O documento descreve o conceito de sequência e suas propriedades. Uma sequência é um conjunto de objetos organizados em uma ordem definida. Pode ser finita ou infinita. Progressões aritméticas (P.A.) são sequências em que a diferença entre cada termo e seu antecessor é constante. O termo geral de uma P.A. é dado pela fórmula an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.

1. SequênciasSequências
ouou
sucessõessucessões

2. Uma sequência ,ou sucessão , é umUma sequência ,ou sucessão , é um
conjunto de objetos de qualquer naturezaconjunto de objetos de qualquer natureza
organizados ou escritos numa ordem bemorganizados ou escritos numa ordem bem
definida.definida.
Por exemplo, a sequência formada pelosPor exemplo, a sequência formada pelos
números ímpares:números ímpares:
(1;3;5;7;9;....)(1;3;5;7;9;....)
Ou a sequência formada pelos dia daOu a sequência formada pelos dia da
semana:semana:
(domingo; segunda-feira, terça-feira, quarta-(domingo; segunda-feira, terça-feira, quarta-
feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado)feira,quinta-feira, sexta-feira, sábado)

3. Uma sequência pode ser classificadaUma sequência pode ser classificada
comocomo finitafinita..
Por exemplo, podemos falar na sequênciaPor exemplo, podemos falar na sequência
dos meses do ano:dos meses do ano:
(Janeiro, fevereiro,março..., dezembro)(Janeiro, fevereiro,março..., dezembro)
EE infinita,,
Por exemplo a sequência dos númerosPor exemplo a sequência dos números
pares escritos em ordem crescente:pares escritos em ordem crescente:
(2,4,6,8,10,12....)(2,4,6,8,10,12....)

4. Para representar uma sequência,Para representar uma sequência,
escrevemos seus elementos, ou termos ,escrevemos seus elementos, ou termos ,
entre parênteses. Por exemplo, paraentre parênteses. Por exemplo, para
representar a sequência dos númerosrepresentar a sequência dos números
pares, fazemos assim:pares, fazemos assim:
(2,4,6,8,10,12,14,...)(2,4,6,8,10,12,14,...)

5. É importante destacar que , ao contrárioÉ importante destacar que , ao contrário
do que ocorre num conjunto, qualquerdo que ocorre num conjunto, qualquer
alteração na ordem dos elementos de umaalteração na ordem dos elementos de uma
sequência altera a própria sequência.sequência altera a própria sequência.
Por exemplo:Por exemplo:
{2,4,6,8}={4,2,8,6}{2,4,6,8}={4,2,8,6}
MasMas
(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)(2;4;6;8)≠(4;2;8;6)

6. Uma sequência genérica pode serUma sequência genérica pode ser
representada por:representada por:
(a; a; a; a;...;a;...)(a; a; a; a;...;a;...)
1 2 3 4 n1 2 3 4 n
NoteNote que os índices associados à letraque os índices associados à letra aa
indicam as posições dos termos naindicam as posições dos termos na
sequencia, isto é,sequencia, isto é,

7. a -a - representa o 1° termorepresenta o 1° termo
11
aa -- representa o 2° termorepresenta o 2° termo
22
..
..
..
a -a - representa o n-ésimo termorepresenta o n-ésimo termo
nn

8. Por exemplo, na sequênciaPor exemplo, na sequência
(1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...)
aa = 1,= 1, a =a = 4,4, aa == 9, a9, a = 16 e assim por= 16 e assim por
1 2 3 41 2 3 4
diante.diante.

9. Três termos consecutivos de umaTrês termos consecutivos de uma
sequência qualquer podem sersequência qualquer podem ser
representados porrepresentados por
a ; a ; aa ; a ; a
n-1n-1 nn n+1n+1
Dizemos também que:Dizemos também que:
aa é o antecessor deé o antecessor de aa
n-1n-1 nn
aa é o sucessor deé o sucessor de aa
n+1n+1 nn

10. Assim, na sequênciaAssim, na sequência
(1;4;9;16;25;36;...)(1;4;9;16;25;36;...)
9 é o9 é o antecessorantecessor de 16 e 25 é ode 16 e 25 é o sucessorsucessor
de 16.de 16.
Determinação de uma sucessão:Determinação de uma sucessão:
As sucessões são dadas, em sua maioria,As sucessões são dadas, em sua maioria,
por meio de uma regra chamadapor meio de uma regra chamada lei delei de
formaçãoformação e que nos permite calculare que nos permite calcular
qualquer termo da sucessão.qualquer termo da sucessão.

11. Exemplos:Exemplos:
Escrever a sucessão em queEscrever a sucessão em que a = 2.na = 2.n ee
nn
nn ЄЄ {1,2,3,4}{1,2,3,4}
Solução:Solução:
aa= 2.1= 2.1 =2;=2;aa= 2.2=4;= 2.2=4;aa== 2.3=6;2.3=6;aa= 2.4= 8= 2.4= 8
1 2 3 41 2 3 4
A sucessão procurada é:A sucessão procurada é:
( 2;4;6;8)( 2;4;6;8)

12. Progressões aritméticas:Progressões aritméticas:
Chama-se progressão aritmética (P.A)Chama-se progressão aritmética (P.A)
toda sequência numérica em que cadatoda sequência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual à somatermo, a partir do segundo, é igual à soma
de seu antecessor com um númerode seu antecessor com um número
constante r.constante r.
a = a + r (n ≥ 2)a = a + r (n ≥ 2)
n n-1n n-1
A constante r é a razão da P.AA constante r é a razão da P.A

13. Vejamos estes exemplos:Vejamos estes exemplos:
a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4a) (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...) P.A de razão 4
+4 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4
b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3b) (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...) P.A de razão -3
-3 -3 -3 -3-3 -3 -3 -3
c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0c) (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...) P.A de razão 0

14. Observações!!!!Observações!!!!
Uma p.a pode ser definida como umaUma p.a pode ser definida como uma
sequência em que a diferença entre cadasequência em que a diferença entre cada
termo e seu antecessor é constante. Istotermo e seu antecessor é constante. Isto
é,é,
a = a + r a – a = r (n ≥ 2)a = a + r a – a = r (n ≥ 2)
n n-1 n n-1n n-1 n n-1

15. Por exemplo, na p.aPor exemplo, na p.a
(2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7(2; 9; 16; 23; 30...) de razão 7
tem-se:tem-se:
aa -- aa = 9 - 2= 9 - 2 aa –– aa = 7= 7
2 1 2 12 1 2 1
aa -- aa = 16 - 9= 16 - 9 aa –– aa = 7= 7
3 2 3 23 2 3 2
aa -- aa = 23 -19= 23 -19 aa –– aa = 7= 7
4 3 4 34 3 4 3

16. Uma p.a de razão r é dita:Uma p.a de razão r é dita:
Crescente , se r › 0Crescente , se r › 0
ex.:ex.: (2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...)(2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18;...)
p.a de razão 4p.a de razão 4
Decrescente, se r‹0Decrescente, se r‹0
ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...)ex.: (5 ; 2 ; -1 ; -4 ; -7 ; ...)
p.a de razão -3p.a de razão -3
Constante, se r=0Constante, se r=0
ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)ex.: (6 ; 6; 6; 6; 6; 6 ;...)

17. Termo geral de uma p.aTermo geral de uma p.a
O termo geral de uma p.a é dado pelaO termo geral de uma p.a é dado pela
fórmula:fórmula:
a = a + (n-1) . ra = a + (n-1) . r
n 1n 1
Sua tradução para a linguagem comum é aSua tradução para a linguagem comum é a
seguinte:seguinte:
““ Para obter o enésimo termo de uma p.a,Para obter o enésimo termo de uma p.a,
basta somar n-1 vezes à razão aobasta somar n-1 vezes à razão ao
primeiro termo. “primeiro termo. “

18. Por exemplo, para determinar o 10° termoPor exemplo, para determinar o 10° termo
de uma p.a basta somar 9 vezes a razãode uma p.a basta somar 9 vezes a razão
ao 1° termo. Logo, na p.a,ao 1° termo. Logo, na p.a,
(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3(1;4;7;10;13;16;19;...) p.a de razão 3
Temos:Temos:
aa == a + 9r aa + 9r a == 1 + 9. 31 + 9. 3 .: a.: a=28=28
10 1 1010 1 10
1010
Da mesma forma que ,Da mesma forma que ,
aa == a +50r aa +50r a = 1 + 50.3 .:= 1 + 50.3 .: aa= 151= 151
51 1 5151 1 51
5151

19. Termos equidistantes de uma p.aTermos equidistantes de uma p.a
Numa sequência finita o primeiro e oNuma sequência finita o primeiro e o
último termo são chamados extremos.Porúltimo termo são chamados extremos.Por
exemplo,1 e 15 são os extremos da p.a,exemplo,1 e 15 são os extremos da p.a,
(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)
Dizemos que dois termos são de umaDizemos que dois termos são de uma
sequência são equidistantes dossequência são equidistantes dos
extremos se o número de termos queextremos se o número de termos que
antecede um é igual ao número de termosantecede um é igual ao número de termos
que sucedem o outro.que sucedem o outro.

20. Então , na p.a do exemplo dado, temos:Então , na p.a do exemplo dado, temos:
(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)
Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, 7Onde os pares de termos 3 e 13, 5 e 11, 7
e 9 são equidistantes dos extremos.e 9 são equidistantes dos extremos.
Propriedade:Propriedade:
Numa p.a finita, a soma de quaisquer dois
termos equidistantes dos extremos é igual
a soma dos extremos.

21. Utilizando ainda o exemplo dado temos :Utilizando ainda o exemplo dado temos :
(1;3;5;7;9;11;13;15)(1;3;5;7;9;11;13;15)
Onde:Onde:
1 e 15 são os extremos, sua soma é dada1 e 15 são os extremos, sua soma é dada
por: 1+15= 16. A partir daí temos,por: 1+15= 16. A partir daí temos,
3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos3 e 13 , 5 e 11 ,7 e 9 são termos
equidistantes desta p.a.Sua soma é dadaequidistantes desta p.a.Sua soma é dada
por:por:
3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.3+13 = 5+11 = 7+9 = 1+15 =16.

22. Soma dos termos de uma p.a finitaSoma dos termos de uma p.a finita
A soma dos n primeiros termos de umaA soma dos n primeiros termos de uma
p.a finita é dada pela fórmula:p.a finita é dada pela fórmula:
s = (a + a). ns = (a + a). n
n 1 nn 1 n
22
Por exemplo:Por exemplo:
Calcular a soma dos 15 primeiros termosCalcular a soma dos 15 primeiros termos
de uma p.a onde,de uma p.a onde, aa = 12 e= 12 e rr= 3= 3
11

23. Solução:Solução:
Antes de calcular a soma temos de acharAntes de calcular a soma temos de achar
aa ..
1515
aa = 12 + 14.3 .:= 12 + 14.3 .: aa =56=56
15 1515 15
Daí a soma dos 15 termos da p.a éDaí a soma dos 15 termos da p.a é
s = (12 + 56) . 15 /2 .:= (12 + 56) . 15 /2 .: ss =510=510
1515 1515

24. Exercícios:Exercícios:
1-Determine o 21°, 73° e 139° termos da1-Determine o 21°, 73° e 139° termos da
p.a (-17,-11;-5;...)p.a (-17,-11;-5;...)
2-calcule o primeiro termo de uma p.a , nos2-calcule o primeiro termo de uma p.a , nos
seguintes casos:seguintes casos:
a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4a) a= 92 e r=3 b) a= 81 e r = -4
34 8134 81
3-Quantos termos possui a seguinte p.a?3-Quantos termos possui a seguinte p.a?
(-19;-15;...;205)(-19;-15;...;205)

25. 4- Seja uma p.a em que a =-10 e r = 5.4- Seja uma p.a em que a =-10 e r = 5.
11
Calcule s e s.Calcule s e s.
10 2010 20
5-Calcule a soma dos 30 primeiros termos5-Calcule a soma dos 30 primeiros termos
da p.a: (52;48;44;...)da p.a: (52;48;44;...)

26. Bibliografia:Bibliografia:
Matemática 2- 2° grauMatemática 2- 2° grau
José Ruy GiovanniJosé Ruy Giovanni
José Roberto BonjornoJosé Roberto Bonjorno
Matemática – 2° grau – Volume únicoMatemática – 2° grau – Volume único
Manoel Jairo BezerraManoel Jairo Bezerra
José Carlos PutnokiJosé Carlos Putnoki

27. Novas Tecnologias no Ensino daNovas Tecnologias no Ensino da
MatemáticaMatemática
Pólo SaquaremaPólo Saquarema
Informática Educativa IIInformática Educativa II
Maria Angélica Barbosa de SouzaMaria Angélica Barbosa de Souza