O documento descreve a infância do matemático alemão Carl Friedrich Gauss e seu talento precoce para matemática. Aos sete anos, Gauss resolveu instantaneamente um problema de soma de números inteiros dado pelo seu professor, impressionando-o com sua habilidade. Seu professor passou seu ensino para um assistente mais jovem que se tornou amigo de Gauss. Ele foi reconhecido como um dos maiores gênios da história da matemática.

1. Thiago Dal´Bello Palheiro

2. Johann Carl Friedrich Gauss, aos sete anos
entrou para a escola. Segundo uma história
famosa, seu diretor, Butner, pediu que os
alunos somassem os números inteiros de um a
cem. Mal havia enunciado o problema e o
jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa,
dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi
encontrada através do raciocínio que
demonstra a fórmula da soma de uma
progressão aritmética. Alguns autores
argumentam que o problema seria de ordem
bastante mais complexa, sugerindo que
poderia ser uma soma de uma progressão
aritmética como 81097 + 81395 + 81693
+ ..... + 110897

3. Butner ficou tão atônito com a proeza de um
menino de dez anos que pagou do próprio
bolso livros de aritmética para ele, que os
absorvia instantaneamente. Reconhecendo
que fora ultrapassado pelo aluno, passou o
ensino para seu jovem assistente, Johann
Martin Bartels (1769-1856), apaixonado pela
matemática. Entre Bartels, com dezessete
anos, e o aluno de dez nasceu uma boa
amizade que durou toda a vida. Eles
estudavam juntos, ajudando-se em suas
dificuldades.

4. Ficou conhecido como o príncipe dos
matemáticos, muitos o consideram o maior
gênio da história da matemática

5. Chama-se Progressão Aritmética – PA – à
toda seqüência numérica cujos termos a partir
do segundo, são iguais ao anterior somado
com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA
crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA
crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA
constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10
( PA decrescente)

6. Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
.............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo
geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n
(n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo
da Progressão Aritmética – PA.

7.  Qual o milésimo número ímpar
positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o
primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e
queremos calcular o milésimo termo
a1000. Nestas condições, n = 1000 e
poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2
= 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número
ímpar

8.  Qual o número de termos da PA: ( 100,
98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an
= 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral,
fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2
= - 2n de onde conclui-se que - 80 = -
2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

9.  Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a
média aritmética dos termos vizinhos deste.
 Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
 Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente
de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
 Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes
dos extremos é constante.

10.  Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n +
s = r + r = 2r
 Estas propriedades facilitam sobremaneira a
solução de problemas.

11.  A PA serve para calcular acréscimos (ou
reduções) de um certo valor quando a variação
é sempre numericamente igual. Ex: se você
sabe quanto da para andar em um dia, você
sabe quanto andara em tantos dias e então
calcular o tempo da viagem...

12. 1 - Qual é o número mínimo de termos que se
deve somar na PA :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir
do primeiro termo, para que a soma seja
negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5

13. Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2
) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2
) / 10 < 0
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o
numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2
< 0
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto,
para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

14.  2 - As medidas dos lados de um triângulo são
expressas por x + 1, 2x , x2
- 5 e estão em PA ,
nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24
e) 33

15. Ora, se x + 1, 2x , x2
– 5 formam uma PA , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2
– 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2
+ 2x = 0
3x + 4 – x2
= 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2
– 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = -
1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2
– 5 ou substituindo o valor de x
encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto,
o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a
5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores
negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade
matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são
necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

16. “A Matemática é a rainha das ciências e
a teoria dos números é a rainha das
matemáticas.”
(Gauss)

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