O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo: (1) a definição de função envolvendo conjuntos; (2) exemplos de funções no cotidiano; (3) representações gráficas e algébricas de funções.

1. Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 5 – Estudo de Funções
Amintas Paiva Afonso

2. O conceito de função é
um dos mais importantes
em toda a Matemática.

3. A idéia de função…
• Toda vez que temos
dois conjuntos e algum
tipo de associação
entre eles...
que faça corresponder a
todo elemento do
primeiro conjunto um
único elemento do
segundo, ocorre uma
função.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1°
Trim.
3°
Trim.
Leste
Oeste
Norte

4. Em nosso dia-a-dia temos muitos
exemplos de funções:
• O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da
distância percorrida.
• A altura de uma criança é função de sua idade;
• O consumo de combustível é função, entre outras
coisas, da velocidade.
• Perímetro de um triângulo é função da medida de seus
lados.

5. O conceito de função na história...
• René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês
porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar
pontos e representar graficamente as equações.
• Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático
italiano iniciou o método experimental a partir do qual se
pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as
variáveis de um fenômeno.

6. A função é um modo especial de relacionar
grandezas.
• Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que:
– x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado.
– a cada valor de x corresponde um único valor y em um
dado conjunto B.
– os valores que y assume dependem dos valores
assumidos por x.

7. Temos várias maneiras para
representar a idéia de função.
d ia g r a m a d e s e t a s g r á fic o s
( p la n o c a r t e s ia n o )
le i d e fo r m a ç ã o
C o m o r e p r e s e n t a r u m a fu n ç ã o

8. Representação gráfica
• No dia-a-dia
utilizamos esse tipo
de representação
em vários setores.

9. Algumas funções especiais:
c re s c e n te d e c re s c e n te
q u e p o d e s e r
o g rá fic o é u m a re ta
fu n ç ã o d o p rim e iro g ra u
c o m c o n c a v id a d e p a ra c im a c o m c o n c a v id a d e p a ra b a ix o
o g rá fic o é u m a p a rá b o la
fu n ç ã o d o s e g u n d o g ra u
F u n ç õ e s

10. A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}
A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
A x B = { (x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Produto Cartesiano

11. Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a
qual cada elemento x em um conjunto A está
associado a exatamente um elemento, chamado f(x),
em um conjunto B.
Definição de função

12. Não é função de A em B É função de A em B
Definição de função através de conjuntos

13. Não é função de A em B É função de A em B
Noção de função através de conjuntos

14. Im(f)
D(f) = A CD(f) = B
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem

15. Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma
função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de
uma vez.
Teste da reta vertical

16. D = {x ∈ IR| –3 ≤ x ≤ 4 e x ≠ 1} e Im = {y ∈ IR| –2 < y ≤ 3}
Domínio e imagem através do gráfico

17. Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da
função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.
Interpretação geométrica das raízes de uma função
raiz
raiz

19. FUNÇÃO INJETORA
É quando quaisquer dois elementos diferentes do
conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B.
0
-3
2
4
1
6
8
Ou seja, “x” diferente
tem “y” diferente !!!
A B

20. Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal
interceptar seu gráfico em mais de um ponto.
Teste da reta horizontal para verificar se
uma função é injetora

21. FUNÇÃO SOBREJETORA
É quando o conjunto Imagem da função for igual ao
conjunto contradomínio. (Im = CD)
-1
1
3
1
9
Se M é o conjunto das mulheres
e H é o conjunto dos homens,
então não se pode ter homem
solteiro !!!
M H

22. FUNÇÃO BIJETORA
É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.
-1
3
7
Ou seja, homens
e mulheres com os
mesmos direitos !!
1
5
9
M H
Injetora: “x” diferente
tem “y” diferente
Sobrejetora: NÃO SOBRAM
elementos no contra domínio.

23. Não é injetora.
É sobrejetora
É injetora.
Não é sobrejetora
Injeção, sobrejeção e bijeção
a) b)

24. É injetora
É sobrejetora
∴ É bijetora
Injeção, sobrejeção e bijeção
c)

25. Testando seus conhecimentos
1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora
ou ainda nenhuma delas:
é injetora é sobrejetora
a)
b)
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
6

26. é bijetora
não é sobrejetora,
nem injetora
c) d)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
3
4
5
2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora,
ou ainda nenhuma delas:

27. 3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] → B, tal que
f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e
determine seu domínio e imagem.
D(f) = [2;8]
Im(f) = [-9;7]
y
x
7
-5
2 4
7 8
-9

28. A função f é
crescente
A função f é
crescente
A função g é
decrescente
A função g é
decrescente
a b
g
g(a)
g(b)
a b
f
f(a)
f(b)
O a b
f
f(a)
f(b)
O a b
g
g(a)
g(b)
Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b).
FUNÇÃO CRESCENTE:
Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).

29. 6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos
onde a função é:
y
x-2 0 2 4 6
a) Decrescente: ]0, 4[
b) Crescente: ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

30. Função crescente e Função decrescente

31. Função crescente e Função decrescente

32. Função crescente e Função decrescente

33. GRÁFICO PARA x ≥ 0 GRÁFICO COMPLETO
Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo
das ordenadas.
Função Par
f(-x) = (-x)4
- (-x)2
= x4
– x2
= f(x)
f(x) = x4
– x2

34. Função ímpar
Gráfico para x ≥ 0

35. Os gráficos das funções ímpares são simétricos em
relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.
Função ímpar
f(-x) = (-x)3
+ (-x)5
= -(x3
+ x5
) = - f(x)
f(x) = x3
+ x5

36. FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)
Exemplo:
f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4
FUNÇÃO ÍMPAR: f(a) = - f(-a)
Exemplo:
f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³
Uma função é PAR quando ela é
simétrica em relação ao eixo y.
Função ÍMPAR é simétrica em relação a
origem.
y
x
f(x) = x²
y
x
f(x) = x³

37. 4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:
Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7
Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7
Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)
ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)
b) Mostre que f(x) = 3x² é par:
Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3
Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3
Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)
ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

38. 5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o
gráfico de f(– x) será:
Resposta: E
f(x) = f(-x)
Lembre-se:
Se
Então a função “f” é
par e ela é simétrica
ao eixo “y”.

39. Sejam f e g duas funções quaisquer.
Denomina-se função composta de g com f a função h
definida por h(x) = g(f(x)).
Esquema para a composição de funções

40. x y
D R
f(x)
f -1
(x)
FUNÇÃO INVERSA
A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o
seguinte procedimento:
1) Isola “x”;
2) Troca “x” por “y” e vice versa.

41. O símbolo para a função inversa de
f é f -1
e lê-se “função inversa de f”.
FUNÇÃO INVERSA
O símbolo “–1” em f-1
não é um expoente;
f-1
(x) não significa 1/f(x).

42. x
y ou f(x)
y = x2
ou
f(x) = x2
2-2
4
0
TESTE DA RETA HORIZONTAL
Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma
for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.
EXEMPLO: a função f(x) = x2
tem inversa?
reta horizontal
FUNÇÃO INVERSA
Conclusão: a função f(x) = x2
não tem inversa.

43. Os gráficos de f e f –1
são simétricos em relação à bissetriz
dos quadrantes ímpares (reta y = x).
Simetria das funções inversas
1.
3.
7.
. 3
. 7
. 15
f
1.
3.
7.
. 3
. 7
. 15
f -1
A B
A B