Geometria Analítica I-V e Cônicas

Geometria Analítica
• Geometria Analítica I
• Geometria Analítica II
• Geometria Analítica III
• Geometria Analítica IV
• Geometria Analítica V
• Exercícios de Geometria Analítica
• Elipse
• Hipérbole
• Parábola
• Hipérbole Eqüilátera
• A excentricidade das cônicas
• Sistema de coordenadas polares
• Um problema de circunferência
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Geometria Analítica I

1 - Introdução

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos
particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria.
Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem ter suas
propriedades estudadas através de métodos algébricos.
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-
se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor
das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que
permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu
livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em
latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

1.1 - Coordenadas cartesianas na reta

Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.
Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos
medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de
comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um
(correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R
dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a
abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A
é 1, etc.
A reta r é chamada eixo das abscissas.

1.2 - Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima,
podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas
retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do
sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.
O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo
das ordenadas.
O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas
QUADRANTES.
No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo,
no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é
positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos
do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y =
0 e a equação do eixo OY é
x = 0.
Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º
quadrante, cuja equação evidentemente é y = x.
Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas
simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja
equação evidentemente é y = - x.
Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.

Exercícios Resolvidos

1) Se o ponto P(2m - 8, m) pertence ao eixo dos y , então :

a) m é um número primo
b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4

Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a
alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).

2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos
afirmar que :

a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3.
e) não existe r nestas condições.

Solução:
Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada
iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez
que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja:
(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.

3) Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :

a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0

Solução:
Fazendo x = k e y = -2 na relação dada vem: k + 2(-2) - 10 = 0.
Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.
Logo, a alternativa correta é a letra B.

2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa, Ya) e B(Xb, Yb) , deduz-se facilmente
usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos
A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 ,
obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os
membros.

Exercício Resolvido

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2
, 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo
reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:

a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)

Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o
triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto,
podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que
se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever,
considerando que as coordenadas do ponto A são (0, y) , já que é dado no
problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2
AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2
BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 ∴ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 -
4 - 16 = 20

Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 ∴ 2y2 - 8y - 10 = 0 ∴ y2 - 4y -
5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois
foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o
ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é
a letra D.

3 - Ponto médio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M ∈ AB tal que
AM = BM .
Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do
ponto médio
M(xm , ym) serão dadas por:

Exercício Resolvido

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC
onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W 2 é igual a:

a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16

Solução:
Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta
que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa
ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das
fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será
o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a
distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos
AM = √ 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = √ 34 e portanto W2 = 34, o
que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.

4 - Baricentro de um triângulo

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto
de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM
onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3
medianas do triângulo).
Nestas condições, as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC
onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são
iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de
gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6,
4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

Exercício resolvido

Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) ,
qual o comprimento do segmento BZ?

Solução:
Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:
3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3
Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e
Z(11,4),
encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).

Agora resolva este:

Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo
baricentro é o ponto
G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
Resposta: 850

NESTE CHÃO.

Geometria Analítica II

1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica

1.1 - Área de um triângulo

Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S
desse triângulo é dada por
S = 1/2. | D | onde  D é o módulo do determinante formado pelas
coordenadas dos vértices A , B e C .

Temos portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e
prática regra de Sarrus.

1.2 - Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma
mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não
existe , e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de
alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .

Exercício resolvido:

Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a) 4
b) 3
c) 3,5
d) 4,5
e) 2

Solução:

Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:
- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 ∴ y = 9/2 = 4,5.
Portanto a alternativa correta é a letra D.

2 - Equação geral da reta.

Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb).
Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3
pontos , podemos escrever:

Desenvolvendo o determinante acima obtemos:
(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 .

Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo ponto
P(x,y) pertencente à reta , deve verificar a equação :
ax + by + c = 0
que é chamada equação geral da reta r .

Exemplos:
2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)
3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10); observe que podemos escrever 3x - 4y -
10 = 0.
3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)
7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)
x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0) ordenadas .→ equação do eixo Oy - eixo das
y = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0) → equação do eixo Ox - eixo das abscissas .

Observações:
a) a = 0 → y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )
b) b = 0 → x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)

3 - Posição relativa de duas retas

Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser :

Paralelas: r ∩ s = ∅
Concorrentes: r ∩ s = { P } , onde P é o ponto de interseção .
Coincidentes: r = s.

Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : a’x + b’y + c’ = 0 , temos os seguintes
casos :

→ as retas são coincidentes .

→ as retas são paralelas .

as retas são
concorrentes
.

Exercícios resolvidos

1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y
+ 10 = 0 ?

Solução:
Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 ≠ 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas são
paralelas.

2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 =
0 , podemos afirmar:
a) elas são paralelas
b) elas são concorrentes
c) r ∩ t ∩ s = R
d) r ∩ s ∩ t = R2
e) as três equações representam uma mesma reta .

Solução:
Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro caso
acima) e portanto as
retas r e s são coincidentes.
Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t , teremos:
3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima);
Portanto as retas r, s e t são coincidentes, ou seja, representam a mesma
reta.
Logo a alternativa correta é a letra E.

3) Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o
sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições,
pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y -
18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.

Solução:
Da equação da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);
substituindo na equação da reta s vem:
6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 ∴ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 ∴ 44 - 22y = 0 ∴ 44 = 22y ∴
y = 2;
substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4.
Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).

Agora resolva esta:
Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?
Resposta: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

Geometria Analítica III

Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).

Solução:

Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equação é procurada, podemos
escrever:

Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver o
determinante de 3ª ordem acima, vem:
- 4x - 2y - 5 + 8 + y + 5x = 0 ⇒ x - y + 3 = 0 que é a equação geral procurada.
Observe que a equação da reta também poderá ser escrita como y = x + 3.
Esta última forma, é conhecida como equação reduzida da reta, como veremos
a seguir.

1 - Outras formas de equação da reta

Vimos na seção anterior à equação geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0.
Vamos apresentar em seqüência , outras formas de expressar equações de
retas no plano cartesiano:

1.1 - Equação reduzida da reta

Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Para achar a equação reduzida
da reta , basta tirar o valor de y ou seja : y = (- a/b)x - c/b .
Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que é a equação
reduzida da reta de
equação geral ax + by + c = 0 .
O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta
.
Observe que na equação reduzida da reta , fazendo x = 0 , obtemos y = n , ou
seja, a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .

Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x1 ,
y1) e B(x2 , y2) .
Sendo y = mx + n a sua equação reduzida ,podemos escrever:
y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n .
Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos
y1 - y2 = m (x1 - x2) .
Logo , a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos
dois
pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) é :

Se considerarmos que as medidas Y2 - Y1 e X2 - X1 são os catetos de um
triângulo retângulo, conforme figura abaixo podemos concluir que o valor de m
é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo α . Podemos então
escrever m = tg α , onde o ângulo α é denominado inclinação da reta . É o
ângulo que a reta faz com o eixo dos x.
A tgα , como vimos é igual a m , e é chamada coeficiente angular da reta . Fica
portanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o
coeficiente m.
Observe que se duas retas são paralelas , então elas possuem a mesma
inclinação ; logo, concluímos que os seus coeficientes angulares são iguais.

Agora resolva este:

Analise as afirmativas abaixo:
(01) toda reta tem coeficiente angular .
(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .
(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular
é positivo
(08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um
ângulo agudo .
(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente
coincidente com o eixo das abscissas .
(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular
.

Determine a soma dos números associados às sentenças verdadeiras.
Resp: 02+08+32 = 42

NESTE CHÃO.

Geometria Analítica IV

Equação segmentária da reta

Considere a reta representada na fig. a seguir:

Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q).
Sendo G(x,y) um ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através da
condição de alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente à equação
segmentária da reta:

Nota: se p ou q for igual à zero, não existe a equação segmentária (Lembre-se:
não existe divisão por zero); portanto , retas que passam na origem não
possuem equação segmentária.


Ache a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y - 18 = 0.

Solução:
Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por 18 vem:
2x/18 + 3y/18 = 18/18 ∴ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p = 9 e q = 6 e
portanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos A(9,0) e B(0,6).

Equações paramétricas da reta

Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x
e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro),
nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.

x = f(t) onde f é uma função do 1o. grau
y = g(t) onde g é uma função do 1o. grau

Nestas condições, para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o
valor de t em uma das equações e substituir na outra .


Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do
tempo t , são:
x = 3t + 11
y = -6t +10
Qual a equação segmentária dessa trajetória?

Solução:
Multiplicando ambos os membros da 1ª equação paramétrica por 2, vem: 2x =
6t + 22. Somando agora membro a membro com a 2ª equação, obtemos: 2x +
y = 32 (observe que a variável t é eliminada nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0
). Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32 fica:
2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 ∴ x / 16 + y / 32 = 1, que é a equação segmentária
procurada.

Retas perpendiculares

Sabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando são
concorrentes e formam entre si um ângulo reto (90º) . Sejam as retas r: y = mr x
+ nr e s: y = ms x + ns . Nestas condições podemos escrever a seguinte relação
entre os seus coeficientes angulares:
ms = - 1 / mr ou mr . ms = -1 .
Dizemos então que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus
coeficientes angulares é igual a -1.

Deixaremos de demonstrar esta propriedade, não obstante a sua simplicidade,
mas se você se interessar em ver a demonstração, mande-me um e-mail
solicitando.


Dadas as retas de equações (2w - 2)x + (w - 1)y + w = 0 e (w - 3)y + x - 2w = 0,
podemos afirmar que:

a) elas são perpendiculares para qualquer valor de w
b) elas são perpendiculares se w = 1
c) elas são perpendiculares se w = -1
d) elas são perpendiculares se w = 0
e) essas retas não podem ser perpendiculares

Solução:
Podemos escrever para a 1ª reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x - w /(w-1).

Analogamente para a 2ª reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientes
de x são os coeficientes angulares e, pelo que já sabemos, a condição de
perpendicularidade é que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -
1. Logo:

Efetuando os cálculos indicados e simplificando-se obtemos: w2 - 2w + 1 = 0,
que é equivalente a
(w - 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.

Mas, cuidado! Observe que w = 1 anula o denominador da expressão acima e,
portanto é uma raiz estranha, já que não existe divisão por zero! Apesar das
aparências, a raiz w = 1 não serve! Logo, a alternativa correta é a letra E e não
a letra B como ficou aparente.

Geometria Analítica V

I - Ângulo formado por duas retas

Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a
tangente do ângulo agudo θ formado pelas retas é dado por :

Notas:
1 - Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º.

2 - Observe dois casos particulares da fórmula anterior, que merecem ser
mencionados:

a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes, fossem paralelas, o
ângulo θ seria nulo e portanto tg θ = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condições, o
denominador da fórmula teria que ser nulo, o que resultaria em mr = ms , ou
seja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. Já vimos isto num texto
anterior, mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTES
ANGULARES IGUAIS.

b) se as retas r e s fossem além de concorrentes, PERPENDICULARES,
teríamos θ = 90º . Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º ,
sabemos da Trigonometria); mas se considerarmos uma situação limite de um
ângulo tão próximo de 90º quanto se queira, sem entretanto nunca se igualar a
90º , a tangente do ângulo será um número cada vez maior, tendendo ao
infinito. Ora, para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior,
tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um número infinitamente
pequeno, tendendo a zero. Nestas condições, o denominador da fórmula
anterior 1+mr . ms seria um número tão próximo de zero quanto quiséssemos e
no limite teríamos 1 + mr . ms = 0.

Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que é a condição
necessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme já
vimos num texto anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bom
lembrar: RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES
ANGULARES QUE MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.


Determine o ângulo agudo formado pelas retas r : 3x - y + 2 = 0 e s : 2x + y - 1
= 0.

Solução:
Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, mr = 3.
Para a reta s : y = - 2x + 1. Logo, ms = -2.
Substituindo os valores na fórmula anterior e efetuando os cálculos, obtemos

tgθ = 1, o que significa que o ângulo entre as retas é igual a 45º, pois tg45º = 1.
(Faça os cálculos para conferir).

II - Estudo simplificado da circunferência

Considere a circunferência representada no plano cartesiano , conforme abaixo
, cujo centro é o ponto C(xo , yo) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um ponto
qualquer pertencente à circunferência .

Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já
vista em outro texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 ,
que é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) e
raio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 e
centro no ponto C(2,4) é dada por: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.

Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do
sistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equação
reduzida da circunferência fica:
x2 + y2 = R2

Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação
reduzida.
Temos:
x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo2 - R2 = 0 .

Fazendo -2xo = D , -2yo = E e xo2 + yo2 - R2 = F , podemos escrever a equação
x2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equação geral da circunferência).

Então , concluímos que quando os coeficientes de x2 e y2 forem unitários , para
determinar as coordenadas do centro da circunferência , basta achar a metade
dos coeficientes de x e de y , com os sinais trocados ou seja : x0 = - D / 2 e y0 =
-E/2.

Se os coeficientes de x2 e de y2 não forem unitários, temos que dividir a
equação pelo coeficiente de x2 que é sempre igual ao coeficiente de y2 , no
caso da circunferência.

Para o cálculo do raio R , observemos que F = xo2 + yo2 - R2 .
Mas, xo = - D / 2 e yo = - E /2 . Logo , podemos escrever a seguinte equação
para o cálculo do raio R a partir da equação geral da circunferência:

Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 , possa representar
uma circunferência, tem de ser atendida a condição D2 + E2 - 4.F > 0 , pois não
existe raiz quadrada real de número negativo .

Observe que se D2 + E2 - 4.F = 0 , a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0
representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo : x2 + y2 + 6x -
8y + 25 = 0 é a equação de um ponto! Verifique.

Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 - 4F ser negativo? Ora, como não
existe raiz quadrada real de número negativo, conclui-se facilmente que a
circunferência não existe neste caso!

Exemplo:
Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0.
Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas do
centro e o raio como segue:

xo = - (-6) / 2 = 3 ; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas).
Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade de
comprimento).

NESTE CHÃO.

Exercícios de Geometria Analítica

Matemática não tem idade!

A - Exercícios resolvidos

1 – E.E. Lins/1968

Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um
triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no
vértice Q é:

a) 12,32
b) 10,16
c) 15,08

d) 7,43
e) 4,65

Solução:

Seja o triângulo PQR abaixo:

Sendo M o ponto médio do lado PR, o segmento de reta QM
será a mediana relativa ao lado PR.
Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto médio M será: M(-
2, 3/2).
Observe que:
-2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2.

Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica clicando
AQUI.

O comprimento da mediana procurado, será obtido calculando-
se a distancia entre os pontos Q e M.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, vem:

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

2 – EPUSP/1966

Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação
sen(x – y) = 0 constituem:

a) uma reta
b) uma senóide
c) uma elipse
d) um feixe de retas paralelas
e) nenhuma das respostas anteriores

Solução:

O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, π ,
2π , 3π , 4π, ... , kπ , onde k é um número inteiro. Logo:
sen(x - y) = 0 ⇒ x – y = kπ.

Daí, vem:
π
- y = - x + kπ ∴ y = x - kπ , k ∈ Z.
π

Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número
infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e,

portanto, paralelas, ou seja:
...........................................................
........
k = - 1 reta: y = x + π
k = 0 reta: y = x
k = 1 reta: y = x - π , e assim sucessivamente.
...........................................................
........

Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de
retas paralelas).

3 – A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de
coordenadas cartesianas:

a) uma hipérbole
b) uma elipse
c) uma circunferência
d) uma parábola
e) duas retas

Solução:

Temos: x2 – y2 + x + y = 0 ; podemos escrever:
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;

Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2

Fatorando, fica:
(x + y) (x – y + 1) = 0

Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter
necessariamente:
x + y = 0 ou x – y + 1 = 0 ;

Logo,
y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o
que nos leva à alternativa E.

B - Exercícios propostos

1 – FAUUSP/1968 – Determine a área do triângulo ABC onde A,
B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos
MN, NP e PM, sendo
M(-1, -5), N(1,3) e P(7, -5).

Em caso de dúvida, reveja ponto médio de um segmento e
cálculo de área de um triângulo.

Resp: 8 u.a (8 unidades de área).

2 – EPUSP/1963 – Dado o ponto A(1,2), determine as
coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente
sobre as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o
ponto médio do segmento PQ.

Em caso de dúvida, reveja equação da reta.

Resp: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3)

3 – FAUUSP/1968 – Determine a equação da reta que passa
pelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1
= 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y - 1 = 0.

Em caso de dúvida,reveja circunferência.

Resp: y = 2x + 2

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes
pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das
distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a
um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com
distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma
elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem
(0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os
seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima,
podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a

onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo
B1B2 de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2
= b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como a2 – c2 = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abscissa de um
dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de
termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de
excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a
= 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo
dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não
está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.

2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de
equação
9x2 + 25y2 = 225.

SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).

3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0.

SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou
seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.
Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.

5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo
ponto P(1,1) e tem um foco F(-√ 6 /2, 0).
Resposta: x2 + 2y2 = 3.

NESTE CHÃO.

Hipérbole de centro na origem (0,0)

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes
pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo
da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos
F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
 PF1 - PF2  = 2 a

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com
distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole
é um número positivo maior que a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que
B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole.
Observe na figura acima que é válida a relação:
c2 = a2 + b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na
origem (0,0)

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os
seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima,
podemos escrever:
 PF1 - PF2  = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão

acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na
figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Obs.: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo
dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo
dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole
não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica
então:

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = √ 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = √ 41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = √ 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2√ 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como
as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole
num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:

Parábola

1 - Introdução

Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição,
obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma
reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um
plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."

Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os
dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para
conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição
absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a
eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições
matemáticas).

2 - Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F
(foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do
plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da
parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a
definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima,
chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na
origem, a saber:
y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a
equação acima fica:
(y - y0)2 = 2p(x-x0)

3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a
sua equação reduzida será: x2 = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num
ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 ∴ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x ∴ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto
V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 ∴ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 ∴ y2 = 8(x-2) ∴ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da
parábola.

V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 ∴ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) ∴ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 ∴ y2 - 6y - 16x + 41 = 0,
que é a equação procurada.

V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 ∴ p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) ∴ x2 = 12y - 12 ∴ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação
procurada.

Exercício proposto

Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o
ponto F(2,2).
Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0

NESTE CHÃO.

Hipérbole Equilátera

1 – INTRODUÇÃO

Vimos no capítulo anterior a equação da hipérbole cujo gráfico reproduzimos
abaixo:

onde:
F1 e F2 = focos da hipérbole.
F1F2 = distância focal da hipérbole
A1 e A2 = vértices da hipérbole
A1A2 = eixo real ou eixo transverso da hipérbole
B1B2 = eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole

Sendo P um ponto qualquer da hipérbole, vimos que a relação básica que a
define é dada por:
PF1 - PF2= 2a, onde 2a é a distância entre os seus vértices.

Da relação anterior, chegamos à equação reduzida da hipérbole, reproduzida a
seguir:

onde b2 = c2 – a2 , conforme ilustrado na figura acima, sendo:
a = medida do semi-eixo transverso da hipérbole
b = medida do semi-eixo não transverso da hipérbole
c = medida da semi-distância focal da hipérbole

Vimos no arquivo anterior que as assíntotas de uma hipérbole são as retas
y = (b/a).x e y = (- b/a).x

2 – DEFINIÇÃO

Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda hipérbole cujos semi-eixos de
medidas a e b são iguais.
Assim, fazendo a = b na equação acima, obteremos:

De onde vem finalmente que:

x2 – y2 = a2
que é a equação reduzida de uma hipérbole eqüilátera.

Veja a seguir, o gráfico de uma hipérbole eqüilátera x2 – y2 = a2 referida ao
plano cartesiano xOy:

As retas y = x e y = - x , são as assíntotas da hipérbole eqüilátera x2 – y2 = a2 .

NOTAS:
a) Observe que para a = 0, teríamos x2 – y2 = 0 ou fatorando o primeiro
membro:
(x – y) . (x + y) = 0, de onde se conclui:
x – y = 0 OU x + y = 0, e, em conseqüência,
y = x OU y = -x
cujo gráfico é a reunião das retas y = x (bissetriz do primeiro e segundo
quadrantes) e y = -x (bissetriz do segundo e quarto quadrantes), e, portanto
não representa uma hipérbole.

b) Já sabemos da aula anterior que a excentricidade de uma hipérbole é dada
por e = c/a onde b2 = c2 – a2 . Como nas hipérboles equiláteras, temos a = b,
substituindo, vem imediatamente que c = √2 . a, de onde conclui-se que a
excentricidade de uma hipérbole eqüilátera é igual a
e = c / a = √2a / a = √2

c) Como na hipérbole eqüilátera os semi-eixos transverso e não transverso
possuem a mesma medida, ou seja, a = b, concluímos que as suas assíntotas
serão as retas y = (a/b).x = (a/a).x = x
e y = (-b/a).x = (-a/a).x = - x , conclusão fundamentada na observação do item
1 acima.

Portanto, as assíntotas da hipérbole eqüilátera são as retas y = x e y = -x, que
são retas perpendiculares, pois o produto dos seus coeficientes angulares é
igual a -1.
Conclui-se pois, que as assíntotas da hipérbole eqüilátera, são retas
perpendiculares entre si.

d) Já sabemos do item (c) acima, que as assíntotas da hipérbole eqüilátera são
as retas y = x ou y = -x , expressões equivalentes a y – x = 0 ou y + x = 0.

Já sabemos que a distância de um ponto P(x0 , y0) à uma reta r de equação ax
+ by + c = 0, é dada pela fórmula:

Concluímos então, que a distância de um ponto P(x, y) qualquer da hipérbole
eqüilátera às assíntotas será dada por:

e respectivamente.

Observe que os numeradores acima devem ser tomados em módulo, uma vez
que referem-se a distâncias.

Se considerarmos dois novos eixos coordenados X e Y, coincidentes com as
assíntotas x – y = 0 e x + y = 0, as coordenadas do ponto P(x, y), passarão a
ser P(X, Y), com:

e

Voltando à equação reduzida da hipérbole eqüilátera, dada por x2 – y2 = a2
(referida aos eixos coordenados Ox e Oy) e fatorando o primeiro membro, vem:
(x – y) . ( x + y) = a2 .

Podemos escrever a seguinte expressão equivalente a x2 – y2 = a2:

cuja veracidade é percebida facilmente, bastando efetuar o produto indicado no
primeiro membro.

Substituindo, vem finalmente:
X.Y = a2/2

Fazendo a2/2 = K = constante, podemos escrever X.Y = K , que é a equação da
hipérbole eqüilátera referida aos eixos y = x e y = -x, que são as assíntotas da
hipérbole eqüilátera
x2 – y2 = a2

Portanto, em resumo podemos afirmar:
1 – a equação da hipérbole eqüilátera referida aos eixos coordenados x e y é
dada por
x2 – y2 = a2 . As assíntotas neste caso, são as retas y = x e y = - x.

2 – a equação da hipérbole eqüilátera referida às suas assíntotas x – y = 0 e x
+ y = 0 é dada por
X.Y = a2/2 = K. As assíntotas neste caso, são os eixos coordenados Ox e Oy,
ou seja, as retas y = 0 e x = 0, respectivamente.

Veja a seguir, exemplo de gráfico da hipérbole eqüilátera x.y = k, com k > 0,
onde os eixos coordenados OX e Oy são as assíntotas.

As equações da forma x.y = k, onde k é uma constante, tem como
representação geométrica no plano xOy, portanto, curvas denominadas
hipérboles equiláteras.

Um exemplo prático de uma lei física cuja representação gráfica é uma
hipérbole eqüilátera, é a lei de Boyle - Mariotte, estudada nos compêndios de
Física e Química.

A lei de Boyle-Mariotte, estabelece que sob temperatura constante, o volume
ocupado por uma certa massa de gás, é inversamente proporcional a sua
pressão.
Seja V o volume de um gás submetido a uma pressão P, a uma temperatura
constante.
A lei de Boyle-Mariotte, estabelece que P.V = constante = k.
Por analogia com a equação X.Y = K, podemos concluir que o gráfico do
volume V em função da pressão P, de um gás submetido a uma temperatura
constante, será uma hipérbole eqüilátera.

A excentricidade das cônicas

As cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a circunferência, possuem
todas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas através da
interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície
cônica, conforme mostrado na figura a seguir:

Nota: figura editada por meu filho Rafael C. Marques, 14.

Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmação
verdadeira:
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja
excentricidade é nula.

Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmar
equivocadamente: a circunferência é uma elipse imperfeita! Eu prefiro
a primeira assertiva, pois é a correta!.

Brincadeiras à parte, prossigamos!

No caso da elipse já sabemos que:

excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:

Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são
distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da

elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.

Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da
unidade estiver a sua excentricidade.

Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os
valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de
c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A
circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.

No caso da hipérbole , já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,

Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma
hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.

Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja
a = b, teremos uma hipérbole eqüilátera, cuja excentricidade será
igual a e = √ 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.

Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:

Cônica e
Circunferência 0
Elipse 0 < e < 1
Hipérbole e > 1

Quanto à parábola , podemos dizer, que a sua excentricidade será igual
a 1? Em a realidade, a excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos
desenvolver este assunto a seguir:

Considere o seguinte problema geral:

Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano
que satisfazem à condição PF = e. Pd, onde F é um ponto fixo do plano
denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma
constante real.

Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:

Nota: figura elaborada pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.

Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante
real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:

Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:

(x – f)2 + y2 = e2. (x – d)2
x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 – 2.d.x + d2)
x2 – e2. x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2– e2.d2 = 0
x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2 – e2.d2 = 0

Ou finalmente:

x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0

Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y2 + 2(d – f). x + f2 – d2 = 0

Fazendo d = - f, vem:
y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma parábola da forma y2 = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.

A constante e é denominada excentricidade.

Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1.

NESTE CHÃO.

Sistema de coordenadas polares

Já conhecemos o sistema de coordenadas cartesianas, noção introduzida por
René Descartes – filósofo e matemático francês, 1596 – 1650, criador dos
fundamentos da Geometria Analítica.

Vamos agora, conhecer o sistema de coordenadas polares, as quais vinculam-
se com as coordenadas cartesianas, através de relações trigonométricas
convenientes.

Seja O um ponto do plano e considere uma semi-reta de origem O.
Denominemos o ponto O de pólo e a semi-reta, de eixo polar.

Um ponto qualquer P neste sistema, poderá ser univocamente determinado,
através da distância do ponto P ao ponto O , e do ângulo θ formado entre o
segmento de reta OP e o eixo polar.

Adotando-se por convenção, o sentido trigonométrico para o ângulo θ , ou seja,
o sentido anti-horário, no qual os ângulos são considerados positivos, podemos
construir a figura abaixo:

Observe que o ponto P de coordenadas cartesianas P(x, y), pode ser também
ser expresso pelas suas coordenadas polares correspondentes P(ρ,θ), onde,
pela figura acima, pode-se escrever:
x = ρ.cosθ
y = ρ.senθ

A distancia OP = ρ é denominada raio vetor e o ângulo θ é denominado
ângulo polar.
Quadrando as duas expressões acima e somando membro a membro, vem:
x2 + y2 = ρ2.cos2θ + ρ2.sen2θ = ρ2(cos2θ + sen2θ) = ρ2
Observe que cos2θ + sen2θ = 1, a relação fundamental da Trigonometria.

θ
Analogamente, temos que tgθ = y/x , no triângulo retângulo da figura acima.
Em resumo, teremos:
x2 + y2 = ρ2 , com ρ ≥ 0, já que OP = ρ é uma distância e portanto, um valor
positivo ou nulo, e,
tgθ = y/x

Exemplos:

a) considere o ponto P(1,1). As suas coordenadas polares serão P(√2,π/4),
pois:
ρ2= 12 + 12 = 2 ∴ ρ = √2
tg θ = y/x = 1/1 = 1 ∴ θ = π/4 radianos.

b) considere o ponto P(1,0). As suas coordenadas polares serão P(1,0), pois:
ρ2 = 12 + 02 = 1 ∴ ρ = 1
tg θ = y/x = 0/1 = 0 ∴ θ = 0 radianos.

c)considere o ponto P(0,1). As suas coordenadas polares serão P(1, π/2), pois:
ρ2 = 02 + 12 = 1 ∴ ρ = 1
tg θ = y/x = 1/0. Sabemos que não existe a divisão por zero , mas podemos
verificar neste caso que o ponto P(0,1) situa-se no eixo dos y e, portanto, θ =
90º = π/2 radianos.

Vamos agora, desenhar alguns gráficos de curvas expressas através das suas
coordenadas polares.

1 – Esboçar o gráfico da curva ρ = 2θ.
Inicialmente, vamos construir uma tabela, onde vamos atribuir valores a θ (em
radianos) e calcular o valor correspondente de ρ.

θ (em graus) 0 30º 45º 60º 90º 135º 180º 270º 360º
θ (em radianos) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 3π/4 π 3π/2 2π
ρ = 2θ 0 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2 2π 3π 4π
ρ = 2θ (aprox.) 0 1,05 1,57 2,10 3,14 4,71 6,28 9,42 12,56

Plotando (locando ou marcando) os pontos obtidos acima, obteremos a curva
a seguir, denominada Espiral de Arquimedes.
De uma forma geral, a equação polar da forma ρ = a.θ onde a é uma constante,
representa uma curva denominada Espiral de Arquimedes.

2 – Esboçar a curva ρ = 2(1 + cosθ).
Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada cardióide.

De uma forma geral, as equações da forma ρ = 2a(1 + cosθ) onde a é uma
constante, são curvas denominadas Cardióide.

3 – Esboçar a curva ρ = 2/θ.
Analogamente, obteríamos a curva abaixo, denominada Espiral Hiperbólica.

De uma forma geral, as equações da forma ρ = a/θ onde a é uma constante,
são curvas denominadas Espirais hiperbólicas.

4 – Esboçar a curva ρ2 = 4.cos(2θ).
Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada Lemniscata de
Bernoulli.
De uma forma geral, as equações da forma ρ2 = a2.cos(2θ), onde a é uma
constante, representam curvas denominadas Lemniscata de Bernoulli.

5 – Esboce a curva ρ = 4.
Verifique você mesmo, que teremos neste caso, uma circunferência de raio 4.
Nota: as figuras acima foram executadas pelo meu filho Rafael Marques,14.

NESTE CHÃO.

Geométrica e analiticamente falando de uma circunferência
1 – A equação da circunferência que passa pelos pontos A(2;3), B(-2;0) e C(0;-7) é:
a) 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0
b) 17x2 + 17y2 + 99x - 81y – 266 = 0
c) 17x2 + 17y2 – 99x + 81y + 266 = 0
d) 17x2 - 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0
e) 17x2 + 17y2 – 99x - 81y + 266 = 0
Solução:

Já sabemos da Geometria Analítica que a equação geral simplificada de uma
circunferência é da forma:
x2 + y2 + D x + E y + F = 0 onde P(x; y) é um ponto qualquer pertencente à
circunferência.

Substituindo os pontos dados na equação geral, fica:
Para o ponto A(2;3), temos x = 2 e y = 3. Então:
22 + 32 + 2D + 3E + F = 0 ∴ 2D + 3E + F = -13

Para o ponto B(-2;0), temos x = -2 e y = 0. Substituindo, vem:
(-2)2 + 02 –2D + 0.E + F = 0 ∴ -2D + F = - 4

Para o ponto C(0;-7), temos x = 0 e y = -7. Substituindo, fica:
02 + (-7)2 + 0.D – 7E + F = 0 ∴-7E + F = - 49
Temos então o seguinte sistema de equações lineares:

2D + 3E + F = -13
-2D + F = - 4
-7E + F = - 49

Para resolver o sistema de equações lineares acima, vamos utilizar a Regra de Cramer.
Nota: Gabriel CRAMER - 1704 - 1752 - Mat. suiço.

Observe que o sistema acima pode ser escrito como:

2D + 3E + F = -13
-2D + 0E +F = - 4
0D -7E + F = - 49

Teremos então pela Regra de Cramer:

Analogamente,

E, finalmente,

Nota: os determinantes foram calculados, usando a Regra de Sarrus.
Nota: Pierre Frederic SARRUS (pronuncia-se sarri) - 1798 - 1861 - Mat. francês.

Portanto, como D = -99/17, E = 81/17 e F = -266/17, substituindo os valores
encontrados para D, E e F, vem:

x2 + y2 + (-99/17)x + (81/17)y + (-266/17) = 0, que é equivalente a:
x2 + y2 – (99/17)x + (81/17)y – (266/17) = 0 , que é a equação da circunferência
procurada.

Se quisermos, poderemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros
por 17, resultando:

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0 , que é equivalente à anterior e outra forma de
apresentar a equação da circunferência procurada, o que nos leva à alternativa A.

2 – Verifique se o ponto P(-5;0) fica dentro ou fora da circunferência do problema
anterior.

Solução:

Observe que um ponto qualquer do plano em relação à uma circunferência pode ocupar
três posições possíveis: ou o ponto é interior à circunferência, ou é exterior ou pertence
à circunferência. Se você substituir as coordenadas (x;y) do ponto no primeiro membro
da equação da circunferência
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 e encontrar zero, isto significa que o ponto pertence à
circunferência, o que é óbvio.
Se você obtiver um valor positivo, o ponto é obviamente exterior e se o valor obtido for
negativo, o ponto é obviamente interior. Isto parece-me por demais óbvio e, portanto,
omitirei a justificativa.

Substituindo o ponto P(-5;0) onde x = -5 e y = 0 no primeiro membro da equação da
circunferência
17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0, teremos:

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 17.(-5)2 + 17.02 – 99.(-5) + 81.0 – 266 = +654 > 0.
Portanto, o ponto P(-5,0) fica fora da circunferência 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0.

Agora resolva estes:

1 - A equação da circunferência que passa pelos pontos A(0;7), B(-7;0) e C(0;-7) é:
a) x2 + y2 – 49 = 0
b) x2 + y2 + 49 = 0
c) x2 – y2 – 49 = 0
d) x2 + y2 – 99 = 0
e) x2 + y2 + 99 = 0

2 – Verifique se o ponto Q(3; -4) fica dentro ou fora da circunferência de equação
x2 + y2 – 7x + 8y - 20 = 0.

Resposta: dentro.

NESTE CHÃO.

Geometria Analítica I-V e Cônicas

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