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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

              2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
                                                                         www.professorwaltertadeu.mat.br


               LISTA DE EXERCÍCIOS – PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - GABARITO

1) Complete cada seqüência de números e coloque um “X” se representam progressões aritméticas.

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ( )      b) -5, -6, -7, -8, -9, -10 ( X )      c) 10, 13, 17, 22, 28 (   )

Solução. A letra (b) é a única opção onde a diferença entre cada termo é constante: r = -1.

2) Uma seqüência numérica é determinada segunda a lei an = n2 + 1. Exiba os sete primeiros termos dessa
seqüência e avalie se representa uma progressão aritmética e nesse caso calcule a razão.

Solução. Calculando os valores de an para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, temos:

                    a1 = (1)2 + 1 = 2; a2 = (2)2 +1 = 5; a3 = (3)2 + 1 = 10; a5 = (5)2 + 1 = 26;

                                       a6 = (6)2 + 1= 37; a7 = (7)2 + 1 = 50

A seqüência an = 2, 5, 10, 26, 37, 50 não possui a mesma diferença entre os termos. Não é uma
progressão aritmética.

3) Uma progressão aritmética de razão 4 possui cinco termos. Se o último termo vale 1000, qual o primeiro
termo?

     Solução. O termos geral de uma P.A. é an = a1 + (n – 1)r. Pelos dados a1 = ?; n = 5; r = 4 e a5 = 100

Substituindo os valores, temos:      1000 = 1 +5 −).4 ⇒
                                           a   (  1    1000 = 1 +
                                                             a   16 ⇒ =
                                                                     a1 1000 −16 =984




4) Em cada item os três números estão em progressão aritmética. Encontre o termo desconhecido.

a) _____, 23, 37                           b) 5, ______, 15                            c)

Solução. Numa progressão aritmética cada termo é a média aritmética entre o sucessor e antecessor.
Para cada caso, temos:

                                                                                      2 32  34
             a1 +37                                        5 +15                       +
a)    23 =
                2
                    ⇒a1 = 46 −37 = 9          b)    a2 =
                                                             2
                                                                 = 10       c)   a2 = 3 3 = 3 = 34 = 17
                                                                                        2    2   6    3


5) O termo geral de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula an = a1 + (n – 1)r.

a) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13º termo:

Solução. Pela fórmula, temos:       a13 = +13 − ).11 = +12).11 = +
                                         5 (   1      5 (       5 132 =136.




b) Dados a5 = 100 e r = 10 calcule o primeiro termo:

Solução. Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever a5 = a1 + 4r. Substituindo, vem:

                                    100 = 1 + 4)(10) ⇒ =
                                         a   (        a1 100 −40 = .
                                                                  60
c) Sendo a7 = 21 e a9 = 27 calcule o valor da razão:

Solução. O nono termo de uma progressão aritmética é encontrado a partir do sétimo pela adição duas
                                                                                 27 − 21
vezes seguidas da razão. Isto é: a9 = a7 + 2r. Logo,   27 = 21 + ( 2)(r ) ⇒r =           = 3.
                                                                                    2


d) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada
pelo elemento -13 é:

Solução. O valor procurado na progressão é o que indica o número de termos. Isto é a n = -13.
Substituindo na fórmula, temos:

                                                                                 −36 −6
  −13 = 23 +( n −1)(− ) ⇒( n −1)(− ) = − −23 ⇒− n +6 = − ⇒n =
                     6            6     13     6        36                              = 7.
                                                                                  −6


O elemento -13 ocupa a sétima posição.

e) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética entre os termos, temos:

           ( 2 x ) +(3 x )                             2                             4 5               1
  x +1 =                   ⇒5 x = 2 x + 2 ⇒3x = 2 ⇒x =       . A seqüência é:   an =  , ,2    e   r=       .
                   2                                   3                             3 3               3


f) Qual o milésimo número ímpar positivo?

Solução. Números ímpares são seqüências de razão 2 com primeiro elemento igual a 1. O último termo
ocupa a posição n = 1000. Substituindo na fórmula temos:

                             a1000 = +1000 − )( 2) ⇒
                                    1 (     1       a10001 = + 999).2 =
                                                            1 (        1999.



g) Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96, ... , 22)?

Solução. Observa-se que a P.A. é decrescente ( r < 0). A razão vale (98 – 100 = - 2).

                  22 = 100 + ( n −1)(−2) ⇒ (n −1)(−2) = 22 −100
                                                               − 80         Logo há 40 termos.
                  ⇒ −2n + 2 = −78 ⇒ −2n = −78 − 2 ⇒ n =             = 40.
                                                               −2

h) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?

Solução. Escrevendo a5 = a1 + 4r e a20 = a1 + 19r é possível construir um sistema da seguinte forma:

  30 = a1 + 4r → x( −1)  −30 = −a1 − 4r                30
                        ⇒               ⇒15r = 30 ⇒r =    = 2.                O termo a1 = 30 – 4(2) = 22.
  60 = a1 +19r           60 = a1 +19r                  15


                                                                                       (a1 + an ).n
6) A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula S n =                    .
                                                                                            2

a) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A.: ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro
termo, para que a soma seja negativa?

Solução. Como há várias variáveis vamos dividir a reposta em etapas:

                       7 5 −7   2
a) Razão:     r =1 −     =    =− .     Progressão aritmética decrescente.
                       5   5    5
7           2      7 2n 2      9 2n
b) Expressão de an:       an =     + ( n −1)−  ⇒an = −   + ⇒an = −   .
                                 5           5      5  5  5     5  5


                                                           7 9 2n 
                                                           + −    .n
c) Expressão da soma: b) Expressão de an:                   5 5 5       16n − 2n 2 n(8 − n)
                                                     Sn =             =           =         .
                                                               2            10         5

Para que Sn seja negativa basta que o numerador da fração seja negativo. Como n representa o
número de termos tem que ser positivo. Logo para que n(8 – n) seja negativo, basta que 8 – n < 0 o que
significa que n > 8. O número mínimo determos deve ser 9.

b) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. nesta ordem.
Calcule o perímetro do triângulo.

Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética, temos:

         ( x + 1) + ( x 2 − 5)
  2x =                         ⇒ 4 x = x 2 + x − 4 ⇒ x 2 − 3x − 4 = 0
                   2
                                                       3+5
     − (−3) ± (−3) 2 − 4(1)(−4) 3 ± 9 + 16 3 ± 25  x1 = 2 = 4
                                                   
  x=                           =          =       ⇒
               2(1)                 2         2    x = 3 − 5 = −2
                                                    2
                                                         2

O valor x = -2 deve ser ignorado, pois implicaria que o lado (2x) valeria (-2). Logo x = 4. Os lados
portanto medem: 5, 8 e 13. O perímetro vale 5 + 8 + 13 = 24.

c) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é
igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

Solução. Escrevendo a3 = a1 + 2r; a7 = a1 + 6r; a4 = a1 + 3r e a9 = a1 + 8r, montamos o sistema:

                                                                           30
  30 = (a1 + 2r ) + (a1 + 6r ) → x( −1)  − 30 = −2a1 − 8r             r = 3 = 10
                                                                        
                                        ⇒                 ⇒ 3r = 30 ⇒ 
  60 = (a1 + 3r ) + (a1 + 8r )           60 = 2a1 +11r                a = 60 −11(10) = −25
                                                                         1
                                                                                2


O centésimo termo será:       a100 = 25 +100 − )(10) ⇒ 1 = 25 +
                                    −    (    1       a100 −   990 =965.

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Gabarito pa

  • 1. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br LISTA DE EXERCÍCIOS – PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - GABARITO 1) Complete cada seqüência de números e coloque um “X” se representam progressões aritméticas. a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ( ) b) -5, -6, -7, -8, -9, -10 ( X ) c) 10, 13, 17, 22, 28 ( ) Solução. A letra (b) é a única opção onde a diferença entre cada termo é constante: r = -1. 2) Uma seqüência numérica é determinada segunda a lei an = n2 + 1. Exiba os sete primeiros termos dessa seqüência e avalie se representa uma progressão aritmética e nesse caso calcule a razão. Solução. Calculando os valores de an para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, temos: a1 = (1)2 + 1 = 2; a2 = (2)2 +1 = 5; a3 = (3)2 + 1 = 10; a5 = (5)2 + 1 = 26; a6 = (6)2 + 1= 37; a7 = (7)2 + 1 = 50 A seqüência an = 2, 5, 10, 26, 37, 50 não possui a mesma diferença entre os termos. Não é uma progressão aritmética. 3) Uma progressão aritmética de razão 4 possui cinco termos. Se o último termo vale 1000, qual o primeiro termo? Solução. O termos geral de uma P.A. é an = a1 + (n – 1)r. Pelos dados a1 = ?; n = 5; r = 4 e a5 = 100 Substituindo os valores, temos: 1000 = 1 +5 −).4 ⇒ a ( 1 1000 = 1 + a 16 ⇒ = a1 1000 −16 =984 4) Em cada item os três números estão em progressão aritmética. Encontre o termo desconhecido. a) _____, 23, 37 b) 5, ______, 15 c) Solução. Numa progressão aritmética cada termo é a média aritmética entre o sucessor e antecessor. Para cada caso, temos: 2 32 34 a1 +37 5 +15 + a) 23 = 2 ⇒a1 = 46 −37 = 9 b) a2 = 2 = 10 c) a2 = 3 3 = 3 = 34 = 17 2 2 6 3 5) O termo geral de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula an = a1 + (n – 1)r. a) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13º termo: Solução. Pela fórmula, temos: a13 = +13 − ).11 = +12).11 = + 5 ( 1 5 ( 5 132 =136. b) Dados a5 = 100 e r = 10 calcule o primeiro termo: Solução. Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever a5 = a1 + 4r. Substituindo, vem: 100 = 1 + 4)(10) ⇒ = a ( a1 100 −40 = . 60
  • 2. c) Sendo a7 = 21 e a9 = 27 calcule o valor da razão: Solução. O nono termo de uma progressão aritmética é encontrado a partir do sétimo pela adição duas 27 − 21 vezes seguidas da razão. Isto é: a9 = a7 + 2r. Logo, 27 = 21 + ( 2)(r ) ⇒r = = 3. 2 d) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é: Solução. O valor procurado na progressão é o que indica o número de termos. Isto é a n = -13. Substituindo na fórmula, temos: −36 −6 −13 = 23 +( n −1)(− ) ⇒( n −1)(− ) = − −23 ⇒− n +6 = − ⇒n = 6 6 13 6 36 = 7. −6 O elemento -13 ocupa a sétima posição. e) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é: Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética entre os termos, temos: ( 2 x ) +(3 x ) 2 4 5  1 x +1 = ⇒5 x = 2 x + 2 ⇒3x = 2 ⇒x = . A seqüência é: an =  , ,2  e r= . 2 3 3 3  3 f) Qual o milésimo número ímpar positivo? Solução. Números ímpares são seqüências de razão 2 com primeiro elemento igual a 1. O último termo ocupa a posição n = 1000. Substituindo na fórmula temos: a1000 = +1000 − )( 2) ⇒ 1 ( 1 a10001 = + 999).2 = 1 ( 1999. g) Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96, ... , 22)? Solução. Observa-se que a P.A. é decrescente ( r < 0). A razão vale (98 – 100 = - 2). 22 = 100 + ( n −1)(−2) ⇒ (n −1)(−2) = 22 −100 − 80 Logo há 40 termos. ⇒ −2n + 2 = −78 ⇒ −2n = −78 − 2 ⇒ n = = 40. −2 h) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Solução. Escrevendo a5 = a1 + 4r e a20 = a1 + 19r é possível construir um sistema da seguinte forma: 30 = a1 + 4r → x( −1) −30 = −a1 − 4r 30  ⇒ ⇒15r = 30 ⇒r = = 2. O termo a1 = 30 – 4(2) = 22. 60 = a1 +19r 60 = a1 +19r 15 (a1 + an ).n 6) A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula S n = . 2 a) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A.: ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? Solução. Como há várias variáveis vamos dividir a reposta em etapas: 7 5 −7 2 a) Razão: r =1 − = =− . Progressão aritmética decrescente. 5 5 5
  • 3. 7  2 7 2n 2 9 2n b) Expressão de an: an = + ( n −1)−  ⇒an = − + ⇒an = − . 5  5 5 5 5 5 5  7 9 2n   + − .n c) Expressão da soma: b) Expressão de an: 5 5 5  16n − 2n 2 n(8 − n) Sn =  = = . 2 10 5 Para que Sn seja negativa basta que o numerador da fração seja negativo. Como n representa o número de termos tem que ser positivo. Logo para que n(8 – n) seja negativo, basta que 8 – n < 0 o que significa que n > 8. O número mínimo determos deve ser 9. b) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. nesta ordem. Calcule o perímetro do triângulo. Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética, temos: ( x + 1) + ( x 2 − 5) 2x = ⇒ 4 x = x 2 + x − 4 ⇒ x 2 − 3x − 4 = 0 2  3+5 − (−3) ± (−3) 2 − 4(1)(−4) 3 ± 9 + 16 3 ± 25 x1 = 2 = 4  x= = = ⇒ 2(1) 2 2 x = 3 − 5 = −2  2  2 O valor x = -2 deve ser ignorado, pois implicaria que o lado (2x) valeria (-2). Logo x = 4. Os lados portanto medem: 5, 8 e 13. O perímetro vale 5 + 8 + 13 = 24. c) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60. Solução. Escrevendo a3 = a1 + 2r; a7 = a1 + 6r; a4 = a1 + 3r e a9 = a1 + 8r, montamos o sistema:  30 30 = (a1 + 2r ) + (a1 + 6r ) → x( −1) − 30 = −2a1 − 8r r = 3 = 10   ⇒ ⇒ 3r = 30 ⇒  60 = (a1 + 3r ) + (a1 + 8r ) 60 = 2a1 +11r a = 60 −11(10) = −25  1  2 O centésimo termo será: a100 = 25 +100 − )(10) ⇒ 1 = 25 + − ( 1 a100 − 990 =965.