SlideShare uma empresa Scribd logo
Estatística II
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
FACULDADE DE ECONOMIA
Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Definição: Uma função X definida pelo espaço amostral  e
assumindo valores num intervalo de ´números reais, é dita uma
variável aleatória contínua.
A principal característica de uma v.a. contínua é que, sendo
resultado de uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como
pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente
observado (sempre nosso valor efetivamente observado será a
média).
Podemos então destacar as diferenças da v.a. discreta e contínua
como sendo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Exemplos de v.a. contínuas:
- Tempo de resposta de um sistema computacional
- Tempo de vida de uma máquina
- Resistência de um material
- Oscilação diária em um índice na bolsa de valores
Além destas podemos também destacar:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis discretas,
precisamos estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidades às
suas diversas realizações que, neste caso, podem assumir um número
infinito de valores diferentes. Abordamos esta questão através do próximo
exemplo.
Exemplo: Estudos anteriores revelam a existência de um grande lençol
de água no subsolo de uma grande região. No entanto, sua profundidade
ainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar
situado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros.
Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa região e
dispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão à
profundidade do reservatório de água. Denotamos por X a variável
aleatória representando a profundidade.
Notemos que, apesar de X poder ser qualquer número entre 20 e 100
metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode não ser tão preciso
como gostaríamos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metros
poderia ser medida por 32,6 metros.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Vamos assumir que temos um instrumento ideal que não faz
aproximações. Nessas condições, podemos supor a sonda acoplada a
um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que,
quando a sonda encontrar água, provoque a imediata interrupção da
perfuração.
Uma vez não que temos informações adicionais a respeito da
profundidade do lençol, é razoável assumirmos que a sonda pode
parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos
motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim,
consideraremos todos os pontos como igualmente prováveis. Se
utilizarmos a mesma idéia de atribuir a cada possível ponto uma
probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a
um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos números reais.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Assim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade
maior que 0, a soma das probabilidades será igual a infinito e não 1,
como requer a definição da função de probabilidades. Em geral, em
situações como esta, não é interessante considerar um único valor
para a variável aleatória, mas intervalos de valores na atribuição de
probabilidades. Neste caso, sabemos que o espaço amostral
corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades são
igualmente prováveis.
Suponha por um momento, que dividimos o espaço amostral em 8
intervalos de comprimento 10. Logo, é razoável atribuir aos
intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo à relação entre o
comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral.
Isto é, 10 para 80 ou 1/8.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Assim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem
intersecção entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ...,
[90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o
mesmo tamanho.
Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 é a
frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As
ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a
área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do
intervalo.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Note que, dada as características do problema, a divisão em 8 intervalos
produziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmos
o intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumento
anterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] terão todos
a mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente será:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
O histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, a
densidade permanece a mesma, igual a 1/80.
Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais a
quantidade de faixas, com a consequente diminuição de suas amplitudes de
tal forma que, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos o
seguinte histograma:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Estamos agora em condições de caracterizar, completamente a
atribuição de probabilidade para o caso contínuo. Ela será definida
pela área abaixo de uma função positiva, denominada de função de
densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si não
é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na
atribuição de probabilidades. Assim, para a variável aleatória
contínua X representando a profundidade do lençol de água, a fdp f é
dada por:






.100200
;1002080/1
)(
xouxpara
xpara
xf
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Tendo em vista que, nesse exemplo a função de densidade é
bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol
esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de área de
figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma
profundidade entre 25 e 29, calculamos a área do retângulo:
e, portanto, P(25 ≤ X < 29) =
80
4
80
1
4
80
1
)2529( 
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou
função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória
contínua X, se satisfaz duas condições:
i) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ (−∞, +∞)
ii) A área definida por f(x) é igual a 1.
Com auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos
caracterizar a condição ii) através de
Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para
𝑎 ≤ 𝑏, , a integral indica a área sob f(x) definida
pelo intervalo [a; b].



 .1)( dxxf

b
a
dxxfbXaP ;)()(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribuímos as probabilidades no
caso contínuo, teremos área zero sob qualquer valor individual, isto
é, P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis
aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor
isolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidades
calculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) são as
mesmas, para qualquer valor de a e b.
Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colégio Y, o
tempo para realização de uma bateria de questões de raciocínio
lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo
teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento da
capacidade de raciocínio lógico e auxiliar a aplicação de medidas
corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos,
como uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade dada por:
O gráfico da fdp é apresentado a seguir (construiremos ele no
software R). Deve ser notado que, pela definição de f(x), ela se
anula para t < 8 ou t >15.
Vamos verificar agora se a função f(t) satisfaz a definição de
densidade. Para calcular P(9 < T  12), vamos obter a área sob f(t)
no intervalo (9; 12]:











contráriocaso
tse
tset
tf
0
1510
20
3
;108)4(
40
1
)(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
Assim P(9< T  12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do
trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado
pelo intervalo [10,12] (veja a figura).
6 8 10 12 14 16 18
0.000.050.100.15
t
f(t)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria
calculada da seguinte forma:
12 10 12
9 9 10
10 122
10 12
9 10
109
(9 12) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3
( 4) 4
40 20 40 2 20
11 6 7
0,4375
80 20 16
P T f t dt f t dt f t dt
t
t dt dt t t
     
   
        
  
  
  
 
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Valor Médio de uma Variável
Aleatória Contínua
O valor esperado ou média da variável aleatória contínua X, com
fdp dada por 𝑓(𝑥), é dada pela expressão:
Já a sua variância é dada por:
Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais
utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão
alternativa 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2, com 𝐸 𝑋2 sendo calculada como:



 .)()( dxxxfXE 



 .)()( 22
dxxfx 



 .)()( 22
dxxfxXE
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e, como já
mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da
variável original, o que facilita a interpretação dos seus valores.
Vamos a um exemplo:
Investidores estudaram uma certa carteira de ações e
estabeleceram um modelo teórico para a variável R, rendimento das
ações (em mil R$). Suponha que R é uma variável aleatória contínua
com a seguinte função de densidade:
Vamos aplicar no Software R
1
1 , 0 20
( ) 40 10
0,
r
se r
f r
caso contrário
  
      


I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Valor Médio de uma Variável
Aleatória Contínua
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Medidas de Posição para Variáveis Aleatórias
Contínuas
Vamos determinar a média e a variância de R. Temos,
Para variância, calculamos primeiro E(R2):
Assim:
Portanto o desvio padrão será:
Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8
e 10 mil? Vamos fazer no R
20 203 2
20
0
0 0
1 1 1 20 35
1 5 $ .
40 10 400 3 40 2 3 3
r r r
r dr R mil
    
          
     

20 204 3
20
2 2
0
0 0
1 1 1 200 500
( ) 1 100 $ .
40 10 400 4 40 3 3 3
r r r
E R r dc R mil
    
          
     

2
2 2 2 2500 35 275
( ) $30,56 mil
3 3 9
E R R 
 
      
 
30,56 $5,53 milR R  
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais essenciais e importantes
distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss
ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de
Moivre.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros,
possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por
seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes
consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição
Normal.
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de
aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de
observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema
do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias
independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente
Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente
grande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observações).
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Diz-se que X tem Distribuição Normal com média  e variância
2 se sua função de densidade de probabilidade (fdp) é:
E(X) = 
Var(X) = 2
Pode-se ainda verificar que os parâmetros  e 2 representam,
respectivamente, a média e a variância da distribuição. A
demonstração requer algumas manipulações de integral. O que não
vai ser demonstrado aqui. Assim quando indicarmos que X ~ N (;
2), segue imediatamente que E(X) =  e Var(X) = 2.



xexf
x
iX 
2
2
2
)(
2
1
)( 


I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Graficamente a curva normal comporta-se da seguinte maneira:
30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000
0e+001e-052e-053e-054e-05
Distribuição Nomal(60.000,8.300)
x
f(x)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser,
facilmente, observadas de seu gráfico:
fX(xi) é simétrica em relação à ;
fX(xi)  0 quando x  ;
o valor máximo de fX(xi) se dá para x =  e 𝜇 − 𝜎 e 𝜇 + 𝜎 são
pontos de inflexão de f(xi)
Quando temos 𝜇 = 0 e 𝜎2 = 1, temos uma distribuição padrão
ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Para essa a função de densidade
reduz-se a
2
2
1
( ) ( )
2
z
z if z z e x


  
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Assim, o gráfico da normal padrão pode ser representado por:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Vamos partir de um exemplo prático:
Vamos trabalhar com uma série dos fundos de investimentos da
Petrobrás gerenciado pelo Bando do Brasil. Observou-se que o
comportamento dos fundos entre 02/01/2012 a 13/03/2012 tiveram
um comportamento muito aproximado a uma curva normal como
pode ser observado no gráfico abaixo:
A média ficou em torno de R$ 7,27
a cota do fundo e o desvio padrão
foi de R$ 0,295.
Vamos construir a fdp desta
variável aleatória no software R.
Os limites de intervalo serão R$ 6 e
R$ 8,25
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos
resolver a integral da fdp no intervalo de interesse, isto é,
P(a  X  b) =
Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo
aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão, as
probabilidades para o modelo Normal são calculadas com auxílio de
software estatísticos ou por tabelas.
A partir do exemplo anterior, vamos visualizar algumas
possibilidades e informações probabilísticas que podem ser tiradas a
partir da curva da normal criada para o fundo de ações da Petrobrás.
2
2
( )
2
1
2
xb
a
e


 



I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Cálculo da probabilidade de um modelo Normal usando o R
Levando em consideração as informações do exemplo anterior,
pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o
valor da ação for de R$ 7,18.
Para realizar tal tarefa vamos usar o comando pnormal que faz o
cálculo da probabilidade. Além disso, vamos fazer também a
representação gráfica na curva da normal.
b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor
tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?
Vamos verificar essa possibilidade com o auxílio do R.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Aplicações da v.a. reduzida.
A transformação da normal para a sua correspondente reduzida
z~N(0,1). Para determinar a probabilidade de X  [a,b], procedemos
com o seguinte cálculo:
P(a  X  b) = P(a -   X -   b - ) =
e, portanto, quaisquer que sejam os valores de  e , utilizamos a
Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição Normal.





 







 













 b
Z
a
P
bXa
P
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Os valores para P(0  Z  z), z>0 são apresentados na seguinte
tabela.
Com a simetria da densidade Normal podemos calcular valores de
probabilidades em outros intervalos. Note que a simetria também
implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5.
Como probabilidade é sempre um número entre 0 e 1, a tabela
contém apenas a parte decimal.
Por exemplo, para X~N(2,9), teremos:
Agora como foi localizado o valor 0,3413 na tabela normal?
3413,0)10(
9
25
9
2
9
22
)52( 




 




 ZP
X
PXP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Para obter P(0  X  2), usamos a assimetria da Normal:
Podemos ainda calcular as probabilidades de intervalos com
extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte
positiva. Um outro recurso importante no uso da tabela é a utilização
do complementar. Por exemplo,
0 2 2 2 2 2(0 2) ( 0) (0 )
3 39 9
(0 0,6666) 0,2486
P X P Z P Z P Z
P Z
  
            
 
  
    3707,01293,05,0
3
105,0
3
1
3
23
)3( 




 
 ZPZPZPXP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é,
dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou. Por exemplo, quanto vale c tal que P(0 Z  c) = 0,4?
Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o valor de
c.
Suponha, agora, que queremos encontrar d tal que P(Z > d) = 0,8.
Observamos que d precisa ser negativo, pois a probabilidade
desejada é maior que ½, que é o valor de P(Z > 0). Assim, o
intervalo (0; d) precisa ter probabilidade 0,3. Pela simetria da
Normal, o intervalo (-d, 0) também tem probabilidade 0,3. Da tabela,
segue que –d = 0,84 e portanto d = -0,84.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Vamos finalizar essa seção utilizando o exemplo anterior para o
fundo de ações da Petrobrás/BB.
a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o
valor da ação for de R$ 7,18?
b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor
tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?
Assim, precisamos obter um valor em R$ tal que: P(X < R$) = 0,1.
Então,
7,27 7,18 7,27
( 7,18) ( 0,31) 0,5 0,1179 0,3821
0,295 0,295
X
P X P P Z
  
         
 
7,27 $ 7,27 $ 7,27
( ) 0,1
0,295 0,295 0,295
X R R
P P Z
   
    
 
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
A distribuição t de Student é importante no que se refere a
inferências sobre médias populacionais.
Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t de
Student se sua função de densidade é dada por:
𝑓 𝑡; 𝑣 =

𝑣 + 1
2

𝑣
2
𝜋𝑣
1 +
𝑡2
𝑣
−
𝑣+1
2
, −∞ < 𝑡 < ∞
Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boa
notícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! No
entanto, é interessante notar duas características básicas dessa
expressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT
depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e,
portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número de
graus de liberdade.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
Em termos de média e variância a distribuição t de Student, (com
v graus de liberdade) que será indicada por t(v), será:
𝐸 𝑡 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑡 =
𝑣
𝑣 − 2
Quanto maior o valor de v mais t aproxima-se de uma normal
N~(0,1), isso pode ser verificado no gráfico abaixo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
Assim como no caso da normal, seria necessária uma tabela para
cada valor de v. Os programas computacionais de estatística
calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t. Mas
nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t
que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam
determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor
crítico da t(v) associado à probabilidade α é o valor tv;α tal que
𝑃 𝑡 𝑣 > 𝑡 𝑣;𝛼 = 𝛼
Para encontrar o valor tabelado basta pegarmos o grau de
liberdade v e compararmos com a nossa probabilidade de cometer o
erro tipo I (isso será visto mais adiante).
Suponha que tenhamos v=6 e queiramos um erro de 5% para uma
distribuição uni caudal, então teríamos:
Tabela Bicaudal
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
A distribuição qui-quadrado é um caso específico da distribuição
Gama.
Como definição temos:
Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado
com v graus de liberdade (denotada por 2(𝑣) ) se sua função
densidade for dada por:
1
 𝑣
2
2
𝑣
2
𝑦
𝑣
2
−1
𝑒−
𝑦
2 , 𝑦 > 0
𝑓 𝑦; 𝑣 = 0, 𝑦 < 0
A média e variância para a qui-quadrado são:
E(Y)=v Var(Y)=2v
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
Graficamente a distribuição qui-quadrado se comporta da seguinte
forma:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
Usando a tabela qui-quadrado para v=10, observe que
P(Y>2,558)=0,99; ao passo que P(Y>18,307)=0,05.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com distribuição
qui-quadrado, com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente.
Então, a v.a.
Tem densidade dada por:
𝑔 𝑤, 𝑣1, 𝑣2 =
 (𝑣1+𝑣2) 2
(𝑣1/2)(𝑣2/2)
𝑣1
𝑣2
𝑣1
2 𝑤(𝑣1−2)/2
(1 + 𝑣1 𝑓/𝑣2)(𝑣1+𝑣2)/2
,
𝑤 > 0
Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com 𝑣1 e 𝑣2
graus de liberdade, e usaremos a notação W~F(𝑣1, 𝑣2). Podemos
mostrar que:
1
2
U v
W
V v

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
𝐸 𝑊 =
𝑣2
𝑣2−2
𝑉𝑎𝑟 𝑊 =
2𝑣2
2(𝑣1+𝑣2−2)
𝑣1(𝑣2−2)2(𝑣2−4)
O gráfico típico de uma distribuição F varia conforme seu grau de
liberdade como pode ser verificado abaixo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
Vamos considerar que nossa distribuição F tenha comportamento
de média e variância com a seguinte característica W~F(5,7).
Consultando a Tabela F teremos: P(F > 3,97) = 0,05, ou P (F  3,97)
= 0,95.
Agora se quisermos encontrar:
0,05 = P{F(5,7) < f0}=P{1/F(7,5) < f0}=P{F(7,5) > 1/ f0},
Procurando na Tabela F, para F(7,5), obtemos 1/ f0=4,88 e,
portanto, f0=0,205.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Operações básicas da matemática
Operações básicas da matemáticaOperações básicas da matemática
Operações básicas da matemática
Ediclei Oliveira
 
Exercicios amostragem e tamanho amostra
Exercicios amostragem e tamanho amostraExercicios amostragem e tamanho amostra
Exercicios amostragem e tamanho amostra
morozo
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
Letinha47
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
rosania39
 
Estatistica descritiva
Estatistica descritiva Estatistica descritiva
Estatistica descritiva
Geisla Maia Gomes
 
Resolução comentada matemática 002
Resolução comentada matemática  002Resolução comentada matemática  002
Resolução comentada matemática 002
comentada
 
Funções
FunçõesFunções
Media, moda e mediana
Media, moda e medianaMedia, moda e mediana
Media, moda e mediana
Jeremias Manhica
 
Aula 30 testes de hipóteses
Aula 30   testes de hipótesesAula 30   testes de hipóteses
Matemática mmc e mdc
Matemática mmc e mdcMatemática mmc e mdc
Matemática mmc e mdc
Iara Cristina
 
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
wfsousamatematica
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
Liliana Carvalho
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
aldaalves
 
MéDia AritméTica
MéDia AritméTicaMéDia AritméTica
MéDia AritméTica
estrelaeia
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
Maria Cristina
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Função de duas variáveis, domínios e imagem
Função de duas variáveis, domínios e imagemFunção de duas variáveis, domínios e imagem
Função de duas variáveis, domínios e imagem
Isadora Toledo
 
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Leonel Benedito Belatable da Silva
 
Ordem de grandeza
Ordem de grandezaOrdem de grandeza
Ordem de grandeza
fisicaatual
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Alexandre Cirqueira
 

Mais procurados (20)

Operações básicas da matemática
Operações básicas da matemáticaOperações básicas da matemática
Operações básicas da matemática
 
Exercicios amostragem e tamanho amostra
Exercicios amostragem e tamanho amostraExercicios amostragem e tamanho amostra
Exercicios amostragem e tamanho amostra
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
 
Estatistica descritiva
Estatistica descritiva Estatistica descritiva
Estatistica descritiva
 
Resolução comentada matemática 002
Resolução comentada matemática  002Resolução comentada matemática  002
Resolução comentada matemática 002
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Media, moda e mediana
Media, moda e medianaMedia, moda e mediana
Media, moda e mediana
 
Aula 30 testes de hipóteses
Aula 30   testes de hipótesesAula 30   testes de hipóteses
Aula 30 testes de hipóteses
 
Matemática mmc e mdc
Matemática mmc e mdcMatemática mmc e mdc
Matemática mmc e mdc
 
Função afim
Função afimFunção afim
Função afim
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
 
MéDia AritméTica
MéDia AritméTicaMéDia AritméTica
MéDia AritméTica
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normal
 
Função de duas variáveis, domínios e imagem
Função de duas variáveis, domínios e imagemFunção de duas variáveis, domínios e imagem
Função de duas variáveis, domínios e imagem
 
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
Apostila de matrizes (9 páginas, 40 questões, com gabarito)
 
Ordem de grandeza
Ordem de grandezaOrdem de grandeza
Ordem de grandeza
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 

Destaque

Aplicação derivada e integral
Aplicação derivada e integralAplicação derivada e integral
Aplicação derivada e integral
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Probabilidade - Estatística I
Probabilidade - Estatística IProbabilidade - Estatística I
Probabilidade - Estatística I
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 3 Testes de Hipóteses - 2 amostras
Tópico 3   Testes de Hipóteses - 2 amostrasTópico 3   Testes de Hipóteses - 2 amostras
Tópico 3 Testes de Hipóteses - 2 amostras
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 09 - Integral
Tópico 09 - IntegralTópico 09 - Integral
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias MultidimensionaisVariáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 4 regressão linear simples 02
Tópico 4   regressão linear simples 02Tópico 4   regressão linear simples 02
Tópico 4 regressão linear simples 02
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra
Tópico 3   testes de hípoteses - 1 amostraTópico 3   testes de hípoteses - 1 amostra
Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 4 regressão linear simples 01
Tópico 4   regressão linear simples 01Tópico 4   regressão linear simples 01
Tópico 4 regressão linear simples 01
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística IIVariáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 07 - Limite de uma função
Tópico 07 - Limite de uma funçãoTópico 07 - Limite de uma função
Tópico 07 - Limite de uma função
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 2 Intervalo de Confiança
Tópico 2   Intervalo de ConfiançaTópico 2   Intervalo de Confiança
Tópico 2 Intervalo de Confiança
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I
Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística IDistribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I
Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 

Destaque (12)

Aplicação derivada e integral
Aplicação derivada e integralAplicação derivada e integral
Aplicação derivada e integral
 
Probabilidade - Estatística I
Probabilidade - Estatística IProbabilidade - Estatística I
Probabilidade - Estatística I
 
Tópico 3 Testes de Hipóteses - 2 amostras
Tópico 3   Testes de Hipóteses - 2 amostrasTópico 3   Testes de Hipóteses - 2 amostras
Tópico 3 Testes de Hipóteses - 2 amostras
 
Tópico 09 - Integral
Tópico 09 - IntegralTópico 09 - Integral
Tópico 09 - Integral
 
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias MultidimensionaisVariáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
 
Tópico 4 regressão linear simples 02
Tópico 4   regressão linear simples 02Tópico 4   regressão linear simples 02
Tópico 4 regressão linear simples 02
 
Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra
Tópico 3   testes de hípoteses - 1 amostraTópico 3   testes de hípoteses - 1 amostra
Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra
 
Tópico 4 regressão linear simples 01
Tópico 4   regressão linear simples 01Tópico 4   regressão linear simples 01
Tópico 4 regressão linear simples 01
 
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística IIVariáveis aleatórias discretas - Estatística II
Variáveis aleatórias discretas - Estatística II
 
Tópico 07 - Limite de uma função
Tópico 07 - Limite de uma funçãoTópico 07 - Limite de uma função
Tópico 07 - Limite de uma função
 
Tópico 2 Intervalo de Confiança
Tópico 2   Intervalo de ConfiançaTópico 2   Intervalo de Confiança
Tópico 2 Intervalo de Confiança
 
Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I
Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística IDistribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I
Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I
 

Semelhante a Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II

06_Variaveis_Continuas.pdf
06_Variaveis_Continuas.pdf06_Variaveis_Continuas.pdf
06_Variaveis_Continuas.pdf
jglaubermelo
 
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasProbabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Lucas Vinícius
 
Revisaoestatistica
RevisaoestatisticaRevisaoestatistica
Revisaoestatistica
Fernando Correia
 
Fisica unidade 4
Fisica unidade 4Fisica unidade 4
Fisica unidade 4
zeramento contabil
 
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a médiaAula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
Carlos Alberto Monteiro
 
Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2
Dharma Initiative
 
Campos Vetoriais
Campos VetoriaisCampos Vetoriais
Campos Vetoriais
Alex Junior
 
Modulo 4
Modulo 4Modulo 4
Modulo 4
FernandoMLagos
 
Fundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídosFundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídos
Jailson Rodrigues
 
Fundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídosFundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídos
Jailson Rodrigues
 
5 variáveis aleatórias contínuas
5   variáveis aleatórias contínuas5   variáveis aleatórias contínuas
5 variáveis aleatórias contínuas
Meireles01
 
Introdução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markovIntrodução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markov
Universidade Federal Fluminense
 
Estatística aula_02a
Estatística aula_02aEstatística aula_02a
Estatística aula_02a
maria_br3
 
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-SimonsMini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Maria Teresa Thomaz
 
Apostila física exp ii
Apostila física exp iiApostila física exp ii
Apostila física exp ii
Diego dos Santos Vicentin
 
Processos estocaticos 20150
Processos estocaticos 20150Processos estocaticos 20150
Processos estocaticos 20150
snmarcolino
 
A função exponencial & trigonometria e aplicações
A função exponencial & trigonometria e aplicaçõesA função exponencial & trigonometria e aplicações
A função exponencial & trigonometria e aplicações
Dinho Paulo Clakly
 
Analise de sinais apostila
Analise de sinais apostilaAnalise de sinais apostila
Analise de sinais apostila
Sandro Sena
 
pcom_aula22_24.pdf
pcom_aula22_24.pdfpcom_aula22_24.pdf
pcom_aula22_24.pdf
Samueloliveira167762
 
Apostila de matemática cursinho
Apostila de matemática   cursinhoApostila de matemática   cursinho
Apostila de matemática cursinho
Deivy Douglas Ribeiro
 

Semelhante a Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II (20)

06_Variaveis_Continuas.pdf
06_Variaveis_Continuas.pdf06_Variaveis_Continuas.pdf
06_Variaveis_Continuas.pdf
 
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasProbabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias
 
Revisaoestatistica
RevisaoestatisticaRevisaoestatistica
Revisaoestatistica
 
Fisica unidade 4
Fisica unidade 4Fisica unidade 4
Fisica unidade 4
 
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a médiaAula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
 
Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2
 
Campos Vetoriais
Campos VetoriaisCampos Vetoriais
Campos Vetoriais
 
Modulo 4
Modulo 4Modulo 4
Modulo 4
 
Fundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídosFundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídos
 
Fundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídosFundamentos sobre ruídos
Fundamentos sobre ruídos
 
5 variáveis aleatórias contínuas
5   variáveis aleatórias contínuas5   variáveis aleatórias contínuas
5 variáveis aleatórias contínuas
 
Introdução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markovIntrodução à cadeias de markov
Introdução à cadeias de markov
 
Estatística aula_02a
Estatística aula_02aEstatística aula_02a
Estatística aula_02a
 
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-SimonsMini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
 
Apostila física exp ii
Apostila física exp iiApostila física exp ii
Apostila física exp ii
 
Processos estocaticos 20150
Processos estocaticos 20150Processos estocaticos 20150
Processos estocaticos 20150
 
A função exponencial & trigonometria e aplicações
A função exponencial & trigonometria e aplicaçõesA função exponencial & trigonometria e aplicações
A função exponencial & trigonometria e aplicações
 
Analise de sinais apostila
Analise de sinais apostilaAnalise de sinais apostila
Analise de sinais apostila
 
pcom_aula22_24.pdf
pcom_aula22_24.pdfpcom_aula22_24.pdf
pcom_aula22_24.pdf
 
Apostila de matemática cursinho
Apostila de matemática   cursinhoApostila de matemática   cursinho
Apostila de matemática cursinho
 

Mais de Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará

Estatística Descritiva
Estatística DescritivaEstatística Descritiva
Tópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - DerivadasTópico 08 - Derivadas
Tópico 06 - Funções Compostas e Irracionas
Tópico 06 - Funções Compostas e IrracionasTópico 06 - Funções Compostas e Irracionas
Tópico 06 - Funções Compostas e Irracionas
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e InequaçõesMatemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Matemática I - Tópico 01
Matemática I - Tópico 01 Matemática I - Tópico 01
07 tópico 6 - autocorrelação
07   tópico 6 - autocorrelação07   tópico 6 - autocorrelação
07 tópico 6 - autocorrelação
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
06 tópico 5 - heterocedasticidade
06   tópico 5 - heterocedasticidade06   tópico 5 - heterocedasticidade
06 tópico 5 - heterocedasticidade
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
05 tópico 4 - multicolinearidade
05   tópico 4 - multicolinearidade05   tópico 4 - multicolinearidade
05 tópico 4 - multicolinearidade
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
04 tópico 3 - regressão multipla
04   tópico 3 - regressão multipla04   tópico 3 - regressão multipla
04 tópico 3 - regressão multipla
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
03 tópico 2 - regressão multipla
03   tópico 2 - regressão multipla03   tópico 2 - regressão multipla
03 tópico 2 - regressão multipla
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
02 tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA
02   tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA02   tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA
02 tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 

Mais de Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará (14)

Estatística Descritiva
Estatística DescritivaEstatística Descritiva
Estatística Descritiva
 
Tópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - DerivadasTópico 08 - Derivadas
Tópico 08 - Derivadas
 
Tópico 06 - Funções Compostas e Irracionas
Tópico 06 - Funções Compostas e IrracionasTópico 06 - Funções Compostas e Irracionas
Tópico 06 - Funções Compostas e Irracionas
 
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
 
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e InequaçõesMatemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações
 
Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03
 
Matemática I - Tópico 01
Matemática I - Tópico 01 Matemática I - Tópico 01
Matemática I - Tópico 01
 
07 tópico 6 - autocorrelação
07   tópico 6 - autocorrelação07   tópico 6 - autocorrelação
07 tópico 6 - autocorrelação
 
06 tópico 5 - heterocedasticidade
06   tópico 5 - heterocedasticidade06   tópico 5 - heterocedasticidade
06 tópico 5 - heterocedasticidade
 
05 tópico 4 - multicolinearidade
05   tópico 4 - multicolinearidade05   tópico 4 - multicolinearidade
05 tópico 4 - multicolinearidade
 
04 tópico 3 - regressão multipla
04   tópico 3 - regressão multipla04   tópico 3 - regressão multipla
04 tópico 3 - regressão multipla
 
03 tópico 2 - regressão multipla
03   tópico 2 - regressão multipla03   tópico 2 - regressão multipla
03 tópico 2 - regressão multipla
 
02 tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA
02   tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA02   tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA
02 tópico 1 - regressão linear simples 02 - Econometria - Graduação - UFPA
 
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA02   tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA
 

Último

Potenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números RacionaisPotenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
wagnermorais28
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
fernandacosta37763
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
LucianaCristina58
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Érika Rufo
 
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do AssaréFamílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
profesfrancleite
 
karl marx biografia resumida com suas obras e história de vida
karl marx biografia resumida com suas obras e história de vidakarl marx biografia resumida com suas obras e história de vida
karl marx biografia resumida com suas obras e história de vida
KleginaldoPaz2
 
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptxAVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AntonioVieira539017
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
MateusTavares54
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
LILIANPRESTESSCUDELE
 
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptxAula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
edivirgesribeiro1
 
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Biblioteca UCS
 
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões.          pptxRimas, Luís Vaz de Camões.          pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
TomasSousa7
 
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptxTreinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
MarcosPaulo777883
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
TomasSousa7
 
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escolaIntrodução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Professor Belinaso
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxPP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
AntnioManuelAgdoma
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
AurelianoFerreirades2
 
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
LeticiaRochaCupaiol
 

Último (20)

Potenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números RacionaisPotenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
 
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sonsAula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
Aula 1 do livro de Ciências do aluno - sons
 
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do AssaréFamílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
Famílias Que Contribuíram Para O Crescimento Do Assaré
 
karl marx biografia resumida com suas obras e história de vida
karl marx biografia resumida com suas obras e história de vidakarl marx biografia resumida com suas obras e história de vida
karl marx biografia resumida com suas obras e história de vida
 
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptxAVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA - 8º ANO 2024.pptx
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
 
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptxAula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
Aula 2 - Revisando o significado de fração - Parte 2.pptx
 
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptxAula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
Aula história , caracteristicas e esteriótipos em relação a DANÇA DE SALAO.pptx
 
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
 
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões.          pptxRimas, Luís Vaz de Camões.          pptx
Rimas, Luís Vaz de Camões. pptx
 
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptxTreinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
Treinamento NR 38 - CORPO PRINCIPAL da NORMA.pptx
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
 
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escolaIntrodução à Sociologia: caça-palavras na escola
Introdução à Sociologia: caça-palavras na escola
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
 
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxPP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptx
 
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
347018542-PAULINA-CHIZIANE-Balada-de-Amor-ao-Vento-pdf.pdf
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
 
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
1ª LEI DE OHN, CARACTERISTICAS IMPORTANTES.
 

Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II

  • 1. Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
  • 3. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Definição: Uma função X definida pelo espaço amostral  e assumindo valores num intervalo de ´números reais, é dita uma variável aleatória contínua. A principal característica de uma v.a. contínua é que, sendo resultado de uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente observado (sempre nosso valor efetivamente observado será a média).
  • 4. Podemos então destacar as diferenças da v.a. discreta e contínua como sendo: I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 5. Exemplos de v.a. contínuas: - Tempo de resposta de um sistema computacional - Tempo de vida de uma máquina - Resistência de um material - Oscilação diária em um índice na bolsa de valores Além destas podemos também destacar: I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 6. De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis discretas, precisamos estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidades às suas diversas realizações que, neste caso, podem assumir um número infinito de valores diferentes. Abordamos esta questão através do próximo exemplo. Exemplo: Estudos anteriores revelam a existência de um grande lençol de água no subsolo de uma grande região. No entanto, sua profundidade ainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar situado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros. Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa região e dispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão à profundidade do reservatório de água. Denotamos por X a variável aleatória representando a profundidade. Notemos que, apesar de X poder ser qualquer número entre 20 e 100 metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode não ser tão preciso como gostaríamos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metros poderia ser medida por 32,6 metros. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 7. Vamos assumir que temos um instrumento ideal que não faz aproximações. Nessas condições, podemos supor a sonda acoplada a um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que, quando a sonda encontrar água, provoque a imediata interrupção da perfuração. Uma vez não que temos informações adicionais a respeito da profundidade do lençol, é razoável assumirmos que a sonda pode parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim, consideraremos todos os pontos como igualmente prováveis. Se utilizarmos a mesma idéia de atribuir a cada possível ponto uma probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos números reais. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 8. Assim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade maior que 0, a soma das probabilidades será igual a infinito e não 1, como requer a definição da função de probabilidades. Em geral, em situações como esta, não é interessante considerar um único valor para a variável aleatória, mas intervalos de valores na atribuição de probabilidades. Neste caso, sabemos que o espaço amostral corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades são igualmente prováveis. Suponha por um momento, que dividimos o espaço amostral em 8 intervalos de comprimento 10. Logo, é razoável atribuir aos intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo à relação entre o comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral. Isto é, 10 para 80 ou 1/8. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 9. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Assim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem intersecção entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ..., [90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o mesmo tamanho. Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 é a frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do intervalo.
  • 10. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Note que, dada as características do problema, a divisão em 8 intervalos produziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmos o intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumento anterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] terão todos a mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente será:
  • 11. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução O histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, a densidade permanece a mesma, igual a 1/80. Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais a quantidade de faixas, com a consequente diminuição de suas amplitudes de tal forma que, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos o seguinte histograma:
  • 12. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 13. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Estamos agora em condições de caracterizar, completamente a atribuição de probabilidade para o caso contínuo. Ela será definida pela área abaixo de uma função positiva, denominada de função de densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si não é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na atribuição de probabilidades. Assim, para a variável aleatória contínua X representando a profundidade do lençol de água, a fdp f é dada por:       .100200 ;1002080/1 )( xouxpara xpara xf
  • 14. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Tendo em vista que, nesse exemplo a função de densidade é bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de área de figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma profundidade entre 25 e 29, calculamos a área do retângulo: e, portanto, P(25 ≤ X < 29) = 80 4 80 1 4 80 1 )2529( 
  • 15. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: i) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ (−∞, +∞) ii) A área definida por f(x) é igual a 1. Com auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos caracterizar a condição ii) através de Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para 𝑎 ≤ 𝑏, , a integral indica a área sob f(x) definida pelo intervalo [a; b].     .1)( dxxf  b a dxxfbXaP ;)()(
  • 16. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribuímos as probabilidades no caso contínuo, teremos área zero sob qualquer valor individual, isto é, P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) são as mesmas, para qualquer valor de a e b. Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colégio Y, o tempo para realização de uma bateria de questões de raciocínio lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
  • 17. O gráfico da fdp é apresentado a seguir (construiremos ele no software R). Deve ser notado que, pela definição de f(x), ela se anula para t < 8 ou t >15. Vamos verificar agora se a função f(t) satisfaz a definição de densidade. Para calcular P(9 < T  12), vamos obter a área sob f(t) no intervalo (9; 12]:            contráriocaso tse tset tf 0 1510 20 3 ;108)4( 40 1 )( I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)
  • 18. Assim P(9< T  12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado pelo intervalo [10,12] (veja a figura). 6 8 10 12 14 16 18 0.000.050.100.15 t f(t) I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)
  • 19. Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria calculada da seguinte forma: 12 10 12 9 9 10 10 122 10 12 9 10 109 (9 12) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 ( 4) 4 40 20 40 2 20 11 6 7 0,4375 80 20 16 P T f t dt f t dt f t dt t t dt dt t t                               I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)
  • 20. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.3 – Valor Médio de uma Variável Aleatória Contínua O valor esperado ou média da variável aleatória contínua X, com fdp dada por 𝑓(𝑥), é dada pela expressão: Já a sua variância é dada por: Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão alternativa 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2, com 𝐸 𝑋2 sendo calculada como:     .)()( dxxxfXE      .)()( 22 dxxfx      .)()( 22 dxxfxXE
  • 21. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e, como já mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da variável original, o que facilita a interpretação dos seus valores. Vamos a um exemplo: Investidores estudaram uma certa carteira de ações e estabeleceram um modelo teórico para a variável R, rendimento das ações (em mil R$). Suponha que R é uma variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade: Vamos aplicar no Software R 1 1 , 0 20 ( ) 40 10 0, r se r f r caso contrário             I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.3 – Valor Médio de uma Variável Aleatória Contínua
  • 22. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.3 – Medidas de Posição para Variáveis Aleatórias Contínuas Vamos determinar a média e a variância de R. Temos, Para variância, calculamos primeiro E(R2): Assim: Portanto o desvio padrão será: Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8 e 10 mil? Vamos fazer no R 20 203 2 20 0 0 0 1 1 1 20 35 1 5 $ . 40 10 400 3 40 2 3 3 r r r r dr R mil                        20 204 3 20 2 2 0 0 0 1 1 1 200 500 ( ) 1 100 $ . 40 10 400 4 40 3 3 3 r r r E R r dc R mil                        2 2 2 2 2500 35 275 ( ) $30,56 mil 3 3 9 E R R             30,56 $5,53 milR R  
  • 23. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal A distribuição normal é uma das mais essenciais e importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre. Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observações).
  • 24. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Diz-se que X tem Distribuição Normal com média  e variância 2 se sua função de densidade de probabilidade (fdp) é: E(X) =  Var(X) = 2 Pode-se ainda verificar que os parâmetros  e 2 representam, respectivamente, a média e a variância da distribuição. A demonstração requer algumas manipulações de integral. O que não vai ser demonstrado aqui. Assim quando indicarmos que X ~ N (; 2), segue imediatamente que E(X) =  e Var(X) = 2.    xexf x iX  2 2 2 )( 2 1 )(   
  • 25. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Graficamente a curva normal comporta-se da seguinte maneira: 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 0e+001e-052e-053e-054e-05 Distribuição Nomal(60.000,8.300) x f(x)
  • 26. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser, facilmente, observadas de seu gráfico: fX(xi) é simétrica em relação à ; fX(xi)  0 quando x  ; o valor máximo de fX(xi) se dá para x =  e 𝜇 − 𝜎 e 𝜇 + 𝜎 são pontos de inflexão de f(xi) Quando temos 𝜇 = 0 e 𝜎2 = 1, temos uma distribuição padrão ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Para essa a função de densidade reduz-se a 2 2 1 ( ) ( ) 2 z z if z z e x     
  • 27. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Assim, o gráfico da normal padrão pode ser representado por:
  • 28. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Vamos partir de um exemplo prático: Vamos trabalhar com uma série dos fundos de investimentos da Petrobrás gerenciado pelo Bando do Brasil. Observou-se que o comportamento dos fundos entre 02/01/2012 a 13/03/2012 tiveram um comportamento muito aproximado a uma curva normal como pode ser observado no gráfico abaixo: A média ficou em torno de R$ 7,27 a cota do fundo e o desvio padrão foi de R$ 0,295. Vamos construir a fdp desta variável aleatória no software R. Os limites de intervalo serão R$ 6 e R$ 8,25
  • 29. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos resolver a integral da fdp no intervalo de interesse, isto é, P(a  X  b) = Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão, as probabilidades para o modelo Normal são calculadas com auxílio de software estatísticos ou por tabelas. A partir do exemplo anterior, vamos visualizar algumas possibilidades e informações probabilísticas que podem ser tiradas a partir da curva da normal criada para o fundo de ações da Petrobrás. 2 2 ( ) 2 1 2 xb a e       
  • 30. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Cálculo da probabilidade de um modelo Normal usando o R Levando em consideração as informações do exemplo anterior, pergunta-se: a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o valor da ação for de R$ 7,18. Para realizar tal tarefa vamos usar o comando pnormal que faz o cálculo da probabilidade. Além disso, vamos fazer também a representação gráfica na curva da normal. b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%? Vamos verificar essa possibilidade com o auxílio do R.
  • 31. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Aplicações da v.a. reduzida. A transformação da normal para a sua correspondente reduzida z~N(0,1). Para determinar a probabilidade de X  [a,b], procedemos com o seguinte cálculo: P(a  X  b) = P(a -   X -   b - ) = e, portanto, quaisquer que sejam os valores de  e , utilizamos a Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição Normal.                               b Z a P bXa P
  • 32. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Os valores para P(0  Z  z), z>0 são apresentados na seguinte tabela. Com a simetria da densidade Normal podemos calcular valores de probabilidades em outros intervalos. Note que a simetria também implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5. Como probabilidade é sempre um número entre 0 e 1, a tabela contém apenas a parte decimal. Por exemplo, para X~N(2,9), teremos: Agora como foi localizado o valor 0,3413 na tabela normal? 3413,0)10( 9 25 9 2 9 22 )52(             ZP X PXP
  • 33. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Para obter P(0  X  2), usamos a assimetria da Normal: Podemos ainda calcular as probabilidades de intervalos com extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte positiva. Um outro recurso importante no uso da tabela é a utilização do complementar. Por exemplo, 0 2 2 2 2 2(0 2) ( 0) (0 ) 3 39 9 (0 0,6666) 0,2486 P X P Z P Z P Z P Z                          3707,01293,05,0 3 105,0 3 1 3 23 )3(         ZPZPZPXP
  • 34. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é, dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a originou. Por exemplo, quanto vale c tal que P(0 Z  c) = 0,4? Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o valor de c. Suponha, agora, que queremos encontrar d tal que P(Z > d) = 0,8. Observamos que d precisa ser negativo, pois a probabilidade desejada é maior que ½, que é o valor de P(Z > 0). Assim, o intervalo (0; d) precisa ter probabilidade 0,3. Pela simetria da Normal, o intervalo (-d, 0) também tem probabilidade 0,3. Da tabela, segue que –d = 0,84 e portanto d = -0,84.
  • 35. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Vamos finalizar essa seção utilizando o exemplo anterior para o fundo de ações da Petrobrás/BB. a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o valor da ação for de R$ 7,18? b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%? Assim, precisamos obter um valor em R$ tal que: P(X < R$) = 0,1. Então, 7,27 7,18 7,27 ( 7,18) ( 0,31) 0,5 0,1179 0,3821 0,295 0,295 X P X P P Z                7,27 $ 7,27 $ 7,27 ( ) 0,1 0,295 0,295 0,295 X R R P P Z           
  • 36. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.5 – A distribuição t de student A distribuição t de Student é importante no que se refere a inferências sobre médias populacionais. Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t de Student se sua função de densidade é dada por: 𝑓 𝑡; 𝑣 =  𝑣 + 1 2  𝑣 2 𝜋𝑣 1 + 𝑡2 𝑣 − 𝑣+1 2 , −∞ < 𝑡 < ∞ Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boa notícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! No entanto, é interessante notar duas características básicas dessa expressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e, portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número de graus de liberdade.
  • 37. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.5 – A distribuição t de student Em termos de média e variância a distribuição t de Student, (com v graus de liberdade) que será indicada por t(v), será: 𝐸 𝑡 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑡 = 𝑣 𝑣 − 2 Quanto maior o valor de v mais t aproxima-se de uma normal N~(0,1), isso pode ser verificado no gráfico abaixo:
  • 38. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.5 – A distribuição t de student Assim como no caso da normal, seria necessária uma tabela para cada valor de v. Os programas computacionais de estatística calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t. Mas nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor crítico da t(v) associado à probabilidade α é o valor tv;α tal que 𝑃 𝑡 𝑣 > 𝑡 𝑣;𝛼 = 𝛼 Para encontrar o valor tabelado basta pegarmos o grau de liberdade v e compararmos com a nossa probabilidade de cometer o erro tipo I (isso será visto mais adiante). Suponha que tenhamos v=6 e queiramos um erro de 5% para uma distribuição uni caudal, então teríamos: Tabela Bicaudal
  • 39. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado A distribuição qui-quadrado é um caso específico da distribuição Gama. Como definição temos: Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado com v graus de liberdade (denotada por 2(𝑣) ) se sua função densidade for dada por: 1  𝑣 2 2 𝑣 2 𝑦 𝑣 2 −1 𝑒− 𝑦 2 , 𝑦 > 0 𝑓 𝑦; 𝑣 = 0, 𝑦 < 0 A média e variância para a qui-quadrado são: E(Y)=v Var(Y)=2v
  • 40. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado Graficamente a distribuição qui-quadrado se comporta da seguinte forma:
  • 41. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado Usando a tabela qui-quadrado para v=10, observe que P(Y>2,558)=0,99; ao passo que P(Y>18,307)=0,05.
  • 42. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição F de Snedecor Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com distribuição qui-quadrado, com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a v.a. Tem densidade dada por: 𝑔 𝑤, 𝑣1, 𝑣2 =  (𝑣1+𝑣2) 2 (𝑣1/2)(𝑣2/2) 𝑣1 𝑣2 𝑣1 2 𝑤(𝑣1−2)/2 (1 + 𝑣1 𝑓/𝑣2)(𝑣1+𝑣2)/2 , 𝑤 > 0 Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com 𝑣1 e 𝑣2 graus de liberdade, e usaremos a notação W~F(𝑣1, 𝑣2). Podemos mostrar que: 1 2 U v W V v 
  • 43. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição F de Snedecor 𝐸 𝑊 = 𝑣2 𝑣2−2 𝑉𝑎𝑟 𝑊 = 2𝑣2 2(𝑣1+𝑣2−2) 𝑣1(𝑣2−2)2(𝑣2−4) O gráfico típico de uma distribuição F varia conforme seu grau de liberdade como pode ser verificado abaixo:
  • 44. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição F de Snedecor Vamos considerar que nossa distribuição F tenha comportamento de média e variância com a seguinte característica W~F(5,7). Consultando a Tabela F teremos: P(F > 3,97) = 0,05, ou P (F  3,97) = 0,95. Agora se quisermos encontrar: 0,05 = P{F(5,7) < f0}=P{1/F(7,5) < f0}=P{F(7,5) > 1/ f0}, Procurando na Tabela F, para F(7,5), obtemos 1/ f0=4,88 e, portanto, f0=0,205.