Este documento apresenta conceitos fundamentais de cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Definição de função matemática e exemplos de relações que representam funções;
2) Noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função;
3) Exemplos de funções compostas e determinação da função inversa.
O documento define e explica os conceitos de função algébrica, função constante, função identidade, função polinomial, função racional, função do 1o grau e função do 2o grau. Apresenta exemplos e exercícios de aplicação destes conceitos.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
[1] Uma função do primeiro grau é definida como uma função cuja regra de associação relaciona elementos do domínio com elementos do contradomínio na forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a não pode ser zero.
[2] O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta, e pode ser esboçado a partir de dois pontos: o coeficiente linear b é o ponto de interseção com o eixo y, e o ponto de interseção com o eixo x é obtido trocando o sinal de
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Elas são definidas por uma equação da forma f(x)=ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função afim é uma reta. O documento também aborda conceitos como coeficientes angular e linear, zeros da função, inequações do 1o grau e casos particulares como função linear, identidade e constante.
O documento explica os principais conceitos de funções matemáticas, incluindo: conjunto domínio, conjunto contradomínio, conjunto imagem, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras e funções compostas. Um exemplo de função é dado relacionando professores e disciplinas que lecionam.
Uma função do 1o grau é definida como f(x) = ax + b, onde a pertence aos reais menos zero e b pertence aos reais. Exemplos incluem f(x) = 2x + 1 e f(x) = -5x - 1. Uma função do 1o grau tem domínio, imagem e contradomínio, onde os valores de x formam o domínio e a imagem e os valores de y formam o contradomínio.
O documento discute funções do primeiro grau, definindo-as como f(x)=ax+b e fornecendo exemplos. Explica que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta, e descreve como calcular o zero e estudar o crescimento/decrescimento e sinal de uma função do primeiro grau. Por fim, discute como resolver inequações do primeiro grau.
Este documento fornece uma introdução às funções de primeiro grau, definindo variáveis, domínio e contradomínio, e explicando como ler e criar gráficos de funções lineares. Explica também como calcular raízes, determinar se uma função é crescente ou decrescente, e estudar o sinal de uma função.
Este documento contém uma série de exercícios matemáticos sobre funções, incluindo identificar funções, determinar domínios e contradomínios, representar funções graficamente e algebraicamente, calcular imagens e objetos, e resolver problemas envolvendo gráficos de distância versus tempo.
Uma função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. O grau de uma função polinomial é dado pelo grau do polinômio na fórmula. Uma função composta é aquela resultante da composição de duas ou mais funções, onde a imagem de uma é o domínio da outra.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
O documento descreve os conceitos básicos de funções afins, incluindo sua representação, construção de gráficos, coeficiente angular, coeficiente linear, zero da função e identificação de crescente ou decrescente. Também aborda como resolver sistemas e inequações do 1o grau usando gráficos e estudo de sinal.
apresentação power-point que contém as ideias iniciais sobre funções: definição, domínio, imagem, gráficos, funções compostas, por partes, crescente, decrescente, periódica...
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Estas funções possuem a forma geral f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O gráfico de uma função do 1o grau é sempre uma reta, e sua raiz ou zero é encontrada quando f(x) = 0. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar o conceito.
- O documento apresenta um resumo de vários tópicos de matemática ensinados para alunos do 9o ano, incluindo funções do 1o e 2o grau, noções financeiras, área de figuras e estatística.
- Inclui exemplos de aplicação de conceitos como fórmulas de Bhaskara, juros compostos, área do quadrado e relações métricas na circunferência.
- Fornece definições-chave de termos como taxa de juros, montante, capitalização simples vs composta e
1) O documento apresenta conceitos básicos sobre funções do 1o grau, incluindo definições, exemplos e gráficos.
2) Uma função do 1o grau relaciona duas variáveis onde uma depende da outra de acordo com uma fórmula polinomial.
3) Os gráficos de funções do 1o grau na forma y=ax+b resultam em uma reta, sendo crescente se a>0 e decrescente se a<0.
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
A função do 2o grau é definida por y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As coordenadas do vértice e as raízes da função podem ser determinadas a partir dos valores de a, b e c.
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxJuliana Menezes
O documento apresenta conceitos básicos sobre funções matemáticas. Resume:
1) Discute noções intuitivas de função e exemplos de dependência de variáveis; 2) Apresenta formas de representar funções através de diagramas, tabelas, equações e gráficos; 3) Define os conceitos de domínio, contradomínio e imagem.
1) O documento discute noções básicas de funções matemáticas, incluindo exemplos de situações onde uma grandeza depende de outra e definições formais de domínio, contradomínio e conjunto imagem.
2) Apresenta exemplos de gráficos que representam funções e não funções.
3) Explica como construir e ler gráficos de funções.
Trabalho informatica educativa semana 6 e 7josiasjulio
O documento discute funções do primeiro grau, também chamadas de funções afins. Uma função afim é definida por uma equação na forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. O documento fornece exemplos de funções afins, explica como calcular o coeficiente angular, linear e determinar se uma função é crescente ou decrescente. Além disso, discute aplicações de funções afins em diferentes áreas e como construir gráficos para representá-las.
1) O documento discute funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins. Apresenta exemplos, gráficos, zeros, crescimento, decrescimento e sinal de funções afins.
2) Aborda tipos particulares de funções afins como funções lineares, identidade e constantes.
3) Propõe exercícios sobre funções afins para identificar sua lei, representar graficamente, calcular zeros e raízes, estudar sinal e analisar variação.
O documento discute conceitos de funções matemáticas, incluindo: 1) A importância das funções para compreender relações entre fenômenos; 2) Definições e exemplos de funções do 1o e 2o grau, como funções constantes, identidade, lineares e afins; 3) Como representar graficamente essas funções e encontrar suas raízes.
O documento descreve as funções do 1o grau, definindo-as como funções na forma f(x) = ax + b, e apresentando exemplos. Também aborda o gráfico dessas funções, coeficientes angular e linear, raiz, estudo do sinal e exercícios.
1. O documento introduz o conceito de função matemática, apresentando exemplos de como variáveis podem ser relacionadas através de funções.
2. É explicado que uma função relaciona uma variável dependente e uma variável independente, onde o valor da variável dependente é determinado unicamente pelo valor da variável independente.
3. São apresentados conceitos-chave sobre funções como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
1) O documento discute funções do 1o grau, definindo-as como relações entre variáveis onde o segundo membro é um polinômio de 1o grau.
2) Apresenta exemplos de funções lineares e afins e explica como construir seus gráficos no plano cartesiano.
3) Discutem propriedades como domínio, imagem e monotonicidade de funções do 1o grau.
1) O documento discute funções do 1o grau, definindo-as como relações entre variáveis onde o segundo membro é um polinômio de 1o grau.
2) Apresenta exemplos de funções lineares e afins e explica como construir seus gráficos no plano cartesiano.
3) Discutem propriedades como domínio, imagem e monotonicidade de funções do 1o grau.
1) O documento discute funções do 1o grau, especificamente como calcular o perímetro e área de retângulos e quadrados em função de suas medidas.
2) Uma função do 1o grau é representada por uma equação na forma y = ax + b, onde a e b são coeficientes.
3) O gráfico de uma função do 1o grau com a > 0 é uma reta crescente.
1) O documento discute funções do 1o grau, especificamente como calcular o perímetro e área de retângulos e quadrados em função de suas medidas.
2) Uma função do 1o grau é representada por uma equação na forma y = ax + b, onde a e b são coeficientes.
3) O gráfico de uma função do 1o grau com a > 0 é uma reta crescente.
1) O documento discute funções do 1o grau, definindo-as como relações entre variáveis onde o segundo membro é um polinômio de 1o grau.
2) Apresenta exemplos de funções lineares e afins e explica como construir seus gráficos no plano cartesiano.
3) Discutem propriedades como domínio, imagem e monotonicidade de funções do 1o grau.
1) O documento discute funções do 1o grau, especificamente como calcular o perímetro e área de retângulos e quadrados em função de suas medidas.
2) Uma função do 1o grau é representada por uma equação na forma y = ax + b, onde a e b são coeficientes.
3) O gráfico de uma função do 1o grau com a > 0 é uma reta crescente.
O documento apresenta um índice com os principais tópicos sobre funções reais de várias variáveis reais, incluindo funções de duas e três variáveis, domínio de uma função de duas variáveis, curvas de nível, derivadas parciais, função definida na forma implícita, diferencial e outros conceitos.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
Semelhante a Desafioaprendizadodematematica 120822180334-phpapp01 (20)
1. Universidade Anhanguera – Uniderp
Centro de Educação a Distância
Curso Superior Tecnologia em Gestão Pública
ATIVIDADE AVALIATIVA DESAFIO DE
APRENDIZAGEM
Disciplina: Matemática
Prof.Me. Pedro Hiane
São Luis-Ma
2011
2. Atividade Avaliativa Desafio de Aprendizagem
Disciplina: Matemática
Prof.Me. Pedro Hiane
Atividade Avaliativa: Desafio de
Aprendizagem apresentado ao Curso
Superior Tecnologia em Gestão Pública
da Universidade Anhanguera Uniderp,
como requisito para a avaliação da
Disciplina Matemática ata obtenção e
atribuição de nota da Atividade
Avaliativa.
São luis-Ma
2011
3. Etapa n° 1:
1° PASSO
Curso C.S.Tecnologia em Gestão
Publica
Período
Letivo
2011/2
Semestre 2º Sem Disciplina MATEMATICA
Nome Tutor
Presencial
Nome
Prof° Moises
Nome Professor
EAD
Pedro Hiane
Nome
Aluno(a)
Nome
Roosevelt F. Abrantes
RA Número
298764
Etapa n° 2:
2° PASSO
Introdução:
Desde os tempos antigos, o homem buscou formas de representar a
realidade. A função de primeiro grau foi uma das primeiras representações
que fez com que o homem pudesse avançar até em construções de
pirâmides na época do Egito. Esse trabalho desenvolve conceitos a respeito
da função de primeiro grau na contabilidade. Também apresenta exemplos
práticos de como essa importante função ajuda até hoje o homem a
representar com maior exatidão a realidade na área contábil. A matemática
e a contabilidade são duas ciências que evoluíram desde a antiguidade.
Sempre caminharam juntas, paralelamente ao desenvolvimento econômico
e social. Esse desenvolvimento influenciou diretamente todas as atividades
relacionadas a cultura, ciência e educação .Sendo a contabilidade e a
matemática duas ciências essenciais ao desenvolvimento profissional, surge
a necessidade de identificar como a disciplina de matemática pode utilizar-
se da contabilidade na gestão de custos para compreensão de um conceito
básico matemático como função. Assim, o objetivo deste trabalho é
identificar uma aplicação da análise das funções de primeiro grau na
contabilidade.
4. CONCEITOS
FUNÇÃO:
Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre
eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver
relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto.
Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de
dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos
dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) =
y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a
função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor
de x sendo a imagem da função.
Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final
do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função
(está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos
KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma
função.
FUNÇÃO DE 1º GRAU:
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra,
isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y.
Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em
função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado
de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma
função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde
a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta.
Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência
5. entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os
coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou
decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função
com o eixo y no plano cartesiano. Observe:
Função crescente Função decrescente
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam os valores
correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os
valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 6x + 4, a = 6 e b = 4
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 20, a = – 2 e b = 20
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso
considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor
igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto,
determinando a raiz ou o zero da função.
Exemplo:
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores
automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de
6. energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um
custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos,
sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão
no mercado seja equivalente a R$ 120, 00, monte as Funções Custo,
Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1000
pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que
se tenha lucro.
Função Custo total mensal:
C(x) = 950 + 41x
Função Receita
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões
L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000)
L(1000) = 120.000 – 950 + 41000
L(1000) = 120.000 – 41950
L(1000) = 78.050
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00.
Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o
custo.
R(x) > C(x)
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 950
79x > 950
x > 950 / 79
x > 12
Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças.
7. FUNÇÃO DO 2º GRAU:
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas
características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela
fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais
com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma
função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode
ser igual a zero.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→
R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais
a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será
considerada incompleta.
Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem
contradomínio.
Exemplo 2
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado
artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) =
2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de
modo que se obtenha o lucro máximo?
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
8. L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = – x² + 6x – 8
O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro
máximo será determinado por Xv.
[pic]
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
FUNÇÃO EXPONENCIAL:
Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se
encontra no expoente de um número real, sendo que esse número
precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal
condição usando a seguinte definição geral:
f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico de uma função exponencial é definido de acordo com o
valor da base a, observe os dois gráficos a seguir:
a > 0 0 < a < 1
[pic]
A função exponencial é caracterizada pelo crescimento e
decrescimento muito rápido, por isso é muito utilizada na
Matemática e em outras ciências correlacionadas com cálculos. Na
Matemática, serve para demonstrar o crescimento de um capital
aplicado a uma determinada taxa de juros compostos.
Exemplo
Uma pessoacoloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não
levanta dinheiro algum durante 10 anos. Quanto tem a receber
(capital acumulado) ao fim desse período?E ao fim de x anos?
Resolução:
9. milhares de contos
Ao fim de 1 ano 3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2
Ao fim de 2 anos 3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) =
3x1,22
Ao fim de 3 anos 3x1,22 + 3x1,22x0,2 = 3x1,23
..................................................................................................
Ao fim de 10 anos 3x1,210 ≈ 18,575
Ao fim de x anos 3x1,2x
FUNÇÃO INVERSA:
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras.
Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares
ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da
seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função
A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa
função abaixo:
[pic]
Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado
com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos
dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso
realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x
= y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:
[pic]
Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.
Exemplo 1
10. Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x)
precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim
teremos x = 3y – 5, logo:
x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x +
5)/3.
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA:
As funções na forma f(x) = log ax são consideradas logarítmicas,
com a > 0 e a ≠ 1, sendo f : R*+ → R. Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2)
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as
seguintes condições:
Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.
Função crescente
[pic]
Função decrescente
[pic]
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades
destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu
11. desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas
propriedades.
Exemplo:
Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da
substância, Q0, a massa inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em
anos. Note que nessa equação, a massa final está em função do
tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos
anos 50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa
de variação de 8% ao ano.
[pic]
[pic]
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e
9 meses.
Exemplo:
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa
mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará
duplicado?
Solução:
Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver
duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:
2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica:
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então:
n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser
obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma
questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os
valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de
calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.
12. Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a
taxa de juros do problema é mensal), o que equivalente a 2 anos e 11
meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses.
FUNÇÃO POTENCIA:
POLINOMIAL
Toda função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x +
a0, é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função
do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois
x: domínio da função e y: imagem.
O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente
natural entre os monômios que o formam. Veja:
g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.
f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.
h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.
Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são
atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)],
construindo o par ordenado (x,y), usado nas representações gráficas
no plano cartesiano. Observe:
EXEMPLOS
Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os
pares ordenados quando:
x = 0
p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1
p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1
p(0) = 0 + 0 – 0 + 1
p(0) = 1
par ordenado (0,1)
x = 1
p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1
p(1) = 2 + 2 – 5 + 1
13. p(1) = 0
par ordenado (1,0)
x = 2
p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1
p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1
p(2) = 16 + 8 – 10 + 1
p(2) = 15
par ordenado (2,15)
Obtenção da Função Derivada
O objetivo é apresentar o significado de uma função derivada e como
ela se relaciona com a função que lhe deu origem. Ao mesmo tempo,
deseja-se mostrar, através de um caso particular, como foram
construídas as regras de derivação. Para isso, tomando como
exemplo uma função polinomial do tipo:
y = f(x) = a + b.x + c.x²
considere as várias funções obtidas a partir dela, desde a função
constante, y = a , até aquela representada pela função do 2ºgrau, e
suas derivadas.
A- Derivada da Função Constante
A função constante y = a tem por gráfico uma reta paralela à
abscissa.
[pic]
Exemplo: f’(ln|2x+1|) = 2/2x+1;
*Derivada da soma de duas funções:
f’(g(x)+h(x)) = f’(g(x)) + f’(h(x));
Exemplo: f’((2x) + (5x^2+5)) = 2 + 10x;
*Derivada do produto de uma constante por uma função:
f’(c.g(x)) = c.g’(x);
Exemplo: f’(2.(2x)) = 2.2 = 4;
*Função potência:
f’(x^n) = n.x^(n-1);
Funções Logarítmicas e Exponenciais
14. LOGARITMOS:
Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais
precisamente, se b > 0 e b [pic]1, então para valores positivos de x o
logaritmo na base b de x é denotado por
[pic]
e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado
para produzir x. Por exemplo,
[pic]
Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os
de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é
usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não
[pic]. Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam
importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem
naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos
mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os
quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao
matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação
aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta
constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e[pic]2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y = [pic]
Os valores de[pic]aproximam-se a e
|x |[pic] |[pic] |
|1 |2 |[pic]2,000000|
|10 |1,1 | 2,593742 |
|100 |1,01 | 2,704814 |
|1000 |1,001 | 2,716924 |
|10.000 |1,0001 | 2,718146 |
|100.000 |1,00001 | 2,718268 |
|1.000.000 |1,000001 | 2,718280 |
[pic]
O fato de que y = e, quando x[pic] e quando x[pic] é expresso pelos
limites
[pic] e [pic]
15. A função exponencial f (x) = [pic]é chamada de função exponencial
natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes,
escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação
[pic]expressa como
exp([pic]+[pic]) = exp([pic]) exp([pic])
Esta notação é também usada porrecursos computacionais, e é típico
acessar a função [pic]com alguma variação do comando EXP.
DERIVADA DE UMA CONSTANTE
Se c for um número real qualquer, então:
[pic]
DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO
Se for diferençável em x e c for um número real qualquer, então:
[pic]
DERIVADAS MAIS ALTAS
Se a derivada (f') de uma função (f) for ela mesma diferençável,
então a derivada de (f') será denotada por (f''), chamada de derivada
segunda de (f):
[pic]
Se pudermos repetir este processo, obteremos a derivada terceira de
f:
E assim por diante, na forma geral:
[pic]
Desenvolvimento:
1) RESOLVA O PROBLEMA– DESAFIO
I - Um trator tem seu valor dado pela função V(x) =125.000 · 0,91x, onde x
representa o ano após a compra do trator e x = 0 o ano em que foi
comprado o trator.
a)Calcule o valor do trator após 1, 5 e 10 anos da compra.
16. V(1) = 125.000 x 0,91¹
V(1) = 113.750
V(5) = 125.000 x 0,915
V(5) = 125000 x 0,625
V(5) = 78.125
V(10) = 125,000 x 0,9110
V(10) = 125.000 x 0,39
V(10) = 48.750
b)Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de
depreciação do valor em um ano?
V(0) = 125.000 x 0,9110 = 125.000
125.000 = 100
(125.000 – 113.750) = x
125.000 = 100
1.1250 x
125.000x = 1125000
x = 1125000
125000
x = 9 %
c)Esboceo gráfico de V(x).
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
1 5 10
17. d)Após quanto tempo o valor do trator será $90.000,00?
125.000 x 0,91 = 90.000
0,91x = 90.000
125.000
0,91x = 0, 721
=> (91)x
x = 3, 48
x = aproximadamente 3 anos e 6 meses
18. Conclusão:
Através do desenvolvimento deste trabalho pode-se concluir o
quanto se faz necessário às funções matemáticas e a contabilidade para um
bom relacionamento entre o homem e o estudo das ciências exatas,
mostramos a importância da função de primeiro grau nas ciências
contábeis. Com os exemplos acima descritos nota-se que a função de
primeiro grau não só é utilizada na contabilidade. Mas na vida diária,
usamos as funções e a contabilidade para obter precisão dos fatos para
tomada de decisões tanto na vida profissional como na vida pessoal.
Concluímos então que um estudante para torna-se um bom
profissional deve aplicar não só as funções de primeiro grau, mas todas as
funções matemáticas junto da contabilidade, Identificando soluções para os
desafios que por ventura virão com a profissão e também resolver
problemas e satisfazer os envolvidos nas diversas situações com habilidade
e a competência necessária.
19. Referencias Bibliograficas:
Murolo, Afrânio Carlos – Matematica aplicada a administração,
economia e contabilidade / Afranio Carlos Murolo, Giacomo
Augusto Bonetto – São Paulo 2009.
http:// www.brasilescola.com/matematica
http:// www.mundoeducação.com.br/matemática
http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_1_consta.h
tm
http://www.somatematica.com.br/superior.php