Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra

Estatística II
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
FACULDADE DE ECONOMIA
Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos”

TESTES DE HIPÓTESES
Todos os conceitos vistos até agora serão abordados nesse tópico da
estatística. Aqui deveremos ter fixada as ideias de probabilidade,
distribuições de funções de densidade probabilidade e (principalmente)
do intervalo de confiança.

TESTE DE HIPÓTESE
NÚMERO DE AMOSTRAS
UMA
TAMANHO DA
AMOSTRA
GRANDE PEQUENA
ENTRE
AMOSTRAS
TAMANHO DA
AMOSTRA
GRANDE PEQUENA
INDEPENDENTES
?

Suponhamos que duas espécies botânicas A e B, de um mesmo
gênero, têm folhas muito semelhantes, mas com tamanhos diferentes.
Assim, as folhas da espécie A tem largura média 𝜇 𝐴 = 29𝑚𝑚, e as
folhas da espécie B tem largura média 𝜇 𝐵 = 35𝑚𝑚. Sabe-se que, nas
duas espécies, a largura das folhas apresenta distribuição
aproximadamente normal com desvio padrão =10mm. Suponhamos que
um pesquisador recebe uma amostra de 25 folhas para decidir, com base
na largura dessas folhas, se elas pertencem à espécie A ou a B.

Vamos supor ainda que o pesquisador tende a acreditar que as
folhas são da espécie A, devido ao local de origem da amostra, onde,
sabe-se, a espécie A é muito mais comum. Então, todo o problema
consiste em decidir, com base nos dados da amostra, se esta provém
de uma população de plantas cujas folhas têm largura média
=29mm ou de uma população de plantas cujas folhas tem largura
média de =35mm. Em outras palavras, é necessário verificar se as
larguras das folhas da amostra levam ou não a rejeitar a hipótese da
nulidade
𝐻0: 𝜇 = 29𝑚𝑚 𝐻 𝑎: 𝜇 = 35𝑚𝑚

Seja 𝑋 a média das larguras das folhas da amostra. Se admitirmos que
a população de folhas é infinita e se foi tomada uma amostra aleatória,
então 𝑋 terá distribuição normal com média E( 𝑋)=𝜇 𝐴 , se H0 for
verdadeira, ou E( 𝑋)=𝜇 𝐵, se H1 for verdadeira, e desvio padrão igual a
𝜎 𝑋 =
𝜎
𝑛
=
10
25
= 2𝑚𝑚

Com base no valor de 𝑋 obtido, pretende-se que informemos de qual
espécie é a folha.
A resposta para essa questão exige um TESTE DE HIPÓTESES
Então, com a finalidade de introduzir a terminologia usual em
estatística, vamos estabelecer a “hipótese de nulidade”, indicada por 𝐻0
(H0), que corresponde à afirmativa de que a folha é da espécie A. Como
“hipótese alternativa”, indicada por 𝐻𝐴 ou 𝐻1(H1), de que a folha seja da
espécie B.

Mas antes vejamos um conceito importante sobre as hipóteses, vamos
definir nossa regra de decisão. Aceitaremos 𝐻0 se o número X de
resultados favoráveis for igual a 29mm e rejeitaremos 𝐻0, em favor de
𝐻 𝑎, caso contrário.
Então, denominamos o conjunto 𝐴 = {𝑋 = 29𝑚𝑚} de região de
aceitação e o conjunto 𝑅 = {𝑋 ≠ 29𝑚𝑚} de região de rejeição.
Região
da Hipótese Nula
𝐻0
Região da Hipótese Alternativa 𝐻 𝑎

Para realizarmos o teste de hipóteses para o tipo de espécie é
necessário, antes de calcularmos a média, estabelecer uma regra de
decisão, isto é, fixar um valor crítico C tal que
a) Se 𝑋 ≥ C, rejeita-se H0;
b) Se 𝑋 < C, não se rejeita H0.
Vamos estabelecer, inicialmente, a média aritmética das médias das duas
distribuições como o valor crítico, isto é,
𝐶 =
29+35
2
= 32𝑚𝑚 conforme observado no gráfico
Então, o nível de significância do teste é
𝛼 = 𝑃 𝑋 ≥ 32 𝜇 = 29 = 𝑃 𝑍 >
32−29
2
= 𝑃(𝑍 > 1,5)
= 0,0668 𝑜𝑢 6,68%

A distribuição normal é simétrica. Então, lembrando que as duas
possíveis distribuições de 𝑋 são aproximadamente normais com a mesma
variância e lembrando que foi fixado como ponto crítico o valor médio
de 𝜇 𝐴 = 29𝑚𝑚 e 𝜇 𝐵 = 35𝑚𝑚, podemos concluir que 𝛽 = 𝛼, isto é,
=0,0668 ou 6,68%. O valor de  também pode ser obtido na seguinte
expressão:
𝛽 = 𝑃 𝑋 < 32 𝜇 = 35 = 𝑃 𝑍 <
32 − 35
2
= 𝑃 𝑍 = −1,5
= 𝑃 𝑍 > 1,5 = 0,0668 𝑜𝑢 6,68%
Verificamos que, para a regra de decisão adotada (rejeitar H0 quando
𝑋 ≥ 32), a probabilidade de cometer o erro tipo I é igual a probabilidade
de cometer o erro tipo II. Entretanto, devemos lembrar que a priori, ou
seja, antes de calcular 𝑋, o pesquisador havia considerado que a hipótese
H0 era, mais provavelmente, a verdadeira. Então, parece razoável rejeitar
essa hipótese somente se a média 𝑋 for um valor relativamente afastado
de 𝜇 𝐴 = 29𝑚𝑚 e próximo de 𝜇 𝐴 = 35𝑚𝑚 , ou seja, somente se 𝑋 tornar
bastante evidente que H0 deve ser rejeitada.

Possíveis resultados de um TESTE DE
HIPÓTESES

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
Espécie A Espécie B
αβ

Porém será que a decisão anterior conduz a decisão correta?
Com uma quantidade maior de folhas teríamos várias
possibilidades e probabilidades associadas a essas amostras, diante
da grandeza de possibilidades teríamos que tomar tais decisões (𝐻0
ou 𝐻 𝑎) em condições de incerteza e, portanto, estamos sujeitos a
cometer erros.
Com base nos resultados obtidos a partir de uma amostra, não é
possível tomar decisões que estejam definitivamente corretas.
Entretanto, podemos calcular a probabilidade de a decisão tomada
estar ERRADA.

Então voltando ao gráfico da Espécie A, ao estabelecermos H0 e
rejeitá-lo caso o valor ocorrido seja igual ou maior que 32, podemos estar
cometendo erro, com probabilidade igual à probabilidade de ocorrência
desses valores sob H0, essa área corresponde a área em azul do gráfico.
Denominamos o erro tipo I o erro que acabamos de exemplificar, que
consiste em rejeitar H0, dado que H0 é verdadeiro. Denominamos de
nível de significância do teste, indicado por , como a probabilidade de
cometer o erro tipo I.
Então na soma anterior teríamos:  = 0,0668 ou 6,68%
Devemos lembrar, no entanto, que rejeitar H0 é apenas uma de duas
soluções possíveis quando se realiza um teste de hipóteses.

Já em relação ao conjunto de valores menores que 32, seria nosso
resultado para aceitação de H0, porém pode ser que na verdade valores
menores que 32 correspondam a resultados desfavoráveis, que pertencem
na verdade a hipótese H1, ou seja, que a folha seja da espécie B,
conforme área em vermelho.
Denominamos de erro tipo II esse erro exemplificado, que consiste
em aceitar H0, dado que H0 é falsa. A probabilidade de cometer o erro
tipo II é indicada por . O valor 1 - , que é a probabilidade de rejeitar
H0, dado que H0 é falsa, é denominado Poder do Teste.
Para o exemplo, =0,0668 ou 6,68% e o poder do teste é 93,32%
Os testes de hipóteses (em sua grande maioria) procuram verificar se
um determinado valor gira em torno de uma determinada média.

Isto significa que deveremos estabelecer um valor crítico maior que
32mm, diminuindo a probabilidade de cometer o erro tipo I, isto é,
diminuindo o nível de significância do teste. Vamos admitir que o
pesquisador resolveu adotar o nível de significância em 5% ou 1%.
Voltaremos a discutir a questão de como estabelecer o nível de
significância; no momento, como foi fixado =0,05, vamos obter a
abscissa do ponto crítico C, tal que
𝑃 𝑋 > C μ = 29 = 0,05
Ou
𝑃 𝑍 >
𝐶−29
2
= 0,05
Assim
𝐶−29
2
= 1,645 e C=32,29

A probabilidade de ocorrer o erro tipo II é
𝛽 = 𝑃 𝑋 < 32,29 𝜇 = 35 = 𝑃 𝑍 <
32,29 − 35
2
= 𝑃 𝑍 < −1,355 = 0,0877
A próxima figura nos mostra as distribuições de 𝑋 sob H0: =29 e sob
H1:=35, bem como as áreas correspondentes a  e , para a regra de
decisão estabelecida, que é rejeitar H0, quando 𝑋 ≥32,29.

A medida que aumentamos o valor de C, o valor de  diminui, mas o
valor de  aumenta. A próxima tabela mostra como os valores de  e 
variam em função da abscissa do ponto crítico C, no caso do exemplo
numérico que estamos analisando.
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
Espécie A Espécie B
αβ

C α β
- 1 0
29 0,5 0,0013
31 0,1587 0,0228
32 0,0668 0,0668
32,29 0,05 0,0877
33 0,0228 0,1587
35 0,0013 0,5
 0 1

Vamos supor que o pesquisador calculou a média das larguras das
folhas da amostra obtendo 𝑋=32,80mm. Como 32,8 > C=32,29, o
pesquisador deve rejeitar, ao nível de significância de 5% a hipótese
H0:=29mm em favor da hipótese H1:35mm.
Vejamos agora, resumidamente, a generalização do problema
proposto e do procedimento adotado.
Seja X uma v.a. com distribuição normal e média  e variância 𝜎2.
Para testar a hipótese de que a média  da distribuição tem um valor
específico 𝜇0, isto é, 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0, contra a hipótese alternativa de que tem
outro valor específico 𝜇1, ou seja, 𝐻1: 𝜇 = 𝜇1, com 𝜇1 > 𝜇0 adotamos o
procedimento que passamos a descrever.
1º - Estabelecemos um nível de significância do teste, que, em
problemas práticos, geralmente é 5%.
2º - Obtemos um amostra de n observações da variável X e
calculamos a sua média 𝑋

3º - Calculamos valor crítico de C pela seguinte expressão:
𝑃(X ̅≥C│μ=𝜇0)= 𝛼
Ou
𝑃 𝑍 >
𝐶 − 𝜇0
𝜎 𝑋
= 𝛼
Se 𝑍0 é o valor da variável normal reduzida, obtido pela tabela z, tal
que 𝑃 𝑍 > 𝑍0 = 𝛼, podemos escrever:
𝐶 − 𝜇0
𝜎 𝑋
= 𝑍0
Ou 𝐶 = 𝜇0 + 𝑍0 𝜎 𝑋 (fórmula do intervalo de confiança)

4º - Comparamos a média da amostra ( 𝑋) com o valor C obtido e
rejeitamos H0, ao nível de significância , se 𝑋 ≥ 𝐶.
Considerando que 𝐶 = 𝜇0 + 𝑍0 𝜎 𝑋 logo verifica-se que
𝑋 > 𝜇0 + 𝑍0 𝜎 𝑋
ou
𝑋 − 𝜇0
𝜎 𝑋
≥ 𝑍0
Dessa forma, o procedimento usual para testar H0 contra H1 consiste
em, depois de obtido o valor de 𝑋, calcular
𝑍 =
𝑋 − 𝜇0
𝜎 𝑋
Para o exemplo anterior esse valor seria de 𝑍 =
32,8−29
2
= 1,9

O valor crítico de Z, para o nível de significância de 5%, é 𝑍0 =
1,645 , uma vez que P(Z>1,645)=0,05. Como Z=1,9 > 𝑍0 =1,645,
rejeitamos H0:=29mm, em favor de H1: =35mm.
Se tivermos 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 e 𝐻1: 𝜇 = 𝜇1, com 𝜇1 < 𝜇0 ( em vez de 𝜇1 >
𝜇0), a região de rejeição é 𝑋 ≤ 𝐶. O procedimento usual é calcular Z por
meio de 𝑍 =
𝑋−𝜇0
𝜎 𝑋
e rejeitar H0 se Z≤ −𝑍0 . Sendo  o nível de
significância adotado, 𝑍0 é o valor da variável normal reduzida, tal que
𝑃 𝑍 < −𝑍0 = 𝑃 𝑍 > 𝑍0 = 𝛼

Lembrando que

TESTES DE HIPÓTESES para a Média
(Amostras Grandes e  conhecido)
Usando o valor da probabilidade para grandes amostras.
Praticamente quando trata-se de grandes amostras, temos que avaliar a
hipótese sobre o valor da probabilidade encontrada, caso a mesma seja
maior que o valor estabelecido em α, não rejeitamos a hipótese nula
(aceita-se 𝐻0), caso o valor de P seja menor, rejeitamos a hipótese nula
(ou seja, falhamos em rejeitar 𝐻0).
A grande questão é: como encontrar o valor de P?
Na verdade isso já foi verificado já que P obtém-se a partir de z
(normal padronizada).
Isso significa que o valor de z será encontrado usando-se as médias
amostrais e média hipotéticas.
𝑧 =
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 − 𝑀é𝑑𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜

𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
E quando a amostra é maior que 30 podemos usar o próprio erro
padrão do conjunto de dados da respectiva amostra.
Exemplo: De acordo com um estudo o custo médio de uma cirurgia
bariátrica é de R$ 21.500. Você desconfia desse valor. Dessa forma você
escolhe 25 pacientes que realizaram a cirurgia e pergunta quanto em
média eles gastaram, na média eles lhe informaram que o custo fora de
R$ 20.695. Estudos anteriores indicaram que o erro padrão amostral é de
R$ 2.250. Considerando que a amostra colhida é normalmente
distribuída, poderíamos afirmar que a 5% de probabilidade de cometer o
erro tipo I, á pesquisa está errada?

Solução:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
𝑧 =
20.695 − 21.500
2.250
25
𝑧 ≅ −1,79
Nos interessa apenas a área de 0 a z
Como temos uma distribuição Bi-Caudal temos que multiplicar o valor encontrado por 2,
Dessa forma temos 𝑷 = 𝟐 𝟎, 𝟎𝟑𝟕 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟑𝟒

Como 𝑃 > 𝛼, não rejeitamos a hipótese nula. Logo podemos concluir
que não existem evidências (a um nível de significância de 5%) e o custo
médio da cirurgia bariátrica seja de R$ 21.500.
Nesse caso sempre lembre que:

Empregados da Vale reclamam que a média salarial de um
engenheiro é inferior que das demais empresas do ramo no mundo,
atualmente seus salários anuais são de $ 68.000. Uma amostra
aleatória de 20 empresas do ramo indicou que a média salarial das
mesmas é de $ 66.900. Assumindo que o desvio padrão da população
seja de $ 5.500 e que a população é normalmente distribuída, a
α=5% teste se os empregados estão corretos.

(Amostras Pequenas e  desconhecido)
Nesse caso como temos n < 30, devemos utilizar a tabela t.
Nesse caso a mesma só será passível de uso caso a amostra tenham o
comportamento de uma normal padrão.
Aqui não avaliaremos a probabilidade, mas sim o próprio valor
calculado, dessa forma faremos a comparação entre o valor calculado de
t e o valor tabelado do mesmo.
Vamos ao exemplo:
Uma concessionária informou que o preço de um sedã de dois anos
(em boas condições) custa R$ 20.500. Você suspeita que tal valor esteja
incorreto e, fazendo uma pesquisa em 14 jornais diferentes para o mesmo
sedã o preço médio encontrado foi de R$ 19.850. O desvio padrão desse
amostra era de R$ 1.084. Existe evidência para rejeitarmos o valor
fornecido pela concessionária a 5% de probabilidade de cometermos o
erro tipo I? (Então o verdadeiro preço é menor que R$ 20.500?)

Solução: 𝐻0: 𝜇 ≥ 𝑅$20.500 𝐻 𝑎: 𝜇 < 𝑅$20.500
𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑛
𝑡 =
19.850 − 20.500
1.084
14
𝑡 ≅ −2,224
Como temo o valor Calculado maior que o valor tabelado então
rejeitamos a hipótese nula. Concluímos portanto que o preço do sedã é
inferior a R$ 20.500 a 5% de probabilidade de cometer o erro tipo I.

O setor de caixas do Lider reclamou que a média de descanso é menor
que 14 minutos. Uma amostra de 10 pessoas tem como média de
descanso de 13 minutos com desvio padrão de 3,5 minutos. A α=10%,
teste a reclamação dos caixas. Assuma que a população é normalmente
distribuída.

TESTES DE HIPÓTESES para Proporções
TESTES DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES
Uma situação citada por Larson et al é que os testes de hipóteses para
proporções podem ser usados quando os políticos querem saber a
proporção de seus eleitores que são a favor de um determinado projeto
de lei ou quando os engenheiros de qualidade testa a proporção de peças
que estão com defeito.
Nesse caso se 𝑛𝑝 ≥ 5 e 𝑛𝑞 ≥ 5 para uma distribuição binomial, então
uma distribuição amostral para 𝑝 é normal com 𝜇 𝑝 = 𝑝 e 𝜎 𝑝 = 𝑝𝑞
𝑛.
O teste z para uma proporção será dado por:
𝑧 =
𝑝 − 𝜇 𝑝
𝜎 𝑝
=
𝑝 − 𝑝
𝑝𝑞
𝑛

A pesquisadora afirma que menos de 40% dos proprietários de
telefone celular no Brasil usam seu telefone para a navegar na internet.
Em uma amostra aleatória de 100 adultos, 31% dizem que usam seu
telefone para acessar internet. Com α=1%, há evidências suficientes para
apoiar a afirmação da pesquisadora?
Como o produto de 𝑛𝑝 = 100 0,4 = 40 e 100 0,6 = 60 é maior
que 5 então podemos continuar com o teste de hipóteses. Então nossa
hipótese de teste será:

Pelo exemplo anterior no nível de significância de 1%, não existe
evidências que deem suporte a pesquisadora em afirmar que menos de
40% dos brasileiros usam celular para navegar na internet.

A pesquisadora afirma que 86% dos graduados universitários dizem
que seu diploma universitário foi um bom investimento. Em uma
amostra aleatória de 1.000 graduados, 845 dizem que o seu diploma
universitário foi um bom investimento. Com 𝛼 =10%, há evidências
suficientes para rejeitar a afirmação da pesquisa?

Concluímos que não existe evidência a 10% de significância para
rejeitar a hipótese que 86% dos graduados afirmarem que a obtenção do
diploma tenha sido um bom investimento.

TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐
e 𝝈
No mundo real, é importante para a produção de resultados
consistentes e previsíveis. Por exemplo, considere uma empresa que
fabrica bolas de golfe. O fabricante tem de produzir milhões de bolas de
golfe, tendo cada um o mesmo tamanho e o mesmo peso. Há uma
tolerância muito baixa a variação. Para uma população distribuída
normalmente, você pode testar a variância e desvio padrão do processo
usando a distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de liberdade. Antes
de aprender a fazer o teste, você deve saber como encontrar os valores
críticos, como mostrado até o momento.

e 𝝈

e 𝝈
Para testar uma variância 𝜎2 ou desvio padrão 𝜎 de uma população
que é normalmente distribuída, podemos usar o teste do qui-quadrado
(𝜒2
). O teste do qui-quadrado para a variância ou desvio-padrão não é
tão robusto como os testes para a média da população 𝜇 ou a proporção
populacional 𝑝. Assim, é essencial na realização de um teste qui-
quadrado para a variância ou desvio padrão que a população seja
normalmente distribuída. Os resultados podem ser equivocados quando a
população não é normal.
𝜒2 =
𝑛 − 1 𝑠2
𝜎2

e 𝝈
Uma companhia de processamento de produtos lácteos afirma que a
variação da quantidade de gordura em todo o leite processado pela
empresa é não mais do que 0,25. Você suspeita que isso esteja errado e
encontra em uma amostra aleatória de 41 caixas de leite uma variação de
0,27. Com α=5%, há evidências suficientes para rejeitar a alegação da
empresa? Suponha que a população é normalmente distribuída.

e 𝝈
Logo, não há provas suficientes ao nível de 5% de significância para
rejeitar a alegação da empresa de que a variância da quantidade de
gordura em todo o leite não seja maior do que 0,25.

e 𝝈
Usando o R
Um geólogo afirmou que a resistência média à compressão de um
itabirito silicioso (tipo de rocha) explorado na região da Zona da Mata
mineira é de 285 Mpa. Desconfiado dessa afirmação, um estudante
resolveu fazer um teste de resistência utilizando amostras provenientes
da mesma região e encontrou os seguintes valores (em Mpa):
254.29, 165, 189.02, 277.46, 235.56, 198.32
Se o estudante realizou um teste bilateral, para um nível de
significância de 1%, a qual conclusão ele chegou?

PRÓXIMA AULA
TESTE DE HIPÓTESES
COM DUAS AMOSTRAS

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