Este documento descreve conceitos básicos de geometria espacial, incluindo: 1) Definições de retas, planos e suas posições relativas no espaço. 2) Conceitos de ângulos entre retas e planos. 3) Introdução aos poliedros regulares, suas características e os cinco poliedros regulares de Platão.

1. Matemática
RETAS E PLANOS
NO ESPAÇO
lela ou reversa com qualquer reta do plano. ANOTAÇÕES
1. POSTULADOS
(sem d emonstraç ões)
Planos s paralelos (distintos)
Definição: intersecção vazia
Teorema: dois planos são paralelos se um
Euclides: Por um ponto fora de uma contiver duas retas CONCORRENTES paralelas
reta existe uma única paralela a essa a outro.
reta. Dois planos sendo paralelos distintos.
Posição relativas de Duas Retas Toda reta que fura um fura o outro.
Todo plano que corta um corta o outro em re-
Coincidente
paralelas reversas concorrentes tas paralelas.
(paralelos)
Toda reta de um é paralela a outro.
Intersecção de Planos 2. ÂNGULOS
Se dois planos distintos tem um ponto comum
eles tem uma reta comum. Para se obter o ângulo entre re-
Então: os planos acima chamam-se secantes. tas reversas ou não; traça-se por um
ponto qualquer paralelas às duas; o
Intersecção de 3 Planos ângulo obtido é o ângulo das reversas.
Ou os três se encontram numa única reta ou
as intersecções dão paralelas, ou concorren- Definição: uma reta é perpen-
tes num único ponto. dicular a um plano quan-do fura (pé)
e é perpendicular a todas retas do
Reta x Plano plano que passam pelo pé.
Paralelos Incidentes pertencentes Teorema: uma reta é perpen-
Plano x Reta dicular a um plano quando formar ân-
Coincidentes
gulo reto com duas retas
Paralelos Secantes CONCORRENTES do plano.
(paralelos)
Teorema de Tales: Se um feixe de 3. PLANOS
planos para-lelos é cortado por duas PERPENDICULARES
transversais (paralelas ou não) então
a razão entre os segmentos de uma é
contém uma reta per-
igual à razão entre os corresponden-
pendicular a â.
tes de outra.
A recíproca é garantida pelo
Reta paralela a plano Teorema: se um plano contém uma
Definição: a intersecção é vazia perpendicular ao outro plano, esse
Teorema: uma reta é paralela a um plano se
for paralela a uma reta do plano E NÃO outro contém uma perpendicular ao
ESTIVER NELE CONTIDA. 1º.
Teorema: por uma reta não
Por um ponto fora do plano existem infinitas perpendicular a um plano só existe
retas paralelas a este plano.
Se uma reta é paralela a um plano ela é para-
um plano perpendicular ao plano da-
do.
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2. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL
I. Num ângulo poliédrico qualquer ANOTAÇÕES
face é menor que a soma das de-
mais.
II. A soma das faces é menor que 360º
Superfície poliédrica Convexa
aberta
V-A+F=1
Poliédro Convexo soma dos ângu-
Diedro: los das faces de um poliedro euleriano
Seção: qualquer ângulo óbito S=(V-2).360º
pela intersecção de um plano com o
diedro (deve encontrar a aresta) Platão
Seção reta ou ângulo reto: se
Faces
o plano for perpendicular à aresta Euleriano com P
Vértices com q ares-
(fornece a medida do diedro) tas
lados
THODI
Poliedros regulares
Convexos Faces re- Vértices regula-
gulares res côngruas
côngruas
THODI – regulares
POLIEDROS
Triedro:
As faces do triedro são ângulos. Denomina-se poliedro o sólido
O Triedro possui 3 diedros e 3 faces. limitado por polígonos planos que
têm, dois a dois, um lado comum. E-
xemplos:
Seções paralelas de um ângulo polié-
drico
São polígonos semelhantes (mesma forma)
A razão da semelhança: K=H/h
A razão entre as áreas é:
Os polígonos são denominados
faces do poliedro.
Os lados e os vértices dos polí-
gonos denominam-se, respectivamen-
te, arestas e vértices do poliedro.
1. Poliedros convexos e
não convexo
Um poliedro é dito convexo
quando o segmento de reta que une
os dois quaisquer de seus pontos este-
ja contido no poliedro. Em caso con-
trário, é não convexo.
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3. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
Hexaedro regular (cubo) ANOTAÇÕES
De acordo com o número de fa- Faces: quadrados
ces temos os seguintes poliedros:
tetraedro poliedro convexo com Octaedro regular
quatro faces
pentaedro poliedro convexo com
cinco faces
hexaedro poliedro convexo com
seis faces Faces: triângulos equilateros
heptaedro poliedro convexo com
sete faces Dodecaedro regular
octaedro poliedro convexo com
oito faces
icosaedro poliedro convexo com
vinte faces
Faces: pentágonos regulares
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo, vale a re- Icosaedro regular
lação:
V = número de vértices Faces: triângulos equiláteros
A = número de arestas
F = número de faces Chamando de:
Propriedade M = número de arestas concorrentes
em cada vértices
Num poliedro convexo, a soma dos
n = número de lados em cada face
ângulos de todas as faces é dada por:
V = número de vértices do poliedro
A = número de arestas do poliedro
F = número de faces do poliedro
Poliedros regulares ou poliedros Temos:
de Platão
Um poliedro convexo é dito re- Nome m n V A F S
gular quando as suas faces são polígo- Tetraedro 3 3 4 6 4 720º
nos regulares e congruentes, e todos
Hexaedro 3 4 8 1 6 2160
os ângulos poliédricos são congruen- 2 º
tes. Octaedro 4 3 6 1 8 1440
Há somente cinco poliedros re- 2 º
gulares, que são: Dodecaedro 3 5 2 3 1 6480
0 0 2 º
Tetraedro regular Icosaedro 5 3 1 3 2 3600
2 0 0 º
Faces: triângulos equiláteros
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4. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL
GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL 2. PIRÂMIDES g) ( )ANOTAÇÕESdivide a reta
Um ponto
em duas semi-retas.
1. PRISMAS 2.1. PIRÂMIDES REGULARES
h) ( ) O triângulo é um con-
1.1. PARALELEPÍPEDO RETO- 1. Área lateral: junto convexo.
RETÂNGULO N: número de faces
1. Cálculo da diagonal (d): : área uma face
2. Área total:
d=
2. Cálculo da superfície total
3. Volume:
(
3. Cálculo do volume (V): V = a . b . Relação fundamental: m² = h² + a²
c
1.2. CUBO
1. Diagonal:
2. Área total: 2.2. TETRAEDRO REGULAR
3. Volume: V= a³
1. Altura:
2. Área total:
3. Volume:
1.3. PRISMA REGULAR
1. Área lateral:
N: número de faces
área de uma face
2. Área total:
B: área da base EXERCÍCIOS
3. Volume: V = B . h
1. Assinale como verdadeiro (V) ou falso
(F) nas sentenças abaixo:
a) ( ) O ponto tem dimensão.
b) ( ) A reta não tem espessura.
c) ( ) Numa reta existem tantos pon-
tos quantos quisermos.
d) ( ) Por um ponto P existe uma úni-
ca reta passando por ele.
e) ( ) Fora de um plano existem infi-
nitos pontos.
f) ( ) Um ponto divide o plano em
dois semiplanos.
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5. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
( ) Todo quadrilátero é sempre a) ( ) Uma reta e um plano que têm ANOTAÇÕES
um conjunto convexo. um único ponto em comum são parale-
las.
i) ( ) Um segmento é um conjunto
b) ( ) Se uma reta é paralela a um
convexo. plano, então ela é paralela a uma reta
do plano.
j) ( ) O plano tem dimensões. c) ( ) Se uma reta é paralela a um
plano, ela é reversa a todas as retas
k) ( ) Todo plano contém, no mínimo, deste plano.
três pontos alinhados. d) ( ) Se uma reta é paralela a um
plano, então existe no plano uma reta
l) ( ) Dois planos secantes têm em concorrente com a reta dada.
comum duas retas distintas.
6. Quais as posições relativas entre r e s,
se :
2. Marque verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) A circunferência é um conjunto a) á // r e s á;
convexo. b) r áes á;
b) ( ) O circulo é um conjunto conve- c) á r = {P} e s á
xo.
c) ( ) Duas retas distintas sempre di- 7. Dê o nome de cada posição entre r e s
videm o plano em três regiões conve- nos casos:
xas. a)
d) ( ) Se dois pontos pertencem a se-
miplanos opostos, então o segmento
entre eles intercepta a origem.
e) ( ) Existe um único plano que con-
tém um triângulo dado no espaço.
f) ( ) Três pontos distintos não coli-
neares determinam um plano.
g) ( ) Três pontos distintos determi- b)
nam um plano.
h) ( ) Dado um ponto P, existe uma
única reta que possui.
i) ( ) Três pontos num plano são coli-
neares.
j) ( ) Os vértices de um triângulo de-
terminam um plano.
c)
3. Por que uma mesa com três pernas as-
senta perfeitamente em qualquer tipo
de chão? E as de quatro pernas nem
sempre, por quê?
4. Assinale verdadeiro (V) ou falso(F):
d)
a) ( ) Se a intersecção de duas retas é
o vazio, então elas são paralelas.
b) ( ) Duas retas distintas e não para-
lelas são reversas.
c) ( ) Se duas retas não são coplana-
res, então elas são reversas.
d) ( ) duas retas coplanares são para-
lelas ou concorrentes.
e)
e) ( ) é condição necessá-
ria para que r e s sejam paralelas.
f) ( ) Duas retas que formam um ân-
gulo reto são ortogonais ou perpendi-
culares.
g) ( ) Duas retas distintas são sempre
coplanares.
5. Classifique como verdadeiro (V) ou fal- 8. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
so (F):
a) ( ) Duas retas no espaço são para-
lelas ou congruentes.
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6. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL
b) ( ) se duas retas estão no mesmo d) Ou um ponto, ou um segmento, ou um ANOTAÇÕES
plano, então elas são reversas. triângulo, ou um quadrângulo.
c) ( ) duas retas reversas que formam e) Ou um ponto, ou um segmento, ou um
um ângulo reto são ortogonais. triângulo, ou um quadrângulo, ou va-
d) ( ) Se a intersecção de duas retas é zio.
o vazio, então elas são reversas.
e) ( )r é condição necessá- 13. e s//α. Quais as possíveis po-
ria para que r e s sejam paralelas. sições de r e s?
f) ( ) duas retas que formam um ân-
gulo reto são ortogonais ou perpendi-
14. . Quais as possí-
culares.
veis posições entre r e s?
g) ( ) Duas retas reversas podem ser
obliquas.
15. Classifique em verdadeiro (V) ou falso
h) ( ) Se duas retas formam um ângu- (F):
lo reto e uma terceira é paralela a
uma delas, então essa terceira reta
a) ( ) Dois planos paralelos distintos
forma ângulo reto com a outra.
têm um ponto em comum.
i) ( ) Duas retas não reversas são co-
planares.
b) ( ) Se dois planos são paralelos e
distintos, então toda reta de um deles
j) ( ) Duas retas coplanares e distin- é paralela ao outro.
tas são paralelas.
c) ( ) Dois planos que têm uma única
k) ( ) Duas retas coplanares e distin- reta comum são secantes.
tas são paralelas.
d) ( ) Se dois planos são secantes, en-
tão qualquer reta de um deles é con-
9. (MACK) a reta r paralela ao plano α corrente a do outro.
são paralelas a r.
e) ( ) Se dois planos são secantes, en-
tão a reta de um deles pode ser con-
a) Todas as retas de á são paralelas a r. corrente com outro.
b) A reta r não pode ser coplanar com
nenhuma reta em á.
16. Quais as posições relativas entre r e s,
c) Existem em á retas paralelas a r e, se:
também, existem em á retas reversas
a r.
a) á//â; r áes â
d) Existem em á retas paralelas a r e re-
tas perpendiculares a r. b) á â = {i}; r âes â
e) Todo plano que contem r é paralelo a
á. 17. (PUC) Qual das afirmações é verda-
deira?
10. (MACK) r e r’ são retas reversas. O
número de planos paralelos a r que a) Se duas retas concorrentes de um pla-
podem passar por r’ é: no são respectivamente paralelas a
duas retas do outro plano, então esses
a) Um. planos são paralelos.
b) Dois. b) Por uma reta dada pode-se conduzir
c) Infinitos. um plano paralelo a um plano dado.
d) Nenhum. c) Por qualquer ponto é possível conduzir
uma reta que se apóia em duas retas
e) N.d.a.
reversas dadas.
d) Se uma reta é paralela a dois planos,
11. (MACK) Se r e s são duas retas parale-
então esses planos são paralelos.
las a um plano α, então:
e) Existem planos reversos.
a) r//s.
18. Assinale verdadeiro (V) ou falso(F):
b) r s.
c) r e s são concorrentes. a) ( ) Se dois planos são paralelos dis-
d) R e s são reversas. tintos, toda reta de um é paralela ao
e) Nada se pode concluir. outro.
b) ( ) Se dois planos possuem um pon-
12. (USP – SÃO CARLOS) São dados um to em comum, então eles possuem in-
tetraedro e um plano no espaço. A in- finitos pontos comuns.
tersecção dos dois será: c) ( ) Se dois planos são paralelos, to-
da reta que é secante com u deles será
a) um triângulo. secante com outro.
b) Ou um ponto, ou um segmento, ou um
triângulo, ou vazio. 19. (CESCEM) Uma condição necessária e
c) Ou um triângulo ou um quadrângulo. suficiente para que dois pontos sejam
paralelos é que :
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7. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
a) Uma reta de um seja paralela ao ou- ANOTAÇÕES
tro. 24. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):
b) Duas retas de um seja paralela ao ou-
tro. a) ( ) Se dois planos são secantes, e-
c) Duas retas paralelas de um sejam pa- les são perpendiculares.
ralelas ao outro. b) ( ) Se dois planos são perpendicula-
d) Toda reta de um seja paralela a qual- res, eles são secantes.
quer reta do outro. c) ( ) Se dois planos são perpendicula-
e) Um deles contenha retas concorrentes, res, então toda reta de um deles é
paralelas ao outro. perpendicular ao outro.
d) ( ) Se uma reta é perpendicular a
20. (PUC) Qual das propor-sições abaixo é um plano, por ela passam infinitos
falsa? planos perpendiculares ao primeiro.
e) ( ) Dois planos perpendiculares a
a) As intersecções de dois planos parale- um terceiro são perpendiculares entre
los, com um terceiro plano, são retas si.
paralelas.
b) Se dois planos distintos são paralelos, 25. Considere um quadrado ABCD contido
toda reta contida em um deles é para- no plano α,o segmento VA perpendicu-
lela ao outro plano. lar a α e os segmentos VB,VC,VD.
c) Um plano â, paralelo a outro plano á
por um ponto A á, é único.
d) Dois planos distintos paralelos a um
terceiro são paralelos entre si.
e) Se dois planos são paralelos, toda reta
paralela a um deles é paralela a outro.
21. Um plano α contem duas retas r e s
concorrentes em A. Existe fora de α um
ponto P. Qual é a intersecção dos pla-
nos β = (Pr) e = (Os)?
Assinale (V) verdadeiro ou (F) falso:
22. Assinale verdadeiro(V) ou falso(F):
a) ( ) VA AB.
a) ( ) Uma reta é perpendi-cular a um b) ( ) VA AD.
plano, quando é perpendicular a uma
reta do plano.
c) ( ) VA BC.
b) ( ) Uma reta é perpendi-cular a um d) ( ) VA CD.
plano, quando é perpendicular a duas e) ( ) VBA = 90º
retas distintas do plano. f) ( ) VBC = 90º
c) ( ) Uma reta é perpendicular a um g) ( ) VDC = 90º
plano, quando é perpendicular a todas
as retas do plano. 26. (POLI) Seja P o pé da reta r perpendi-
d) ( ) Se r á, então r forma ângulo cular a um plano β e s uma reta de β
de 90º com todas as retas de á. que não passa por P. Traçando-se por
P uma perpendicular a s, esta encon-
tra s em um ponto Q. se A é um ponto
23. (FUVEST) O segmento é um diâ- qualquer de r, diga: qual é o ângulo de
metro de uma circunferência e C um AQ com s? Justifique.
ponto dela, distinto de A e B.A reta
, V ≠ A, é perpendicular ao plano 27. (FUVEST) Dada uma circunferência de
da circunferência. O número de faces diâmetro , levanta-se por A um
do sólido VABC, que são triângulos re-
tângulos, é: segmento perpendicular ao plano
da circunferência e une-se P a um
ponto C qualquer da circunferência, C
distinto de B.
a) Prove que as retas BC e PC são
perpendiculares.
b) Sabendo que AB = AP = 8 e que C
a) 0 é o ponto médio do arco AB, de-
b) 1 termine a medida do ângulo CPB.
c) 2
d) 3 28. (FUVEST) São dados cinco pontos não
e) 4 coplanares A, B, C, D e E. Sabe-se que
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8. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL
ABCD é um retângulo . AE AB e AE 36. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é ANOTAÇÕES
AD.Pode-se concluir que são perpendicu- formado por 80 faces triangulares e 12
lares as retas. pentagonais. O número de vértices do
a) EA e EB. poliedro é:
b) EB e BA.
c) EA e AC 37. (Acafe) Um poliedro convexo tem 15
d) EC e CA faces triangulares, 1 face quadrangu-
lar, 7 faces pentagonais e 2 faces he-
e) AC e BE xagonais. O número de vértices desse
poliedro é:
29. (PUC) São dadas as proposições: a) 25
I. Uma reta é perpendicular a um plano
quando ela é perpendicular a todas as
b) 48
retas desse plano. c) 73
II. Se um plano é perpendicular a outro, d) 96
então ele é perpendicular a qualquer e) 71
reta desse outro.
III. Se dois planos distintos são paralelos, 38. (PUUC-SP) O “cubo octaedro” é um
então toda reta de um é paralela ao poliedro que possui 6 faces quadrangu-
outro. lares e 8 triangulares. O número de
È correto afirmar-se que: vértices desse poliedro é:
a) I, II e III são verdadeiras. a) 12
b) I, II e III são falsas. b) 16
c) Apenas II é verdadeira. c) 10
d) Apenas III é verdadeira. d) 14
e) Apenas II e III são verdadeiras. e) n.d.a.
30. Um poliedro convexo tem 8 vértices e 39. (UEPG-PR) Um poliedro convexo pos-
12 arestas. Quantas são suas faces? sui 2 faces triangulares e 4 pentago-
nais. Sobre ela se afirma:
31. U poliedro convexo tem 20 arestas e I. O número de arestas excede o número
12 faces. Determine: de vértices em cinco unidades.
a) O número de vértices; II. A soma dos ângulos das faces é igual a
b) A soma dos ângulos da face. 28 retos.
III. O número de vértice é 9.
IV. O número de arestas é 12.
32. Num poliedro convexo, o número de
Estão corretas as afirmativas:
vértices é igual ao das faces. Tenho 30
a) I, II e III
arestas, determine a soma dos ângulos
b) II e III
das faces desse poliedro.
c) II, III e IV
d) I e II
33. (PUC) O número de vértices de um e) Todas as afirmativas estão corretas.
poliedro convexo, que possui 12 faces
triangulares, é:
40. (UC-RS) Se a soma dos ângulos das fa-
a) 4
ces de um poliedro regular é 1440º,
b) 12 então o número de vértices desse poli-
c) 10 edro é:
d) 6 a) 12
e) 8 b) 8
c) 6
34. (UFPA) Um poliedro convexo tem 6 d) 20
faces e 8 vértices. O número de ares- e) 4
tas é:
a) 6
41. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, nu-
b) 8 ma de suas explorações u cristal de
c) 10 rocha no formato de um poliedro, que
d) 12 satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
e) 14 triangu-lares. O número de vértices
desde cristal é igual a:
35. (PUC-SP) O número de vértices de um
poliedro convexo que possui 12 faces a) 35
triangulares é: b) 34
c) 33
a) 4 d) 32
b) 12 e) 31
c) 10
d) 6
e) 8
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9. GEOMETRIA ESPACIAL MATEMÁTICA – Jorge Oliveira
42. (FUVEST) O número de faces triangu- ta VA, V ≠ A, é perpendicular ao plano ANOTAÇÕES
lares de uma pirâmide é 11. Pode-se, da circunferência. O número de faces
então, afirmar que esta pirâmide pos- do tetraedro VABC que são triângulos
sui: retângulos é:
a) 0
a) 33 vértices e 22 arestas. b) 1
b) 12 vértices e 11 arestas. c) 2
c) 22 vértices e 11 arestas. d) 3
d) 11 vértices e 22 arestas. e) 4
e) 12 vértices e 22 arestas.
48. Calcule o número de diagonais do ico-
43. (MACK) Considere uma pirâmide cuja saedro regular.
base é um polígono convexo. Se a so-
ma das medidas dos ângulos internos
49. (FUVEST) O volume de um paralele-
de todas as suas faces é 3600º, o nú- pípedo reto-retângulo é de 240cm³. As
mero de lados da base dessa pirâmide
áreas de duas de suas faces são 30cm²
é igual a: e 48cm². A área total do paralelepípe-
do, em cm², é:
a) 11
a) 96
b) 12
b) 118
c) 9 c) 236
d) 10 d) 240
e) 8 e) 472
44. (MACK) Um poliedro convexo tem 15 50. (PUC) Um cubo tem área total igual a
faces. De dois de seus vértices partem 72m². sua diagonal mede:
5 arestas, de quatro outros partem 4
arestas e dos restantes partem 3 ares- a) 2 m
tas. O número de arestas do poliedro b) 6m
é: c) m
a) 75 d) m
b) 53 e) m
c) 31
d) 45 51. (UESB-BA) Diminuindo-se de 1 unida-
e) 25 de de compri-mento a aresta de um
cubo, o seu volume diminui 61 unida-
45. (PUC) Quantas diagonais possui um des de volume. A área total desse cu-
prisma pentagonal? bo, em unidades de área, é igual a:
a) 75
a) 5 b) 96
b) 10 c) 150
c) 15 d) 294
d) 18 e) 600
e) 24
52. (FAAP) Em um prisma triangular regu-
46. (UNESP) A sentença falsa a respeito lar a altura mede m e a área late-
da perpendiculari-dade é: ral é o quádruplo da área da base.
Calcule o volume do prisma.
a) Se uma reta é perpendicular a duas re-
tas concorrentes de um plano, então é 53. (PUC) Um prisma reto é tal que sua
perpendicular a esse plano. base é um triângulo equilátero, cujo
b) Existem 4 retas passando por um pon-
to, tais que sejam perpendiculares du- lado mede cm e o seu volume é
as a duas. igual ao volume de um cubo de aresta
c) Se uma reta é perpendicular a um pla- medindo cm. A área total desse
no, existem infinitas retas desse plano prisma, em centímetros quadrados, é:
perpendicular a ela.
d) Retas distintas perpendiculares ao a)
mesmo plano são paralelas. b)
e) Dados uma reta e um ponto, podemos c)
passar um e apenas um plano perpen- d)
dicular à reta e passando pelo ponto.
e)
47. (FUVEST) O segmento AB é um diâ-
metro de uma circunferência e C um
ponto dela, distinto de A e de B. A re-
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10. MATEMÁTICA – Jorge Oliveira GEOMETRIA ESPACIAL
54. (MACK) Um paralelepípedo retângulo ANOTAÇÕES
tem 142cm² de área total e a soma dos
comprimentos de suas arestas vale
60cm. Sabendo que os seus lados estão
em progressão aritmética, eles valem
(em cm):
a) 2, 5, 8.
b) 1, 5, 9.
c) 12, 20, 28.
d) 4, 6, 8.
e) 3, 5, 7.
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