O documento discute progressões aritméticas e geométricas, definindo-as e apresentando suas fórmulas, propriedades e exemplos. Progressões aritméticas são sequências em que cada termo difere do anterior por uma constante, enquanto progressões geométricas os termos se diferem pelo produto de um fator constante. O documento fornece detalhes sobre cálculo de razões, termos gerais, somas de termos e outros conceitos fundamentais dessas progressões.

1. Prof.: Rodrigo Carvalho

2. Prof.: Rodrigo Carvalho
PROGRESSÃO ARITMÉTICA(P.A.)
É uma sequência na qual cada termo, a partir do
segundo, é igual ao seu antecessor adicionado a uma
constante r, chamada de razão.
Exemplos:
a) (3, 5, 7, 9, 11,...) P.A.
a1 = 3 e r = 2
b) (8, 4, 0, -4, -8,...)P.A.
a1 = 8 e r = -4
c) (5, 5, 5, 5, 5,...) P.A.
a1 = 5 e r = 0
Tipos de P.A.:
a) Crescente: P.A. cuja
razão é positiva(r > 0).
b) Decrescente: P.A. cuja
razão é negativa(r < 0).
c) Constante: P.A. cuja
razão é nula(r = 0).

3. Prof.: Rodrigo Carvalho
Cálculo da razão de uma P.A.:
Para determinarmos a razão de uma P.A., basta
subtrairmos um termo qualquer(à exceção do 1º)
pelo seu antecessor.
r = an – an-1
Exemplo: Se x-1, 2x+1 e 4x são, nesta ordem, termos
consecutivos de uma P.A., determine sua razão.

4. Prof.: Rodrigo Carvalho
Fórmula do termo geral de uma P.A.
(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.A.
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r= a1 + 3r
a5 = a1 + 4r
a6 = a1 + 5r
..
.
an = a1 + (n-1)r
*OBS: an = ak + (n-k)r
a6 = a2 + 4rExs:
a10 = a7 + 3r

5. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos:
a) Numa progressão aritmética de1º termo igual a 11,
sabe-se que a razão vale 3. Determine o 10º termo
dessa P.A.
b) Determine a razão da P.A. cujo 1º termo é 22 e o 6º
é -32.
c) A soma do 1º com o 3º termos de uma P.A. é igual a
16, e a soma do 4º com o 7º vale -5. Determine o 12º
termo dessa progressão.

6. Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades
1ª) (..., a, b, c, ...) P.A.
b =
2
a + c
Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do
meio é a média aritmética do seu antecessor com seu sucessor.
2ª) (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) P.A.
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...
Numa P.A. com n termos, a soma dos termos dos extremos
é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.

7. Prof.: Rodrigo Carvalho
*OBS: Numa P.A. com um número ímpar de termos, o
termo médio(am) é a média aritmética dos termos dos
extremos.
am =
2
a1 + an
Numa P.A. genérica, podemos representar seus termos
de maneira a simplificar nossos cálculos.
- 3 termos em P.A.
- 5 termos em P.A.
- 4 termos em P.A.
(..., x - r, x, x + r, ...)
(..., x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r, ...)
(..., x - 3r, x - r, x + r, x + 3r, ...)

8. Prof.: Rodrigo Carvalho
Soma dos n termos de uma P.A. (Sn)
(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.A.
Sn =
2
(a1 + an ) . n
Ex: Numa progressão aritmética de 1º termo igual a
36, sabe-se que a razão vale -3. Determine a soma dos
12 primeiros termos dessa P.A.

9. Prof.: Rodrigo Carvalho
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA(P.G.)
É uma sequência na qual cada termo, a partir do
segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por uma
constante q, chamada de razão.
Exemplos:
a) (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...)P.G.
a1 = 1 e q = 2
b) (-25, -5, -1, -1/5,...) P.G.
a1 = -25 e q = 1/5
c) (6, 3, 3/2, 3/4, 3/8,...)
a1 = 6 e q = 1/2
P.G.
d) (-6, -12, -24, -48, -96,...) P.G.
a1 = - 6 e q = 2
e) (3, -6, 12, -24, 48,...)P.G.
a1 = 3 e q = - 2
f) (5, 5, 5, 5, 5,...) P.G.
a1 = 5 e q = 1
g) (7, 0, 0, 0, 0,...)P.G.
a1 = 7 e q = 0
h) (0, 0, 0, 0, 0,...)P.G.
a1 = 0 e q: qualquer valor real

10. Prof.: Rodrigo Carvalho
Tipos de P.G.:
a) Crescente: a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1
b) Decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1
c) Alternante ou Oscilante: q < 0
d) Constante ou Estacionária: q = 1
e) Singular: q = 0 ou a1 = 0
*OBS: Toda P.G. constante também é uma P.A. constante, de
razão r = 0.

11. Prof.: Rodrigo Carvalho
Cálculo da razão de uma
P.G.:Para determinarmos a razão de uma P.G., basta
dividirmos um termo qualquer(à exceção do 1º) pelo
seu antecessor.
q =
Ex: (UEFS) Adicionando-se a mesma constante a cada
um dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se
uma progressão geométrica de razão igual a:
an
an-1
a) 2/5 b) 4/3 c) 2 d) 5/2 e) 3

12. Prof.: Rodrigo Carvalho
Fórmula do termo geral de uma P.G.
(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.G.
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q . q = a1 . q32
a5 = a1 . q4
.
.
.
an = a1 . qn - 1
*OBS: an = ak . qn - k
Exs: a5 = a2 . q3
a9 = a4 . q5

13. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos:
a) Numa progressão geométrica de 1º termo igual a
32, sabe-se que a razão vale 1/4. Determine o 7º
termo dessa P.G.
b) Determine a razão da P.G. cujo 3º termo é 1/27 e o
7º é 81.

14. Prof.: Rodrigo Carvalho
Propriedades
1ª) (..., a, b, c, ...) P.G.
b = a . c
Dados três termos consecutivos de uma P.G., o termo do
meio é a média geométrica entre seu antecessor com seu
sucessor.
2ª) (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) P.G.
a1 . an = a2 . an-1 = a3 . an-2 = ...
Numa P.G. com n termos, o produto dos termos dos
extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos
extremos.
2

15. Prof.: Rodrigo Carvalho
Os números reais a e b são tais que a seqüência
(–6; a; b) é uma PA de razão r e (a; b; 48) é uma PG,
de razão q. O número de divisores positivos do
produto rq é:
a) 9
b) 8
c) 6
d) 4
e) 3

16. Prof.: Rodrigo Carvalho
*OBS: Numa P.G. com um número ímpar de termos, o
termo médio(am) é a média geométrica dos termos dos
extremos.
am = a1 . an
Numa P.G. genérica, podemos representar seus termos
de maneira a simplificar nossos cálculos.
- 3 termos em P.G.
- 5 termos em P.G.
- 4 termos em P.G.
2
P.G....),x.q,x,
q
x
,(...
P.G....),x.q,x.q,x,
q
x
,
q
x
,(... 2
2
P.G....),x.q,x.q,
q
x
,
q
x
,(... 3
3

17. Prof.: Rodrigo Carvalho
A soma dos três termos de uma progressão
geométrica é 31 e o produto deles é 125. Se a P.G. é
crescente, a sua razão é:
a) 5 e 1/5
b) 3 e 1/3
c) 5
d) 3
e) 1/5

18. Prof.: Rodrigo Carvalho
Soma dos n termos de uma P.G. (Sn)
(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an, ...) P.G.
Sn =
q - 1
a1.(q - 1)
Ex: Determine a soma dos 6 primeiros termos de uma
P.G., sabendo que o 2º termo vale 2 e o 5º é igual a 16
n

19. Prof.: Rodrigo Carvalho
Soma dos infinitos termos da P.G. convergente ( )
Ex: Uma P.G. com a1 = 4 e q = 1/2.
∞S
q1
a
S 1
−
=∞
Uma P.G. é convergente quando, ao calcularmos
cada novo termo dessa progressão, cada vez mais ele
se aproxima de zero.
(4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) P.G.
A soma dos infinitos termos de uma P.G.
convergente é calculada pela fórmula

20. Prof.: Rodrigo Carvalho
Se a soma dos termos de uma progressão geométrica
dada por (0,3; 0,03; 0,003; ...) é igual ao termo médio de uma
progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos
da progressão aritmética vale:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 2
e) 1/2

21. Prof.: Rodrigo Carvalho
A solução da equação no
universo R, é um número:
a) primo
b) múltiplo de 3
c) divisível por 5
d) fracionário
e) quadrado perfeito
,12...
32
1x
8
1x
2
1x
=+
+
+
+
+
+

22. Prof.: Rodrigo Carvalho
Interpolação(aritmética ou geométrica)
Interpolar = inserir, colocar, ...
Ex: Interpole 4 meios aritméticos entre 3 e 28.
Basta determinar a razão da progressão
Sugestão de exercícios:
CAPÍTULO 01
Questões: 5, 6, 8, 9, 14, 17, 22, 25, 31, 36, 42, 49, 53, 55, 63,
66, 70, 74, 79, 84, 86, 89 e 100.
VERMELHO: P.A.
VERDE: P.G.