As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
Resumo de matemática | 8º ANO | FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES - Gráficos de funções afim
- Função afim
- Equação de uma reta não vertical
- Equação de uma reta vertical
Este documento discute as posições relativas entre retas e planos. Ele define três posições de uma reta em relação a um plano: paralela, incidente ou contida. Também define planos paralelos, concorrentes e retas coplanares ou reversas. Exemplos visuais ilustram essas posições e propriedades geométricas.
1) O documento explica o que é uma equação do 1o grau e seus componentes, como incógnita, 1o e 2o membros.
2) Detalha como resolver equações do 1o grau através de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) Fornece exemplos numéricos de resolução de equações.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.
O documento define o que é uma progressão aritmética (P.A.), apresenta as fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e exemplos de resolução de exercícios utilizando essas fórmulas. A P.A. é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. As fórmulas principais são: termo geral (an)= a1 + (n-1)r, soma dos termos (Sn)= (a1 + an)n/2.
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
Este documento fornece 7 exemplos resolvidos de como encontrar a equação da reta tangente a uma curva ou função em um ponto específico. A fórmula geral para a equação da tangente é apresentada e aplicada nos exemplos, que variam de parábolas, funções polinomiais e curvas implícitas.
Gráficos de funções afim - Matemática 8º ano - Resumo da matériaO Bichinho do Saber
Resumo de matemática | 8º ANO | FUNÇÕES, SEQUÊNCIAS E SUCESSÕES - Gráficos de funções afim
- Função afim
- Equação de uma reta não vertical
- Equação de uma reta vertical
Este documento discute as posições relativas entre retas e planos. Ele define três posições de uma reta em relação a um plano: paralela, incidente ou contida. Também define planos paralelos, concorrentes e retas coplanares ou reversas. Exemplos visuais ilustram essas posições e propriedades geométricas.
1) O documento explica o que é uma equação do 1o grau e seus componentes, como incógnita, 1o e 2o membros.
2) Detalha como resolver equações do 1o grau através de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) Fornece exemplos numéricos de resolução de equações.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
O documento discute vetores, translações e isometrias em geometria. Apresenta conceitos como segmentos de reta orientados, vetores e suas propriedades, e translações como deslocamentos ao longo de uma reta que não alteram forma nem tamanho.
O documento define o que é uma progressão aritmética (P.A.), apresenta as fórmulas para calcular o termo geral, a soma dos termos e exemplos de resolução de exercícios utilizando essas fórmulas. A P.A. é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. As fórmulas principais são: termo geral (an)= a1 + (n-1)r, soma dos termos (Sn)= (a1 + an)n/2.
Exercícios Resolvidos: Equação da reta tangenteDiego Oliveira
Este documento fornece 7 exemplos resolvidos de como encontrar a equação da reta tangente a uma curva ou função em um ponto específico. A fórmula geral para a equação da tangente é apresentada e aplicada nos exemplos, que variam de parábolas, funções polinomiais e curvas implícitas.
O documento descreve os passos para estudar uma função racional. Estes incluem determinar o domínio, estudar a continuidade, encontrar interseções com os eixos, analisar simetrias, monotonia e extremos, pontos de inflexão, assímptotas e esboçar o gráfico. A função dada é f(x)=1/2(x+1/x) e seu estudo segue esta sequência de procedimentos.
O documento explica os métodos para calcular as áreas e perímetros de várias figuras planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, trapézios, triângulos e losangos. Inicialmente, descreve a evolução das unidades de medida e a criação do sistema métrico decimal. Em seguida, apresenta as fórmulas para calcular áreas e perímetros de cada figura plana e exemplos ilustrativos.
Este documento fornece uma introdução aos sistemas elétricos e eletrônicos, cobrindo tópicos como: (1) o que é eletricidade, (2) processos de eletrização, e (3) componentes básicos de circuitos elétricos, incluindo fontes de energia, receptores e sistemas de ligação. Também discute como medir diferença de potencial e intensidade da corrente em circuitos.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento discute os conceitos de algarismos significativos e medidas científicas. Explica que as medidas experimentais sempre possuem uma margem de erro, e que o número de algarismos significativos indica a precisão da medida. Também apresenta regras para operações matemáticas com medidas, de modo a preservar o número correto de algarismos significativos.
O documento explica o que é um ângulo, como são classificados e medidos. Um ângulo é formado por duas semirretas que têm o mesmo ponto de origem. Ângulos podem ser agudos, retos ou obtusos dependendo da abertura entre as semirretas. Eles são medidos em graus usando um transferidor, com um grau correspondendo a 1/180 de um ângulo reto.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
Este documento descreve os conceitos básicos de linhas, retas, semirretas e segmentos de reta. Ele explica como representar e identificar diferentes tipos de linhas e a posição relativa de duas retas no plano, incluindo retas paralelas, concorrentes, perpendiculares e oblíquas. O documento também fornece instruções sobre como traçar essas linhas geometricamente usando régua e esquadro.
Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem determinada. O documento explica que sequências podem ser finitas ou infinitas e fornece exemplos de sequências numéricas. Ele também descreve como representar matematicamente uma sequência geral usando os termos an e fornece um exemplo para ilustrar esta representação.
Este documento discute funções quadráticas e suas propriedades. Primeiro, apresenta um exemplo de cálculo de áreas de diferentes seções de uma sala comercial. Em seguida, generaliza o problema para uma sala cujas dimensões dependem de uma variável x. Por fim, explica como determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática.
Quartis dividem uma distribuição de dados ordenados em quatro partes iguais, com cada parte contendo aproximadamente 25% dos dados. O 1o quartil (Q1) divide os dados mais baixos, o 2o quartil (Q2) é a mediana, e o 3o quartil (Q3) divide os dados mais altos. Exemplos mostram como calcular os quartis para conjuntos de dados.
O documento discute conceitos básicos de cinemática, incluindo: (1) movimento e repouso definidos em relação à variação da posição de um corpo em relação a um referencial com o tempo; (2) deslocamento e distância percorrida; e (3) velocidade média calculada pela razão entre deslocamento e intervalo de tempo. Exemplos ilustram como calcular essas grandezas cinemáticas.
Geometria Descritiva: Épura, Ponto, Posições Particulares do Ponto, Plano Bissetor, Posições do Ponto nos Planos Bissetores, Simetria dos Pontos, Exercícios.
O documento discute os conceitos de relação, função e suas propriedades. Em 3 frases:
1) Uma relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos A e B, enquanto uma função requer que cada elemento de A seja mapeado para exatamente um elemento de B.
2) Propriedades como injetividade, sobrejetividade e bijetividade definem se uma relação é ou não uma função e se uma função preserva todos os elementos dos conjuntos.
3) O domínio e a imagem de uma função mapeiam respectivamente os
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo: (1) sua forma geral e exemplos, (2) como reduzir equações para a forma canônica, (3) casos de equações incompletas, (4) método de resolução de equações completas usando a fórmula de Bhaskara, (5) relações entre coeficientes e raízes, e (6) como escrever a equação quando se conhecem as raízes.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos de números reais delimitados por desigualdades. Explica que intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos em seus extremos e fornece exemplos de operações com intervalos como interseção e união.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
Expressão analítica de uma função quadráticaPaulo Mutolo
Este documento descreve como determinar a expressão analítica de uma função quadrática a partir de seus pontos. Ele explica que dados os pontos x1, x2 e um ponto auxiliar P, podemos usar a fórmula da alínea d para calcular os coeficientes a, b e c da função f(x) = ax2 + bx + c.
O documento define e discute conceitos básicos sobre retas em geometria analítica, incluindo: (1) a equação vetorial de uma reta que contém um ponto e tem direção de um vetor, (2) as diferentes formas de escrever a equação de uma reta, como equações paramétricas e simétricas, (3) a condição para três pontos serem alinhados e (4) as posições relativas entre duas retas, como paralelas, concorrentes e reversas.
1. O documento apresenta 20 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo retas, planos e suas equações vetoriais e paramétricas.
2. As questões abordam determinar equações de retas e planos passando por pontos dados e relacionados a outras retas e planos, além de verificar se pontos pertencem ou são transversais.
3. As respostas fornecem detalhadamente os cálculos e raciocínios para chegar às equações solicitadas.
O documento descreve os passos para estudar uma função racional. Estes incluem determinar o domínio, estudar a continuidade, encontrar interseções com os eixos, analisar simetrias, monotonia e extremos, pontos de inflexão, assímptotas e esboçar o gráfico. A função dada é f(x)=1/2(x+1/x) e seu estudo segue esta sequência de procedimentos.
O documento explica os métodos para calcular as áreas e perímetros de várias figuras planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, trapézios, triângulos e losangos. Inicialmente, descreve a evolução das unidades de medida e a criação do sistema métrico decimal. Em seguida, apresenta as fórmulas para calcular áreas e perímetros de cada figura plana e exemplos ilustrativos.
Este documento fornece uma introdução aos sistemas elétricos e eletrônicos, cobrindo tópicos como: (1) o que é eletricidade, (2) processos de eletrização, e (3) componentes básicos de circuitos elétricos, incluindo fontes de energia, receptores e sistemas de ligação. Também discute como medir diferença de potencial e intensidade da corrente em circuitos.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento discute os conceitos de algarismos significativos e medidas científicas. Explica que as medidas experimentais sempre possuem uma margem de erro, e que o número de algarismos significativos indica a precisão da medida. Também apresenta regras para operações matemáticas com medidas, de modo a preservar o número correto de algarismos significativos.
O documento explica o que é um ângulo, como são classificados e medidos. Um ângulo é formado por duas semirretas que têm o mesmo ponto de origem. Ângulos podem ser agudos, retos ou obtusos dependendo da abertura entre as semirretas. Eles são medidos em graus usando um transferidor, com um grau correspondendo a 1/180 de um ângulo reto.
1) O documento discute lugares geométricos, que são conjuntos de pontos que compartilham uma propriedade comum no plano ou espaço.
2) Exemplos de lugares geométricos incluem circunferências, círculos, coroas circulares, mediatrizes de segmentos de reta e ângulos, e superfícies e esferas.
3) Dois problemas exemplificam a interseção e reunião de lugares geométricos.
Este documento descreve os conceitos básicos de linhas, retas, semirretas e segmentos de reta. Ele explica como representar e identificar diferentes tipos de linhas e a posição relativa de duas retas no plano, incluindo retas paralelas, concorrentes, perpendiculares e oblíquas. O documento também fornece instruções sobre como traçar essas linhas geometricamente usando régua e esquadro.
Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem determinada. O documento explica que sequências podem ser finitas ou infinitas e fornece exemplos de sequências numéricas. Ele também descreve como representar matematicamente uma sequência geral usando os termos an e fornece um exemplo para ilustrar esta representação.
Este documento discute funções quadráticas e suas propriedades. Primeiro, apresenta um exemplo de cálculo de áreas de diferentes seções de uma sala comercial. Em seguida, generaliza o problema para uma sala cujas dimensões dependem de uma variável x. Por fim, explica como determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática.
Quartis dividem uma distribuição de dados ordenados em quatro partes iguais, com cada parte contendo aproximadamente 25% dos dados. O 1o quartil (Q1) divide os dados mais baixos, o 2o quartil (Q2) é a mediana, e o 3o quartil (Q3) divide os dados mais altos. Exemplos mostram como calcular os quartis para conjuntos de dados.
O documento discute conceitos básicos de cinemática, incluindo: (1) movimento e repouso definidos em relação à variação da posição de um corpo em relação a um referencial com o tempo; (2) deslocamento e distância percorrida; e (3) velocidade média calculada pela razão entre deslocamento e intervalo de tempo. Exemplos ilustram como calcular essas grandezas cinemáticas.
Geometria Descritiva: Épura, Ponto, Posições Particulares do Ponto, Plano Bissetor, Posições do Ponto nos Planos Bissetores, Simetria dos Pontos, Exercícios.
O documento discute os conceitos de relação, função e suas propriedades. Em 3 frases:
1) Uma relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos A e B, enquanto uma função requer que cada elemento de A seja mapeado para exatamente um elemento de B.
2) Propriedades como injetividade, sobrejetividade e bijetividade definem se uma relação é ou não uma função e se uma função preserva todos os elementos dos conjuntos.
3) O domínio e a imagem de uma função mapeiam respectivamente os
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações do segundo grau, incluindo: (1) sua forma geral e exemplos, (2) como reduzir equações para a forma canônica, (3) casos de equações incompletas, (4) método de resolução de equações completas usando a fórmula de Bhaskara, (5) relações entre coeficientes e raízes, e (6) como escrever a equação quando se conhecem as raízes.
O documento discute intervalos reais, definindo-os como subconjuntos de números reais delimitados por desigualdades. Explica que intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos em seus extremos e fornece exemplos de operações com intervalos como interseção e união.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
Expressão analítica de uma função quadráticaPaulo Mutolo
Este documento descreve como determinar a expressão analítica de uma função quadrática a partir de seus pontos. Ele explica que dados os pontos x1, x2 e um ponto auxiliar P, podemos usar a fórmula da alínea d para calcular os coeficientes a, b e c da função f(x) = ax2 + bx + c.
O documento define e discute conceitos básicos sobre retas em geometria analítica, incluindo: (1) a equação vetorial de uma reta que contém um ponto e tem direção de um vetor, (2) as diferentes formas de escrever a equação de uma reta, como equações paramétricas e simétricas, (3) a condição para três pontos serem alinhados e (4) as posições relativas entre duas retas, como paralelas, concorrentes e reversas.
1. O documento apresenta 20 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo retas, planos e suas equações vetoriais e paramétricas.
2. As questões abordam determinar equações de retas e planos passando por pontos dados e relacionados a outras retas e planos, além de verificar se pontos pertencem ou são transversais.
3. As respostas fornecem detalhadamente os cálculos e raciocínios para chegar às equações solicitadas.
1. O ponto da reta r com abscissa 5 tem coordenadas (5, 10, 3).
2. Para que o ponto P pertença à reta s, deve-se ter m = -3 e n = -4.
3. A equação reduzida da reta que passa por A(4, 0, -3) na direção do vetor (2, 4, 5) é x = 2y + 8.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo: 1) como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de sua equação ou de dois pontos nela; 2) as formas gerais de equação para representar uma reta (reduzida, segmentária e paramétrica); 3) como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos nela ou um ponto e o coeficiente angular. Exemplos ilustram como converter entre as formas de equação e casos especiais como retas paralelas aos eixos.
O documento descreve representações geométricas de vetores no plano e no espaço. No plano, vetores são representados por pares ordenados de números reais e divididos em quadrantes. No espaço, vetores são representados por ternas de números reais e divididos em oitantes. O documento também apresenta operações com vetores e conceitos como cossenos diretores e projeções.
O documento descreve a representação de vetores no plano e no espaço através do sistema de coordenadas cartesianas. No plano, vetores são representados por pares ordenados (x,y) e operações como adição e multiplicação por escalar são definidas. No espaço, vetores são representados por ternas ordenadas (x,y,z) e o espaço é dividido em oito regiões chamadas octantes.
O documento apresenta os conceitos de equação do plano e equação da reta no espaço tridimensional. Explica como obter a equação do plano definido por um ponto e um vetor normal, por três pontos não colineares e casos particulares de planos paralelos aos planos coordenados. Apresenta também como obter a equação vetorial e equações cartesianas de uma reta no espaço a partir de um ponto e vetor diretor. Fornece exemplos passo a passo de como aplicar os conceitos.
1) O vértice E do paralelepípedo pertence à reta r de equação z2yx −=−= . As coordenadas de E são determinadas como (10,12,12).
2) Sabendo que o vértice B tem coordenadas (0,1,1) e que A(0,0,1) são vértices consecutivos de um quadrado no plano 01z2yx: =−+−α , as coordenadas dos outros dois vértices são determinadas como (0,2,1) e (0,3,3).
3) Uma equação do plan
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
O documento descreve os conceitos fundamentais da Geometria Analítica, incluindo o sistema cartesiano de eixos, quadrantes, distância entre pontos, ponto médio, alinhamento de pontos, equações de retas e posições relativas entre retas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação destes conceitos.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
A função de primeiro grau ou função afim é uma norma matemática que relaciona as variáveis de uma equação, ou seja, a dependência de um elemento em relação ao outro. Por isso, a função de primeiro grau é utilizada para definir a relação entre as variáveis x e y. Isso porque para cada valor dado a x, determinará o de y. O seu valor sempre dependerá de x.
O documento apresenta exercícios sobre geometria analítica envolvendo pontos, retas e triângulos no plano cartesiano. Inclui determinação de coordenadas de pontos, equações de retas, coeficiente angular, interseção de retas, cálculo de áreas e baricentro de triângulos.
Apostila Análise Matemática para Engenharia II - CCE1433.pdfFernandoSenra4
Este documento apresenta os principais tópicos de Análise Matemática II, incluindo funções vetoriais, funções de várias variáveis e suas derivadas, integrais múltiplas e campos vetoriais. O documento define funções vetoriais e como elas podem ser usadas para descrever curvas no espaço, apresenta o cálculo vetorial e equações paramétricas de retas, e discute derivadas e integrais de funções vetoriais.
1. O documento discute equações de retas e pontos de interseção entre retas no plano cartesiano. Inclui determinar equações de retas passando por pontos dados e cálculo de pontos de interseção.
2. Também inclui representação gráfica de retas, cálculo de retas paralelas e perpendiculares a outras, e análise da posição relativa de retas.
3. No final, analisa se um triângulo é isósceles baseado nas equações das retas que passam pelos lados.
O documento apresenta os conceitos de equação geral e reduzida de retas e circunferências, explicando como determiná-las a partir de pontos ou elementos geométricos dados. Também define retas secantes e tangentes em relação a circunferências.
1) O documento discute decomposição de vetores no plano e no espaço em componentes de bases de vetores.
2) É mostrado como qualquer vetor no plano ou espaço pode ser expresso como combinação linear de vetores de uma base.
3) As operações com vetores como soma, subtração e escalar são definidas para o plano e espaço.
1. O ponto (1, −2, 1) não pertence à reta X = (1, 0, 1) + t (1, −2, 1) porque não satisfaz a equação da reta.
2. A equação normal da reta que passa nos pontos (3, −1) e (1, 2) é 3x + 2y = 7.
3. Os pontos A = (1, 1), B = (2, −2) e C = (−1, 1) não são colineares porque não satisfazem a equação 1/x + 1/y + 1/z = 0.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
2. Equação Vetorial
Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor
não nulo v=(a,b,c)
Teorema: Existe somente uma reta r que
passa por A e tem direção de v. Um ponto
P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP
= (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP
= tv, para todo t є R
3. Equação Vetorial
Daí, P-A= tv ou P = A + tv
Ou em coordenadas
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada
de equação vetorial da reta r
4. Exemplo
Encontre a equação vetorial da reta que
passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de
v=(2,3,2). Verifique também se o ponto
P=(5,5,8) pertence a esta reta
5. Equações Paramétricas
Sabemos que a equação vetorial da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção
de v=(a,b,c) é:
(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda
(x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
6. Equações Paramétricas
Usando a igualdade de dois vetores na
expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)
temos as seguintes equações
paramétricas
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
7. Exemplo 2
Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-
2,3) pede-se:
A) escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A e tem a direção de
v
B) Encontrar dois pontos B e C de r de
parâmetros t=1 e t=4 respectivamente
8. Exemplo 2
C) determinar o ponto de r cuja abscissa é
4
D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e
E=(5,-4,3) pertencem a r
E) Determinar para que valores de m e n
o ponto F=(m,5,n) pertence a r
9. Exemplo 2
F) escrever outros dois sistemas de
equações paramétricas de r
G) Escrever equações paramétricas da
reta s que passa por G=(5,2,-4) e é
paralela a r
H) Escrever equações paramétricas da
reta u que passa por A e é paralela ao
eixo y
10. Reta Definida por 2 Pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta
que passa por A (ou B) e tem direção do
vetor v=AB
11. Exemplo 3
Escreva as equações paramétricas da
reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)
12. Equação Paramétrica de um
Segmento de Reta
Considere um segmento de reta cujos pontos
extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3).
Assim as equações paramétricas do segmento
de reta tendo por direção o vetor AB, são
Para t є [0,1]
−+=
−+=
−+=
)(
)(
)(
333
222
111
xytxz
xytxy
xytxx
13. Nota
Quando t=0 nas equações anteriores
(x,y,z)=A
Quando t=1 (x,y,z)=B
14. Equações Simétricas
Das equações paramétricas tem-se
Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
18. Notas
As equações do slide anterior são
chamadas de equações simétricas da reta
que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela
ao vetor (a,b,c)
19. Exemplo
Encontre as equações simétricas da reta
que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a
direção do vetor v=(2,2,-1)
20. Equações Reduzidas
Seja a reta r definida pelo ponto
A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c)
as equações simétricas da reta são:
=
−
a
xx 1
=
−
b
yy 1
c
zz 1−
21. Equações Reduzidas
A partir destas equações, pode-se
expressar duas variáveis em função da
terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e
expressá-las em função de x
Estas duas últimas equações são
chamadas equações reduzidas da reta
)1(1 xx
a
b
yy −+= )1(1 xx
a
c
zz −+=
22. Exemplo
Dadas as equações reduzidas da reta
y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor
diretor
23. Retas paralelas aos planos
coordenados
Uma reta é paralela a um dos planos x0y
ou y0z se seus vetores diretores forem
paralelos ao plano correspondente. Neste
caso, uma das componentes do vetor é
nula
24. Exemplo
Seja a reta r que passa pelo ponto
A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)
Note que a terceira componente de v é
nula e a reta é paralela a x0y
25. Analogamente, uma reta r1 com vetor
diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e
uma reta r2 com vetor diretor do tipo
v=(0,a,b) é paralela a y0z
26. Retas paralelas aos eixos
coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos
coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores
diretores forem paralelos a i=(1,0,0),
j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)
Neste caso, duas das componentes do
vetor são nulas
27. Exemplo
Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e
tem a direção do vetor v=(0,0,3)
28. Ângulo de duas retas
Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1
e v2, respectivamente
Chama-se ângulo de duas retas o menor
ângulo formado pelos vetores diretores
Logo, sendo teta este ângulo tem-se:
29. cosθ = (u . v) /( | u | | v |)
Com 0<= θ<= pi/2
30. Exemplo
Calcule o ângulo entre as retas
r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t
R2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1
31. Exemplo
Verifique se as retas são ortogonais
r1: y=-2x+1,z=4x
r2: x=3-2t,y=4+t,z=t
32. Reta ortogonal a duas retas
Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas
com vetores diretores v1 e v2
respectivamente
Seja r uma reta com vetor diretor v de tal
forma que r é ortogonal a r1 e r é
ortogonal a r2
33. Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0
Um vetor v que satisfaz o sistema anterior
é dado por v=v1 x v2
34. Definido, então, o vetor diretor v, a reta r
estará determinada quando for conhecido
um de seus pontos
35. Exemplo
Determinar a equações paramétricas da
reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é
ortogonal às retas
r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)
r2: x=5, y=t, z=1-t
36. Retas coplanares
Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1)
e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são
coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2
forem coplanares, isto é, se
[v1,v2,a1a2]=0
37. Exemplo
Determine o valor de m para que as retas
sejam coplanares
R1:y=mx+2,z=3x-1
R2:x=t,y=1+2t,z=-2t
38. Posição Relativa de duas Retas
Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:
Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia
Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I}
onde I é o ponto de interseção. Neste
caso as retas tem que ser coplanares
39. Reversas: não coplanares. Neste caso a
interseção de r1 e r2 é vazia
Posição Relativa de duas Retas
40. Exemplo
Estudar a posição relativa das retas
Primeiro caso
R1:y=2x-3,z=-x
R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t
Segundo caso
R1:x/2=(y-1)/-1=z
R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1
42. Interseção de duas retas
Se duas retas se interceptam, elas são
coplanares, isto é, estão situadas no
mesmo plano. Neste caso, são ditas
concorrentes
Se duas retas não são coplanares, elas
são ditas reversas. Supõe-se que as retas
não são paralelas
43. Exemplo
Verifica se as retas r1 e r2 são
concorrentes e, em caso afirmativo,
determinar o ponto de interseção
Primeiro caso
r1:y=-3x+2,z=3x-1
R2:x=-t,y=1+2t,z=-2t