55457049 geometria-analitica

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Geometria Analítica
Engenharia

Profª. Alessandra S. F. Misiak

Cascavel – 2009

Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG

1. O PLANO CARTESIANO

Y ( eixo das ORDENADAS )

Bissetriz dos Bissetriz dos quadrantes
quadrantes pares ímpares

2º
1º
QUADRANTE
QUADRANTE
( -, + )
( +, + )
x ( eixo das ABSCISSAS
)
4º
QUADRANTE
3º QUADRANTE ( +, - )
( -, - )

A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos
P( x, y ) para indicar este ponto.
Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro
partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os
eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das
ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.
A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a
que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.
Observações:
I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

P Є 0x ↔ P = ( x, 0
)
II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

P Є 0y ↔ P = ( 0, y
)
III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-
versa.

A Є bi ↔ A = ( a,
a)
IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-
versa.

B Є bp ↔ B = ( b,
-b )
EXERCÍCIOS
1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)
−3
E( , - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).
2

Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 2


2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes
ímpares.

3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:
a) Qual a ordenada do ponto P?
b) Em que quadrante encontra-se o ponto P?
c) Qual a distância do ponto P à origem?

02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

B
yb
dAB yb - ya
ya A

xb – xa

xa xb
Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento
de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:

d AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2

EXERCÍCIOS

4. Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A (3, 7) e B (1, 4) R: 13
b) E (3, -1) e F (3, 5) R: 6
c) H (-2,-5) e O (0, 0) R: 29
d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R: 5
e) P (3, -3) e Q (-3, 3) R: 72
f) C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5

5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2

6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é
a) 10 53
b) 15 2
16
R: c

7. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:
a) 5 20
b) 10 25
c) 15
R: a
8. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:


a) -1 -1 ou 10
b) 0 2 ou 12
c) 1 ou 13
R: c
9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?
a) (0,5) (6,2)
b) (5,0) (-1,0)
c) (2,3)
R:a
10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:
a) 5π 17π
b) 10π 29π
c) 20π
R: b

03. PONTO MÉDIO

Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:

B
yB
yM M
 x + xB y A + y B 

A
A M A , 
yA 2 2
 
xA xM XB

M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.

EXERCÍCIOS

11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A (-1, 6) e B (-5, 4) c) A (-1, 5) e B (5, -2)
b) A (1, -7) e B (3, -5) d) A (-4, -2) e B (-2, -4)

12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e
C(2, 4).

13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:
a) (4, 8) d) (1, 2)
b) (2, 4) e) (3, 4)
c) (8, 16)

14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto
B vale:
a) (1, 6) d) (-2, 2)
b) (2, 12) e) (0, 1)
c) (-5, 4)



04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão
alinhados, se e somente se:

C(xC, yC)
xA yA 1
B(xB, yB)
xB yB 1 = 0
xC yC 1
A(xA, yA)

EXERCÍCIOS

15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados.

16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo.
17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
a) 0 d) 12
b) 10 e) -4
c) 3

18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:
a) k = 11 d) k = 14
b) k = 12 e) k = 15
c) k = 13

05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (α ).
Por definição, temos que:

a = tg
α

São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:



Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:

∆y yB − y A − med . y
a= ou a= ou a=
∆x xB − x A med .x

06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Toda reta no plano possui uma equação de forma:

ax + by + c = 0

na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da
reta.
Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas:
♦ Conhecido dois pontos P ( x1 , y1 ) e P2 ( x2 , y2 )
1

x y 1
x1 y1 1 = 0
x2 y2 1

♦ Conhecido um ponto P ( x1 , y1 ) e a declividade a da reta:
1

y − y1 = a ( x − x1 )

y2 − y1
onde a= ou a = tgα
x2 − x1
19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a.
a) P(2, 3); a = 2

b) P(-2, 1); a = -2

1
c) P(4, 0); a = −
2

20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α .



a) P(2, 8) e α = 45º

b) P(-4, 6) e α = 30º

c) P(3, -1) e α = 120º

21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir:
a) A(1, 1) e B(-2, -2)

b) A(3, 1) e B(-5, 4)

c)A(2, 3) e B(8, 5)

22. Determine a equação geral da reta:
a) x – 2y - 4 = 0
b) 2x + y – 2 = 0
c) 4x – 2y – 4 = 0
d) x–y+2=0
e) x–y+4=0

23. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)
a) 4x + 3y + 1= 0 d) x + y – 4 = 0
b) 3x + 4y + 1= 0 e) x – y – 1 = 0
c) x+y+3=0

07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b”
é chamado de coeficiente linear.
Exemplos:
 2
a =2 a = − 3
y = 2 x − 3 2 x + y − 1 = 0
b = −3 1
 b=
 3

 5
a = 5 a = −
y = 5 x +1 5 x + 4 y = 0 4
b = 1  b=0

24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:
a) 2/3 e 4 d) 2/3 e -4
b) 3/2 e 12 e) -3/2 e 4
c) -2/3 e -12

25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é:
a) 10 d) 4 10
b) 2 e) 10
c) 3 10

26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:
a) ½ e -2
b) 2 e -1/2
c) -1/2 e -2 4
d) -2 e -1/2
e) ½ e -1/2
-2


27. Determine a equação reduzida da reta:
a) y=x+3
b) y = -x + 3
c) y = 2x+6 3
d) y=x–3
e) y = - 3x + 2
3

08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS

RETAS PARALELAS

Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2

Para essas retas, temos as seguintes possibilidades:

a1 = a2 
⇔ PARALELAS DISTINTAS

b1 ≠ b2 
a1 = a2 
⇔ PARALELAS COINCIDENTES

EXERCÍCIOS
b1 = b2 
28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x
+ 2y -1 = 0

29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação
x y
+ =1
2 3
30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x +
y–5=0



31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x
– 2y +1 = 0

32. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas.
a) 1 d) - 6
b) 2 e) 5
c) -3

33. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.
a) 2x – y + 9 = 0 d) x – 2y + 9 = 0
b) 2x – 3y – 15 = 0 e) 3x – 2y + 15 = 0
c) 3x + 2y – 15 = 0

34. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.
a) y = 2x – 3 d) y = x + 5
b) y = 4x – 10 e) y = - 4x +5
c) y = - x + 15

RETAS PERPENDICULARES

Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:

(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2

Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:

1
a1 = − ⇔ PERPENDICULARES
a2

EXERCÍCIOS

35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são:
a) x + 2y – 3 = 0 e x -2y + 7 = 0
b) 2x + y – 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0
7 2 3
c) y= x− e y = − x+7
3 3 2
36. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares.
a) 1 d) 15
b) 6 e) 5
c) -10

37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y -
12 = 0.
a) y = -2x – 1 d) y = -x + 5
b) y = x + 4 e) y = - x – 12
c) y = 3x + 2

38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
a) y = - 2x + 13 b) y = 2x – 13


c) y = x + 1 e) y = x – 4
d) y = 13x + 2

09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS

Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado
pelas suas equações.
Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma:
♦ Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes
♦ Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes
♦ Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas.

EXERCÍCIOS

39. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.
a) (-8, -22) d) (5, 6)
b) (1, 2) e) (-4, 12)
c) (4, -10)

40. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.
a) (-3, 3) d) (1, 2)
b) (2, -2) e) (3, 4)
c) (5, 22)

41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor
de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente.
a) 1 e (2, 0) d) 1 e (0, 2)
b) 2 e (1, 0) e) 2 e (1, 2)
c) 5 e (2, 0)

10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:

P(xP, yP)

Ax 0 + By 0 + C
d d Pr =
A2 + B 2

EXERCÍCIOS

42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r:
a) P(0, 3) e 4x + 3y + 1=0
b) P(1, -5) e 3x - 4y - 2 =0
c) P(3, -2) e 2x + y + 6 =0
d) P(6, 4) e y - 2 =0

43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a
coordenada p.

44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a
distância entre as duas retas.



45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.

11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por:
B(xB, yB)

C(xC, yC) xA yA 1
1
A= xB yB 1
A(xA, yA)
2
xC yC 1

EXERCÍCIOS

46. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).
a) 16 d) 12
b) 4 e) 8
c) 10

47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
a) 27 19
b) 54 43
c) 32

48. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).
a) 17 d) 6
b) 34 e) 8
c) 10



Cônicas

12. CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA

Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:

P(x, y)

yC R

( x − xc ) 2 + ( y − y c ) 2 = R 2
xC

EXERCÍCIOS

49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.

 (3,5)
C C (0, −2)
a)  c) 
R =2  R=4
 C (0,0) C (4, 0)
b) 
d) 
R = 7
 R=5
EQUAÇÃO GERAL
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro
C (2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado
perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da
circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
• os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
• não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a
ambos os membros as parcelas correspondentes



3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16

4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Condições para ser circunferência:

1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2) Coordenadas do centro:
 − coef .x − coef . y 
2. C = 0 ( não pode aparecer xy ) C = ; 
 2 2 
3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real ) Raio:
R= ( xc ) 2 + ( yc ) 2 − F

EXERCÍCIOS

50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4.
a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0

51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência:
a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0
b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0
c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0
d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0
e) 4x2 - 4y2 =0
f) x2 -10x + 25 + y2 =0

52. Determine o centro e o raio da circunferência x 2 + y 2 −10 x + 4 y − 20 = 0 , respectivamente:
a) (-2,5) e 7 d) (3,4) e 1
b) (5,2) e 5 e) (5,-2) e 7
c) (2,2) e 2

53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0
a) 2u.a. d) 16u.a.
b) 4u.a. e) 64u.a.
c) 8u.a.

54. Determine o valor de k para que a equação x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + k = 0 represente uma circunferência:
a) k > 5 b) k < 5


c) k > 10 e) k = 20
d) k < 15

41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0
a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0

13. POSIÇÕES RELATIVAS

PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o
seguimento de reta PC com R.
Há três casos possíveis:
1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.
2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.
3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.
Interno Pertence Externo
P

P
P

dPC < R dPC = R dPC > R

EXERCÍCIOS:

55. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 9

56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ.
a) P( -1, 2) e λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52
b) P( 2, 2) e λ: x + y2 - 10x + 8y - 1 = 0
2

c) P( 3, 1) e λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0

RET E CIRCUNFERÊNCIA
RETA

Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos
uma equação do 2º grau (na outra variável).
Calculando o discriminante (∆ ) da equação obtida, poderemos ter:
1º) Se ∆ > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).
2º) Se ∆ = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).
3º) Se ∆ < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).



Tangent
Secante Externa
e

∆ > ∆ = ∆ <
0 0 0
EXERCÍCIOS
57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo x 2 + y 2 − 4 x −1 = 0 :
58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns
(Tangente ou Secante), determine esses pontos:
a) r: 2x – y + 1=0 e λ: x2 + y2 – 2x = 0
b) r: x = y e λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0

DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o
seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.
Há três possibilidades:
1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).
2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção).
3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).
Tangentes Secante Externas

dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2, dC1C2 > R1 + R2,

EXERCÍCIOS
59. Qual a posição relativa entre as circunferências (λ ) x 2 + y 2 − 6 x −10 y + 9 = 0 e (δ )
x 2 + y 2 + 2x − 4 y + 4 = 0 .
a) tangente
b) secante
c) externas
d) coincidentes
e) n.d.a.

60. Dadas as circunferências λ 1 e λ 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se
Houver)
a) (λ 1) : x + y − 4 x − 8 y − 5 = 0 (λ 2): x + y − 2 x − 6 y + 1 = 0
2 2 2 2
e

b) (λ 1) : x + y − 8 x − 4 y + 10 = 0 (λ 2): x + y − 2 x − 10 y + 22 = 0
2 2 2 2
e

c) (λ 1) : ( x − 2) + ( y − 1) = 4 (λ 2): ( x − 2) + ( y + 2) = 1
2 2 2 2
e



d) (λ 1) : x + y = 16 (λ 2): x + y + 4 y = 0
2 2 2 2
e



Elipse

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a
distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias
desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse.

Observações:

1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.

A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam
esse comportamento.

2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por
um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• focos : os pontos F1 e F2

• centro: o ponto O, que é o ponto médio de

• semi-eixo maior: a



• semi-eixo menor: b

• semidistância focal: c

• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

• eixo maior:

• eixo menor:

• distância focal:

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever
a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma
circunferência.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:



b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

Nessas condições, a equação da elipse é:

Equação da Elipse
Fora da origem
1º caso: A1 A2 // eixo x

y
y'
B2
•
y
y' •P
y'
k ( x' )2 ( y ' )2
y
A1 • •
C
• •
x'
• A2 x'
+ 2 =1
F1 F2
a2 b
k
• (x - h)2 (y - k)2
B1 2
+ =1
a b2
h x x

h x'
Equação da Elipse
Fora da origem
x
2º caso:
A1 A2 // eixo y

(x - h)2 (y - k)2
+ =1
b2 a2



Exemplo
Determine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da
elipse de equação 4 x + 25 y = 100
2 2

Solução
4 x 2 25 y 2 100 x2 y2 x2 y2
4 x 2 + 25 y 2 = 100 ⇒ + = ⇒ + = 1⇒ 2 + 2 = 1
100 100 100 25 4 5 2

B1
•

A1 • • • • A2
F1 F2
•
B2
a=5 b=2
a = b + c ⇒ c 2 = a 2 − b2
2 2 2

c 2 = 25 − 4 = 21⇒ c = 21
21
A1 (−5, 0), A2 (5, 0) , B1 (0, −2) , B2 (0, 2), F1 (− 21, 0), F2 ( 21, 0) e =
5
Exemplo

1
Conhecendo os focos F1 (0, − 3) e F2 (0, 3) e a excentricidade e = , determine a equação da elipse.
2
Solução

c 1
e= e= → ⇒ a = 2c
a 2

c = 3

 ⇒a = 2 3
 a = 2c


a 2 = b 2 + c 2 ⇒ (2 3) 2 = b 2 + ( 3) 2 ⇒ 12 = b 2 + 3 ⇒ b 2 = 9
x2 y2 x2 y2
+ 2 =1⇒ + =1
b2 a 9 12

Exemplo
Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação
( x − 4) 2 + ( y + 3) 2 =1.
25 16
Solução

( x − 4) ( y + 3) ( x − 4) ( y + 3)
2 2 2 2

+ = 1⇒ + =1
25 16 52 42
( x − h) ( y −k)
2 2

2
+ =1
a b2



 h=4

 k = −3
 2
 a = 25 ⇒ a = 5
 2
 b = 16 ⇒ b = 4
a 2 = b 2 + c2

a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2
c2 = 9
c =3
C (4, -3)
F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3)
F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3)
Exemplo

1
Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro C (4, −2) , excentricidade e = e
2
eixo menor de medida 6 .

Solução

y

A2
•
4 x

B1 • • • B2
−2 C

• ( x − h) 2 ( y − k ) 2
+ =1
A1 b2 a2

h=4 k = −2
a2 = ? b2 = ?

2b = 6 ⇒ b = 3 ⇒ b 2 = 9

c 1 a
e= = ⇒c =
a 2 2
a =b +c
2 2 2

a
a 2 = 32 + ( ) 2 ⇒ a 2 = 12
2

( x − 4) 2 ( y + 2) 2
+ =1
9 12



Hipérbole

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a
distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da
diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação:Os dois ramos da hipérbole são
determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria
de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

• focos: os pontos F1 e F2

• vértices: os pontos A1 e A2



• centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de

• semi-eixo real: a

• semi-eixo imaginário: b

• semidistância focal: c

• distância focal:

• eixo real:

• eixo imaginário:

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Como c > a, temos e > 1.

Equações


a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2 ( c, 0)

Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

Nessas condições, a equação da hipérbole é:



Hipérbole eqüilátera

Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a=b

Assíntotas da hipérbole

Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o

coeficiente é .

Equação


a) eixo real horizontal e C(0, 0)



As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Observações:

1) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x

(x - h) 2 (y - k)2
+ =1
a2 b2

2) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y

(x - h) 2 (y - k)2
+ =1
b2 a2

Exemplos

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.



Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida.

Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

x2/16 – y2/25 = 1

Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.

Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41

Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60

Resp: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .

Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

x2/9 – y2/25 = 1

Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.

Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.

Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.

Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x

NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem

(0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.

Dada a hipérbole de equação:

x2/a2 – y2/b2 =1

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:

R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x

Veja a figura abaixo:



Parábola

Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do
plano eqüidistantes de F e d.

Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo
que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é
parabólica.

Elementos

Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:



• diretriz: a reta d

• vértice: o ponto V

• parâmetro: p

Então, temos que:

• o vértice V e o foco F ficam numa mesma
reta, o eixo de simetria e.

Assim, sempre temos .

• DF =p

• foco: o ponto F
• V é o ponto médio de

Equações


a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

Como a reta d tem equação e na parábola temos:

• ;

• P(x, y);

• dPF = dPd ( definição);

obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:



y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

x2= - 2py

Observações:

1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal



Equação: (y – k)2 = 4p(x – h) Diretriz: x = h – p Coordenadas do foco: F(h + p, k)

2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria vertical

Equação: (x – h)2 = 4p(y – k) Diretriz: y = k – p Coordenadas do foco: F(h, k + p)

Exemplos:

1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Resolução: Temos p/2 = 2 p = 4

Daí, por substituição direta, vem:

y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.

Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.



3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.

Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,

(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.



CURSO DE ENGENHARIA

DISCIPLINA: Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak

01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo.

02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8

Resp 2c=6

03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e do
eixo menor é 2
x 2 y2
Resp + =1
4 25

04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400

3
Resp
5
SUGESTÂO:
Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400

05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km e
que a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol
Resp:150929660 km
156056330km

06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.

 5  5   5  5
Resp :  − ,0  ;  ,0  ;  0,  ;  0, − 
 3  3   2  2

07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1)
x 2 y2
Resp + =1
4 1

(
08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A 2 2,1 e de
1
)
excentricidade
2

x 2 y2
Resp + =1
10 5



09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo
ponto A ( )
15, −1 e seu semi-eixo menor é 2.

x 2 y2
Resp. + =1
20 4

 6 
10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F  2 ,0 
 
 
. Calcular a excentricidade da elipse

2
Resp
2

11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S
(da Geometria S= πab )

x2 y2
Resp + = 1 e S=18 3 π u. a
36 27

12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10
m do centro da base

13. Determinar o comprimento da corda que a reta x = 4y − 4 determina sobre a elipse x 2 + 4y2 = 16
8 17
Resp.
5

x 2 y2
14. Determinar os pontos de intersecção da elipse + = 1 com a reta y = 2x + 3
4 9
 -48 −21 
Resp P(0,3) e P'  , 
 25 25 

15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos
A (2, 2) e B ( 2 3 ,0)



CURSO DE ENGENHARIA

DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak
Trabalho Geometria Analítica

1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :

a) m é um número primo c) m é um quadrado perfeito d) m = 0
b) m é primo e par e) m < 4

2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a) r é um número natural d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
b) r = - 3 e) não existe r nestas condições .
c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0

3. Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :

a) 200 c) 144 d) 36
b) 196 e) 0

4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A
se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0) c) (0,4) d) (0,5)
b) (0, -1) e) (0, 3)

5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é
igual a:

a) 25 c) 34 d) 44
b) 32 e) 16

6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto
G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
Resposta: 850
8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a) 4 c) 3,5 d) 4,5
b) 3 e) 2

9. Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?

10. Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:
a) elas são paralelas
b) elas são concorrentes
c) as três equações representam uma mesma reta .
11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas
equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y -
18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.
12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?



13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no
vértice Q é:

a) 12,32 c) 15,08 d) 7,43
b) 10,16 e) 4,65

14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).
15. Analise as afirmativas abaixo:
(01) toda reta tem coeficiente angular .
(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .
(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo
(08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .
(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .
(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .
16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ?
17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?
18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?
19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).
Respostas:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
c c b d c 65 850 d plela c (4,2) 3 d Y=x+3 42


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