O documento discute os conjuntos numéricos fundamentais, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também define a reta real e intervalos, e explica propriedades como ordenação, adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação de números reais. Operações com conjuntos como união, intersecção e diferença são apresentadas com aplicações no Octave/Matlab.

1. Matemática I
Tópico 01– Conjuntos Numéricos
Fundamentais
Ricardo Bruno N. dos Santos
Professor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA

3. 1. Conjuntos numéricos fundamentais
O principal conjunto numérico trabalhado é o conjunto numérico
dos números reais. É o conjunto mais completo pois ele apresenta
vários subconjuntos como:
- Conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, ...}
- Conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
- Conjunto dos números racionais
- Conjunto dos números irracionais
Um número racional é qualquer número que pode ser escrito
como uma razão a/b de dois números inteiros, onde b0, assim a
notação matemática será:
, sao inteiros, e 0
a
a b b
b
 

 
 

4. 1. Conjuntos numéricos fundamentais
Já u número irracional não possui um bloco de dígitos definidos,
ou seja, seu valor decimal se repete infinitamente:
3 1,7320508....
 3,14159265
 

5. 1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.1. A reta real
Todo número real corresponde a um e somente um valor na reta
real e todo valor na reta real corresponde a um e somente um
número real. Entre os dois números reais na reta existem infinitos
números reais.
O Conjunto real sempre será representado por e o número
associado ao ponto é a coordenada do ponto. Podemos então
afirmar que a reta real seria uma representação geométrica do
conjunto dos reais
Uma característica fundamental do conjunto dos reais é de que
ele é ordenado, ou seja, podemos comparar qualquer dois números
reais que não são iguais usando desigualdades; pode-se dizer que é
“menor que” ou “maior que” o outro. Portanto as condições de
ordem podem ser representadas pela Tabela 1.

6. 1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.1. A reta real
Geometricamente então teremos:
Lei da Tricotomia
Sejam a e b dois números reais quaisquer. Somente uma das
expressões é verdadeira:
a<b, a=b ou a>b

7. Ordem dos números reais
Símbolo Definição Leitura
a>b a – b é positivo a é maior que b
a < b a – b é negativo a é menor que b
a  b a – b é positivo ou zero a é maior ou igual a b
a  b a – b é negativo ou zero a é menor ou igual a b
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.1. A reta real
Tabela 1
Geometricamente, a > b significa que a está a direita de b na reta
dos números reais. Podemos comparar dois números reais quaisquer
devido à Lei da Tricotomia.

8. Com isso podemos então estabelecer as seguintes propriedades
da reta real:
i) Se 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑏 ≤ 𝑎, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 = 𝑏 (antissimétrica)
ii) Se 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 𝑏 ≤ 𝑐, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 ≤ 𝑐 (transitiva)
iii) Se 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑
iv) E dado um número real c0, se a  b, temos
𝑐𝑎 ≤ 𝑐𝑏, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0
𝑐𝑏 ≤ 𝑐𝑎, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 < 0
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.1. A reta real

9. Subconjuntos de Símbolo Nome Representação
no eixo real
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.2. Tipos de intervalo
a b
a b
a b
a

10. Resumo dos conjuntos
N Z Q R C
𝑁 𝑍  𝑄  𝑅  𝐶

11. As propriedades básicas envolvem a adição, subtração,
multiplicação e divisão. Considerando u e v números reais, variáveis
ou expressões algébricas temos as seguintes propriedades:
i) Propriedade Comultativa:
i.1 – Adição: u+v=v+u
i.2 – Multiplicação: uv=vu
ii) Propriedade Associativa:
ii.1 – Adição: (u+v)+w = u+(v+w)
ii.2 – Multiplicação: (uv)w = u(vw)
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.3. Propriedades básicas da álgebra

12. iii) Propriedade do elemento neutro
iii.1 – Adição: u + 0 = u
iii.2 – Multiplicação: u1=u
iv) Propriedade do elemento inverso:
iv.1 – Adição: u + (-u) = 0
iv.2 – Multiplicação: 𝑢.
1
𝑢
= 1, 𝑢0
v) Propriedade distributiva:
v.1 – Multiplicação/Adição: u(v+w)= uv + uw
v.2 – Multiplicação/Subtração: u(v-w)= uv – uw
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.3. Propriedades básicas da álgebra

13. vi) Propriedade da inversa aditiva:
vi.1) –(–u) = u
vi.2) (-u)v = u(-v) = -(uv)
vi.3) (-u)(-v) = uv
vi.4) (-1)u = -u
vi.5) –(u+v) = (-u) + (-v)
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.3. Propriedades básicas da álgebra

14. Serve para diminuir/encurtar produtos de fatores que se
repetem.
Ex: (-3)(-3)(-3) = (-3)4 e (2x+1)(2x+1)=(2x+1)2
Assim tem-se a seguinte notação:
𝑎𝑛
= 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎
Onde n é o expoente e a é a base.
Imagine as seguintes situações abaixo:
a) Em (-2)5, a base é -2
b) Em -25, a base é 2
O resultado final é positivo ou negativo?
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.4. Potenciação de expoentes inteiros

15. Como propriedades a potenciação possui as seguintes:
1) 𝑢𝑚𝑢𝑛 = 𝑢𝑚+𝑛
2)
𝑢𝑚
𝑢𝑛 = 𝑢𝑚−𝑛
3) 𝑢0 = 1
4) 𝑢−𝑛 =
1
𝑢𝑛
5) (𝑢𝑣)𝑚 = 𝑢𝑚𝑣𝑚
6) (𝑢𝑚
)𝑛
= 𝑢𝑚𝑛
7)
𝑢
𝑣
𝑚 𝑢𝑚
𝑣𝑚
1. Conjuntos numéricos fundamentais
1.4. Potenciação de expoentes inteiros

16. 1. Conjuntos Numéricos fundamentais
1.5 Algumas operações com conjuntos
U
A
B
C
E
F

17. Aplicação
Esse espaço é destinado para a aplicação do software
matemático. Nesse caso estaremos usando o Octave/Matlab.
No ícone do vídeo temos a apresentação para o cálculo da União,
Intersecção e Diferença entre conjuntos.
No próximo temos a aplicação da potenciação no Octave/Matlab