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Thiago Dal´Bello Palheiro
Johann Carl Friedrich Gauss, aos sete anos
entrou para a escola. Segundo uma história
famosa, seu diretor, Butner, pediu que os
alunos somassem os números inteiros de um a
cem. Mal havia enunciado o problema e o
jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa,
dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi
encontrada através do raciocínio que
demonstra a fórmula da soma de uma
progressão aritmética. Alguns autores
argumentam que o problema seria de ordem
bastante mais complexa, sugerindo que
poderia ser uma soma de uma progressão
aritmética como 81097 + 81395 + 81693
+ ..... + 110897
Butner ficou tão atônito com a proeza de um
menino de dez anos que pagou do próprio
bolso livros de aritmética para ele, que os
absorvia instantaneamente. Reconhecendo
que fora ultrapassado pelo aluno, passou o
ensino para seu jovem assistente, Johann
Martin Bartels (1769-1856), apaixonado pela
matemática. Entre Bartels, com dezessete
anos, e o aluno de dez nasceu uma boa
amizade que durou toda a vida. Eles
estudavam juntos, ajudando-se em suas
dificuldades.
Ficou conhecido como o príncipe dos
matemáticos, muitos o consideram o maior
gênio da história da matemática
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à
toda seqüência numérica cujos termos a partir
do segundo, são iguais ao anterior somado
com um valor constante denominado razão.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA
crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA
crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA
constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10
( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
.............. an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo
geral da PA.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n
(n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo
da Progressão Aritmética – PA.
 Qual o milésimo número ímpar
positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o
primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e
queremos calcular o milésimo termo
a1000. Nestas condições, n = 1000 e
poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2
= 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número
ímpar
 Qual o número de termos da PA: ( 100,
98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an
= 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral,
fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2
= - 2n de onde conclui-se que - 80 = -
2n , 
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
 Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a
média aritmética dos termos vizinhos deste.
 Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
 Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente
de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.
 Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes
dos extremos é constante.
 Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n +
s = r + r = 2r
 Estas propriedades facilitam sobremaneira a
solução de problemas.
 A PA serve para calcular acréscimos (ou
reduções) de um certo valor quando a variação
é sempre numericamente igual. Ex: se você
sabe quanto da para andar em um dia, você
sabe quanto andara em tantos dias e então
calcular o tempo da viagem...
1 - Qual é o número mínimo de termos que se
deve somar na PA :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir
do primeiro termo, para que a soma seja
negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2
) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2
) / 10 < 0
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o
numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2
< 0
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto,
para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
 2 - As medidas dos lados de um triângulo são
expressas por x + 1, 2x , x2
- 5 e estão em PA ,
nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24
e) 33
Ora, se x + 1, 2x , x2
– 5 formam uma PA , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2
– 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2
+ 2x = 0
3x + 4 – x2
= 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2
– 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = -
1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2
– 5 ou substituindo o valor de x
encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto,
o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a
5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores
negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade
matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são
necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
“A Matemática é a rainha das ciências e
a teoria dos números é a rainha das
matemáticas.”
(Gauss)
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Progressão aritmética-prof-dalbello

  • 2. Johann Carl Friedrich Gauss, aos sete anos entrou para a escola. Segundo uma história famosa, seu diretor, Butner, pediu que os alunos somassem os números inteiros de um a cem. Mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi encontrada através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão aritmética. Alguns autores argumentam que o problema seria de ordem bastante mais complexa, sugerindo que poderia ser uma soma de uma progressão aritmética como 81097 + 81395 + 81693 + ..... + 110897
  • 3. Butner ficou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele, que os absorvia instantaneamente. Reconhecendo que fora ultrapassado pelo aluno, passou o ensino para seu jovem assistente, Johann Martin Bartels (1769-1856), apaixonado pela matemática. Entre Bartels, com dezessete anos, e o aluno de dez nasceu uma boa amizade que durou toda a vida. Eles estudavam juntos, ajudando-se em suas dificuldades.
  • 4. Ficou conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o maior gênio da história da matemática
  • 5. Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
  • 6. Termo Geral de uma PA Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r ..................................................... Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
  • 7.  Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar
  • 8.  Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,  de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.
  • 9.  Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.  Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2  Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.  Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.
  • 10.  Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r  Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.
  • 11.  A PA serve para calcular acréscimos (ou reduções) de um certo valor quando a variação é sempre numericamente igual. Ex: se você sabe quanto da para andar em um dia, você sabe quanto andara em tantos dias e então calcular o tempo da viagem...
  • 12. 1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na PA :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? *a) 9 b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5
  • 13. Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5. Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an: an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5 A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2 ) / 10 Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: (16n – 2n2 ) / 10 < 0 Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: 16n – 2n2 < 0 Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter: 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8. Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta é a letra A.
  • 14.  2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em PA , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33
  • 15. Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma PA , podemos escrever: 2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0 3x + 4 – x2 = 0 Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: x2 – 3x – 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1. Assim, teremos: x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24. O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
  • 16. “A Matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas.” (Gauss)