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Estatística II
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
FACULDADE DE ECONOMIA
Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Definição: Uma função X definida pelo espaço amostral  e
assumindo valores num intervalo de ´números reais, é dita uma
variável aleatória contínua.
A principal característica de uma v.a. contínua é que, sendo
resultado de uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como
pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente
observado (sempre nosso valor efetivamente observado será a
média).
Podemos então destacar as diferenças da v.a. discreta e contínua
como sendo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Exemplos de v.a. contínuas:
- Tempo de resposta de um sistema computacional
- Tempo de vida de uma máquina
- Resistência de um material
- Oscilação diária em um índice na bolsa de valores
Além destas podemos também destacar:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis discretas,
precisamos estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidades às
suas diversas realizações que, neste caso, podem assumir um número
infinito de valores diferentes. Abordamos esta questão através do próximo
exemplo.
Exemplo: Estudos anteriores revelam a existência de um grande lençol
de água no subsolo de uma grande região. No entanto, sua profundidade
ainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar
situado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros.
Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa região e
dispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão à
profundidade do reservatório de água. Denotamos por X a variável
aleatória representando a profundidade.
Notemos que, apesar de X poder ser qualquer número entre 20 e 100
metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode não ser tão preciso
como gostaríamos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metros
poderia ser medida por 32,6 metros.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Vamos assumir que temos um instrumento ideal que não faz
aproximações. Nessas condições, podemos supor a sonda acoplada a
um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que,
quando a sonda encontrar água, provoque a imediata interrupção da
perfuração.
Uma vez não que temos informações adicionais a respeito da
profundidade do lençol, é razoável assumirmos que a sonda pode
parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos
motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim,
consideraremos todos os pontos como igualmente prováveis. Se
utilizarmos a mesma idéia de atribuir a cada possível ponto uma
probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a
um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos números reais.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Assim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade
maior que 0, a soma das probabilidades será igual a infinito e não 1,
como requer a definição da função de probabilidades. Em geral, em
situações como esta, não é interessante considerar um único valor
para a variável aleatória, mas intervalos de valores na atribuição de
probabilidades. Neste caso, sabemos que o espaço amostral
corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades são
igualmente prováveis.
Suponha por um momento, que dividimos o espaço amostral em 8
intervalos de comprimento 10. Logo, é razoável atribuir aos
intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo à relação entre o
comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral.
Isto é, 10 para 80 ou 1/8.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Assim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem
intersecção entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ...,
[90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o
mesmo tamanho.
Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 é a
frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As
ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a
área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do
intervalo.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Note que, dada as características do problema, a divisão em 8 intervalos
produziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmos
o intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumento
anterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] terão todos
a mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente será:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
O histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, a
densidade permanece a mesma, igual a 1/80.
Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais a
quantidade de faixas, com a consequente diminuição de suas amplitudes de
tal forma que, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos o
seguinte histograma:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Estamos agora em condições de caracterizar, completamente a
atribuição de probabilidade para o caso contínuo. Ela será definida
pela área abaixo de uma função positiva, denominada de função de
densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si não
é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na
atribuição de probabilidades. Assim, para a variável aleatória
contínua X representando a profundidade do lençol de água, a fdp f é
dada por:






.100200
;1002080/1
)(
xouxpara
xpara
xf
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.1 - Introdução
Tendo em vista que, nesse exemplo a função de densidade é
bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol
esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de área de
figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma
profundidade entre 25 e 29, calculamos a área do retângulo:
e, portanto, P(25 ≤ X < 29) =
80
4
80
1
4
80
1
)2529( 
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou
função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória
contínua X, se satisfaz duas condições:
i) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ (−∞, +∞)
ii) A área definida por f(x) é igual a 1.
Com auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos
caracterizar a condição ii) através de
Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para
𝑎 ≤ 𝑏, , a integral indica a área sob f(x) definida
pelo intervalo [a; b].



 .1)( dxxf

b
a
dxxfbXaP ;)()(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribuímos as probabilidades no
caso contínuo, teremos área zero sob qualquer valor individual, isto
é, P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis
aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor
isolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidades
calculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) são as
mesmas, para qualquer valor de a e b.
Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colégio Y, o
tempo para realização de uma bateria de questões de raciocínio
lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo
teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento da
capacidade de raciocínio lógico e auxiliar a aplicação de medidas
corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos,
como uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade dada por:
O gráfico da fdp é apresentado a seguir (construiremos ele no
software R). Deve ser notado que, pela definição de f(x), ela se
anula para t < 8 ou t >15.
Vamos verificar agora se a função f(t) satisfaz a definição de
densidade. Para calcular P(9 < T  12), vamos obter a área sob f(t)
no intervalo (9; 12]:











contráriocaso
tse
tset
tf
0
1510
20
3
;108)4(
40
1
)(
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
Assim P(9< T  12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do
trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado
pelo intervalo [10,12] (veja a figura).
6 8 10 12 14 16 18
0.000.050.100.15
t
f(t)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria
calculada da seguinte forma:
12 10 12
9 9 10
10 122
10 12
9 10
109
(9 12) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3
( 4) 4
40 20 40 2 20
11 6 7
0,4375
80 20 16
P T f t dt f t dt f t dt
t
t dt dt t t
     
   
        
  
  
  
 
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.2 – A função de densidade
probabilidade (fdp)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Valor Médio de uma Variável
Aleatória Contínua
O valor esperado ou média da variável aleatória contínua X, com
fdp dada por 𝑓(𝑥), é dada pela expressão:
Já a sua variância é dada por:
Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais
utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão
alternativa 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2, com 𝐸 𝑋2 sendo calculada como:



 .)()( dxxxfXE 



 .)()( 22
dxxfx 



 .)()( 22
dxxfxXE
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e, como já
mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da
variável original, o que facilita a interpretação dos seus valores.
Vamos a um exemplo:
Investidores estudaram uma certa carteira de ações e
estabeleceram um modelo teórico para a variável R, rendimento das
ações (em mil R$). Suponha que R é uma variável aleatória contínua
com a seguinte função de densidade:
Vamos aplicar no Software R
1
1 , 0 20
( ) 40 10
0,
r
se r
f r
caso contrário
  
      


I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Valor Médio de uma Variável
Aleatória Contínua
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.3 – Medidas de Posição para Variáveis Aleatórias
Contínuas
Vamos determinar a média e a variância de R. Temos,
Para variância, calculamos primeiro E(R2):
Assim:
Portanto o desvio padrão será:
Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8
e 10 mil? Vamos fazer no R
20 203 2
20
0
0 0
1 1 1 20 35
1 5 $ .
40 10 400 3 40 2 3 3
r r r
r dr R mil
    
          
     

20 204 3
20
2 2
0
0 0
1 1 1 200 500
( ) 1 100 $ .
40 10 400 4 40 3 3 3
r r r
E R r dc R mil
    
          
     

2
2 2 2 2500 35 275
( ) $30,56 mil
3 3 9
E R R 
 
      
 
30,56 $5,53 milR R  
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais essenciais e importantes
distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss
ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de
Moivre.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros,
possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por
seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes
consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição
Normal.
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de
aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de
observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema
do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias
independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente
Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente
grande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observações).
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Diz-se que X tem Distribuição Normal com média  e variância
2 se sua função de densidade de probabilidade (fdp) é:
E(X) = 
Var(X) = 2
Pode-se ainda verificar que os parâmetros  e 2 representam,
respectivamente, a média e a variância da distribuição. A
demonstração requer algumas manipulações de integral. O que não
vai ser demonstrado aqui. Assim quando indicarmos que X ~ N (;
2), segue imediatamente que E(X) =  e Var(X) = 2.



xexf
x
iX 
2
2
2
)(
2
1
)( 


I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Graficamente a curva normal comporta-se da seguinte maneira:
30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000
0e+001e-052e-053e-054e-05
Distribuição Nomal(60.000,8.300)
x
f(x)
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser,
facilmente, observadas de seu gráfico:
fX(xi) é simétrica em relação à ;
fX(xi)  0 quando x  ;
o valor máximo de fX(xi) se dá para x =  e 𝜇 − 𝜎 e 𝜇 + 𝜎 são
pontos de inflexão de f(xi)
Quando temos 𝜇 = 0 e 𝜎2 = 1, temos uma distribuição padrão
ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Para essa a função de densidade
reduz-se a
2
2
1
( ) ( )
2
z
z if z z e x


  
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Assim, o gráfico da normal padrão pode ser representado por:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Vamos partir de um exemplo prático:
Vamos trabalhar com uma série dos fundos de investimentos da
Petrobrás gerenciado pelo Bando do Brasil. Observou-se que o
comportamento dos fundos entre 02/01/2012 a 13/03/2012 tiveram
um comportamento muito aproximado a uma curva normal como
pode ser observado no gráfico abaixo:
A média ficou em torno de R$ 7,27
a cota do fundo e o desvio padrão
foi de R$ 0,295.
Vamos construir a fdp desta
variável aleatória no software R.
Os limites de intervalo serão R$ 6 e
R$ 8,25
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos
resolver a integral da fdp no intervalo de interesse, isto é,
P(a  X  b) =
Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo
aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão, as
probabilidades para o modelo Normal são calculadas com auxílio de
software estatísticos ou por tabelas.
A partir do exemplo anterior, vamos visualizar algumas
possibilidades e informações probabilísticas que podem ser tiradas a
partir da curva da normal criada para o fundo de ações da Petrobrás.
2
2
( )
2
1
2
xb
a
e


 



I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Cálculo da probabilidade de um modelo Normal usando o R
Levando em consideração as informações do exemplo anterior,
pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o
valor da ação for de R$ 7,18.
Para realizar tal tarefa vamos usar o comando pnormal que faz o
cálculo da probabilidade. Além disso, vamos fazer também a
representação gráfica na curva da normal.
b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor
tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?
Vamos verificar essa possibilidade com o auxílio do R.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Aplicações da v.a. reduzida.
A transformação da normal para a sua correspondente reduzida
z~N(0,1). Para determinar a probabilidade de X  [a,b], procedemos
com o seguinte cálculo:
P(a  X  b) = P(a -   X -   b - ) =
e, portanto, quaisquer que sejam os valores de  e , utilizamos a
Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição Normal.





 







 













 b
Z
a
P
bXa
P
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Os valores para P(0  Z  z), z>0 são apresentados na seguinte
tabela.
Com a simetria da densidade Normal podemos calcular valores de
probabilidades em outros intervalos. Note que a simetria também
implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5.
Como probabilidade é sempre um número entre 0 e 1, a tabela
contém apenas a parte decimal.
Por exemplo, para X~N(2,9), teremos:
Agora como foi localizado o valor 0,3413 na tabela normal?
3413,0)10(
9
25
9
2
9
22
)52( 




 




 ZP
X
PXP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Para obter P(0  X  2), usamos a assimetria da Normal:
Podemos ainda calcular as probabilidades de intervalos com
extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte
positiva. Um outro recurso importante no uso da tabela é a utilização
do complementar. Por exemplo,
0 2 2 2 2 2(0 2) ( 0) (0 )
3 39 9
(0 0,6666) 0,2486
P X P Z P Z P Z
P Z
  
            
 
  
    3707,01293,05,0
3
105,0
3
1
3
23
)3( 




 
 ZPZPZPXP
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é,
dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou. Por exemplo, quanto vale c tal que P(0 Z  c) = 0,4?
Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o valor de
c.
Suponha, agora, que queremos encontrar d tal que P(Z > d) = 0,8.
Observamos que d precisa ser negativo, pois a probabilidade
desejada é maior que ½, que é o valor de P(Z > 0). Assim, o
intervalo (0; d) precisa ter probabilidade 0,3. Pela simetria da
Normal, o intervalo (-d, 0) também tem probabilidade 0,3. Da tabela,
segue que –d = 0,84 e portanto d = -0,84.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.4 – O modelo de distribuição Normal
Vamos finalizar essa seção utilizando o exemplo anterior para o
fundo de ações da Petrobrás/BB.
a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o
valor da ação for de R$ 7,18?
b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor
tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%?
Assim, precisamos obter um valor em R$ tal que: P(X < R$) = 0,1.
Então,
7,27 7,18 7,27
( 7,18) ( 0,31) 0,5 0,1179 0,3821
0,295 0,295
X
P X P P Z
  
         
 
7,27 $ 7,27 $ 7,27
( ) 0,1
0,295 0,295 0,295
X R R
P P Z
   
    
 
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
A distribuição t de Student é importante no que se refere a
inferências sobre médias populacionais.
Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t de
Student se sua função de densidade é dada por:
𝑓 𝑡; 𝑣 =

𝑣 + 1
2

𝑣
2
𝜋𝑣
1 +
𝑡2
𝑣
−
𝑣+1
2
, −∞ < 𝑡 < ∞
Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boa
notícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! No
entanto, é interessante notar duas características básicas dessa
expressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT
depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e,
portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número de
graus de liberdade.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
Em termos de média e variância a distribuição t de Student, (com
v graus de liberdade) que será indicada por t(v), será:
𝐸 𝑡 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑡 =
𝑣
𝑣 − 2
Quanto maior o valor de v mais t aproxima-se de uma normal
N~(0,1), isso pode ser verificado no gráfico abaixo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.5 – A distribuição t de student
Assim como no caso da normal, seria necessária uma tabela para
cada valor de v. Os programas computacionais de estatística
calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t. Mas
nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t
que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam
determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor
crítico da t(v) associado à probabilidade α é o valor tv;α tal que
𝑃 𝑡 𝑣 > 𝑡 𝑣;𝛼 = 𝛼
Para encontrar o valor tabelado basta pegarmos o grau de
liberdade v e compararmos com a nossa probabilidade de cometer o
erro tipo I (isso será visto mais adiante).
Suponha que tenhamos v=6 e queiramos um erro de 5% para uma
distribuição uni caudal, então teríamos:
Tabela Bicaudal
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
A distribuição qui-quadrado é um caso específico da distribuição
Gama.
Como definição temos:
Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado
com v graus de liberdade (denotada por 2(𝑣) ) se sua função
densidade for dada por:
1
 𝑣
2
2
𝑣
2
𝑦
𝑣
2
−1
𝑒−
𝑦
2 , 𝑦 > 0
𝑓 𝑦; 𝑣 = 0, 𝑦 < 0
A média e variância para a qui-quadrado são:
E(Y)=v Var(Y)=2v
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
Graficamente a distribuição qui-quadrado se comporta da seguinte
forma:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado
Usando a tabela qui-quadrado para v=10, observe que
P(Y>2,558)=0,99; ao passo que P(Y>18,307)=0,05.
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com distribuição
qui-quadrado, com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente.
Então, a v.a.
Tem densidade dada por:
𝑔 𝑤, 𝑣1, 𝑣2 =
 (𝑣1+𝑣2) 2
(𝑣1/2)(𝑣2/2)
𝑣1
𝑣2
𝑣1
2 𝑤(𝑣1−2)/2
(1 + 𝑣1 𝑓/𝑣2)(𝑣1+𝑣2)/2
,
𝑤 > 0
Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com 𝑣1 e 𝑣2
graus de liberdade, e usaremos a notação W~F(𝑣1, 𝑣2). Podemos
mostrar que:
1
2
U v
W
V v

I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
𝐸 𝑊 =
𝑣2
𝑣2−2
𝑉𝑎𝑟 𝑊 =
2𝑣2
2(𝑣1+𝑣2−2)
𝑣1(𝑣2−2)2(𝑣2−4)
O gráfico típico de uma distribuição F varia conforme seu grau de
liberdade como pode ser verificado abaixo:
I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
I.2.6 – A distribuição F de Snedecor
Vamos considerar que nossa distribuição F tenha comportamento
de média e variância com a seguinte característica W~F(5,7).
Consultando a Tabela F teremos: P(F > 3,97) = 0,05, ou P (F  3,97)
= 0,95.
Agora se quisermos encontrar:
0,05 = P{F(5,7) < f0}=P{1/F(7,5) < f0}=P{F(7,5) > 1/ f0},
Procurando na Tabela F, para F(7,5), obtemos 1/ f0=4,88 e,
portanto, f0=0,205.

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Variáveis aleatórias contínuas - Estatística II

  • 1. Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos
  • 3. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Definição: Uma função X definida pelo espaço amostral  e assumindo valores num intervalo de ´números reais, é dita uma variável aleatória contínua. A principal característica de uma v.a. contínua é que, sendo resultado de uma mensuração, o seu valor pode ser pensado como pertencendo a um intervalo ao redor do valor efetivamente observado (sempre nosso valor efetivamente observado será a média).
  • 4. Podemos então destacar as diferenças da v.a. discreta e contínua como sendo: I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 5. Exemplos de v.a. contínuas: - Tempo de resposta de um sistema computacional - Tempo de vida de uma máquina - Resistência de um material - Oscilação diária em um índice na bolsa de valores Além destas podemos também destacar: I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 6. De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis discretas, precisamos estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidades às suas diversas realizações que, neste caso, podem assumir um número infinito de valores diferentes. Abordamos esta questão através do próximo exemplo. Exemplo: Estudos anteriores revelam a existência de um grande lençol de água no subsolo de uma grande região. No entanto, sua profundidade ainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar situado em qualquer ponto, entre 20 e 100 metros. Vamos supor que escolhemos, ao acaso, um ponto nessa região e dispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão à profundidade do reservatório de água. Denotamos por X a variável aleatória representando a profundidade. Notemos que, apesar de X poder ser qualquer número entre 20 e 100 metros, o instrumento, com que trabalhamos, pode não ser tão preciso como gostaríamos. Por exemplo, uma profundidade de 32,571 metros poderia ser medida por 32,6 metros. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 7. Vamos assumir que temos um instrumento ideal que não faz aproximações. Nessas condições, podemos supor a sonda acoplada a um instrumento indicador da profundidade e um dispositivo que, quando a sonda encontrar água, provoque a imediata interrupção da perfuração. Uma vez não que temos informações adicionais a respeito da profundidade do lençol, é razoável assumirmos que a sonda pode parar em qualquer ponto entre 20 e 100 metros, sem que tenhamos motivos para privilegiar essa ou aquela profundidade. Assim, consideraremos todos os pontos como igualmente prováveis. Se utilizarmos a mesma idéia de atribuir a cada possível ponto uma probabilidade, teremos uma dificuldade extra, pois eles pertencem a um intervalo de [20; 100], em que existem infinitos números reais. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 8. Assim, se cada um deles tiver, individualmente, probabilidade maior que 0, a soma das probabilidades será igual a infinito e não 1, como requer a definição da função de probabilidades. Em geral, em situações como esta, não é interessante considerar um único valor para a variável aleatória, mas intervalos de valores na atribuição de probabilidades. Neste caso, sabemos que o espaço amostral corresponde ao intervalo [20; 100] e as profundidades são igualmente prováveis. Suponha por um momento, que dividimos o espaço amostral em 8 intervalos de comprimento 10. Logo, é razoável atribuir aos intervalos a probabilidade 1/8, correspondendo à relação entre o comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral. Isto é, 10 para 80 ou 1/8. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 9. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Assim, como dividimos em 8 faixas de igual comprimento e sem intersecção entre elas, teremos os intervalos [20; 30), [30; 40), ..., [90; 100] todos com a mesma probabilidade de 1/8, pois todos tem o mesmo tamanho. Para construirmos um histograma, podemos supor que 1/8 é a frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do intervalo.
  • 10. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Note que, dada as características do problema, a divisão em 8 intervalos produziu o mesmo valor de densidade de 1/80 pra todos eles. Se dividirmos o intervalo [20; 100] em 16 faixas iguais, utilizando o mesmo argumento anterior, temos que os intervalos [20; 25), [25; 30), ..., [95; 100] terão todos a mesma probabilidade 1/16. O histograma correspondente será:
  • 11. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução O histograma mostra que apesar de termos diferentes intervalos, a densidade permanece a mesma, igual a 1/80. Podemos continuar esse procedimento aumentando cada vez mais a quantidade de faixas, com a consequente diminuição de suas amplitudes de tal forma que, em uma situação teórica com infinitos intervalos, temos o seguinte histograma:
  • 12. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução
  • 13. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Estamos agora em condições de caracterizar, completamente a atribuição de probabilidade para o caso contínuo. Ela será definida pela área abaixo de uma função positiva, denominada de função de densidade de probabilidade (fdp). Observe que a densidade em si não é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na atribuição de probabilidades. Assim, para a variável aleatória contínua X representando a profundidade do lençol de água, a fdp f é dada por:       .100200 ;1002080/1 )( xouxpara xpara xf
  • 14. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.1 - Introdução Tendo em vista que, nesse exemplo a função de densidade é bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol esteja em um dado intervalo pode ser calculada com o uso de área de figuras planas. Assim, para obter a probabilidade de uma profundidade entre 25 e 29, calculamos a área do retângulo: e, portanto, P(25 ≤ X < 29) = 80 4 80 1 4 80 1 )2529( 
  • 15. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: i) 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ (−∞, +∞) ii) A área definida por f(x) é igual a 1. Com auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos caracterizar a condição ii) através de Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para 𝑎 ≤ 𝑏, , a integral indica a área sob f(x) definida pelo intervalo [a; b].     .1)( dxxf  b a dxxfbXaP ;)()(
  • 16. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)Note que, pela forma como a atribuímos as probabilidades no caso contínuo, teremos área zero sob qualquer valor individual, isto é, P(X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre zero e, consequentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos [a; b], [a; b), (a; b] e (a; b) são as mesmas, para qualquer valor de a e b. Exemplo: Num teste intelectual com alunos de um colégio Y, o tempo para realização de uma bateria de questões de raciocínio lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
  • 17. O gráfico da fdp é apresentado a seguir (construiremos ele no software R). Deve ser notado que, pela definição de f(x), ela se anula para t < 8 ou t >15. Vamos verificar agora se a função f(t) satisfaz a definição de densidade. Para calcular P(9 < T  12), vamos obter a área sob f(t) no intervalo (9; 12]:            contráriocaso tse tset tf 0 1510 20 3 ;108)4( 40 1 )( I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)
  • 18. Assim P(9< T  12) = 7/16 valor esse obtido pela soma do trapézio definido no intervalo (9, 10) com o retângulo determinado pelo intervalo [10,12] (veja a figura). 6 8 10 12 14 16 18 0.000.050.100.15 t f(t) I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)
  • 19. Através do uso de integral, essa mesma probabilidade seria calculada da seguinte forma: 12 10 12 9 9 10 10 122 10 12 9 10 109 (9 12) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 ( 4) 4 40 20 40 2 20 11 6 7 0,4375 80 20 16 P T f t dt f t dt f t dt t t dt dt t t                               I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.2 – A função de densidade probabilidade (fdp)
  • 20. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.3 – Valor Médio de uma Variável Aleatória Contínua O valor esperado ou média da variável aleatória contínua X, com fdp dada por 𝑓(𝑥), é dada pela expressão: Já a sua variância é dada por: Como no caso discreto, a variância é a medida de dispersão mais utilizada na prática. Aqui podemos, também, utilizar a expressão alternativa 𝜎2 = 𝐸 𝑋2 − 𝜇2, com 𝐸 𝑋2 sendo calculada como:     .)()( dxxxfXE      .)()( 22 dxxfx      .)()( 22 dxxfxXE
  • 21. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e, como já mencionado anteriormente, tem a mesma unidade de medida da variável original, o que facilita a interpretação dos seus valores. Vamos a um exemplo: Investidores estudaram uma certa carteira de ações e estabeleceram um modelo teórico para a variável R, rendimento das ações (em mil R$). Suponha que R é uma variável aleatória contínua com a seguinte função de densidade: Vamos aplicar no Software R 1 1 , 0 20 ( ) 40 10 0, r se r f r caso contrário             I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.3 – Valor Médio de uma Variável Aleatória Contínua
  • 22. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.3 – Medidas de Posição para Variáveis Aleatórias Contínuas Vamos determinar a média e a variância de R. Temos, Para variância, calculamos primeiro E(R2): Assim: Portanto o desvio padrão será: Qual seria a probabilidade de conseguirem um rendimento entre 8 e 10 mil? Vamos fazer no R 20 203 2 20 0 0 0 1 1 1 20 35 1 5 $ . 40 10 400 3 40 2 3 3 r r r r dr R mil                        20 204 3 20 2 2 0 0 0 1 1 1 200 500 ( ) 1 100 $ . 40 10 400 4 40 3 3 3 r r r E R r dc R mil                        2 2 2 2 2500 35 275 ( ) $30,56 mil 3 3 9 E R R             30,56 $5,53 milR R  
  • 23. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal A distribuição normal é uma das mais essenciais e importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre. Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (Ou seja, que a amostra seja maior que 30 observações).
  • 24. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Diz-se que X tem Distribuição Normal com média  e variância 2 se sua função de densidade de probabilidade (fdp) é: E(X) =  Var(X) = 2 Pode-se ainda verificar que os parâmetros  e 2 representam, respectivamente, a média e a variância da distribuição. A demonstração requer algumas manipulações de integral. O que não vai ser demonstrado aqui. Assim quando indicarmos que X ~ N (; 2), segue imediatamente que E(X) =  e Var(X) = 2.    xexf x iX  2 2 2 )( 2 1 )(   
  • 25. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Graficamente a curva normal comporta-se da seguinte maneira: 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 0e+001e-052e-053e-054e-05 Distribuição Nomal(60.000,8.300) x f(x)
  • 26. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser, facilmente, observadas de seu gráfico: fX(xi) é simétrica em relação à ; fX(xi)  0 quando x  ; o valor máximo de fX(xi) se dá para x =  e 𝜇 − 𝜎 e 𝜇 + 𝜎 são pontos de inflexão de f(xi) Quando temos 𝜇 = 0 e 𝜎2 = 1, temos uma distribuição padrão ou reduzida, ou brevemente N(0,1). Para essa a função de densidade reduz-se a 2 2 1 ( ) ( ) 2 z z if z z e x     
  • 27. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Assim, o gráfico da normal padrão pode ser representado por:
  • 28. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Vamos partir de um exemplo prático: Vamos trabalhar com uma série dos fundos de investimentos da Petrobrás gerenciado pelo Bando do Brasil. Observou-se que o comportamento dos fundos entre 02/01/2012 a 13/03/2012 tiveram um comportamento muito aproximado a uma curva normal como pode ser observado no gráfico abaixo: A média ficou em torno de R$ 7,27 a cota do fundo e o desvio padrão foi de R$ 0,295. Vamos construir a fdp desta variável aleatória no software R. Os limites de intervalo serão R$ 6 e R$ 8,25
  • 29. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos resolver a integral da fdp no intervalo de interesse, isto é, P(a  X  b) = Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão, as probabilidades para o modelo Normal são calculadas com auxílio de software estatísticos ou por tabelas. A partir do exemplo anterior, vamos visualizar algumas possibilidades e informações probabilísticas que podem ser tiradas a partir da curva da normal criada para o fundo de ações da Petrobrás. 2 2 ( ) 2 1 2 xb a e       
  • 30. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Cálculo da probabilidade de um modelo Normal usando o R Levando em consideração as informações do exemplo anterior, pergunta-se: a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o valor da ação for de R$ 7,18. Para realizar tal tarefa vamos usar o comando pnormal que faz o cálculo da probabilidade. Além disso, vamos fazer também a representação gráfica na curva da normal. b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%? Vamos verificar essa possibilidade com o auxílio do R.
  • 31. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Aplicações da v.a. reduzida. A transformação da normal para a sua correspondente reduzida z~N(0,1). Para determinar a probabilidade de X  [a,b], procedemos com o seguinte cálculo: P(a  X  b) = P(a -   X -   b - ) = e, portanto, quaisquer que sejam os valores de  e , utilizamos a Normal Padrão para obter probabilidades com a distribuição Normal.                               b Z a P bXa P
  • 32. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Os valores para P(0  Z  z), z>0 são apresentados na seguinte tabela. Com a simetria da densidade Normal podemos calcular valores de probabilidades em outros intervalos. Note que a simetria também implica que a probabilidade de estar acima (ou abaixo) de zero é 0,5. Como probabilidade é sempre um número entre 0 e 1, a tabela contém apenas a parte decimal. Por exemplo, para X~N(2,9), teremos: Agora como foi localizado o valor 0,3413 na tabela normal? 3413,0)10( 9 25 9 2 9 22 )52(             ZP X PXP
  • 33. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Para obter P(0  X  2), usamos a assimetria da Normal: Podemos ainda calcular as probabilidades de intervalos com extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos na parte positiva. Um outro recurso importante no uso da tabela é a utilização do complementar. Por exemplo, 0 2 2 2 2 2(0 2) ( 0) (0 ) 3 39 9 (0 0,6666) 0,2486 P X P Z P Z P Z P Z                          3707,01293,05,0 3 105,0 3 1 3 23 )3(         ZPZPZPXP
  • 34. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é, dado uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a originou. Por exemplo, quanto vale c tal que P(0 Z  c) = 0,4? Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o valor de c. Suponha, agora, que queremos encontrar d tal que P(Z > d) = 0,8. Observamos que d precisa ser negativo, pois a probabilidade desejada é maior que ½, que é o valor de P(Z > 0). Assim, o intervalo (0; d) precisa ter probabilidade 0,3. Pela simetria da Normal, o intervalo (-d, 0) também tem probabilidade 0,3. Da tabela, segue que –d = 0,84 e portanto d = -0,84.
  • 35. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.4 – O modelo de distribuição Normal Vamos finalizar essa seção utilizando o exemplo anterior para o fundo de ações da Petrobrás/BB. a) Qual a probabilidade de obtermos lucro se na época do resgaste o valor da ação for de R$ 7,18? b) Qual deveria ser o preço máximo (em R$) para que o investidor tenha uma probabilidade de lucro pequena, de cerca de 10%? Assim, precisamos obter um valor em R$ tal que: P(X < R$) = 0,1. Então, 7,27 7,18 7,27 ( 7,18) ( 0,31) 0,5 0,1179 0,3821 0,295 0,295 X P X P P Z                7,27 $ 7,27 $ 7,27 ( ) 0,1 0,295 0,295 0,295 X R R P P Z           
  • 36. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.5 – A distribuição t de student A distribuição t de Student é importante no que se refere a inferências sobre médias populacionais. Diz-se que uma variável aleatória contínua T tem distribuição t de Student se sua função de densidade é dada por: 𝑓 𝑡; 𝑣 =  𝑣 + 1 2  𝑣 2 𝜋𝑣 1 + 𝑡2 𝑣 − 𝑣+1 2 , −∞ < 𝑡 < ∞ Essa expressão, certamente, é assustadora! Mas eis uma boa notícia: não precisaremos dela para calcular probabilidades! No entanto, é interessante notar duas características básicas dessa expressão: o argumento t da função aparece elevado ao quadrado e fT depende apenas do número de graus de liberdade da qui-quadrado e, portanto, o parâmetro desta distribuição é, também, o número de graus de liberdade.
  • 37. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.5 – A distribuição t de student Em termos de média e variância a distribuição t de Student, (com v graus de liberdade) que será indicada por t(v), será: 𝐸 𝑡 = 0 𝑉𝑎𝑟 𝑡 = 𝑣 𝑣 − 2 Quanto maior o valor de v mais t aproxima-se de uma normal N~(0,1), isso pode ser verificado no gráfico abaixo:
  • 38. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.5 – A distribuição t de student Assim como no caso da normal, seria necessária uma tabela para cada valor de v. Os programas computacionais de estatística calculam probabilidades associadas a qualquer distribuição t. Mas nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição t que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor crítico da t(v) associado à probabilidade α é o valor tv;α tal que 𝑃 𝑡 𝑣 > 𝑡 𝑣;𝛼 = 𝛼 Para encontrar o valor tabelado basta pegarmos o grau de liberdade v e compararmos com a nossa probabilidade de cometer o erro tipo I (isso será visto mais adiante). Suponha que tenhamos v=6 e queiramos um erro de 5% para uma distribuição uni caudal, então teríamos: Tabela Bicaudal
  • 39. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado A distribuição qui-quadrado é um caso específico da distribuição Gama. Como definição temos: Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado com v graus de liberdade (denotada por 2(𝑣) ) se sua função densidade for dada por: 1  𝑣 2 2 𝑣 2 𝑦 𝑣 2 −1 𝑒− 𝑦 2 , 𝑦 > 0 𝑓 𝑦; 𝑣 = 0, 𝑦 < 0 A média e variância para a qui-quadrado são: E(Y)=v Var(Y)=2v
  • 40. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado Graficamente a distribuição qui-quadrado se comporta da seguinte forma:
  • 41. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição Qui-Quadrado Usando a tabela qui-quadrado para v=10, observe que P(Y>2,558)=0,99; ao passo que P(Y>18,307)=0,05.
  • 42. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição F de Snedecor Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com distribuição qui-quadrado, com v1 e v2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a v.a. Tem densidade dada por: 𝑔 𝑤, 𝑣1, 𝑣2 =  (𝑣1+𝑣2) 2 (𝑣1/2)(𝑣2/2) 𝑣1 𝑣2 𝑣1 2 𝑤(𝑣1−2)/2 (1 + 𝑣1 𝑓/𝑣2)(𝑣1+𝑣2)/2 , 𝑤 > 0 Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com 𝑣1 e 𝑣2 graus de liberdade, e usaremos a notação W~F(𝑣1, 𝑣2). Podemos mostrar que: 1 2 U v W V v 
  • 43. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição F de Snedecor 𝐸 𝑊 = 𝑣2 𝑣2−2 𝑉𝑎𝑟 𝑊 = 2𝑣2 2(𝑣1+𝑣2−2) 𝑣1(𝑣2−2)2(𝑣2−4) O gráfico típico de uma distribuição F varia conforme seu grau de liberdade como pode ser verificado abaixo:
  • 44. I.2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS I.2.6 – A distribuição F de Snedecor Vamos considerar que nossa distribuição F tenha comportamento de média e variância com a seguinte característica W~F(5,7). Consultando a Tabela F teremos: P(F > 3,97) = 0,05, ou P (F  3,97) = 0,95. Agora se quisermos encontrar: 0,05 = P{F(5,7) < f0}=P{1/F(7,5) < f0}=P{F(7,5) > 1/ f0}, Procurando na Tabela F, para F(7,5), obtemos 1/ f0=4,88 e, portanto, f0=0,205.