O documento apresenta 13 exercícios resolvidos sobre curvas cônicas, incluindo elipses, parábolas e hipérboles. Os exercícios demonstram vários métodos para traçar estas curvas, tais como utilizando os focos, círculos principais, pontos, retângulos e paralelogramos. O objetivo é fornecer exemplos passo-a-passo para que os leitores possam aprender a desenhar diferentes curvas cônicas.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.
O documento lista 7 tarefas de geometria analítica e álgebra linear. As tarefas incluem provar propriedades de vetores como u + v = w e αv = 0, resolver sistemas de equações lineares e problemas de livro didático, e provar uma propriedade geométrica sobre pontos médios de um triângulo.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)Renato Barbosa
O documento apresenta um trabalho de geometria analítica com 30 exercícios sobre pontos, distância, alinhamento e triângulos no plano cartesiano. O trabalho deve ser resolvido e entregue até 19 de outubro de 2012 para preparação de uma prova.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.
O documento lista 7 tarefas de geometria analítica e álgebra linear. As tarefas incluem provar propriedades de vetores como u + v = w e αv = 0, resolver sistemas de equações lineares e problemas de livro didático, e provar uma propriedade geométrica sobre pontos médios de um triângulo.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)Renato Barbosa
O documento apresenta um trabalho de geometria analítica com 30 exercícios sobre pontos, distância, alinhamento e triângulos no plano cartesiano. O trabalho deve ser resolvido e entregue até 19 de outubro de 2012 para preparação de uma prova.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Apostila de geometria_analitica_filipeEveraldo Geb
1) O documento discute a geometria analítica, que surgiu da fusão da geometria com a álgebra no século XVII.
2) Fermat e Descartes foram responsáveis por esse avanço científico, trabalhando de forma independente.
3) A geometria analítica permite representar equações geométricas como curvas e superfícies usando pares de números.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
3 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_3sDiogo Santos
Este documento fornece um caderno de exercícios de matemática para alunos do 3o ano do ensino médio. O caderno aborda tópicos como geometria analítica, método das coordenadas, equações de retas e círculos, e inclui exercícios para que os alunos possam aplicar esses conceitos matemáticos. As respostas são fornecidas no final para que os alunos possam checar seu próprio trabalho.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
Souza, sérgio de a. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
Este documento apresenta o conteúdo do curso de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, incluindo informações sobre o professor, carga horária, objetivos, projeto da disciplina e unidades temáticas. O curso irá introduzir conceitos de vetores no espaço tridimensional e suas aplicações para resolução de problemas geométricos.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
O documento discute três tipos de transformações geométricas na reta: translação, simetria central e homotetia. A translação é uma transformação que conserva distâncias, enquanto a composição de simetrias resulta em uma translação. A homotetia é outro tipo de transformação afim na reta.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre vetores no plano e no espaço, incluindo definição de vetor, operações com vetores, módulo de vetor, produto escalar e representação de vetores em função de uma base.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
Exercícios de revisão.geometria analítica do pontoiran rodrigues
1) O documento apresenta 31 exercícios de geometria analítica sobre pontos, retas e triângulos no plano cartesiano. Inclui determinar coordenadas de pontos, distâncias entre pontos, equações de retas e pontos de interseção.
2) Fornece enunciados para determinar valores reais de variáveis que satisfaçam condições geométricas como pertencer a quadrantes ou eixos.
3) Apresenta proposições sobre segmentos de reta que ligam pontos em quadrantes pares para marcar como verdade
1) O documento apresenta 11 exercícios resolvidos sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de coeficientes angulares de retas, determinação de colinearidade ou perpendicularidade entre retas, conversão entre formas de equações de retas e determinação de equações de circunferências.
O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica plana como inclinação, declive e ângulo entre retas. Explica como calcular o declive de uma reta a partir de pontos ou do vetor diretor e como determinar a inclinação correspondente. Apresenta também a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas e como identificar retas perpendiculares. Por fim, inclui exercícios de aplicação destes conceitos.
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da retatpmoliveira
Este documento apresenta um projeto de ensino de Geometria Analítica com 8 aulas. A primeira aula revisa coordenadas cartesianas e distância entre pontos. As aulas seguintes abordam coeficiente angular, equação da reta, e uso do software Geogebra para ilustrar os conceitos. A avaliação dos alunos ocorrerá ao longo das atividades formais e informais.
O documento apresenta os conceitos de equação do plano e equação da reta no espaço tridimensional. Explica como obter a equação do plano definido por um ponto e um vetor normal, por três pontos não colineares e casos particulares de planos paralelos aos planos coordenados. Apresenta também como obter a equação vetorial e equações cartesianas de uma reta no espaço a partir de um ponto e vetor diretor. Fornece exemplos passo a passo de como aplicar os conceitos.
Este documento apresenta dois testes de matemática para o 11o ano, com questões de escolha múltipla e questões abertas. O teste é composto por dois grupos, sendo o Grupo I focado em questões de escolha múltipla e o Grupo II contendo questões abertas que requerem raciocínio e cálculos matemáticos. As questões abordam tópicos como trigonometria, geometria e funções.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Apostila de geometria_analitica_filipeEveraldo Geb
1) O documento discute a geometria analítica, que surgiu da fusão da geometria com a álgebra no século XVII.
2) Fermat e Descartes foram responsáveis por esse avanço científico, trabalhando de forma independente.
3) A geometria analítica permite representar equações geométricas como curvas e superfícies usando pares de números.
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
3 caderno do aluno 2014_2017_vol1_baixa_mat_matematica_em_3sDiogo Santos
Este documento fornece um caderno de exercícios de matemática para alunos do 3o ano do ensino médio. O caderno aborda tópicos como geometria analítica, método das coordenadas, equações de retas e círculos, e inclui exercícios para que os alunos possam aplicar esses conceitos matemáticos. As respostas são fornecidas no final para que os alunos possam checar seu próprio trabalho.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
Souza, sérgio de a. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
Este documento apresenta o conteúdo do curso de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, incluindo informações sobre o professor, carga horária, objetivos, projeto da disciplina e unidades temáticas. O curso irá introduzir conceitos de vetores no espaço tridimensional e suas aplicações para resolução de problemas geométricos.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
O documento discute três tipos de transformações geométricas na reta: translação, simetria central e homotetia. A translação é uma transformação que conserva distâncias, enquanto a composição de simetrias resulta em uma translação. A homotetia é outro tipo de transformação afim na reta.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre vetores no plano e no espaço, incluindo definição de vetor, operações com vetores, módulo de vetor, produto escalar e representação de vetores em função de uma base.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
Exercícios de revisão.geometria analítica do pontoiran rodrigues
1) O documento apresenta 31 exercícios de geometria analítica sobre pontos, retas e triângulos no plano cartesiano. Inclui determinar coordenadas de pontos, distâncias entre pontos, equações de retas e pontos de interseção.
2) Fornece enunciados para determinar valores reais de variáveis que satisfaçam condições geométricas como pertencer a quadrantes ou eixos.
3) Apresenta proposições sobre segmentos de reta que ligam pontos em quadrantes pares para marcar como verdade
1) O documento apresenta 11 exercícios resolvidos sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem cálculo de coeficientes angulares de retas, determinação de colinearidade ou perpendicularidade entre retas, conversão entre formas de equações de retas e determinação de equações de circunferências.
O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica plana como inclinação, declive e ângulo entre retas. Explica como calcular o declive de uma reta a partir de pontos ou do vetor diretor e como determinar a inclinação correspondente. Apresenta também a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas e como identificar retas perpendiculares. Por fim, inclui exercícios de aplicação destes conceitos.
Geometria analítica - Coeficiente angular e equação reduzida da retatpmoliveira
Este documento apresenta um projeto de ensino de Geometria Analítica com 8 aulas. A primeira aula revisa coordenadas cartesianas e distância entre pontos. As aulas seguintes abordam coeficiente angular, equação da reta, e uso do software Geogebra para ilustrar os conceitos. A avaliação dos alunos ocorrerá ao longo das atividades formais e informais.
O documento apresenta os conceitos de equação do plano e equação da reta no espaço tridimensional. Explica como obter a equação do plano definido por um ponto e um vetor normal, por três pontos não colineares e casos particulares de planos paralelos aos planos coordenados. Apresenta também como obter a equação vetorial e equações cartesianas de uma reta no espaço a partir de um ponto e vetor diretor. Fornece exemplos passo a passo de como aplicar os conceitos.
Este documento apresenta dois testes de matemática para o 11o ano, com questões de escolha múltipla e questões abertas. O teste é composto por dois grupos, sendo o Grupo I focado em questões de escolha múltipla e o Grupo II contendo questões abertas que requerem raciocínio e cálculos matemáticos. As questões abordam tópicos como trigonometria, geometria e funções.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
1) O documento descreve um espelho esférico côncavo, com foco F e centro de curvatura C.
2) Objetos nas regiões 2, 3 e 4 terão imagens nas regiões 8, 6 e 7, respectivamente.
3) É fornecido um problema sobre distâncias focais e posições de imagem para diferentes espelhos esféricos.
O documento descreve as características geométricas da elipse, incluindo: (1) a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante; (2) os elementos da elipse incluem focos, distância focal, centro, eixos maior e menor, vértices e excentricidade; (3) quanto mais próximos os focos, mais a elipse se assemelha a uma circunferência, e quanto mais afastados, mais achatada é a elipse.
www.AulasParticularesApoio.Com.Br - Física - Exercícios Resolvidos de Espelho...Anna Paula
1) O documento descreve um espelho esférico côncavo e onde imagens de objetos colocados em diferentes regiões serão formadas.
2) É fornecido um problema sobre um fogão solar improvisado usando uma calota esférica e papel alumínio. A melhor altura para a grelha é no foco da superfície esférica.
3) É descrito um farol de automóvel que usa dois espelhos esféricos para produzir um feixe de luz paralelo. As distâncias da fonte
1) O documento discute espelhos esféricos côncavos e suas propriedades de formação de imagens. 2) Objetos colocados em diferentes regiões em relação ao espelho terão suas imagens formadas em outras regiões específicas. 3) Há questões sobre cálculo de distâncias focais e localização de imagens formadas por espelhos esféricos.
Este documento apresenta um resumo sobre elipses realizado por dois alunos da 10a classe para a disciplina de Matemática. O texto começa com uma breve introdução sobre secções cónicas e a importância histórica do estudo das elipses, incluindo as descobertas de Apolónio de Perga e Kepler. Posteriormente define a elipse, descreve métodos de construção e apresenta a equação da elipse e os seus elementos principais. Por fim, exemplifica algumas aplicações da elipse no quotidiano.
O documento discute espelhos esféricos, explicando que são superfícies refletoras na forma de uma calota esférica. Apresenta os tipos de espelho côncavo e convexo, elementos como centro de curvatura e raio de curvatura, e métodos de construção de imagens formadas por espelhos esféricos. Fornece exemplos práticos como espelhos retrovisores de carros.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
1. O documento discute espelhos esféricos, definindo-os como superfícies refletoras na forma de uma calota esférica e descrevendo seus elementos geométricos e tipos (côncavo e convexo).
2. São apresentadas as condições de nitidez de Gauss para espelhos esféricos e exemplos de raios particulares incidentes nesses espelhos.
3. São descritas as características das imagens formadas por espelhos côncavos e convexos para diferentes posições do objeto.
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre diferentes tipos de arcos arquitetônicos, incluindo arcos ogivais, romanos, góticos e outros, com instruções passo a passo para sua construção geométrica a partir de elementos como vão, altura e raio.
Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre a construção de polígonos regulares, incluindo hexágonos, pentágonos, heptágonos e outros, usando técnicas geométricas como circunferências, mediatrizes e triângulos equiláteros. Ela também fornece uma tabela sobre as propriedades dos polígonos regulares.
Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos para construção de polígonos regulares, incluindo hexágonos, pentágonos, heptágonos, octógonos, decágonos e dodecágonos. As instruções incluem como construir uma escala de Delaistre para localizar os centros dos polígonos e como construir cada polígono dado o comprimento do lado, usando compasso e regra.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre proporção áurea em desenho geométrico, incluindo a divisão de segmentos em média e extrema razão, construção de retângulos áureos, inscrição de figuras em circunferências e construção das séries do "Le Modulor".
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre a proporção áurea, incluindo dividir segmentos em média e extrema razão, construir retângulos áureos e inscrever figuras geométricas em circunferências.
2. As séries azul e vermelha do "Le Modulor" são construídas dividindo segmentos sucessivamente em média razão de acordo com a proporção áurea.
O documento apresenta exercícios e resoluções sobre ângulos em Desenho Geométrico. Inclui construções para transportar um ângulo, dividir um ângulo reto em três partes iguais, dividir um ângulo em três ou mais partes iguais, traçar a bissetriz de um ângulo e construir ângulos de 30°, 45° e 60°. Também mostra como construir a poligonal de um terreno pelo método do caminhamento.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre circunferência em geometria, incluindo como recuperar o centro de uma circunferência dada, traçar o diâmetro de uma circunferência sem o centro conhecido, fazer passar uma circunferência por três pontos não colineares, retificar uma circunferência e um arco, e dividir uma circunferência em partes iguais usando diferentes métodos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre circunferência em geometria, incluindo como recuperar o centro de uma circunferência dada, traçar o diâmetro de uma circunferência sem o centro conhecido, fazer passar uma circunferência por três pontos não colineares, retificar uma circunferência e um arco, e dividir uma circunferência em partes iguais usando diferentes métodos.
Este documento fornece definições e instruções sobre como construir figuras geométricas usando régua e compasso. Inclui como construir perpendiculares, paralelas, mediatrizes de segmentos e triângulos a partir de seus lados. Também apresenta exercícios para a prática dessas construções.
O documento apresenta resoluções de exercícios sobre estudo da reta em geometria descritiva, incluindo:
1) Identificação do tipo de retas passando por arestas, diagonais e segmentos de um cubo.
2) Construção da épura de segmentos e identificação da reta que os passa.
3) Determinação dos traços de retas dadas por pontos ou segmentos.
CFC COLIBRI Introdução à geometria euclidianaRenan Curty
1) O documento introduz os conceitos fundamentais da Geometria Euclidiana, como ponto, reta, plano e suas representações.
2) Apresenta definições de conceitos geométricos como segmentos de reta, ângulos, retas paralelas e perpendiculares.
3) Exemplifica construções geométricas elementares e resolução de exercícios envolvendo medidas de ângulos.
1) O documento apresenta 8 atividades para serem realizadas utilizando o software Geogebra que abordam propriedades geométricas de figuras planas, construção de gráficos e resolução de equações.
2) As atividades incluem a construção e investigação de triângulos, quadriláteros e cônicas, aplicação do teorema de Pitágoras e resolução gráfica de equações.
3) O documento foi produzido no âmbito do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre retas em geometria, incluindo construir mediatrizes, paralelas, perpendiculares e dividir segmentos. Os exercícios são ilustrados com detalhados passo-a-passo e foram construídos por Enéias de A. Prado, Guilherme S. Fais e Giuliano M. Belussi.
Maria Bernadete Barison apresenta nove exercícios resolvidos sobre retas em geometria, incluindo a construção de mediatrizes, perpendiculares, paralelas e bissetriz de ângulos. Os exercícios utilizam processos geométricos básicos como arcos de círculo, transferência de medidas e construção de ângulos retos para resolver problemas sobre diferentes tipos de retas.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre ângulos em desenho geométrico, incluindo: 1) transportar um ângulo para sobre uma semi-reta; 2) dividir um ângulo reto em 3 partes iguais; 3) dividir um ângulo em 3 partes iguais. Demonstra também como: 4) dividir um ângulo qualquer em "n" partes iguais; 5-6) traçar a bissetriz de um ângulo e construir ângulos de 30°, 45° e 60°; 7) construir a poligonal de um ter
Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano e na reta, equações de retas e cônicas, e posições relativas entre retas e circunferências. Dividido em cinco partes, o documento aborda tópicos como coordenadas cartesianas, equações de retas, parábolas, elipses, hipérboles, e lugares geométricos.
O documento descreve várias maneiras de construir parábolas usando régua e compasso, massa de modelar, barbante e alfinetes, pregos e linhas e dobraduras. Inclui instruções detalhadas sobre como dividir retângulos, traçar linhas entre pontos numerados e dobrar papel para formar a curva parabólica.
1) O documento discute conceitos básicos de geometria euclidiana, incluindo pontos, retas, planos e suas propriedades;
2) É introduzida a construção de figuras geométricas como paralelas e perpendiculares usando régua e compasso;
3) São explicados conceitos como segmentos de reta, ângulos formados por retas transversais e propriedades destas figuras.
Este documento apresenta os métodos de resolução para diferentes tipos de arcos, incluindo arcos romanos, árabes, ogivas encurtadas, alongadas e perfeitas, contracurvados, abatidos e aviajados. Fornece instruções detalhadas sobre como traçar cada arco geometricamente a partir de pontos e linhas-chave.
Este documento fornece instruções e atividades para uma aula sobre construções geométricas. A aula irá explorar como construir várias figuras geométricas usando apenas régua e compasso, incluindo círculos, mediatrizes, perpendiculares, paralelas e triângulos específicos. Referências bibliográficas sobre o assunto também são fornecidas.
Semelhante a Mat conicas exercicios resolvidos (20)
Este documento apresenta o terceiro fascículo do Procefet-2008, que contém questões comentadas e resolvidas do Exame de Seleção Técnico de Nível Médio de 2006, além de um simulado com questões de Português, Matemática, Cidadania e uma proposta de produção textual. O fascículo destaca a importância de organizar o tempo de estudo e buscar ajuda quando tiver dúvidas.
O documento discute o problema do lixo eletrônico e como ele é gerenciado. Em três frases:
O lixo eletrônico está se acumulando em grandes quantidades e pode ser reutilizado, exportado ilegalmente para países em desenvolvimento ou incinerado, liberando substâncias tóxicas. A melhor solução é promover o design verde e a produção de eletrônicos livres de substâncias tóxicas.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
O documento fornece informações sobre diversos tópicos relacionados ao vestibular. Resume os principais pontos sobre eletroquímica, biologia, matemática, corrupção na educação, cotas raciais e organização do ENEM.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O documento é um jornal que discute assuntos relacionados ao vestibular, incluindo literatura, português, redação e ciências. Ele fornece informações sobre professores que ensinam esses assuntos e sobre um estudo que mostra que aumentar a carga horária de aulas melhora o aprendizado dos alunos.
1) O documento apresenta os principais conceitos da lógica matemática, incluindo noções de proposições, tabela verdade, operações lógicas e conectivos.
2) São definidos proposições simples e compostas, valores lógicos verdadeiro e falso, e apresentadas as regras para construção de tabelas verdade.
3) São explicados os principais conectivos lógicos - negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional - e suas respectivas tabelas verdade.
Este documento fornece informações sobre o curso de Trigonometria e Números Complexos oferecido pela Universidade do Sul de Santa Catarina (Unisul). Ele apresenta os créditos do curso, a ementa, os objetivos gerais e específicos, a carga horária e a equipe responsável pelo curso.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento fornece informações sobre:
1) O professor Avelino discutirá projeções cartográficas;
2) O professor Bruno Balbino descreverá o imperialismo;
3) O professor Blênio Marcos definirá fontes de energia.
Trigonometria estuda o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo. Explica como a trigonometria permite medir distâncias que não são diretamente acessíveis, como a distância da Terra à Lua, e é usada em engenharia, cartografia e outras áreas. Apresenta as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente e cotangente, e descreve suas características e como representá-las graficamente.
O documento é um jornal que discute diversos tópicos relacionados a vestibulares e educação, incluindo: 1) Uma professora de inglês que simplifica a língua; 2) Um professor de espanhol que faz interpretação de textos; 3) Mudanças propostas no Enem de 2009 para evitar vazamentos; 4) O programa de distribuição de computadores para professores.
O documento apresenta técnicas algébricas como fatoração, frações algébricas e racionalização para resolver equações. Inclui exemplos de fatoração de expressões, diferença de quadrados, trinômio perfeito e exercícios para praticar estas técnicas.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento apresenta o planejamento de uma recuperação final de Matemática para alunos do 8o ano do Colégio Visconde de Porto Seguro. O planejamento inclui um roteiro de estudos, listas de exercícios, revisão dos principais conteúdos, aulas para tirar dúvidas e uma prova de recuperação.
1) O documento apresenta exemplos de cálculos matemáticos elementares como frações, porcentagem e regra de três utilizados em operações comuns na engenharia civil, como cálculo de materiais para construção.
2) São fornecidos cinco exemplos de problemas para serem resolvidos utilizando os conceitos apresentados, incluindo cálculo de quantidade de tijolos e custo de obra, áreas de piso e grama, fabricação de escadas e dosagem de concreto.
3) A tabela de Custo Unitário
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CURVAS CÔNICAS
1. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O
EIXO MAIOR E O MENOR.
Sejam os eixos AA' e BB' dados que se intersectam no ponto O (centro da
elipse). Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura igual à
OA trace um arco que corte o eixo AA', encontrando assim os pontos F e F'
(focos da elipse).
2. ENCONTRAR O EIXO MENOR DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O
EIXO MAIOR E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS.
Sejam dados o eixo AA' e a distância focal FF'. Trace a mediatriz de AA'
encontrando assim o centro O da elipse.
Centre a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual à OA trace
um arco que corte a reta mediatriz nos pontos B e B'. O eixo menor procurado é
o segmento BB'.
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3. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DO JARDINEIRO
(BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS.
Sejam o eixo menor BB' e a distância focal FF' dados que se intersectam no
ponto O (centro da elipse). Prolongue o segmento FF' para a esquerda e para a
direita.
Coloque aponta seca do compasso em O e com abertura igual à distância FB
trace um arco que corte a reta que passa por FF' em A e A', encontrando assim
o eixo maior da elipse.
4. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DO JARDINEIRO
(BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS.
Sejam dados o eixo maior AA' e a distância focal FF'. Corte um barbante que
tem por comprimento a distância do eixo maior AA' e fixe-o em F e F'. Coloque
a ponta do lápis no ponto B tomando o cuidado de esticar o barbante.
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Movimente o lápis sempre com o barbante esticado de forma a marcar vários
pontos no papel. Em seguida, trace a elipse movimentando o lápis que se
encontra preso no ponto B do barbante.
5. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DE "SCHOOTEN" (TIRA
DE PAPEL) SENDO DADOS OS DOIS EIXOS.
Sejam dados os eixos AA' e BB'. Corte uma tira de papel como indicado abaixo,
e marque nela os pontos P, A e B. O segmento PB deve ser igual ao eixo maior
e o segmento PA deve ser igual ao eixo menor.
Coloque a tira de papel posicionada de tal forma que o ponto A fique sobre o
eixo AA' e o ponto B fique sobre o eixo BB' e marque um ponto onde estiver o
ponto P. Mude a posição da tira de papel, mas tomando o cuidado de deixar o
ponto A sempre sobre o eixo AA' e o ponto B sempre sobre o eixo BB'.
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Assim vá mudando sucessivamente a posição da tira e marcando os pontos da
elipse. Ao marcar todos os pontos, trace a elipse.
6. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO
DADOS OS DOIS EIXOS.
Sejam os eixos AA' e BB' dados. Encontre os focos F e F'.
Marque a partir do ponto F os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e a partir do ponto F' os
pontos 1', 2', 3', 4' e 5'. Coloque a ponta seca do compasso no ponto F e com
abertura igual a 1'A' , 2'A', 3'A', 4'A' e 5'A' trace cinco arcos.
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Coloque a ponta seca do compasso no ponto F' e com abertura igual a 1A , 2A,
3A, 4A e 5A trace mais cinco arcos. Depois, coloque a ponta seca no ponto F' e
com abertura igual a 1A', 2A', 3A', 4A' e 5A', trace mais cinco arcos que cortam
os anteriores, encontrando assim dez pontos da elipse.
Com centro em F e abertura 1'A , 2'A, 3'', 4'A e 5'A trace arcos que cortam os
anteriores encontrando assim os pontos da elipse.
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7. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DOS CÍRCULOS PRINCIPAIS
SENDO DADOS OS DOIS EIXOS.
Sejam os dois eixos AA' e BB'. Encontre os Focos F e F'. Trace um dos círculos
principais: centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência de raio
OA.
Trace o outro círculo principal com centro em O e raio OB. Divida o círculo
maior em n partes iguais (n = 16, por exemplo).
Divida o círculo menor no mesmo número de partes. Em seguida, trace retas
perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem a circunferência maior.
Em seguida trace retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que dividem a
circunferência menor.
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Na interseção das retas temos os pontos da elipse. Ligue os pontos para obter a
elipse.
8. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DO PARALELOGRAMO.
Sejam os dois eixos AA' e BB' da elipse inscrita no paralelogramo que tem os
lados iguais aos eixos maior e menor da elipse: AA' e BB'. Trace o
paralelogramo PQRS.
Divida o lado RS em seis partes iguais. Divida o lado PQ em seis partes iguais
transportando os pontos 2, 1 e 1', 2' (com o uso dos esquadros) fazendo
paralelas aos lados PS e QR.
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Divida os segmentos OB e OB' em três partes iguais cada um e em seguida,
divida os segmentos PQ e SR em seis partes iguais cada.
Para obter os pontos da elipse ligue o ponto A ao ponto 2''' e o ponto B ao
ponto 3 e prolongue até encontrar o segmento A2'''. No cruzamento dessas
duas retas tem-se um ponto da elipse. Em seguida, ligue o ponto A ao ponto 1'''
e o ponto B ao ponto 4 e prolongue até encontrar o segmento A1'''. No
cruzamento dessas duas retas tem-se mais um ponto da elipse.
Repita o mesmo procedimento para as outras três partes do paralelogramo
obtendo assim, todos os pontos da elipse.
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9. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DO RETÂNGULO.
Primeiro trace os eixos maior e menor (AA' e BB') da elipse inscrita no
retângulo. Depois trace o retângulo PQRS cujos lados são retas paralelas aos
dois eixos da elipse.
Divida os lados do retângulo em n partes iguais (no caso n = 6). Transporte
essas 6 divisões para o eixo BB' e em seguida trace retas partindo de A' que
chegam nos pontos do lado SR e depois trace retas que partem de A e passam
pelas divisões do eixo BB'. No cruzamento das retas teremos os pontos da
elipse.
Ligue os pontos encontrados obtendo assim a elipse.
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10. ENCONTRAR O FOCO DE UMA PARÁBOLA, SENDO DADOS O
EIXO, A DIRETRIZ E O VÉRTICE.
Sejam a diretriz d e o vértice V contido no eixo da parábola. Centre o compasso
no ponto V e com abertura VO trace um arco que corta o eixo no ponto F. As
distâncias OV e VF são semiparâmetro e a distância OF é o parâmetro.
11. TRAÇAR A PARÁBOLA PELO MÉTODO DOS PONTOS, SENDO
DADOS O FOCO E A DIRETRIZ.
Sejam dados a diretriz d e o foco F da parábola. Para construir a parábola,
primeiro encontre o vértice, que está no ponto médio do segmento FO que é a
distância entre o foco e a diretriz. Marque pontos no eixo a partir de F (no caso
5 pontos a uma distância arbitrária).
Trace retas perpendiculares ao eixo pelos pontos F, 1, 2, 3, 4 e 5. Centre a
ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a medida de F até a
diretriz, trace um arco que corte a reta que passa pelo ponto F em dois pontos
da parábola. Depois, sempre com centro do compasso no ponto F e com
abertura igual à distância que vai do ponto até a diretriz d, trace arcos que
cortem as retas que passam pelos mesmos pontos, encontrando assim os
pontos da parábola.
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Ligue os pontos e obtenha a parábola (em cor azul).
12. TRAÇAR A PARÁBOLA PELO MÉTODO DO RETÂNGULO, SENDO
DADOS O VÉRTICE, O EIXO E UM PONTO DA CURVA (ARCO
PARABÓLICO).
Seja o vértice A e o ponto P da parábola. Trace duas retas perpendiculares
entre si e que passam pelo ponto A. Em seguida, trace uma reta pelo ponto P
que seja perpendicular à reta horizontal que passa pelo ponto A.
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Trace uma reta paralela àquela que passa pelo ponto P, a uma mesma
distância. Depois, trace pelo ponto P uma reta paralela à reta horizontal que
passa pelo ponto A, formando assim o retângulo PP' RR'.
Divida os lados PR e P'R' em N partes iguais (no caso N = 4). Divida os
segmentos PQ e QP' em quatro partes iguais.
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Trace retas perpendiculares ao lado RR' pelos pontos 4, 5, 6, 6', 5' e 4'. Ligue o
ponto A aos pontos 1, 2, 3 e 1', 2' e 3'.
Na intersecção das retas têm-se os pontos da parábola. Ligue os pontos
obtendo assim a parábola inscrita no retângulo
13. TRAÇAR AS "ASSINTOTAS" DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS
OS EIXO REAL E IMAGINÁRIO.
Sejam os eixos AA' e BB'. Trace por B e B' retas paralelas ao eixo real AA'.
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Trace por A e A' retas paralelas ao eixo imaginário BB'. Construído o retângulo,
trace as duas diagonais.
Agora, prolongue as diagonais do retângulo. As assíntotas da hipérbole passam
pelas diagonais do retângulo.
14. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS O
EIXO REAL E O EIXO IMAGINÁRIO
Sejam dados os vértices AA' que se encontram no eixo real xx' e o eixo
imaginário BB'.
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Centre o compasso no ponto O (que está na interseção dos dois eixos) e com
abertura igual à distância AB trace um arco que corte o eixo real nos pontos F e
F' encontrando assim os focos da hipérbole (F e F’).
15. ENCONTRAR O EIXO REAL DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS
OS FOCOS E O EIXO IMAGINÁRIO.
Sejam dados o eixo imaginário BB', a distância focal FF' e o eixo real que passa
pelos pontos F e F'. Pede-se encontrar o segmento AA' (vértices da hipérbole)
conhecido por eixo real.
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Centre a ponta seca do compasso no ponto O e com a distância FB trace um
arco que corte o eixo real nos pontos A e A' que são os vértices da hipérbole.
16. ENCONTRAR O EIXO IMAGINÁRIO DE UMA HIPÉRBOLE SENDO
DADOS O EIXO REAL E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS.
Sejam dados a distância focal e o eixo imaginário BB'. Para encontrar os
vértices AA' da hipérbole, centre a ponta seca do compasso no ponto B e com
raio igual à distância OF trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A'.
17. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO
DADOS OS DOIS EIXOS.
Sejam dados o eixo imaginário BB', os vértices AA' e os focos FF' da hipérbole.
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Marque a partir do ponto F para a esquerda os pontos 1', 2' e 3'. Marque a
partir de F' para a direita os pontos 1, 2 e 3.
Centre o compasso no ponto F e com abertura igual à F'1, F'2 e F'3 trace três
arcos.
Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'.
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Agora com a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1A, 2A
e 3A trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim os pontos de um
ramo da hipérbole.
Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'.
Ligue os pontos obtendo assim os dois ramos da hipérbole.
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18. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO
DADOS OS DOIS EIXOS.
Sejam os vértices A e A' e um ponto P da hipérbole e seus dois eixos: real e
imaginário.
Trace pelo ponto P uma paralela ao eixo real e uma paralela ao eixo imaginário
e com os valores PP1 e PP3 construa o retângulo P, P1, P2, P3 encontrando os
pontos A e Q' no eixo imaginário.
Trace pelos pontos A e A' retas paralelas ao eixo imaginário encontrando R, R',
R'' e R'''.
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Divida o segmento P1R em N partes iguais (no caso N = 4). Em seguida divida
os segmentos QP1 e QP2 também em quatro partes iguais.
Transporte com os esquadros estas divisões para os outros lados paralelos dos
retângulos.
Ligue o vértice A aos pontos do segmento PP3.
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Ligue o vértice A' aos pontos dos segmentos PR'' e P3R''' encontrando na
interseção das linhas os pontos de um dos ramos da hipérbole.
Repita o mesmo procedimento do outro lado para encontrar o outro ramo da
hipérbole. Ligue A' aos pontos de P1P2.
Ligue A aos pontos de P1R e P2R' e na interseção das linhas marque os pontos.
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Os dois ramos da hipérbole aparecem em cor azul.
19. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO
DADOS OS DOIS EIXOS.
Seja a elipse dada abaixo. Trace uma reta secante que corta a elipse em dois
pontos A e B.
Trace outra reta secante que seja paralela à primeira e corte a elipse nos
pontos C e D. Encontre os pontos médios M e M' das cordas AB e CD
respectivamente.
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Ligue os pontos M e M' encontrando o diâmetro DD'. Encontre o ponto médio O
do diâmetro DD'.
Centre o compasso no ponto O e com um raio arbitrário trace um arco que
corte a elipse em três pontos: H, I e J estabelecendo as cordas HI e IJ da
elipse. O eixo maior AA' da elipse será a mediatriz da corda IJ o eixo menor BB'
da elipse será a mediatriz de HI.
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BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.
MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo:
Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.