SlideShare uma empresa Scribd logo
1




                                         MATEMÁTICA
                                         3A SÉRIE - E. MÉDIO




              Prof. Rogério Rodrigues




               O TEOREMA DE TALES

NOME : ...............................................................
NÚMERO : ............. TURMA : ............
2




              VI - O TEOREMA DE TALES

VI . 1) “ Tudo é água “
           Do último terço do séc. VII à primeira metade do séc. VI
        a.C. , viveu na Grécia o matemático e filósofo Tales , nasci-
        do em Mileto (hoje pertencente à Turquia) . Trata-se do mais
        antigo sábio grego conhecido e atribui-se a ele a previsão do
        eclípse solar ocorrido em 585 a.C. além da primeira unida-
        de de medida do tempo , chamada gnômon . Tales era comer-
        ciante abastado e viajou por longos períodos pela Babilônia e
        Egito , assimilando todo o conhecimento matemático e astronô-
        mico dessas culturas . Parece que o teorema que agora estudare-
        mos , atribuído a ele , já era conhecido pelos Egípcios e Babilô-
        nios , mas foi Tales quem o demonstrou formalmente , assim
        como fez com alguns outros teoremas conhecidos até então ou
        descobertos por ele . A matemática desenvolvida pelas culturas
        anteriores a Tales não era dedutiva e nem organizada como a te-
        mos hoje , era extremamente dificultada pela falta de linguagem
        e de princípios estruturais . Foi Tales o primeiro matemático a
        se preocupar com as provas e generalizações dos teoremas, nas-
        cendo assim a matemática dedutiva . A cosmologia de Tales , na
        qual a água é o princípio e origem do universo , foi uma das
         primeiras pesquisas da Natureza realizada pelos jônios .

VI . 2) O Teorema de Tales :
           Em linguagem moderna esse teorema é assim enunciado :

        Um feixe de retas paralelas determina sobre transversais
        segmentos proporcionais .
            Veja a figura a seguir :
                         u       v

                                                 r
                         a              c
                                                 s
                     b                      d
                                                     t

        Na figura acima , r // s // t e os segmentos determinados pelas
        transversais u e v têm medidas a , b , c e d . Então
                   a c     a   c      b   d
                    =  ou    =    ou    =    ou ...
                   b d    a+b c+d    a+b c+d
3




       Exercícios Resolvidos :
       1) Na figura a seguir , AB = 3 cm , BC = 5 cm e DF = 4 cm .
          Calcule as medidas dos segmentos DE e EF , sabendo que
          r // s // t .

                              A       D         r

                          B           E         s


                  C                   F         t


                                                  AB      DE
            Pelo Teorema de Tales , temos              =        , ou seja ,
                                                AB + BC DE + EF
             3     DE                 3
                 =      . Então , DE = cm e , como DE + EF = 4 , temos
            3+5      4                2
                   5
            EF =      cm .
                   2
        2) Na figura , r // s // t , AM – AN = 1 cm , MN = 4 cm , NC =
           = 6 cm e MB = 9 cm . Calcule o perímetro do triângulo
           AMN .
                                 A
                                                     r

                              N           M
                                                              s

                      C                             B             t

            Se designarmos AN = x , teremos AM = x + 1 e , pelo Teorema de
                    AN AM          x x +1
            Tales ,     =     ou      =     e x = 2 cm . Então , AN = 2 cm
                    NC MB          6     9
            e AM = 3 cm . Como MN = 4 cm , temos que o perímetro do triân –
            gulo AMN é 2cm + 3 cm + 4 cm = 9 cm .

VI . 3) Conseqüências do Teorema de Tales :
        a) O exercício resolvido anterior ( no 2) veio antecipar uma
           conseqüência importante do Teorema de Tales :
                 Uma reta paralela a um dos lados de um triân –
                 gulo e que intercepta os outros lados (ou seus
                 prolongamentos) em pontos distintos , determi-
                 na sobre eles segmentos proporcionais
4




Veja os casos possíveis :

→ A reta intercepta os próprios lados do triângulo :
             A          r
                                                                r // s // t
            N          M           s
                                                            AN   AM
                                                               =
                                                            NC   MB
      C                            B       t

→ A reta não têm pontos comuns com o triângulo :
             A
                          r
                                                                r // s // t


                                                            AC   AB
        C                          B                           =
                                                            CE   BD
                                                   s

                                                   t
    E                                          D

Exercício Resolvido :
Um triângulo ABC tem os lados AC = 24 cm e BC = 20 cm .
Sobre o lado AC , a 6 cm do vértice C , tomamos um ponto M .
Determine a distância de um ponto N situado sobre o lado BC ,
até o vértice C , de maneira que o segmento MN seja paralelo ao
lado AB .

Considere a figura a seguir :

                                   C
                               x       6
                           N                   M

                 20 – x                                18


                   B                                        A

Pela conseqüência vista do Teorema de Tales , teremos então :
   x       6
        =     ou seja , 18x = 120 – 6x ⇒ 24x = 120 e x = 5 cm , que
20 − x    18
é a medida da distância pedida .
5




 b) O Teorema da Bissetriz Interna é outra conseqüência
    importante do Teorema de Tales . Veja o enunciado :

       A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto
       em segmentos proporcionais aos seus lados adjacentes
       no triângulo .


      Considere a figura :
                         A

                                 



                C         P               B
      Seja o segmento AP a bissetriz interna relativa ao vértice
      A do triângulo ABC . Então temos :

                           PC   PB
                              =
                           AC   AB




Exercícios Resolvidos :
1) Demonstrar o teorema enunciado anteriormente .

Considere a figura a seguir :
                                           Q

                                       
                                 =
                            A

                               =
                                           

                 C                              B
                               P
Traçando , por B , o segmento paralelo à bissetriz interna AP que encon –
trará o prolongamento do lado AC no ponto Q , teremos :
→ O ângulo ABQ congruente ao ângulo PAB (alternos internos) (I) ;
→ O ângulo CAP congruente ao ângulo AQB (correspondentes) (II) ;
→ Por (I) e (II) , o triângulo AQB é isósceles , AQ = AB .
6




Então , pelo Teorema de Tales , teremos :
 PC      AC                                        PC PB
     =        e , trocando de lado alguns termos ,   =   e , como
 PB      AQ                                        AC AQ
                                 PC PB
AQ = AB , temos , finalmente         =      .
                                 AC AB

2) Na figura abaixo , determine os valores de x e y , sabendo
   que o perímetro do triângulo ABC é 25 cm , AC = 8 cm ,
   AB = 12 cm e CÂM = BÂM .
                                  A




                          x           y
                   C                        B
                                  M
                                                  x y
   Pelo Teorema da Bissetriz interna , temos que    =     = k , uma
                                                  8 12
   constante . Como o perímetro do triângulo ABC é 25 cm , temos
   que x + y = 5 cm . Então , x = 8k , y = 12k e x + y = 20k = 5 ⇒
           1                        1                      1
    ⇒ k=       . Logo , x = 8k = 8.   = 2 cm e y = 12 .      = 3 cm .
           4                        4                      4
c) Teorema da Bissetriz Externa :
    Outra importante conseqüência do Teorema de Tales é
   semelhante ao teorema anteriormente enunciado :

     No triângulo , a bissetriz de um ângulo externo determi-
     na no lado oposto ao vértice do ângulo segmentos propor-
     cionais aos lados adjacentes do triângulo .


    Observe a figura :
                              F
                   A      =
                          =



      B                       C                            D

                                           CD   BD
            Se CÂD = DÂF , tem –se            =
                                           AC   AB
7


Exercícios Resolvidos :

1) Demonstrar o Teorema da bissetriz externa .
   Considere a figura seguinte :




    Conduzindo por C uma paralela EC , temos :
    → ângulo 2 = ângulo 3 (correspondentes)
    → ângulo 1 = ângulo 4 (alternos internos)
    Como ângulo 1 = ângulo 2 , pois AD é bissetriz externa , temos que
    ângulo 3 = ângulo 4 e o triângulo ACE é isósceles , ou seja AE = AC = b .
                                                     x c
    Como AD // CE , temos , pelo Teorema de Tales = ou , ainda ,
                                                     y b
     x y                         CD     BD
      =    que é o mesmo que         =      .
     c b                         AC     AB

 2) Os lados de um triângulo medem 5 cm , 6 cm e 7 cm . De quanto é
    preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do
    ângulo externo oposto ?
   Considere a figura que se segue :

                         A   =
                              =                                           D

                     7             6                x

                                       B
                             5
                    C
     Seja AB = 6 cm , BC = 5 cm (o menor lado) , AC = 7 cm e AD a bissetriz
                                                   x    x+5
     externa de  . Pelo Teorema enunciado , temos   =       ⇒ 7x = 6x + 30,
                                                   6      7
     ou seja , x = 30 cm .
8


Exercícios Propostos :

1) Em cada figura a seguir , calcule as medidas assinaladas por x e/ou
   y ( em cm ) :
     a) r // s // t // u                   b) r // s // t

                                                                     r           s           t
       r                2                4
       s                                                                                 3
                    3                        x                               5
       t
                                                                         x
                4                                y
                                                                                         4
       u


       c) r // s // t , AC = x                                    d) r // s // t
                                                                      r     s                t
                                                                                     6
           r        s                t                                   4
                                         C
               15
           A

               12           15                                           3
                                                                                     y




2) Um feixe de paralelas r,s e t é cortado pelas transversais u e v , de mo-
   do que u ∩ r = A , u ∩ s = B , u ∩ t = C , v ∩ r = D , v ∩ s = E e
   v ∩ t = F . Se AB = 3 cm , BC = x , DE = y , EF = 24 cm e x + y = 17
   cm , calcule , em cm , as medidas x e y .
3) Um feixe de 3 retas paralelas determina , sobre uma transversal , os
   pontos M , N e O e , sobre outra transversal , os pontos M’ , N’ e O’.
   Sabendo-se que MN = 3 cm , NO = 2 cm e M’O’= 10 cm , calcule a
   diferença M’N’ - N’O’ .
4) Um feixe de 4 retas paralelas determina , sobre uma transversal , três
   segmentos que medem 5 dm , y dm e 11 dm e , sobre outra transver –
   sal , segmentos que medem 10 dm , 14 dm e x dm . Calcule a soma
   x+y.
5) Na figura , a // b // c e x + y = 45 cm . Calcule a diferença y – x .


                                 a
                                                     14   x

                                     b
                                         16                   y

                                 c
9




6) Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal
   dois segmentos AB e BC medindo , respectivamente , 7 cm e 9 cm .
   Sabe-se que este mesmo feixe determina , sobre outra transversal ,
                                                                        AB
   dois segmentos PQ e QR , sendo PR = 32 cm . Calcule a razão             .
                                                                        PQ
7) Nas figuras a seguir , r , s e t são paralelas . Determine os valores de
   xey.
                                                                       r
   a)      r                                  b)                4
               4          x
          s                                          2x + 3          s
               6          5                                         7
           t                                       5x - 1                 t



   c)                                 r
                              5
               3                      s
                          x
                      2
                                  y
                     6                    t



8) Na figura , os ângulos em A , B e C são retos . Calcule x .




9) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma transversal três
   segmentos que medem 5 cm ,6 cm e 9 cm , respectivamente . Deter-
   minar as medidas dos segmentos que este mesmo feixe determina so-
   bre outra transversal , sabendo o segmento compreendido entre a pri-
   meira e a quarta paralela mede 60 cm .
10) Um feixe de cinco retas paralelas determina sobre uma transversal
    quatro segmento que medem , respectivamente , 5 cm , 8 cm , 11 cm
    e 16 cm . Calcular as medidas dos segmentos que este mesmo feixe
    determina sobre outra transversal , sabendo que o segmento compre-
    endido entre as paralelas estremas mede 60 cm .
10




11) (MAPOFEI – SP) – Três terrenos têm frente para a rua “A” e para
    a rua “B” , como na figura . As divisas laterais são perpendiculares
    à rua “A” . Qual é a medida de frente para a rua “B” de cada lote ,
    sabendo que a frente total para essa rua é de 180 m ?



                Rua “B”


                Rua “A”
                            40 m       30 m      20 m

12) Num triângulo ABC , o ponto S pertence ao lado BC , BS = 4 , CS =
    = 8 , AC = 40 e BÂS = CÂS . Calcule a medida do lado AB .
13) Na figura , o segmento AS é bissetriz interna do ângulo  . Calcule o
    valor de x .

                                 A

                          x+9               2x


                            24         30
                      B                             C
                                   S
14) No triângulo ABC , o segmento BS é a bissetriz interna relativa ao
   ângulo de vértice B , AB = 12 , BC = 15 e AC = 9 . Calcule as me –
   didas AS e CS .
15) No triângulo ABC , AB = 3 , BC = 4 , AC = 2 . Em quanto se deve
    prolongar o lado BC , para que a bissetriz externa do ângulo de vér-
    tice A o intercepte no ponto D ?
16) (MAPOFEI – SP) – O perímetro de um triângulo ABC é 100 m . A
    bissetriz interna do ângulo  divide o lado oposto BC em dois seg –
    mentos de 16 cm e 24 cm . Determinar as medidas dos lados desse
    triângulo .
17) Os lados de um triângulo medem 8 cm , 10 cm e 12 cm . De quanto é
    preciso prolongar o menor lado para que ele encontre a bissetriz do
    ângulo externo oposto a este lado ?
18) Consideremos um triângulo ABC de 15 cm de perímetro . A bissetriz
    externa do ângulo  desse triângulo encontra o prolongamento do
    lado BC em um ponto S .Sabendo que a bissetriz interna de  deter-
    mina sobre o lado BC dois segmento BP = 3 cm e PC = 2 cm , deter-
    mine as medidas dos lado do triângulo e a medida do segmento CS .
11




19) (U.F.MG) – Na figura , os segmentos BC e DE são paralelos , AB =
    = 15 m , AD = 5 m e AE = 6 m . Calcule CE .
                                    A



                                D               E


                        B                               C


20) (CESGRANRIO) – No triângulo ABC da figura , CD é a bissetriz
    do ângulo interno em C . Se AD = 3 cm , DB = 2 cm e AC = 4 cm ,
    quanto mede o lado BC ?
                                      C




                    A               D       B

21) Na figura , AB = 12 , AC = 16 , BC = 20 e BL = 9 . Se os segmentos
    LM e NC são paralelos assim como LN e MC também são , calcule
    o perímetro do paralelogramo LMCN .




22) Na figura , AB = 8 , AC = 6 , BC = 4 e BÂD = CÂD . Calcule a
    diferença x – y .

                                            A




                                    x               y
                            B           D               C
12


23) Na figura , DE é paralelo a BC e AM é bissetriz interna do triângu-
    lo ABC . Calcule a soma x + y .

                                        A
                                    6       x


                            D                       E
                        2                               5

                                6               y
                    B                   M                   C

24) Dado o triângulo ABC , onde M é o ponto médio do lado AB e N
    pertence ao lado AC , use o Teorema de Tales para mostrar que ,
    se o segmento MN é paralelo ao lado BC , então N é ponto médio
    do lado AC .

**********************************************************
Respostas dos Exercícios Propostos :
1) a) x = 6 cm e y = 8 cm b) x = 20/3 cm c) x = 135/4 cm
   d) y = 4,5 cm 2) x = 8 cm e y = 9 cm 3) 2 cm 4) 29 dm
5) 3 cm 6) 1/2 7) a) x = 10/3 b) x = 25/6 c) x = 10/3 e y = 18/5
8) x = 24 9) 15 cm , 18 cm e 27 cm 10) 7,5 cm , 12 cm , 16,5 cm e 24
cm 11) 80 cm , 60 cm e 40 cm 12) 20 13) 15 14) AS = 4 e CS =5
15) 8 16) 24 cm , 36 cm e 40 cm 17) 40 cm 18) AB = 6 cm , BC = 5
cm , AC = 4 cm e CS = 10 cm 19) 12 cm 20) 8/3 cm 21) 34 22) 4/7
23) 30 .

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Numeros racionais
Numeros racionaisNumeros racionais
Numeros racionais
Rosana.Parolisi
 
Soma dos ângulos internos de um triângulo gabarito
Soma dos ângulos internos de um triângulo gabaritoSoma dos ângulos internos de um triângulo gabarito
Soma dos ângulos internos de um triângulo gabarito
CIEP 456 - E.M. Milcah de Sousa
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
Letinha47
 
Arranjo simples
Arranjo simplesArranjo simples
Arranjo simples
Joyce Micielle
 
Equacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grauEquacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grau
estrelaeia
 
Funcao Exponencial 1
Funcao Exponencial 1Funcao Exponencial 1
Funcao Exponencial 1
tioheraclito
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
Rodrigo Carvalho
 
Função.quadratica
Função.quadraticaFunção.quadratica
Função.quadratica
vaniaphcristina
 
Geometria plana
Geometria planaGeometria plana
Geometria plana
Herlan Ribeiro de Souza
 
Relações Métricas No Triângulo Retângulo
Relações Métricas No Triângulo RetânguloRelações Métricas No Triângulo Retângulo
Relações Métricas No Triângulo Retângulo
Lilene Alvarenga
 
1 ano função afim
1 ano   função afim1 ano   função afim
1 ano função afim
Ariosvaldo Carvalho
 
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) iMat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
trigono_metrico
 
Mat exercicios equacao do segundo grau parte i
Mat exercicios equacao do segundo grau   parte iMat exercicios equacao do segundo grau   parte i
Mat exercicios equacao do segundo grau parte i
trigono_metria
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
slidericardinho
 
Trigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferênciaTrigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferência
Pedro Henrique Drehmer
 
Teorema de Tales
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema de Tales
Luciane Antoniolli
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
Jean Silveira
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
neliosnahum
 
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeListão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Andréia Rodrigues
 
Perímetro e área do circulo
Perímetro e área do circuloPerímetro e área do circulo
Perímetro e área do circulo
Abel Mondlane
 

Mais procurados (20)

Numeros racionais
Numeros racionaisNumeros racionais
Numeros racionais
 
Soma dos ângulos internos de um triângulo gabarito
Soma dos ângulos internos de um triângulo gabaritoSoma dos ângulos internos de um triângulo gabarito
Soma dos ângulos internos de um triângulo gabarito
 
Porcentagem
PorcentagemPorcentagem
Porcentagem
 
Arranjo simples
Arranjo simplesArranjo simples
Arranjo simples
 
Equacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grauEquacoes do 1 grau
Equacoes do 1 grau
 
Funcao Exponencial 1
Funcao Exponencial 1Funcao Exponencial 1
Funcao Exponencial 1
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
 
Função.quadratica
Função.quadraticaFunção.quadratica
Função.quadratica
 
Geometria plana
Geometria planaGeometria plana
Geometria plana
 
Relações Métricas No Triângulo Retângulo
Relações Métricas No Triângulo RetânguloRelações Métricas No Triângulo Retângulo
Relações Métricas No Triângulo Retângulo
 
1 ano função afim
1 ano   função afim1 ano   função afim
1 ano função afim
 
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) iMat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
 
Mat exercicios equacao do segundo grau parte i
Mat exercicios equacao do segundo grau   parte iMat exercicios equacao do segundo grau   parte i
Mat exercicios equacao do segundo grau parte i
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
 
Trigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferênciaTrigonometria na circunferência
Trigonometria na circunferência
 
Teorema de Tales
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema de Tales
 
Exercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2pExercícios função de 2° grau 2p
Exercícios função de 2° grau 2p
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e ProbabilidadeListão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
Listão 9º ano - Função de 1º e 2º grau e Probabilidade
 
Perímetro e área do circulo
Perímetro e área do circuloPerímetro e área do circulo
Perímetro e área do circulo
 

Destaque

Teorema de tales e situações problemas.docx gabarito
Teorema de tales e situações problemas.docx gabaritoTeorema de tales e situações problemas.docx gabarito
Teorema de tales e situações problemas.docx gabarito
CIEP 456 - E.M. Milcah de Sousa
 
Lista de-exercicios-9c2bas-anos
Lista de-exercicios-9c2bas-anosLista de-exercicios-9c2bas-anos
Lista de-exercicios-9c2bas-anos
cleicia
 
TEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOS
TEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOSTEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOS
TEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOS
P Valter De Almeida Gomes
 
Atividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de talesAtividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de tales
Karen Paz
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
trigono_metrico
 
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica planaMatemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
evandrovv
 
Bissetriz interna ppt
Bissetriz interna pptBissetriz interna ppt
Bissetriz interna ppt
Marcela Magri
 
Equação de 2º grau
Equação de 2º grauEquação de 2º grau
Equação de 2º grau
Agapito Ribeiro Junior
 
Lista de Exercícios - Teorema de Tales
Lista de Exercícios - Teorema de TalesLista de Exercícios - Teorema de Tales
Lista de Exercícios - Teorema de Tales
Everton Moraes
 
Matemática básica equações e inequações resolvidas
Matemática básica   equações e inequações resolvidasMatemática básica   equações e inequações resolvidas
Matemática básica equações e inequações resolvidas
Afonso Celso Siqueira Silva
 
Apostila geometria
Apostila geometriaApostila geometria
Apostila geometria
Tiago Santana
 
Resoluções das Provas do Enem
Resoluções das Provas do EnemResoluções das Provas do Enem
Resoluções das Provas do Enem
Kassio Silva
 
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triânguloMediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
QuedimaSCAraujo
 
Teorema de Tales
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema de Tales
Marcela Miranda
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
Marcela Magri
 
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
Neil Azevedo
 
Exercicios de-semlhanca-e-teorema-de-tales
Exercicios de-semlhanca-e-teorema-de-talesExercicios de-semlhanca-e-teorema-de-tales
Exercicios de-semlhanca-e-teorema-de-tales
cleicia
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
Jose Donisete
 
Relações métricas do triângulo retângulo
Relações métricas do triângulo retânguloRelações métricas do triângulo retângulo
Relações métricas do triângulo retângulo
Ana Patricia Manffrenatti
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
Airin A.
 

Destaque (20)

Teorema de tales e situações problemas.docx gabarito
Teorema de tales e situações problemas.docx gabaritoTeorema de tales e situações problemas.docx gabarito
Teorema de tales e situações problemas.docx gabarito
 
Lista de-exercicios-9c2bas-anos
Lista de-exercicios-9c2bas-anosLista de-exercicios-9c2bas-anos
Lista de-exercicios-9c2bas-anos
 
TEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOS
TEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOSTEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOS
TEOREMA DE TALES NO FEIXE DE PARALELAS E NOS TRIÂNGULOS
 
Atividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de talesAtividade resolvida teorema de tales
Atividade resolvida teorema de tales
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
 
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica planaMatemática   exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
 
Bissetriz interna ppt
Bissetriz interna pptBissetriz interna ppt
Bissetriz interna ppt
 
Equação de 2º grau
Equação de 2º grauEquação de 2º grau
Equação de 2º grau
 
Lista de Exercícios - Teorema de Tales
Lista de Exercícios - Teorema de TalesLista de Exercícios - Teorema de Tales
Lista de Exercícios - Teorema de Tales
 
Matemática básica equações e inequações resolvidas
Matemática básica   equações e inequações resolvidasMatemática básica   equações e inequações resolvidas
Matemática básica equações e inequações resolvidas
 
Apostila geometria
Apostila geometriaApostila geometria
Apostila geometria
 
Resoluções das Provas do Enem
Resoluções das Provas do EnemResoluções das Provas do Enem
Resoluções das Provas do Enem
 
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triânguloMediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
 
Teorema de Tales
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema de Tales
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
 
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
 
Exercicios de-semlhanca-e-teorema-de-tales
Exercicios de-semlhanca-e-teorema-de-talesExercicios de-semlhanca-e-teorema-de-tales
Exercicios de-semlhanca-e-teorema-de-tales
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
 
Relações métricas do triângulo retângulo
Relações métricas do triângulo retânguloRelações métricas do triângulo retângulo
Relações métricas do triângulo retângulo
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
 

Semelhante a O teorema de tales

Teorema tales
Teorema talesTeorema tales
Teorema tales
Renan Branco
 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
eliveltonhg
 
Lista semelhança 2011
Lista semelhança 2011Lista semelhança 2011
Lista semelhança 2011
fernandanocchi
 
Trigonometria- Básica
Trigonometria- BásicaTrigonometria- Básica
Trigonometria- Básica
Isabele Félix
 
Lista 2° ano + Gabarito
Lista 2° ano + GabaritoLista 2° ano + Gabarito
Lista 2° ano + Gabarito
Isabella Silva
 
066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe
Ezsilvasilva Silva
 
Lista global - 3º bimestre - 9º ano - 2015
Lista   global - 3º bimestre - 9º ano - 2015Lista   global - 3º bimestre - 9º ano - 2015
Lista global - 3º bimestre - 9º ano - 2015
proffelipemat
 
AULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdf
AULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdfAULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdf
AULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdf
MaxwellBentodeOlivei1
 
Trigonometria e Aplicações
Trigonometria e AplicaçõesTrigonometria e Aplicações
Trigonometria e Aplicações
diegohenrique10
 
Teorema de tales
Teorema de tales Teorema de tales
Teorema de tales
Giselle Probst Do Amaral
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
Kaline Andreza
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
Kaline Andreza
 
Apostila5
Apostila5Apostila5
Apostila5
con_seguir
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
aletriak
 
Razão proporção-e-teorema-de-tales-8ª
Razão proporção-e-teorema-de-tales-8ªRazão proporção-e-teorema-de-tales-8ª
Razão proporção-e-teorema-de-tales-8ª
Paulo Souto
 
Tales Semelhanca
Tales SemelhancaTales Semelhanca
Tales Semelhanca
ISJ
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
grpoliart
 
Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2
Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2
Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2
grpoliart
 
8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.ppt
8 ano - Congruência e Semelhança e  Angulos em Triangulos.ppt8 ano - Congruência e Semelhança e  Angulos em Triangulos.ppt
8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.ppt
DaniloConceiodaSilva
 
2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano
2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano
2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano
Giovane Silva
 

Semelhante a O teorema de tales (20)

Teorema tales
Teorema talesTeorema tales
Teorema tales
 
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo – Esp. Mídias na Educação UFO...
 
Lista semelhança 2011
Lista semelhança 2011Lista semelhança 2011
Lista semelhança 2011
 
Trigonometria- Básica
Trigonometria- BásicaTrigonometria- Básica
Trigonometria- Básica
 
Lista 2° ano + Gabarito
Lista 2° ano + GabaritoLista 2° ano + Gabarito
Lista 2° ano + Gabarito
 
066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe066 apostila de_trigonometria_filipe
066 apostila de_trigonometria_filipe
 
Lista global - 3º bimestre - 9º ano - 2015
Lista   global - 3º bimestre - 9º ano - 2015Lista   global - 3º bimestre - 9º ano - 2015
Lista global - 3º bimestre - 9º ano - 2015
 
AULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdf
AULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdfAULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdf
AULA LEI DOS SENOS OU COSSENOS - parte final (3) (1).pdf
 
Trigonometria e Aplicações
Trigonometria e AplicaçõesTrigonometria e Aplicações
Trigonometria e Aplicações
 
Teorema de tales
Teorema de tales Teorema de tales
Teorema de tales
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Apostila5
Apostila5Apostila5
Apostila5
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
 
Razão proporção-e-teorema-de-tales-8ª
Razão proporção-e-teorema-de-tales-8ªRazão proporção-e-teorema-de-tales-8ª
Razão proporção-e-teorema-de-tales-8ª
 
Tales Semelhanca
Tales SemelhancaTales Semelhanca
Tales Semelhanca
 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo
Relações trigonométricas no triângulo retângulo
 
Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2
Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2
Outras aplicações com seno, cosseno e tangente 2
 
8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.ppt
8 ano - Congruência e Semelhança e  Angulos em Triangulos.ppt8 ano - Congruência e Semelhança e  Angulos em Triangulos.ppt
8 ano - Congruência e Semelhança e Angulos em Triangulos.ppt
 
2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano
2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano
2 lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano
 

Mais de trigono_metria

Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacao
trigono_metria
 
Mat divisores de um numero
Mat divisores de um numeroMat divisores de um numero
Mat divisores de um numero
trigono_metria
 
Mat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grauMat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grau
trigono_metria
 
Mat areas e volumes
Mat areas e volumesMat areas e volumes
Mat areas e volumes
trigono_metria
 
Mat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricasMat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricas
trigono_metria
 
Mat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iiMat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte ii
trigono_metria
 
Mat equacao do segundo grau parte i
Mat equacao do segundo grau   parte iMat equacao do segundo grau   parte i
Mat equacao do segundo grau parte i
trigono_metria
 
Mat razoes e proporcoes 002
Mat razoes e proporcoes  002Mat razoes e proporcoes  002
Mat razoes e proporcoes 002
trigono_metria
 
Mat sc conicas
Mat sc conicasMat sc conicas
Mat sc conicas
trigono_metria
 
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciosMat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
trigono_metria
 
Mat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericosMat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericos
trigono_metria
 
Mat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimalMat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimal
trigono_metria
 
Mat numeros racionais
Mat numeros racionaisMat numeros racionais
Mat numeros racionais
trigono_metria
 
Mat divisibilidade
Mat divisibilidadeMat divisibilidade
Mat divisibilidade
trigono_metria
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004
trigono_metria
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
trigono_metria
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacao
trigono_metria
 
Mat derivadas
Mat derivadasMat derivadas
Mat derivadas
trigono_metria
 
Mat equacoes do 1 grau 001
Mat equacoes do 1 grau  001Mat equacoes do 1 grau  001
Mat equacoes do 1 grau 001
trigono_metria
 
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
trigono_metria
 

Mais de trigono_metria (20)

Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacao
 
Mat divisores de um numero
Mat divisores de um numeroMat divisores de um numero
Mat divisores de um numero
 
Mat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grauMat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grau
 
Mat areas e volumes
Mat areas e volumesMat areas e volumes
Mat areas e volumes
 
Mat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricasMat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricas
 
Mat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iiMat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte ii
 
Mat equacao do segundo grau parte i
Mat equacao do segundo grau   parte iMat equacao do segundo grau   parte i
Mat equacao do segundo grau parte i
 
Mat razoes e proporcoes 002
Mat razoes e proporcoes  002Mat razoes e proporcoes  002
Mat razoes e proporcoes 002
 
Mat sc conicas
Mat sc conicasMat sc conicas
Mat sc conicas
 
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciosMat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
 
Mat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericosMat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericos
 
Mat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimalMat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimal
 
Mat numeros racionais
Mat numeros racionaisMat numeros racionais
Mat numeros racionais
 
Mat divisibilidade
Mat divisibilidadeMat divisibilidade
Mat divisibilidade
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacao
 
Mat derivadas
Mat derivadasMat derivadas
Mat derivadas
 
Mat equacoes do 1 grau 001
Mat equacoes do 1 grau  001Mat equacoes do 1 grau  001
Mat equacoes do 1 grau 001
 
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
 

Último

Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.pptAnálise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Falcão Brasil
 
Portfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdf
Portfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdfPortfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdf
Portfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdf
Falcão Brasil
 
A GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIAL
A GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIALA GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIAL
A GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIAL
ArapiracaNoticiasFat
 
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdfA Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
Falcão Brasil
 
A Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdf
A Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdfA Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdf
A Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdf
Falcão Brasil
 
Slides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptx
Slides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptxSlides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptx
Slides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Luzia Gabriele
 
Os Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdf
Os Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdfOs Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdf
Os Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdf
Falcão Brasil
 
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Bibliotecas Escolares AEIDH
 
Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...
Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...
Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...
Falcão Brasil
 
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Bibliotecas Escolares AEIDH
 
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdf
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdfEscola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdf
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdf
Falcão Brasil
 
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdfPortfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Falcão Brasil
 
17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...
17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...
17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...
Estuda.com
 
Caça-palavras - multiplicação
Caça-palavras  -  multiplicaçãoCaça-palavras  -  multiplicação
Caça-palavras - multiplicação
Mary Alvarenga
 
Escola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdf
Escola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdfEscola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdf
Escola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdf
Falcão Brasil
 
P0107 do aluno da educação municipal.pdf
P0107 do aluno da educação municipal.pdfP0107 do aluno da educação municipal.pdf
P0107 do aluno da educação municipal.pdf
Ceiça Martins Vital
 
Que Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsx
Que Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsxQue Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsx
Que Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsx
Luzia Gabriele
 
Uma Breve História da Origem, Formação e Evolução da Terra
Uma Breve História da Origem, Formação e Evolução da TerraUma Breve História da Origem, Formação e Evolução da Terra
Uma Breve História da Origem, Formação e Evolução da Terra
Luiz C. da Silva
 

Último (20)

Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.pptAnálise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
Análise dos resultados do desmatamento obtidos pelo SIAD.ppt
 
Portfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdf
Portfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdfPortfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdf
Portfólio Estratégico da Força Aérea Brasileira (FAB).pdf
 
A GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIAL
A GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIALA GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIAL
A GEOPOLÍTICA ATUAL E A INTEGRAÇÃO ECONÔMICA E SOCIAL
 
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdfA Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
A Guerra do Presente - Ministério da Defesa.pdf
 
A Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdf
A Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdfA Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdf
A Industria Brasileira de Defesa - Situação Atual e Perspectivas de Evolução.pdf
 
Slides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptx
Slides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptxSlides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptx
Slides Lição 3, CPAD, Rute e Noemi, Entrelaçadas pelo Amor.pptx
 
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsxOceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
Oceano, Fonte de Vida e Beleza Maria Inês Aroeira Braga.ppsx
 
Os Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdf
Os Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdfOs Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdf
Os Setores Estratégicos da END - O Setor Cibernético.pdf
 
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
 
VIAGEM AO PASSADO -
VIAGEM AO PASSADO                        -VIAGEM AO PASSADO                        -
VIAGEM AO PASSADO -
 
Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...
Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...
Aviação de Reconhecimento e Ataque na FAB. A Saga dos Guerreiros Polivalentes...
 
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
Boletim informativo - Contacto - julho de 2024
 
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdf
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdfEscola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdf
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAR).pdf
 
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdfPortfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
Portfólio Estratégico da Marinha do Brasil (MB).pdf
 
17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...
17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...
17 Coisas que seus alunos deveriam saber sobre TRI para melhorar sua nota no ...
 
Caça-palavras - multiplicação
Caça-palavras  -  multiplicaçãoCaça-palavras  -  multiplicação
Caça-palavras - multiplicação
 
Escola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdf
Escola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdfEscola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdf
Escola de Especialistas de Aeronáutica (EEAR).pdf
 
P0107 do aluno da educação municipal.pdf
P0107 do aluno da educação municipal.pdfP0107 do aluno da educação municipal.pdf
P0107 do aluno da educação municipal.pdf
 
Que Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsx
Que Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsxQue Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsx
Que Pena Amor! Eugénio de Sá - Soneto.ppsx
 
Uma Breve História da Origem, Formação e Evolução da Terra
Uma Breve História da Origem, Formação e Evolução da TerraUma Breve História da Origem, Formação e Evolução da Terra
Uma Breve História da Origem, Formação e Evolução da Terra
 

O teorema de tales

  • 1. 1 MATEMÁTICA 3A SÉRIE - E. MÉDIO Prof. Rogério Rodrigues O TEOREMA DE TALES NOME : ............................................................... NÚMERO : ............. TURMA : ............
  • 2. 2 VI - O TEOREMA DE TALES VI . 1) “ Tudo é água “ Do último terço do séc. VII à primeira metade do séc. VI a.C. , viveu na Grécia o matemático e filósofo Tales , nasci- do em Mileto (hoje pertencente à Turquia) . Trata-se do mais antigo sábio grego conhecido e atribui-se a ele a previsão do eclípse solar ocorrido em 585 a.C. além da primeira unida- de de medida do tempo , chamada gnômon . Tales era comer- ciante abastado e viajou por longos períodos pela Babilônia e Egito , assimilando todo o conhecimento matemático e astronô- mico dessas culturas . Parece que o teorema que agora estudare- mos , atribuído a ele , já era conhecido pelos Egípcios e Babilô- nios , mas foi Tales quem o demonstrou formalmente , assim como fez com alguns outros teoremas conhecidos até então ou descobertos por ele . A matemática desenvolvida pelas culturas anteriores a Tales não era dedutiva e nem organizada como a te- mos hoje , era extremamente dificultada pela falta de linguagem e de princípios estruturais . Foi Tales o primeiro matemático a se preocupar com as provas e generalizações dos teoremas, nas- cendo assim a matemática dedutiva . A cosmologia de Tales , na qual a água é o princípio e origem do universo , foi uma das primeiras pesquisas da Natureza realizada pelos jônios . VI . 2) O Teorema de Tales : Em linguagem moderna esse teorema é assim enunciado : Um feixe de retas paralelas determina sobre transversais segmentos proporcionais . Veja a figura a seguir : u v r a c s b d t Na figura acima , r // s // t e os segmentos determinados pelas transversais u e v têm medidas a , b , c e d . Então a c a c b d = ou = ou = ou ... b d a+b c+d a+b c+d
  • 3. 3 Exercícios Resolvidos : 1) Na figura a seguir , AB = 3 cm , BC = 5 cm e DF = 4 cm . Calcule as medidas dos segmentos DE e EF , sabendo que r // s // t . A D r B E s C F t AB DE Pelo Teorema de Tales , temos = , ou seja , AB + BC DE + EF 3 DE 3 = . Então , DE = cm e , como DE + EF = 4 , temos 3+5 4 2 5 EF = cm . 2 2) Na figura , r // s // t , AM – AN = 1 cm , MN = 4 cm , NC = = 6 cm e MB = 9 cm . Calcule o perímetro do triângulo AMN . A r N M s C B t Se designarmos AN = x , teremos AM = x + 1 e , pelo Teorema de AN AM x x +1 Tales , = ou = e x = 2 cm . Então , AN = 2 cm NC MB 6 9 e AM = 3 cm . Como MN = 4 cm , temos que o perímetro do triân – gulo AMN é 2cm + 3 cm + 4 cm = 9 cm . VI . 3) Conseqüências do Teorema de Tales : a) O exercício resolvido anterior ( no 2) veio antecipar uma conseqüência importante do Teorema de Tales : Uma reta paralela a um dos lados de um triân – gulo e que intercepta os outros lados (ou seus prolongamentos) em pontos distintos , determi- na sobre eles segmentos proporcionais
  • 4. 4 Veja os casos possíveis : → A reta intercepta os próprios lados do triângulo : A r r // s // t N M s AN AM = NC MB C B t → A reta não têm pontos comuns com o triângulo : A r r // s // t AC AB C B = CE BD s t E D Exercício Resolvido : Um triângulo ABC tem os lados AC = 24 cm e BC = 20 cm . Sobre o lado AC , a 6 cm do vértice C , tomamos um ponto M . Determine a distância de um ponto N situado sobre o lado BC , até o vértice C , de maneira que o segmento MN seja paralelo ao lado AB . Considere a figura a seguir : C x 6 N M 20 – x 18 B A Pela conseqüência vista do Teorema de Tales , teremos então : x 6 = ou seja , 18x = 120 – 6x ⇒ 24x = 120 e x = 5 cm , que 20 − x 18 é a medida da distância pedida .
  • 5. 5 b) O Teorema da Bissetriz Interna é outra conseqüência importante do Teorema de Tales . Veja o enunciado : A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos seus lados adjacentes no triângulo . Considere a figura : A   C P B Seja o segmento AP a bissetriz interna relativa ao vértice A do triângulo ABC . Então temos : PC PB = AC AB Exercícios Resolvidos : 1) Demonstrar o teorema enunciado anteriormente . Considere a figura a seguir : Q  = A   =  C B P Traçando , por B , o segmento paralelo à bissetriz interna AP que encon – trará o prolongamento do lado AC no ponto Q , teremos : → O ângulo ABQ congruente ao ângulo PAB (alternos internos) (I) ; → O ângulo CAP congruente ao ângulo AQB (correspondentes) (II) ; → Por (I) e (II) , o triângulo AQB é isósceles , AQ = AB .
  • 6. 6 Então , pelo Teorema de Tales , teremos : PC AC PC PB = e , trocando de lado alguns termos , = e , como PB AQ AC AQ PC PB AQ = AB , temos , finalmente = . AC AB 2) Na figura abaixo , determine os valores de x e y , sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 25 cm , AC = 8 cm , AB = 12 cm e CÂM = BÂM . A x y C B M x y Pelo Teorema da Bissetriz interna , temos que = = k , uma 8 12 constante . Como o perímetro do triângulo ABC é 25 cm , temos que x + y = 5 cm . Então , x = 8k , y = 12k e x + y = 20k = 5 ⇒ 1 1 1 ⇒ k= . Logo , x = 8k = 8. = 2 cm e y = 12 . = 3 cm . 4 4 4 c) Teorema da Bissetriz Externa : Outra importante conseqüência do Teorema de Tales é semelhante ao teorema anteriormente enunciado : No triângulo , a bissetriz de um ângulo externo determi- na no lado oposto ao vértice do ângulo segmentos propor- cionais aos lados adjacentes do triângulo . Observe a figura : F A = = B C D CD BD Se CÂD = DÂF , tem –se = AC AB
  • 7. 7 Exercícios Resolvidos : 1) Demonstrar o Teorema da bissetriz externa . Considere a figura seguinte : Conduzindo por C uma paralela EC , temos : → ângulo 2 = ângulo 3 (correspondentes) → ângulo 1 = ângulo 4 (alternos internos) Como ângulo 1 = ângulo 2 , pois AD é bissetriz externa , temos que ângulo 3 = ângulo 4 e o triângulo ACE é isósceles , ou seja AE = AC = b . x c Como AD // CE , temos , pelo Teorema de Tales = ou , ainda , y b x y CD BD = que é o mesmo que = . c b AC AB 2) Os lados de um triângulo medem 5 cm , 6 cm e 7 cm . De quanto é preciso prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto ? Considere a figura que se segue : A = = D 7 6 x B 5 C Seja AB = 6 cm , BC = 5 cm (o menor lado) , AC = 7 cm e AD a bissetriz x x+5 externa de  . Pelo Teorema enunciado , temos = ⇒ 7x = 6x + 30, 6 7 ou seja , x = 30 cm .
  • 8. 8 Exercícios Propostos : 1) Em cada figura a seguir , calcule as medidas assinaladas por x e/ou y ( em cm ) : a) r // s // t // u b) r // s // t r s t r 2 4 s 3 3 x 5 t x 4 y 4 u c) r // s // t , AC = x d) r // s // t r s t 6 r s t 4 C 15 A 12 15 3 y 2) Um feixe de paralelas r,s e t é cortado pelas transversais u e v , de mo- do que u ∩ r = A , u ∩ s = B , u ∩ t = C , v ∩ r = D , v ∩ s = E e v ∩ t = F . Se AB = 3 cm , BC = x , DE = y , EF = 24 cm e x + y = 17 cm , calcule , em cm , as medidas x e y . 3) Um feixe de 3 retas paralelas determina , sobre uma transversal , os pontos M , N e O e , sobre outra transversal , os pontos M’ , N’ e O’. Sabendo-se que MN = 3 cm , NO = 2 cm e M’O’= 10 cm , calcule a diferença M’N’ - N’O’ . 4) Um feixe de 4 retas paralelas determina , sobre uma transversal , três segmentos que medem 5 dm , y dm e 11 dm e , sobre outra transver – sal , segmentos que medem 10 dm , 14 dm e x dm . Calcule a soma x+y. 5) Na figura , a // b // c e x + y = 45 cm . Calcule a diferença y – x . a 14 x b 16 y c
  • 9. 9 6) Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal dois segmentos AB e BC medindo , respectivamente , 7 cm e 9 cm . Sabe-se que este mesmo feixe determina , sobre outra transversal , AB dois segmentos PQ e QR , sendo PR = 32 cm . Calcule a razão . PQ 7) Nas figuras a seguir , r , s e t são paralelas . Determine os valores de xey. r a) r b) 4 4 x s 2x + 3 s 6 5 7 t 5x - 1 t c) r 5 3 s x 2 y 6 t 8) Na figura , os ângulos em A , B e C são retos . Calcule x . 9) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm ,6 cm e 9 cm , respectivamente . Deter- minar as medidas dos segmentos que este mesmo feixe determina so- bre outra transversal , sabendo o segmento compreendido entre a pri- meira e a quarta paralela mede 60 cm . 10) Um feixe de cinco retas paralelas determina sobre uma transversal quatro segmento que medem , respectivamente , 5 cm , 8 cm , 11 cm e 16 cm . Calcular as medidas dos segmentos que este mesmo feixe determina sobre outra transversal , sabendo que o segmento compre- endido entre as paralelas estremas mede 60 cm .
  • 10. 10 11) (MAPOFEI – SP) – Três terrenos têm frente para a rua “A” e para a rua “B” , como na figura . As divisas laterais são perpendiculares à rua “A” . Qual é a medida de frente para a rua “B” de cada lote , sabendo que a frente total para essa rua é de 180 m ? Rua “B” Rua “A” 40 m 30 m 20 m 12) Num triângulo ABC , o ponto S pertence ao lado BC , BS = 4 , CS = = 8 , AC = 40 e BÂS = CÂS . Calcule a medida do lado AB . 13) Na figura , o segmento AS é bissetriz interna do ângulo  . Calcule o valor de x . A x+9 2x 24 30 B C S 14) No triângulo ABC , o segmento BS é a bissetriz interna relativa ao ângulo de vértice B , AB = 12 , BC = 15 e AC = 9 . Calcule as me – didas AS e CS . 15) No triângulo ABC , AB = 3 , BC = 4 , AC = 2 . Em quanto se deve prolongar o lado BC , para que a bissetriz externa do ângulo de vér- tice A o intercepte no ponto D ? 16) (MAPOFEI – SP) – O perímetro de um triângulo ABC é 100 m . A bissetriz interna do ângulo  divide o lado oposto BC em dois seg – mentos de 16 cm e 24 cm . Determinar as medidas dos lados desse triângulo . 17) Os lados de um triângulo medem 8 cm , 10 cm e 12 cm . De quanto é preciso prolongar o menor lado para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto a este lado ? 18) Consideremos um triângulo ABC de 15 cm de perímetro . A bissetriz externa do ângulo  desse triângulo encontra o prolongamento do lado BC em um ponto S .Sabendo que a bissetriz interna de  deter- mina sobre o lado BC dois segmento BP = 3 cm e PC = 2 cm , deter- mine as medidas dos lado do triângulo e a medida do segmento CS .
  • 11. 11 19) (U.F.MG) – Na figura , os segmentos BC e DE são paralelos , AB = = 15 m , AD = 5 m e AE = 6 m . Calcule CE . A D E B C 20) (CESGRANRIO) – No triângulo ABC da figura , CD é a bissetriz do ângulo interno em C . Se AD = 3 cm , DB = 2 cm e AC = 4 cm , quanto mede o lado BC ? C A D B 21) Na figura , AB = 12 , AC = 16 , BC = 20 e BL = 9 . Se os segmentos LM e NC são paralelos assim como LN e MC também são , calcule o perímetro do paralelogramo LMCN . 22) Na figura , AB = 8 , AC = 6 , BC = 4 e BÂD = CÂD . Calcule a diferença x – y . A x y B D C
  • 12. 12 23) Na figura , DE é paralelo a BC e AM é bissetriz interna do triângu- lo ABC . Calcule a soma x + y . A 6 x D E 2 5 6 y B M C 24) Dado o triângulo ABC , onde M é o ponto médio do lado AB e N pertence ao lado AC , use o Teorema de Tales para mostrar que , se o segmento MN é paralelo ao lado BC , então N é ponto médio do lado AC . ********************************************************** Respostas dos Exercícios Propostos : 1) a) x = 6 cm e y = 8 cm b) x = 20/3 cm c) x = 135/4 cm d) y = 4,5 cm 2) x = 8 cm e y = 9 cm 3) 2 cm 4) 29 dm 5) 3 cm 6) 1/2 7) a) x = 10/3 b) x = 25/6 c) x = 10/3 e y = 18/5 8) x = 24 9) 15 cm , 18 cm e 27 cm 10) 7,5 cm , 12 cm , 16,5 cm e 24 cm 11) 80 cm , 60 cm e 40 cm 12) 20 13) 15 14) AS = 4 e CS =5 15) 8 16) 24 cm , 36 cm e 40 cm 17) 40 cm 18) AB = 6 cm , BC = 5 cm , AC = 4 cm e CS = 10 cm 19) 12 cm 20) 8/3 cm 21) 34 22) 4/7 23) 30 .