O documento define vetores e suas operações como soma, diferença, escalar e vetorial. Também apresenta equações para retas, planos, círculos, parábolas, elipses e hipérboles no espaço vetorial R2 e R3.
This document contains an individual mathematics exercise analyzing sequences and their limits. It includes 4 problems: 1) writing the first five terms of sequences given by various formulas, 2) determining the formula for the nth term based on the first few terms of various sequences, 3) listing the first five terms of inductively defined sequences, and 4) proving that the limit of b^n as n approaches infinity is 0 for any real number b. The solutions provide the step-by-step work and reasoning for each part of the exercise.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) menjelaskan cara menentukan himpunan penyelesaian SPtLDV dengan menggambar garis pertidaksamaan, mengambil titik uji (0,0), dan meng substitusikannya ke dalam pertidaksamaan untuk mengetahui daerah mana yang memenuhi syarat. Contoh soal menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaks
Ada tiga masalah yang dibahas dalam dokumen tersebut:
1. Menghitung permutasi dan kombinasi dari sekumpulan objek
2. Mendefinisikan permutasi, kombinasi, dan rumus-rumus terkait seperti faktorial
3. Memberikan contoh perhitungan permutasi dan kombinasi
The document discusses trigonometric ratios in the four quadrants. It defines a quadrant as one-fourth of a circle divided by perpendicular x and y axes. It provides the trigonometric ratios for angles θ and 90-θ in Quadrant I, angles 180-θ and 90+θ in Quadrant II, angles 180+θ and 270-θ in Quadrant III, and angles 270+θ and 360-θ in Quadrant IV. The ratios follow specific patterns in each quadrant depending on the quadrant's positioning in the coordinate plane.
Teorema nilai rata-rata cauchy dan aplikasinya dalam bidang matematika dan dalam bidang lain sebagai tugas presentasi mata kuliah Analisis Riil 2 semester 5
This document contains an individual mathematics exercise analyzing sequences and their limits. It includes 4 problems: 1) writing the first five terms of sequences given by various formulas, 2) determining the formula for the nth term based on the first few terms of various sequences, 3) listing the first five terms of inductively defined sequences, and 4) proving that the limit of b^n as n approaches infinity is 0 for any real number b. The solutions provide the step-by-step work and reasoning for each part of the exercise.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) menjelaskan cara menentukan himpunan penyelesaian SPtLDV dengan menggambar garis pertidaksamaan, mengambil titik uji (0,0), dan meng substitusikannya ke dalam pertidaksamaan untuk mengetahui daerah mana yang memenuhi syarat. Contoh soal menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaks
Ada tiga masalah yang dibahas dalam dokumen tersebut:
1. Menghitung permutasi dan kombinasi dari sekumpulan objek
2. Mendefinisikan permutasi, kombinasi, dan rumus-rumus terkait seperti faktorial
3. Memberikan contoh perhitungan permutasi dan kombinasi
The document discusses trigonometric ratios in the four quadrants. It defines a quadrant as one-fourth of a circle divided by perpendicular x and y axes. It provides the trigonometric ratios for angles θ and 90-θ in Quadrant I, angles 180-θ and 90+θ in Quadrant II, angles 180+θ and 270-θ in Quadrant III, and angles 270+θ and 360-θ in Quadrant IV. The ratios follow specific patterns in each quadrant depending on the quadrant's positioning in the coordinate plane.
Teorema nilai rata-rata cauchy dan aplikasinya dalam bidang matematika dan dalam bidang lain sebagai tugas presentasi mata kuliah Analisis Riil 2 semester 5
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi rasional dan cara menentukan domain serta range dari suatu fungsi rasional. Diberikan dua contoh fungsi rasional yaitu f(x)=1/x dan f(x)=(x-1)/(x+2) beserta penjelasan tentang cara melukis grafik, menentukan domain dan range dari masing-masing fungsi tersebut. Pembaca diminta untuk melukis grafik dan menentukan sifat-sifat dua fungsi rasional lainnya.
This document contains solutions to 4 problems regarding Cauchy sequences:
1) It provides an example of a bounded sequence that is not Cauchy by considering the sequence {(-1)^n}.
2) It shows that the sequences (n+1/n) and (1 + 1/2! + ... + 1/n!) are Cauchy using the definition.
3) It shows that the sequences ((-1)^n), (n + (-1)^n/n), and (ln(n)) are not Cauchy by finding values that violate the definition.
4) It proves that if (x_n) and (y_n) are Cauchy, then (x_n +
The document discusses recurrence relations and methods for solving them. It defines a recurrence relation as an equation that expresses the terms of a sequence in terms of previous terms. It provides examples of homogeneous and non-homogeneous recurrence relations. For homogeneous relations, it describes guessing a solution of the form T(n)=x^n and finding the characteristic equation. For non-homogeneous relations, it explains adding the non-recursive term to the characteristic equation. It then works through examples of solving both homogeneous and non-homogeneous recurrence relations.
Using matrices to transform geometric figures, including translations, dilations, reflections, and rotations. Translations use a matrix with the distances of movement in each row. Dilations multiply coordinates by a scalar factor. Reflections across an axis involve changing the sign of coordinates on one side of the axis. Rotation matrices involve trigonometric functions to rotate the figure a specified number of degrees clockwise or counterclockwise. Examples show setting up and performing each type of transformation on sample polygons.
Inter section of subspaces
Union of subspaces
Linear Sum of subspaces
Linear Span of a set
Linear Dependence of vector & Linearly Dependent set (LD set)
Linear Independence of vector & Linearly Independent set (LI set)
linear transformation and rank nullity theorem Manthan Chavda
In these notes, I will present everything we know so far about linear transformations.
This material comes from sections in the book, and supplemental that
I talk about in class.
This document discusses permutation and combination concepts in counting. It provides examples of using the multiplication principle when order matters and addition principle when order does not matter to count outcomes of events. It also defines permutation as arrangements of objects where order matters and combination as selections of objects where order does not matter. Formulas are given for counting permutations and combinations of distinct objects. Examples demonstrate calculating the number of ways to arrange or select objects in different scenarios.
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple yulisna hambali
1. Dokumen tersebut membahas tentang hasil kali triple vektor, termasuk definisi hasil kali triple skalar dan vektor serta hukum-hukum yang berlaku. 2. Ia juga menjelaskan tentang himpunan vektor resiprokal, di mana vektor-vektor terkait memenuhi kondisi tertentu. 3. Pembahasan mencakup contoh perhitungan dan bukti hukum tertentu terkait hasil kali triple vektor.
This document discusses set theory and relations between sets. It begins by introducing basic set notation such as set membership and subset notation. It then defines and provides examples of relations between sets such as subset, equality, union, intersection, difference, and complement. The document also covers properties of sets and relations including commutative, associative, distributive, and other properties. It concludes by discussing relations as subsets of Cartesian products and properties of relations such as reflexive, symmetric, transitive, and antisymmetric relations.
The document describes Voronoi diagrams and an algorithm for constructing them efficiently. Voronoi diagrams partition space into regions based on distance to points called sites. The algorithm uses a sweep line approach, maintaining the current state of the diagram. It handles events where the sweep line encounters a site or potential empty circle. The key data structures are a balanced binary search tree to represent the beach line, a doubly linked list to represent the constructed diagram, and a priority queue of events. The algorithm runs in O(n log n) time.
Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4radar radius
1. Fungsi Pembangkit digunakan untuk memecahkan masalah counting, relasi recurrence, dan identitas kombinatorik serta menentukan rumus suku ke-n pada barisan bilangan bertingkat 3 dan 4.
2. Deret Taylor merupakan deret pangkat dari suatu fungsi yang terdefinisikan tak terhingga dalam suatu perserikatan bilangan riil atau kompleks.
3. Fungsi Pembangkit Biasa dan Fungsi Pembangkit Exporter digunakan untuk merepresentasikan der
Course 10 example application of random signals - oversampling and noise sh...wtyru1989
1. The document reviews quantization error in analog-to-digital conversion. It discusses assumptions about the quantization error process and how the error varies with bit depth.
2. Oversampling is described as a technique to reduce quantization error by increasing the sampling rate before quantization. This spreads the quantization noise over a wider bandwidth, lowering its power within the signal bandwidth.
3. Delta-sigma modulation is presented as a method to shape the quantization noise power spectrum through feedback. The noise is concentrated at higher frequencies, improving noise performance for a given bit depth.
Bedah materi masalah syarat batas sekaligus pembuktian teorema 1 dan 2 sturmrukmono budi utomo
1. Dokumen tersebut membahas tentang persamaan Sturm-Liouville dan teorema yang berkaitan dengannya.
2. Persamaan Sturm-Liouville memiliki syarat batas tertentu dan perilaku solusinya tergantung pada nilai eigen λ.
3. Dibuktikan bahwa solusi persamaan tersebut bersifat non-trivial hanya jika λ bernilai positif.
PPT_Produto escalar de vetoresgeometria.pptxsandra soares
O documento apresenta os conceitos fundamentais de produto escalar de vetores, incluindo sua definição como o módulo de um vetor multiplicado pelo cosseno do ângulo entre os vetores. Exemplos ilustram como calcular o produto escalar através das coordenadas dos vetores no plano e no espaço.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi rasional dan cara menentukan domain serta range dari suatu fungsi rasional. Diberikan dua contoh fungsi rasional yaitu f(x)=1/x dan f(x)=(x-1)/(x+2) beserta penjelasan tentang cara melukis grafik, menentukan domain dan range dari masing-masing fungsi tersebut. Pembaca diminta untuk melukis grafik dan menentukan sifat-sifat dua fungsi rasional lainnya.
This document contains solutions to 4 problems regarding Cauchy sequences:
1) It provides an example of a bounded sequence that is not Cauchy by considering the sequence {(-1)^n}.
2) It shows that the sequences (n+1/n) and (1 + 1/2! + ... + 1/n!) are Cauchy using the definition.
3) It shows that the sequences ((-1)^n), (n + (-1)^n/n), and (ln(n)) are not Cauchy by finding values that violate the definition.
4) It proves that if (x_n) and (y_n) are Cauchy, then (x_n +
The document discusses recurrence relations and methods for solving them. It defines a recurrence relation as an equation that expresses the terms of a sequence in terms of previous terms. It provides examples of homogeneous and non-homogeneous recurrence relations. For homogeneous relations, it describes guessing a solution of the form T(n)=x^n and finding the characteristic equation. For non-homogeneous relations, it explains adding the non-recursive term to the characteristic equation. It then works through examples of solving both homogeneous and non-homogeneous recurrence relations.
Using matrices to transform geometric figures, including translations, dilations, reflections, and rotations. Translations use a matrix with the distances of movement in each row. Dilations multiply coordinates by a scalar factor. Reflections across an axis involve changing the sign of coordinates on one side of the axis. Rotation matrices involve trigonometric functions to rotate the figure a specified number of degrees clockwise or counterclockwise. Examples show setting up and performing each type of transformation on sample polygons.
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This document discusses permutation and combination concepts in counting. It provides examples of using the multiplication principle when order matters and addition principle when order does not matter to count outcomes of events. It also defines permutation as arrangements of objects where order matters and combination as selections of objects where order does not matter. Formulas are given for counting permutations and combinations of distinct objects. Examples demonstrate calculating the number of ways to arrange or select objects in different scenarios.
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple yulisna hambali
1. Dokumen tersebut membahas tentang hasil kali triple vektor, termasuk definisi hasil kali triple skalar dan vektor serta hukum-hukum yang berlaku. 2. Ia juga menjelaskan tentang himpunan vektor resiprokal, di mana vektor-vektor terkait memenuhi kondisi tertentu. 3. Pembahasan mencakup contoh perhitungan dan bukti hukum tertentu terkait hasil kali triple vektor.
This document discusses set theory and relations between sets. It begins by introducing basic set notation such as set membership and subset notation. It then defines and provides examples of relations between sets such as subset, equality, union, intersection, difference, and complement. The document also covers properties of sets and relations including commutative, associative, distributive, and other properties. It concludes by discussing relations as subsets of Cartesian products and properties of relations such as reflexive, symmetric, transitive, and antisymmetric relations.
The document describes Voronoi diagrams and an algorithm for constructing them efficiently. Voronoi diagrams partition space into regions based on distance to points called sites. The algorithm uses a sweep line approach, maintaining the current state of the diagram. It handles events where the sweep line encounters a site or potential empty circle. The key data structures are a balanced binary search tree to represent the beach line, a doubly linked list to represent the constructed diagram, and a priority queue of events. The algorithm runs in O(n log n) time.
Matematika Diskrit: Fungsi pembangkit part 4radar radius
1. Fungsi Pembangkit digunakan untuk memecahkan masalah counting, relasi recurrence, dan identitas kombinatorik serta menentukan rumus suku ke-n pada barisan bilangan bertingkat 3 dan 4.
2. Deret Taylor merupakan deret pangkat dari suatu fungsi yang terdefinisikan tak terhingga dalam suatu perserikatan bilangan riil atau kompleks.
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2. Oversampling is described as a technique to reduce quantization error by increasing the sampling rate before quantization. This spreads the quantization noise over a wider bandwidth, lowering its power within the signal bandwidth.
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Bedah materi masalah syarat batas sekaligus pembuktian teorema 1 dan 2 sturmrukmono budi utomo
1. Dokumen tersebut membahas tentang persamaan Sturm-Liouville dan teorema yang berkaitan dengannya.
2. Persamaan Sturm-Liouville memiliki syarat batas tertentu dan perilaku solusinya tergantung pada nilai eigen λ.
3. Dibuktikan bahwa solusi persamaan tersebut bersifat non-trivial hanya jika λ bernilai positif.
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O documento apresenta os conceitos fundamentais de produto escalar de vetores, incluindo sua definição como o módulo de um vetor multiplicado pelo cosseno do ângulo entre os vetores. Exemplos ilustram como calcular o produto escalar através das coordenadas dos vetores no plano e no espaço.
Exercício: Determinar a classe de funções para os coeficientes não constantes...Maths Tutoring
Exercício: Determinar a classe de funções para os coeficientes não constantes de uma equação diferencial de 2.ª ordem onde se aplique uma mudança na variável independente.
O documento discute derivadas parciais de funções de várias variáveis. Apresenta a definição formal de derivada parcial e exemplos de cálculo. Também aborda a interpretação geométrica das derivadas parciais e como elas podem ser usadas para calcular inclinações de retas tangentes. Por fim, introduz conceitos de máximos e mínimos de funções de várias variáveis.
O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de matemática, incluindo teoria dos conjuntos, relações e funções, funções do primeiro e segundo grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e modulares, combinatória, probabilidades e porcentagem. Ao todo são dezesseis tópicos abordados de forma concisa.
O documento descreve superfícies quádricas e superfícies de revolução. Define superfícies quádricas como gráficos de equações do segundo grau e classifica-as em duas categorias. Superfícies de revolução são geradas pela rotação de curvas em torno de eixos, como hipérboles e elipses. Hiperboloides e elipsoides são exemplos de superfícies de revolução.
Aula 1 (Regras de derivação e vetores).pptxssuser5a16da
O documento apresenta regras básicas de derivação e conceitos sobre vetores. As regras de derivação incluem derivar constantes, funções potenciais, funções lineares e produtos/soma de funções. Os conceitos de vetores incluem representá-los em relação a um referencial ortonormado e decompor um vetor em componentes ao longo dos eixos.
Este documento apresenta conceitos básicos de vetores no plano, incluindo:
1) Vetores podem ser representados como combinações lineares de vetores base;
2) A base canônica no plano cartesiano é formada pelos vetores i e j;
3) Operações entre vetores como adição e multiplicação por escalar.
Exercícios resolvidos e propostos matemáticaMaths Tutoring
Este documento aborda vários tópicos de análise matemática, incluindo:
1) A definição de função convexa e o fato de que o epígrafo de uma função é convexo se e só se a função for convexa;
2) Uma sucessão cuja derivada da função tende a zero quando x tende ao infinito;
3) Um contraexemplo mostrando que a derivada de uma função não necessariamente tende a zero quando x tende ao infinito.
Este documento contém 8 questões sobre geometria no espaço, incluindo: 1) identificação de conjuntos de pontos como circunferências e gráficos de funções; 2) equações de planos e retas; 3) propriedades como paralelismo e perpendicularidade; 4) equações de superfícies esféricas e planos tangentes. O aluno deve resolver cada questão demonstrando conceitos geométricos essenciais.
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivaçãoMaths Tutoring
Em qualquer curso superior do tipo científico, é inevitável o cálculo integral, em particular, a introdução do conceito de primitiva.
Este trabalho visa consolidar os conhecimentos sobre a questão da primitivação.
Further reading:
Calculus, Early Transcendentals, James Stewart
Analise Matematica, Leituras e exercicios, Carlos Sarrico
O documento apresenta exercícios de geometria analítica resolvidos envolvendo circunferências e retas. Nos exercícios, são determinados os pontos de interseção, tangência e posição externa/interna de pontos em relação às circunferências. O documento também obtém a interseção de duas circunferências, resultando nos pontos (6,8) e (8,6).
O documento discute integrais de linha, que calculam a integral ao longo de uma curva parametrizada. É explicado como parametrizar curvas como círculos e segmentos de reta. Também são discutidos exemplos de cálculo da área sob uma curva e do centro de massa de um objeto com densidade variável. Integrais de linha em campos vetoriais também são introduzidas.
Este documento fornece instruções para a realização de uma atividade prática de avaliação (MAPA) em uma disciplina. Ele especifica os requisitos de formatação, prazos, critérios de avaliação e ressalta a natureza individual da atividade. Além disso, fornece exemplos de cálculos para analisar uma curva de atenuação em fibra óptica.
PC_2020-2_EP05_Transformacoes em Graficos_GABARITO.pdfssuserce7c52
O documento fornece o gabarito de um exercício sobre transformações em gráficos de funções quadráticas. Nele, são explicadas as transformações que ocorrem nos gráficos quando se multiplica ou divide a função por uma constante, quando se soma ou subtrai uma constante da variável x ou y, e como isso afeta o vértice e o eixo de simetria das parábolas. Além disso, são solicitados esboços de gráficos de novas funções obtidas a partir de transformações em funções dadas.
O documento apresenta os conceitos básicos de vetores no espaço tridimensional, incluindo a definição de um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal no espaço, a representação algébrica de pontos e vetores, operações com vetores, e exemplos ilustrativos.
O documento descreve um medidor de pressão modelado como um sistema LTI. A entrada de pressão verdadeira x1(t) é determinada como sendo igual a 2u(t) + 4e-3tu(t), ou seja, uma função degrau unitário somada a uma função exponencial decrescente.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - 1Maths Tutoring
1. O documento apresenta um teste de avaliação com 11 questões sobre números reais, intervalos, inequações e funções. 2. A primeira questão pede para mostrar propriedades de números da forma 3x + 2y. A terceira questão pede para caracterizar intervalos e relacioná-los. A décima primeira questão pede para indicar o número de soluções de uma equação em função de um parâmetro.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IMaths Tutoring
1. O documento apresenta exercícios sobre números reais, funções e equações. Inclui questões sobre intervalos, aproximações, gráficos de funções e resolução de inequações.
2. São abordados conceitos como números racionais e irracionais, comparação e operações com números reais, representação gráfica de funções, resolução de sistemas de inequações e noções geométricas relacionadas a funções.
3. Os exercícios visam a consolidação destes conteúdos matemáticos essencia
A geometria analítica estuda a geometria por meio de coordenadas e princípios da álgebra. Diferente da geometria euclidiana que usa axiomas e raciocínio dedutivo, a geometria analítica representa figuras geométricas com equações algébricas. Ela é amplamente usada em física e engenharia e forma a base para geometrias mais modernas.
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
7. RETAS E PLANOS
Seja um plano 𝜋, um ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∈ 𝜋 e 𝑢 e Ԧ
𝑣 não
paralelos entre si mas 𝑢 𝑎1, 𝑏1 , 𝑐1 ; Ԧ
𝑣(𝑎2, 𝑏2 , 𝑐2)// 𝜋. Então
um ponto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝜋 ↔ 𝑃 − 𝐴, 𝑢, Ԧ
𝑣//𝜋, o que equivale a
dizer que 𝑃 − 𝐴 pode ser expresso em função de 𝑢 e Ԧ
𝑣:
Equação Vetorial do plano
𝑃 − 𝐴 = 𝑡 ∙ 𝑢 + ℎ ∙ Ԧ
𝑣
𝑃 = 𝐴 + 𝑡 ∙ 𝑢 + ℎ ∙ Ԧ
𝑣
8. Equações Paramétricas do plano: ቐ
𝑥 = 𝑥1 + 𝑡 ∙ 𝑎1 + ℎ ∙ 𝑎2
𝑦 = 𝑦1 + 𝑡 ∙ 𝑏1 + ℎ ∙ 𝑏2
𝑧 = 𝑧1 + 𝑡 ∙ 𝑐1 + ℎ ∙ 𝑐2
RETAS E PLANOS
Seja um plano 𝜋, um ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ∈ 𝜋 e um vetor
𝑛(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≠ 0 ortogonal a 𝜋 chamado vetor normal a 𝜋.
Um ponto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝜋 ↔ 𝑃 − 𝐴 ⊥ 𝑛 o que
equivale a 𝐴𝑃 ∙ 𝑛 = 0 ou 𝑃 − 𝐴 ∙ 𝑛 = 0.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
Equação Geral do plano
9. Posições relativas entre Planos
RETAS E PLANOS
Planos paralelos: Dois
planos são paralelos se, e
somente se, são coincidentes
ou não possuem ponto em
comum.
Planos secantes: Dois planos
são secantes se, e somente se,
a intersecção entre os dois é
uma reta.
10. Ângulo entre duas retas
RETAS E PLANOS
Ângulo entre dois planos
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
𝑢 ∙ Ԧ
𝑣
𝑢 ∙ Ԧ
𝑣
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 ∙ 𝑛2
11. Distância entre pontos: Se 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) então
RETAS E PLANOS
Ponto que divide um segmento de reta ao meio: Dados
𝑑 𝐴, 𝐵 = (𝑥1−𝑥2)2 + (𝑦1−𝑦2)2 + (𝑧1−𝑧2)2
𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2),
um ponto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 divide
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑦 =
𝑦1 + 𝑦2
2
𝑧 =
𝑧1 + 𝑧2
2
𝑃1𝑃 = −𝑃2𝑃, então:
𝑃1𝑃2 ao meio se
12. O ponto 𝑃 𝑥, 𝑦 pertence a circunferência se, e
CIRCUNFERÊNCIA
somente se, 𝑑 𝐶, 𝑃 = 𝑟. Então: (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2= 𝑟
(𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2
Equação Reduzida da circunferência
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑟2
= 0
Equação Geral da circunferência
13. CIRCUNFERÊNCIA
Posição relativa entre uma Reta e uma Circunferência
A distância da reta ao centro da circunferência é dada por:
𝑑 𝐶, 𝑠 =
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
𝑎2 + 𝑏2
onde: 𝐶(𝑥0, 𝑦0) e
𝑠: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
14. Parábola: consiste no
lugar geométrico dos
pontos do plano que são
equidistantes do foco e
da diretriz.
CÔNICAS
Eixo y: dado um 𝑃 𝑥, 𝑦 da
parábola com 𝐹 0,
𝑝
2
, então:
𝑥2 = 2𝑝𝑦
Equação Reduzida
𝑃𝐹 = 𝑃𝑃′
15. Eixo x: dado 𝑃 𝑥, 𝑦 da parábola
com 𝐹
𝑝
2
, 0 , então:
CÔNICAS
𝑦2 = 2𝑝𝑥
Equação
Reduzida
Translação de eixos
ቊ
𝑥′ = 𝑥 − ℎ
𝑦′ = 𝑦 − 𝑘
Fórmulas de
translação
16. Dado 𝑃 𝑥, 𝑦 da parábola de vértice 𝑉 ℎ, 𝑘 .
CÔNICAS
𝑥′2
= 2𝑝𝑦′
Eixo paralelo ao eixo y
Eixo paralelo ao eixo x
(𝑥 − ℎ)2= 2𝑝(𝑦 − 𝑘)
𝑦′2 = 2𝑝𝑥′
(𝑦 − 𝑘)2= 2𝑝(𝑥 − ℎ)
17. CÔNICAS
Elipse: consiste no
lugar geométrico dos
pontos do plano cuja
soma das distâncias a
dois pontos fixos desse
plano é constante.
Elementos
Excentricidade: 𝑒 =
𝑐
𝑎
𝑐 < 𝑎 → 0 < 𝑒 < 1
Importante:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎
18. CÔNICAS
Eixo maior x: dado 𝑃 𝑥, 𝑦
da elipse com 𝐹1 −𝑐, 0 e
𝐹2(𝑐, 0), então:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Eixo maior y: dado 𝑃 𝑥, 𝑦
da elipse com 𝐹1 0, −𝑐
e 𝐹2(0, 𝑐), então:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
19. CÔNICAS
Translação de eixos: Dado 𝑃 𝑥, 𝑦 da elipse de 𝐶 ℎ, 𝑘 .
Eixo maior // x Eixo maior // y
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1
20. CÔNICAS
Hipérbole: consiste no lugar
geométrico dos pontos do plano
cuja diferença das distâncias
em valor absoluto, a dois
pontos fixos desse plano é
constante.
𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2 = 2𝑎
Elementos
Importante:
Excentricidade: 𝑒 =
𝑐
𝑎
𝑐 > 𝑎 → 𝑒 > 1
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
21. CÔNICAS
Eixo real x: dado 𝑃 𝑥, 𝑦 da
hipérbole com 𝐹1 −𝑐, 0 e
𝐹2(𝑐, 0), então:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
Eixo real y: dado 𝑃 𝑥, 𝑦 da
elipse com 𝐹1 0, −𝑐
e 𝐹2(0, 𝑐), então:
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1
22. CÔNICAS
Eixo real // x
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1
Eixo real // y
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1
23. QUÁDRICAS
Quádricas centradas
±
𝑥2
𝑎2
±
𝑦2
𝑏2
±
𝑧2
𝑐2
= 1
Quádricas não centradas
±
𝑥2
𝑎2
±
𝑦2
𝑏2
= 𝑐𝑧
±
𝑥2
𝑎2
±
𝑧2
𝑐2
= 𝑏𝑦
±
𝑦2
𝑏2
±
𝑧2
𝑐2
= 𝑎𝑥
Forma canônica ou padrão:
A intersecção de uma superfície quádrica com um dos planos
coordenados ou por planos paralelos é uma cônica. [Traço]
Forma canônica ou padrão:
26. SUPERFÍCIE CÔNICA
É toda linha (diretriz) que se obtém como intersecção de um
plano com uma superfície cônica. Uma superfície cônica é a
superfície gerada pela rotação completa de uma reta
(geratriz), em um ponto fixo (vértice) em torno de um
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 0
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 0
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 0
eixo, formando com este sempre o mesmo
ângulo, até completar uma volta completa.
27. SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
É a superfície gerada por uma linha reta (r) que se move,
de maneira que é sempre paralela a uma dada reta fixa (f) e
passa sempre por uma curva fixa (C) dada. A curva C é a
diretriz da superfície cilíndrica e a
reta r é a geratriz.
De acordo com a diretriz,
a superfície cilíndrica é
chamada elíptica,
hiperbólica, parabólica ou
circular.
28. COORDENADAS POLARES
No sistema de coordenadas
polares, as coordenadas
consistem de uma distância
e da medida de um ângulo em
relação a um ponto fixo e a
uma distância fixa.
Relação entre o sistema de
coordenadas cartesianas e o
sistema de coordenadas polares
29. COORDENADAS POLARES
Seja P um ponto de coordenadas cartesianas e coordenadas
polares. Para o 1° quadrante tem-se:
𝑟 > 0
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑥
𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
𝑟
𝑟 < 0
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
−𝑥
−𝑟
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
−𝑦
−𝑟
∴ ቊ
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ቊ
𝑥2
= 𝑟2
𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑦2 = 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝜃
∴ 𝑟 = ± 𝑥2 + 𝑦2
→ ( )2 → (+)