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AULA 12
      ESTATÍSTICA
Professor: João Alessandro


MEDIDAS DE DISPERSÃO
Medidas de Dispersão

A dispersão mede quão próximo uns dos outros estão os valores
do grupo
                                          pequena dispersão

                                            grande dispersão

     A = ( 25,28,31,34,37 )      B = (17,23,30,39,46 )
             x A = 31                   xB = 31
  A variabilidade de B é maior que de A
                          Uma medida de          Uma medida de
   Uma boa                posição                dispersão
   representação   =                         +
                          (quase sempre a        (quase sempre o
   de dados               média)                 desvio padrão)
Medidas de Dispersão

                         Variância


   A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada.


                         ∑ (x i - x )
                                      2
                    S2 =   n-1



                       n–1        amostra
                       n         população

     ATENÇÃO
Medidas de Dispersão

                                Variância


Exercício: Calcule a variância da amostra 2, 4, 6, 8, 10.

A média desse conjunto é 6.
    xi    x      x i- x     (x i - x ) 2
    2    6        -4          16
                                                ∑ (x i - x )
                                                             2
    4    6        -2          4            S2 =   n-1          = 40 = 10
                                                                 5-1
    6    6         0          0
    8    6        +2          4
   10    6        +4          16
somas             0           40
Medidas de Dispersão

                          Desvio padrão

É a raiz quadrada da variância.

                                  ∑ (x i - x )
                                               2
                          S=        n-1


                           n–1         amostra
                           n          população
 O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na
 mesma unidade da variável em análise. Assim, se a unidade da
 variável for mm, o desvio padrão também será mm.
 Isso não acontece com a variância.
Medidas de Dispersão

                                           Desvio padrão

O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada. Quanto maior
é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média.

                                       emtodos os casos temos 7 medidas
                      s=0
              7
              6
                                       com média X = 4
              5
 freqüência




              4
                                          s = 0,8               s = 1,0               s=3
              3
              2
              1
              0
                  1 2 3 4 5 6 7      1 2 3 4 5 6 7        1 2 3 4 5 6 7        1 2 3 4 5 6 7

                        O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta
Medidas de Dispersão

                      Coeficiente de variação

É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados.

          amostra                       população
               Sx                               σ . 100
    CV (%) =        . 100    ou    CV(%) =
                x                               µ

Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média.
Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável
quando comparada com os valores da variável
 Conjunto de dado com s = 15 e     Conjunto de dado com s = 20 e
 média 100                         média 1000
           CV = 15%                        CV = 2%
Médias e Desvio-padrão - Exemplos


 Exemplo: Calcular o desvio-padrão da amostra
 representada por: 1, 2, 4, 5, 7.

    i         Xi          (Xi - )           (Xi - )2
    1         1       (1 – 3,8) = -2,8   (-2,8)2 = 7,84
    2         2       (2 – 3,8) = -1,8   (-1,8)2 = 3,24
    3         4        (4 – 3,8) = 0,2    (0,2)2 = 0,04
    4         5        (5 – 3,8) = 1,2    (1,2)2 = 1,44
    5         7        (7 – 3,8) = 3,2   (3,2)2 = 10,24
              = 3,8
Médias e Desvio-padrão - Exemplos
      Xi          (Xi - )            (Xi - )2
      1       (1 – 3,8) = -2,8    (-2,8)2 = 7,84
      2       (2 – 3,8) = -1,8    (-1,8)2 = 3,24
      4        (4 – 3,8) = 0,2     (0,2)2 = 0,04
      5        (5 – 3,8) = 1,2     (1,2)2 = 1,44
      7        (7 – 3,8) = 3,2    (3,2)2 = 10,24
      = 3,8




       n               2
         (
Logo : ∑ X i − X   )
       i                     22,8   22,8
 S=                        =      =      = 2,39
          n -1               5−1     4
Médias e Desvio-padrão - Exercícios

Exercício 1: Vamos supor que eu quero comprar uma
lâmpada para a minha casa e quero que ela dure pelo
menos 700 h. Eu solicito a dois fabricantes o tempo de
vida útil de suas lâmpadas e eles me fornecem os
seguintes dados:

          Fabricante A (h)   Fabricante B (h)
                730               1000
                710                687
                705                700
                720                850
                765                587
                750                710

 Supondo que as duas lâmpadas custam o mesmo
 valor, qual delas eu deveria comprar?
Médias e Desvio-padrão - Exercícios

Para chegarmos à uma conclusão é necessário
calcularmos o tempo de vida útil médio para cada
fabricante e saber qual é variabilidade dos dados.

           Fabricante A (h)   Fabricante B (h)
                 730               1000
                 710                687
                 705                700
                 720                850
                 765                587
                 750                710

          X A = 730 h          X B = 755,67 h
          SA = 23,45 h        SB = 146,25 h
    Critério de escolha: tempo de vida útil =
            média ± desvio-padrão
Médias e Desvio-padrão - Exercícios

                       Fabricante A : 730 ± 23,45 h



X A − S A = 730 − 23,45 h       X A = 730 h     X A + S A = 730 + 23,45 h

  Fabricante A:[706,55 – 753,45= -46,9]          Conclusão :
                                                 Escolheria o
                                                 fabricante A.
                   Fabricante B : 755,67 ± 146,25
                   h


X B − S B = 755,67 −146,25 h   X B = 755,67 h   X B + S B = 755,67 + 146,25 h

  Fabricante B : [609,42 – 901,92= -292,5]
Médias e Desvio-padrão - Exercícios
Exercício 2: Um comerciante está interessado em comprar 100
garrafas de cachaça para o seu estabelecimento. No entanto,
como é de preferência de sua clientela, é necessário que a
cachaça escolhida apresente um teor alcoólico de no mínimo
33% em volume. Ele consultou alguns fornecedores e obteve
as seguintes informações:
 Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas.
  Marca A (R$ 3,50/l) Marca B (R$ 4,10/l) Marca C (R$ 3,65/l)
          38,7                    35,7                   38,7
          33,5                    36,4                   33,5
          32,5                    35,9                   34,5
          31,2                    33,2                   34,2
          35,9                    34,1                   35,9

Na sua opinião, qual deveria ser a marca escolhida pelo
comerciante?
Médias e Desvio-padrão - Exercícios
  Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas.
    Marca A (R$ 3,50/l)        Marca B (R$ 4,10/l)     Marca C (R$ 3,65/l)
            38,7                       35,7                   38,7
            33,5                       36,4                   33,5
            32,5                       35,9                   34,5
            31,2                       33,2                   34,2
            35,9                       34,1                   35,9
       Média = 34,36               Média = 35,06          Média = 35,36
          S = 2,97                   S = 1,35               S = 2,06
   100 garrafas = 350,00       100 garrafas = 410,00 100 garrafas = 365,00

Marca A: 34,36 ± 2,97 →[31,39–37,33=-5,94]
Marca B: 35,06 ± 1,35 →[33,71–36,41=-2,7]
Marca C:35,36 ± 2,06 → [33,3–37,42=-4,12]
As marcas B e C atendem ao requisito (>33%),no entanto
escolheria a marca C pelo preço. Assim, teria um economia
de R$ 45,00!
DÚVIDAS?
joao.alessandro@grupointegrado.br
        jalmat@hotmail.com

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  • 1. AULA 12 ESTATÍSTICA Professor: João Alessandro MEDIDAS DE DISPERSÃO
  • 2. Medidas de Dispersão A dispersão mede quão próximo uns dos outros estão os valores do grupo pequena dispersão grande dispersão A = ( 25,28,31,34,37 ) B = (17,23,30,39,46 ) x A = 31 xB = 31 A variabilidade de B é maior que de A Uma medida de Uma medida de Uma boa posição dispersão representação = + (quase sempre a (quase sempre o de dados média) desvio padrão)
  • 3. Medidas de Dispersão Variância A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada. ∑ (x i - x ) 2 S2 = n-1 n–1 amostra n população ATENÇÃO
  • 4. Medidas de Dispersão Variância Exercício: Calcule a variância da amostra 2, 4, 6, 8, 10. A média desse conjunto é 6. xi x x i- x (x i - x ) 2 2 6 -4 16 ∑ (x i - x ) 2 4 6 -2 4 S2 = n-1 = 40 = 10 5-1 6 6 0 0 8 6 +2 4 10 6 +4 16 somas 0 40
  • 5. Medidas de Dispersão Desvio padrão É a raiz quadrada da variância. ∑ (x i - x ) 2 S= n-1 n–1 amostra n população O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise. Assim, se a unidade da variável for mm, o desvio padrão também será mm. Isso não acontece com a variância.
  • 6. Medidas de Dispersão Desvio padrão O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada. Quanto maior é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média. emtodos os casos temos 7 medidas s=0 7 6 com média X = 4 5 freqüência 4 s = 0,8 s = 1,0 s=3 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta
  • 7. Medidas de Dispersão Coeficiente de variação É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados. amostra população Sx σ . 100 CV (%) = . 100 ou CV(%) = x µ Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média. Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável quando comparada com os valores da variável Conjunto de dado com s = 15 e Conjunto de dado com s = 20 e média 100 média 1000 CV = 15% CV = 2%
  • 8. Médias e Desvio-padrão - Exemplos Exemplo: Calcular o desvio-padrão da amostra representada por: 1, 2, 4, 5, 7. i Xi (Xi - ) (Xi - )2 1 1 (1 – 3,8) = -2,8 (-2,8)2 = 7,84 2 2 (2 – 3,8) = -1,8 (-1,8)2 = 3,24 3 4 (4 – 3,8) = 0,2 (0,2)2 = 0,04 4 5 (5 – 3,8) = 1,2 (1,2)2 = 1,44 5 7 (7 – 3,8) = 3,2 (3,2)2 = 10,24 = 3,8
  • 9. Médias e Desvio-padrão - Exemplos Xi (Xi - ) (Xi - )2 1 (1 – 3,8) = -2,8 (-2,8)2 = 7,84 2 (2 – 3,8) = -1,8 (-1,8)2 = 3,24 4 (4 – 3,8) = 0,2 (0,2)2 = 0,04 5 (5 – 3,8) = 1,2 (1,2)2 = 1,44 7 (7 – 3,8) = 3,2 (3,2)2 = 10,24 = 3,8 n 2 ( Logo : ∑ X i − X ) i 22,8 22,8 S= = = = 2,39 n -1 5−1 4
  • 10. Médias e Desvio-padrão - Exercícios Exercício 1: Vamos supor que eu quero comprar uma lâmpada para a minha casa e quero que ela dure pelo menos 700 h. Eu solicito a dois fabricantes o tempo de vida útil de suas lâmpadas e eles me fornecem os seguintes dados: Fabricante A (h) Fabricante B (h) 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 Supondo que as duas lâmpadas custam o mesmo valor, qual delas eu deveria comprar?
  • 11. Médias e Desvio-padrão - Exercícios Para chegarmos à uma conclusão é necessário calcularmos o tempo de vida útil médio para cada fabricante e saber qual é variabilidade dos dados. Fabricante A (h) Fabricante B (h) 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 X A = 730 h X B = 755,67 h SA = 23,45 h SB = 146,25 h Critério de escolha: tempo de vida útil = média ± desvio-padrão
  • 12. Médias e Desvio-padrão - Exercícios Fabricante A : 730 ± 23,45 h X A − S A = 730 − 23,45 h X A = 730 h X A + S A = 730 + 23,45 h Fabricante A:[706,55 – 753,45= -46,9] Conclusão : Escolheria o fabricante A. Fabricante B : 755,67 ± 146,25 h X B − S B = 755,67 −146,25 h X B = 755,67 h X B + S B = 755,67 + 146,25 h Fabricante B : [609,42 – 901,92= -292,5]
  • 13. Médias e Desvio-padrão - Exercícios Exercício 2: Um comerciante está interessado em comprar 100 garrafas de cachaça para o seu estabelecimento. No entanto, como é de preferência de sua clientela, é necessário que a cachaça escolhida apresente um teor alcoólico de no mínimo 33% em volume. Ele consultou alguns fornecedores e obteve as seguintes informações: Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas. Marca A (R$ 3,50/l) Marca B (R$ 4,10/l) Marca C (R$ 3,65/l) 38,7 35,7 38,7 33,5 36,4 33,5 32,5 35,9 34,5 31,2 33,2 34,2 35,9 34,1 35,9 Na sua opinião, qual deveria ser a marca escolhida pelo comerciante?
  • 14. Médias e Desvio-padrão - Exercícios Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas. Marca A (R$ 3,50/l) Marca B (R$ 4,10/l) Marca C (R$ 3,65/l) 38,7 35,7 38,7 33,5 36,4 33,5 32,5 35,9 34,5 31,2 33,2 34,2 35,9 34,1 35,9 Média = 34,36 Média = 35,06 Média = 35,36 S = 2,97 S = 1,35 S = 2,06 100 garrafas = 350,00 100 garrafas = 410,00 100 garrafas = 365,00 Marca A: 34,36 ± 2,97 →[31,39–37,33=-5,94] Marca B: 35,06 ± 1,35 →[33,71–36,41=-2,7] Marca C:35,36 ± 2,06 → [33,3–37,42=-4,12] As marcas B e C atendem ao requisito (>33%),no entanto escolheria a marca C pelo preço. Assim, teria um economia de R$ 45,00!