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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE ENTENDER: Conjunto dos números reais. O que é uma  sequência numérica ? Como determinar uma  sequência finita  ou  infinita ? Como determinar os  termos de uma sequência ? O que é uma  sucessão aritmética  e  soma  dos  termos  de uma  P.A. ?
O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA? São elementos cujos números pertencem ao conjunto dos números reais, esses elementos estão dispostos em uma certa ordem, um conjunto assim é chamado de   sequência numérica . Quando uma sequência tem infinitos termos ela se chamara  infinita ; caso contrário, é uma sequência  finita .
EXEMPLOS Sequências infinitas: Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...) Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...) Sequências finitas: Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5) Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)
O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA? É toda sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante chamada de  razão , essa constante é indicada pela letra  r .
DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA Determinar uma sequência é saber qual a imagem de n para todo n  lN  , e podemos fazê-lo aplicando a  lei de recorrência  ou o  termo geral . O que é lei de recorrência? É uma lei que permite calcular cada termo da sequência, apartir do termo anterior.
É necessário também, para determinação da  sequência , que o  primeiro termo  seja dado.
Onde : é o primeiro termo. é o segundo termo. é o terceiro termo. é o quarto termo. é o quinto termo.
EXEMPLOS (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de  razão  r = 2. (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de  razão  r = 0. (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de  razão  r = -4. Então uma P.A. pode ser: Crescente :  quando  r   é maior que zero ( r > 0 ). Constante :  quando   r  é igual a zero ( r = 0 ). Decrescente :  quando   r  é menor que zero ( r < o ).
AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS Exemplo 1:  Escreva os  quatro primeiros termos  de uma P.A sabendo que: = -3 e  r = 4.  r =  -  =  + r  = -3 + 4 = 1 =  + r  =1 + 4 = 5 =  + r  = 5 + 4 = 9 =  + r  =  9 + 4 = 13
Exemplo 2:   Escreva uma P.A. de  cinco termos   sabendo que: =  e  r = 3. =  + r  =  + 3  =  + r  =  + 6  =  + r  =  + 9  =  + r  =  + 12
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Determinar o  termo geral  de uma P.A. é calcular o valor de uma termo  qualquer. Essa  fórmula  permite que encontremos, dados  três dos quatro  elementos. Sendo: termo geral n  números de termos primeiro termo r  razão
Questão 1:  Calcule  na P.A.: (2, 5, 8,...)  =  + (n – 1). r  =  2 + (20 – 1). 3 = 2 + 19. 3 = 2 + 54 = 59
Questão 2:  Determine a  razão , sabendo que  = 14 e  = 0. =  + ( n – 1 ). r = 0 + (8 – 1). r 14 = 0 + 7 . r 14 = 7r r = 14 / 7 r = 2
AGORA TENTE FAZER SOZINHO. Determine o sexto termo de uma P.A. onde  = - 3 e r = 5   Só para relembrar  é o  primeiro termo  e r é a  razão .
SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE VOCÊ POSSUI = - 3 r =  5  n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A. = ? =  + ( n – 1 ). r = - 3+ ( 6 – 1 ). 5 = - 3+ 5 . 5 = - 3 + 25 = 22
INTERPOLAÇÃO Agora um outro exercício de P.A. que se chama  interpolação .  Este tipo de problema consiste em descobrir a  razão , para podermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dados dois valores (que são as extremidades) e a quantidades de termos que ficam entre essas  extremidades , chamamos de interpolar. Exemplo: Faça a interpolação  de  cinco meios aritméticos  entre - 8  e 22. Neste caso devemos descobrir  cinco números  entre - 8 e 22 que formem juntamente com estes a seguinte P.A.
6 RAZÕES 5 meios O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A. Como  = - 8 e  = 22, então: =  + 6 . r  22 = - 8 + 6 . r  r = 5 Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3, 2, 7, 12, 17, 22)
Obs:   Entre – 8 e 22 existem  6 razões , por isso na montagem da expressão multiplicamos  6. r . O número que se multiplica pela  razão  irá varias de acordo com a quantidades de termos.   1  2  3  4  5  6
Lembre-se que é preciso determinar a razão! AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO.   1 - (FATES) -  Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.
11 RAZÕES 10 meios (são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57) =  + 11 . r = 2 + 11 . r 57- 2 = 11r r = 55/11 r = 5
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA Podemos definir a  soma dos termos  de uma P.A. finita através da fórmula: Onde: soma dos termos de uma P.A. finita primeiro termo termo geral n  número de termos
EXEMPLO Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3, ...). Neste caso devemos primeiro determinar o valor de  através  da fórmula do termo geral.   r =  -  r = (-1) – (-3) r = 2
Agora podemos utilizar a  fórmula de somatória  dos termos da P.A. , já que temos os elementos necessários:
AGORA TENTE FAZER SOZINHO! 2 - (PUC-SP) -  Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que  = 79.
Solução:
Poderemos calcular qualquer termo das fórmulas gerais desde de que sejam conhecidos três desses quatro valores!  SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO (2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)
BIBLIOGRAFIA FACCHINI,Walter.  Matemática Volume Único.  Editora Saraiva, 2007. BACCARO, Nelson.  Matemática ; 2ºgrau. Editora Ática,1995.

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  • 2. AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE ENTENDER: Conjunto dos números reais. O que é uma sequência numérica ? Como determinar uma sequência finita ou infinita ? Como determinar os termos de uma sequência ? O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de uma P.A. ?
  • 3. O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA? São elementos cujos números pertencem ao conjunto dos números reais, esses elementos estão dispostos em uma certa ordem, um conjunto assim é chamado de sequência numérica . Quando uma sequência tem infinitos termos ela se chamara infinita ; caso contrário, é uma sequência finita .
  • 4. EXEMPLOS Sequências infinitas: Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...) Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...) Sequências finitas: Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5) Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)
  • 5. O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA? É toda sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante chamada de razão , essa constante é indicada pela letra r .
  • 6. DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA Determinar uma sequência é saber qual a imagem de n para todo n lN , e podemos fazê-lo aplicando a lei de recorrência ou o termo geral . O que é lei de recorrência? É uma lei que permite calcular cada termo da sequência, apartir do termo anterior.
  • 7. É necessário também, para determinação da sequência , que o primeiro termo seja dado.
  • 8. Onde : é o primeiro termo. é o segundo termo. é o terceiro termo. é o quarto termo. é o quinto termo.
  • 9. EXEMPLOS (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2. (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0. (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de razão r = -4. Então uma P.A. pode ser: Crescente : quando r é maior que zero ( r > 0 ). Constante : quando r é igual a zero ( r = 0 ). Decrescente : quando r é menor que zero ( r < o ).
  • 10. AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE EXERCÍCIOS Exemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.A sabendo que: = -3 e r = 4. r = - = + r = -3 + 4 = 1 = + r =1 + 4 = 5 = + r = 5 + 4 = 9 = + r = 9 + 4 = 13
  • 11. Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que: = e r = 3. = + r = + 3 = + r = + 6 = + r = + 9 = + r = + 12
  • 12. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de uma termo qualquer. Essa fórmula permite que encontremos, dados três dos quatro elementos. Sendo: termo geral n números de termos primeiro termo r razão
  • 13. Questão 1: Calcule na P.A.: (2, 5, 8,...) = + (n – 1). r = 2 + (20 – 1). 3 = 2 + 19. 3 = 2 + 54 = 59
  • 14. Questão 2: Determine a razão , sabendo que = 14 e = 0. = + ( n – 1 ). r = 0 + (8 – 1). r 14 = 0 + 7 . r 14 = 7r r = 14 / 7 r = 2
  • 15. AGORA TENTE FAZER SOZINHO. Determine o sexto termo de uma P.A. onde = - 3 e r = 5 Só para relembrar é o primeiro termo e r é a razão .
  • 16. SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE VOCÊ POSSUI = - 3 r = 5 n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A. = ? = + ( n – 1 ). r = - 3+ ( 6 – 1 ). 5 = - 3+ 5 . 5 = - 3 + 25 = 22
  • 17. INTERPOLAÇÃO Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação . Este tipo de problema consiste em descobrir a razão , para podermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dados dois valores (que são as extremidades) e a quantidades de termos que ficam entre essas extremidades , chamamos de interpolar. Exemplo: Faça a interpolação de cinco meios aritméticos entre - 8 e 22. Neste caso devemos descobrir cinco números entre - 8 e 22 que formem juntamente com estes a seguinte P.A.
  • 18. 6 RAZÕES 5 meios O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A. Como = - 8 e = 22, então: = + 6 . r 22 = - 8 + 6 . r r = 5 Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3, 2, 7, 12, 17, 22)
  • 19. Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões , por isso na montagem da expressão multiplicamos 6. r . O número que se multiplica pela razão irá varias de acordo com a quantidades de termos. 1 2 3 4 5 6
  • 20. Lembre-se que é preciso determinar a razão! AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO.   1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.
  • 21. 11 RAZÕES 10 meios (são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57) = + 11 . r = 2 + 11 . r 57- 2 = 11r r = 55/11 r = 5
  • 22. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita através da fórmula: Onde: soma dos termos de uma P.A. finita primeiro termo termo geral n número de termos
  • 23. EXEMPLO Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3, ...). Neste caso devemos primeiro determinar o valor de através da fórmula do termo geral. r = - r = (-1) – (-3) r = 2
  • 24. Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos da P.A. , já que temos os elementos necessários:
  • 25. AGORA TENTE FAZER SOZINHO! 2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que = 79.
  • 27. Poderemos calcular qualquer termo das fórmulas gerais desde de que sejam conhecidos três desses quatro valores! SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO (2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)
  • 28. BIBLIOGRAFIA FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora Saraiva, 2007. BACCARO, Nelson. Matemática ; 2ºgrau. Editora Ática,1995.