Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.

1. Informática Educativa II :: Projeto de Aprendizagem
Título: O Uso das Tecnologias no ensino da GEOMETRIA ANALÍTICA
Nome do Aluno: Grupo 7 – Iluminados
Alcides
Manoel
Queila
Rondinelle
Disciplina e anos envolvidos:
Matemática - Geometria Analítica (Ensino Médio)
Tema central :
A Geometria Analítica no Ensino Médio: seus conceitos, aplicações e desafios.
Temas de apoio:
A história da Geometria e da Geometria Analítica – Conceitos e os geômetras
Geometria – Estudo de ponto, reta e plano.
Geometria Analítica – Estudo da parábola
Geometria Analítica – Estudo da elipse
Geometria Analítica – Estudo da hipérbole
Geometria Analítica - Distância entre dois pontos
Justificativa:
Este trabalho tem como objetivo contribuir com o ensino e aprendizagem dos
alunos do ensino médio, e também ao aprimoramento das técnicas e
conhecimento dos educadores, dando ênfase à geometria em suas aplicações,
conceitos e desafios, habilitando o educando a ter uma excelente base no Ensino
Médio, aplicando assim todo o conhecimento adquirido em sua vida diária.
O estudo e a aprendizagem da geometria sempre tiveram seu lugar ao sol,ao
longo do desenvolvimento da história da humanidade. Em muitos casos
precederam a álgebra e alavancou as bases para a mesma. Nos últimos tempos
porém a geometria tem perdido espaço e não tem sido dado a ela a importância
devida nas escolas principalmente. Tal atitude tem tornado a atual geração de
estudantes desprovida dos conhecimentos geométricos básicos, o que lhes dificulta
quando não os priva de uma leitura mais fiel do mundo tanto no que tange a
natureza quanto a cultura. Muitas disciplinas escolares, como a física, por
exemplo, oferecem sérias dificuldades de aprendizagem justamente por conta
deste desconhecimento desta importante face da matemática. Por outro lado a sua
aplicação continua presente em circunstância como a física e nos mais variados
campo da engenharia tem se aplicado ultimamente a própria economia. Diante do
aspecto acima se faz justo todo o esforço possível, em busca da ressignificação e
da contextualização do ensino de geometria.
Objetivos gerais e específicos:
Objetivo Geral
Analisar técnicas de ensino e aprendizagem da geometria para o Ensino Médio e
aplicá-las da melhor maneira para motivar e ensinar geometria analítica.
Objetivos específicos
Verificar técnicas existentes na resolução de geometria para o Ensino Médio,
aprimorando as técnicas existentes e desenvolvendo novas e inovadoras técnicas
para o ensino da geometria analítica, utilizando-se de jogos, simulação
1

2. computacional, engenharia e robótica.
Enfoque pedagógico :
Apresentar aos alunos as propriedades básicas da geometria geral, e com isso
formalizado apresentar a fundo a geometria analítica e suas principais
propriedades, bem como as facilidades que ela apresenta na resolução de
questões complexas que com essa disciplina se torna um pouco menos
complicada.
Destacar sua ligação com outras áreas do conhecimento e aproximá-la o máximo
possível da realidade dos alunos.
Recursos tecnológicos:
Computador.
Software educativo R.e.C. (Régua e Compasso) e/ou Geogebra e/ou Cabri
Geometre
Uso de Data show para apresentação do conteúdo didático.
Na falta do Data Show usar retro projetor com a mesma finalidade.
Etapas e suas estratégias de realização:
1ª. Aplicação de um questionário e/ou pré-teste para detectar em qual nível
educacional se enquadra os alunos e também para determinar qual será a
estratégia a ser usada para o processo de ensino-aprendizagem.
2ª. Apresentação do conteúdo histórico tanto da geometria como da geometria
analítica.
3ª. Apresentação do conteúdo didático identificando seus conceitos, elementos,
desafios e aplicações. Na aplicação do conteúdo didático podem-se usar os
materiais como:
• Cartolina, papel cartão para a construção das figuras estudadas, as figuras
serão construídas pelos alunos através de um modelo feito anteriormente.
• Papel vegetal na utilização de dobraduras onde pode se ver claramente a
construção de elipses e hipérboles tornando a aula motivante e dinâmica.
4ª. Aplicação de explicações e exemplos de cada tema a ser desenvolvido e de
exercícios e suas devidas correções.
5ª. Orientação para realização de trabalho, que os conhecimentos trabalhados
sejam aplicados a realidades locais dos alunos a serem posteriormente
apresentados em forma de seminário.
4.1. PONTO E RETA:
A geometria plana, também chamada geometria elementar ou Euclidiana, teve
início na Grécia antiga. Esse estudo analisava as diferentes formas de objetos, e
baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é
um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse
caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula
do alfabeto (A, G, P,. . . ). Podemos definir uma reta como sendo um número
infinito de pontos em seqüência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa
um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma
reta distinta.
2

3. Uma reta que apenas passa por estes dois pontos é chamada de reta infinita,
caso ela comece em um ponto qualquer e não tenha fim, ela será denominada reta
semi-infinita, e no caso de ela se iniciar em um ponto e terminar em um outro ela
será denominada de semi-reta. Indicaremos uma reta por uma letra minúscula
qualquer (r,s,t,. . . ). Se tivermos três pontos distintos, teremos então um plano o
qual contém os três pontos e todas as retas que passarem por dois destes pontos
estará contida no plano, assim como também estarão contidas no plano todas as
retas paralelas às retas citadas anteriormente. Indicaremos um plano por uma
letra minúscula do alfabeto grego (a, b, g, ...).
4.2. PARÁBOLA:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma
reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano
paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."
2 - Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F
(foco) pertencente ao eixo das abscissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano
cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola,
e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima,
deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
3

4. Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos
à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x 0, y0), a
equação acima fica:
(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a
sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num
ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2  p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x  y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2  p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2  y2 = 8(x-2)  y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da
parábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2  p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2)  y2 - 6y + 9 = 16x - 32  y2 - 6y - 16x + 41 = 0,
que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2  p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1)  x2 = 12y - 12  x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação
procurada.
Exercícios propostos
1- Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o
ponto F(2,2).
Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0
2-Obtenha as coordenadas do vértice de parábola de equação
y= 2x² - 2x + 1
3-Um objeto está a uma distância fixa D0 do ponto O, onde é colocado o vértice de um
espelho esférico côncavo. Observa-se que a imagem é formada a uma distância D1 do
4

5. ponto O. Substituindo-se o espelho por uma lente divergente, com o centro óptico no
ponto O, mantendo-se objeto fixo, verifica-se que a imagem continua sendo formada à
mesma distância D1 do ponto O. Sabendo que a distância focal do espelho é f=3cm e
que a distância focal da lente é o dobro desta, determine:
a) a distância Do
b) a distância Di
c) a razão entre as ampliações do espelho e da lente
4.3 ELPSE:
Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes
pontos seja igual a 2c  0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das
distancias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um
valor constante 2a , onde a  c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com
distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a  c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é
um número positivo menor que a unidade.
2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F 1(c,0) e F2(-c,0) os
seus focos. Sendo 2a o valor constante com c  a, como vimos acima, podemos
escrever:
PF1 + PF2 = 2.a
onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2
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6. de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2 =
b2 , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2
Dividindo agora, ambos os membros por ab2 2
vem finalmente:
que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).
Notas:
1) como a2 – c2 = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abscissa de um dos
focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de
termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de
excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a
= 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo
dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está
na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação
9x2 + 25y2 = 225.
SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:
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7. Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0.
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a
distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x 2 + 169y2 = 4225.
Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.
5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto
P(1,1) e tem um foco F(- 6 /2, 0).
Resposta: x2 + 2y2 = 3.
6- Obtenha as coordenadas dos focos de uma elipse de equação 9x²+ 4y²= 36
4.4: HIPERBÓLE:
Hipérbole de centro na origem (0,0)
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F 1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes
pontos seja igual a 2c  0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da
diferença das distancias de cada um de seus pontos P a estes pontos fixos F 1 e F2 é
igual a um valor constante 2a , onde a  c.
Assim é que temos por definição:
 PF1 - PF2  = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com
distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a  c, concluímos que a excentricidade de uma
hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
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8. A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que
B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole.
Observe na figura acima que é válida a relação:
c 2
= a 2
+ b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na
origem (0,0)
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F 1(c,0) e F2(-c,0)
os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c  a, como vimos acima,
podemos escrever:
 PF1 - PF2  = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão
acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser verificado na
figura acima.
Dividindo agora, ambos os membros por a 2b 2 vem finalmente:
Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo
dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B 1B2) estiver no eixo dos
x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não
está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c =  41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a =  41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60.
2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .
SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:
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9. Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c =  34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2 34.
3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as
retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num
ponto impróprio situado no infinito.
Dada à hipérbole de equação:
Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:
5ª. Apresentação do software de geometria dinâmica.
5.1. PONTO E RETA:
Pode-se usar o Programa C.a R. iniciando com leitura dos tutoriais e execução
dos exercícios demonstrativos para que os alunos tenham o primeiro contato com
o software, após passando para a construção de pontos e retas dentro do contexto
estudado. Esse início servirá também para familiarizar os alunos com o programa:
• Primeira etapa: Construção de ponto dentro de um plano.
• Segunda etapa: Construção de retas, ligando dois pontos.
6ª. Correção dos exercícios dentro do software de geometria dinâmica
apresentado.
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10. 7ª. Esclarecimento de dúvidas
8ª. Apresentação de seminário(alunos), aplicação da geometria na análise do
mundo que me rodeia.
9ª. Aplicação de uma avaliação para determinar qual foi o nível de conhecimento
adquirido e também determinar se a técnica usada no processo de ensino-
aprendizagem foi a mais adequada, determinando seus pontos fortes e fracos, e
possíveis soluções para melhoramento da mesma.
10ª. Aplicação de um questionário de avaliação do projeto para avaliarmos qual foi
à aceitabilidade dos alunos e também a visão que tiveram do projeto.
Exercícios propostos
Qual a distância entre os pontos A(-2, 5) e B(2,-4) ?
Definição de papéis:
Na verdade terão seus papéis específicos dentro do projeto, sendo os mesmo
avaliados e separados em reunião conjunto para definir estratégias a serem
traçadas e os meios pelos quais as aulas serão ministradas.
Coleta de dados:
A mesma poderá ser feita de várias formas, mas a fim de dificultar e
consequentemente atrapalhar no desempenho e no nosso objetivo final, podemos
fazer a coleta de dados através de questionarias e pré-avaliações que darão uma
dimensão próxima da realidade para que com essas informações em mãos
possamos dar prosseguimento ao nosso projeto.
Seleção do material:
Cartolina com as figuras planificada a respectiva construção, folha de papel
vegetal, folha de papel A4, livros, régua, compasso, giz, caneta piloto, quadro e
software educativo – Régua e Compasso (se houver equipamento disponível na
ocasião). Papel quadriculado.
Programação visual:
Essa programação se dará por etapas:
1ª. Poderemos apresentar algum vídeo que demonstrar como aplicar a disciplina a
ser estudada.
2ª. Poderemos exibir as provas das questões que estamos apresentando, bem
como do conteúdo didático e de sua história, utilizando-se de literatura condizente
e se necessário e possível à utilização de um software educativo como, por
exemplo, R.e.C. e/ou geogebra no processo de ensino-aprendizagem para dar uma
maior dimensão aos alunos do que se trata a matéria.
3ª.Apresentação de simulações e resoluções de problemas por meio de software
educativo com o uso de data show ou em laboratório de iformática com número
suficiente de computadores para uso dos alunos.
4ª. Visita a sites em que há simuladores e tutoriais de programas geométricos.
Meios para a execução:
Como já foram citados nos recursos metodológicos em consonância com as
1
0

11. estratégias, buscar-se-á utilização dos recursos disponíveis, com base na realidade
dos alunos para contextualizar e motivar o processo de ensino aprendizagem da
geometria sem dispensar os recursos tradicionais da exposição, do uso da lousa e
do giz acrescentar-se a tudo o que for possível no tocante às Novas TEM
(Tendências em Educação Matemática)
Avaliação:
A avaliação se dará em 04 (três) etapas:
1ª. Um questionário e/ou pré-teste para detectar em qual nível educacional se
enquadra os alunos e também para determinar qual será a estratégia a ser usada
para o processo de ensino-aprendizagem.
2ª. Uma avaliação para determinar qual foi o nível de conhecimento adquirido e
também determinar se a técnica usada no processo de ensino-aprendizagem foi a
mais adequada, determinando seus pontos fortes e fracos, e possíveis soluções
para melhoramento da mesma.
3ª. Um questionário de avaliação do projeto para avaliarmos qual foi à
aceitabilidade dos alunos e também a visão que tiveram do projeto.
4ª. Seminário
Cronograma:
O Projeto deverá ser desenvolvido em cinco aulas ( Uma semana)
Sites e bibliografia de apoio:
http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica.html
http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-ii.html
http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-parabola.html
http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html
http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-hiperbole.html
http://www.portalpositivo.com.br/
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