1) O documento descreve o que são progressões aritméticas e como elas funcionam. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números que segue um ritmo definido de acrescer ou decrescer em relação ao número anterior. 2) Para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética, usa-se a fórmula an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo, n é a posição do termo procurado, e r é a razão da progressão. 3) O valor da soma dos n primeiros termos

1. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Introdução
Para entendermos esta matéria, vamos dar uma olhada no sentido do nome
"Progressões Aritméticas".
"Progressão" é tudo aquilo que progride, que vai para frente, que muda. Como
estamos falando de matemática, certamente será com números. Uma PROGRESSÃO é
uma sucessão de números um após o outros (Ex. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - ou também,
1, 5, 23, -25, 20, 20, 7,...). Ou seja, quando falamos simplesmente PROGRESSÃO,
estamos nos referindo a alguns números colocados um após o outro sem,
necessariamente, possuir uma lógica em sua distribuição.
E para ser uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA), o que deve acontecer?
Uma progressão aritmética é uma sucessão de números, um após o outro, que seguem
um "ritmo definido".
Veja a progressão abaixo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Esta progressão segue um ritmo definido, mostrado na figura abaixo:
Ou seja, temos um ritmo que é o de SOMAR DUAS UNIDADES a cada elemento que
acrescentamos. Este é o ritmo que estamos falando, somar sempre o mesmo número a
cada elemento acrescentado.
Como ela é uma progressão numérica que segue um "ritmo definido" de acréscimo em
relação ao número anterior, ela pode ser classificada como uma PROGRESSÃO
ARITMÉTICA CRESCENTE, pois note que sempre irá crescer.
Veja outro exemplo:
(16, 13, 10, 7, 4, 1, -2, -5...)
Esta também pode ser classificada como uma PA, pois segue um ritmo definido. O
qual, diferente da anterior, é de decréscimo. Por ser assim, ela é chamada de
PROGRESSÃO ARITMÉTICA DECRESCENTE.
Obs.: Só podemos chamar de P.A. se o ritmo que a seqüência seguir for de acréscimo
ou de decréscimo. Se tiver um ritmo diferente não será uma PA. Por exemplo, a

2. seqüência (1, 2, 4, 8, 16, ...) tem um ritmo, sempre dobrar o próximo elemento, mas
não é uma PA. :)
Vamos fazer um pequeno exercício agora:
Vamos verificar se as progressões abaixo são P.A., quando for diga se é crescente ou
decrescente:
(a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...)
(b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...)
(c) (-15, -10, -5, 0, 5, 10...)
(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)
(e) (10, 6, 2, -2, -6...)
(f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...)
RESPOSTAS:
(a) Não é uma PA, pois do primeiro para o segundo termo houve um acréscimo de 1
unidade, e do segundo para o terceiro houve um acréscimo de 8 unidades. Para ser PA
devemos ter o acréscimo sempre constante.
(b) É uma PA, pois o ritmo se manteve constante do início ao fim. Sempre somando
10, ou seja, CRESCENTE.
(c) É uma PA, pois o ritmo de somar 5 manteve-se constante, ou seja, é uma PA
CRESCENTE.
(d) PA CRESCENTE
(e) PA DECRESCENTE
(f) NÃO É PA.
Termo Geral
Para um melhor estudo de PA's, vamos agora dar "nome aos bois". Como exemplo,
vamos usar a progressão dada anteriormente:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante. Para não
desperdiçar lápis e papel, cada termo de uma PA tem seu nome: o primeiro é
chamado, normalmente, de a1, o segundo de a2, o terceiro de a3 e assim
sucessivamente. Então, nesta PA:
a1 = 1
a2 = 3 O número que aparece no nome do
a3 = 5 elemento é a "ordem" dele. Ou seja, a1 é
a4 = 7 o primeiro, a2 é o segundo, etc.
...

3. Quando temos um termo que não sabemos sua posição, chamamos de an, onde "n" é a
posição ocupada pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode ser qualquer
um.
Voltando ao exemplo.
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Como é uma PA, segue um "ritmo definido" (ritmo este que é a soma de 2 unidades
a cada elemento que acrescentamos). Este ritmo também tem um nome: se chama
"RAZÃO" e é representada por "r" minúsculo. Portanto, o segundo termo será a soma
do primeiro mais a razão; o terceiro será a soma do segundo mais a razão...
Vemos no nosso exemplo que cada próximo termo da progressão é acrescido de 2
unidades, portanto r = 2.
QUADRO 1 QUADRO 2
a1 = 1 1 = 1 a1 = 1 = a 1
a2 = 3 1 = 1 + 2 a2 = 1 = a 1 + r
a3 = 5 1 = 1 + 2 + 2 a3 = 1 = a 1 + r + r
a4 = 7 1 = 1 + 2 + 2 + 2 a4 = 1 = a 1 + r + r + r
a5 = 9 1 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 a5 = 1 = a 1 + r + r + r + r
... ... ... ...
No quadro 2 acima, vemos que cada termo que aumentamos, colocamos mais uma vez
a soma da razão. Vamos reescrever os valores do quadro 2:
QUADRO 2
a1 = 1= a1 a1= a1 + 0.r1
a2 = 1= a1 + r a2 = a1 + 1.r
a3 = 1= a1 + r + r a3 = a1 + 2.r
a4 = 1= a1 + r + r + r a4 = a1 + 3.r
a5 = 1= a1 + r + r + r + r a5 = a1 + 4.r
... ... ...
Note, na coluna destacada, que sempre irá aparecer o primeiro termo (a1) somado
com algumas vezes a razão. Há uma relação entre a posição do termo e o número de
vezes que a razão aparece (os números grifados em verde no quadro), tente achar
esta relação e diga, como seria o termo a22?
Isso mesmo, a22= a1 + 21.r.
Ou seja, se no terceiro termo temos 2 vezes a razão, no quarto termo temos 3, etc. A
relação entre tais valores é que o número de vezes que a razão irá aparecer é uma
unidade a menos que a ordem do elemento.

4. Portanto, se quisermos achar o termo de ordem "n" (termo genérico), iremos somar o
a1 com (n-1) vezes a razão. Podemos mostrar uma "fórmula" para calcular qualquer
termo de uma P.A.:
an = a1 + (n - 1).r
Obs.: Uma PA é dita estacionária quando sua razão vale ZERO.
Exercícios:
Qual a razão em cada uma das progressões abaixo?
(A) ( 1, 2, 3, 4, ... )
(B) ( 10, 17, 24, ... )
(C) ( -5, -4, -3, ...)
(D) ( 10, 1, -8, ...)
(E) ( -5, -10, -15, ...)
(F) ( 1/2, 1, 3/2, ...)
(G) ( x, x+2, x+4, ...)
Respostas:
1 (A)
7 (B)
1 (C)
-9 (D)
-5 (E)
1/2 (F)
2 (G)
Exercícios Resolvidos
1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o
13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
a1=5 r=11 a13=?
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13,
portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11
a13 = 5 + (12).11
a13 = 5 + 132
a13 = 137

5. 2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
a5 = a1 + (5 - 1).r
100 = a1 + (5 - 1).10
100 = a1 + 40
100 - 40 = a1
a1 = 60
3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r
a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r
Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um
sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:
a1 = 21 - 6r
Agora, substituindo na segunda:
27 = (21 - 6r) + 8r
27 = 21 + 2r
27 - 21 = 2r
6 = 2r
6/2 = r
r=3
4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a
razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
- informações do problema:
a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?
- Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1)r
-13 = 23 + (n - 1).(-6)
-13 - 23 = -6n + 6
-36 - 6 = -6n

6. -42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
n = 42/6
n=7 Resposta certa letra "B"
5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
- Informações:
a1= 2x
a2= x+1
a3= 3x
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos
que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a 2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a 3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou
seja:
a2 - a1 = a3 - a2
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
x + 1 - 2x = 3x - x - 1
x - 2x - 3x + x= -1 - 1
-3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1)
3x = 2
x = 2/3 Resposta certa letra "B"
Soma dos "n" primeiros termos
Em um vestibular, pode também ser pedido que você calcule a soma dos termos de
uma PA. Pode ser pedido a soma dos 25 primeiros termos, ou dos 200 primeiros
termos.
Estas somas são simbolizadas por S25 (soma dos 25 primeiros termos), por S200 (soma
dos 200 primeiros termos) ou por Sn (soma dos "n" primeiros termos). Vamos ver um
exemplo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

7. Esta progressão possui 10 termos e a1=1, a10=19 e r=2. Se quiséssemos saber a soma
dos 10 primeiros termos desta PA, poderíamos calcular manualmente, ou seja,
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100. Mas, se fosse pedido a soma dos 145
primeiros termos?? BAH, manualmente iria demorar muito.
Vamos ver se existe uma maneira mais prática.
Observe quanto vale a soma do primeiro com o último termo desta PA:
Agora, veja a soma do segundo com o penúltimo:
E a soma do terceiro com o antepenúltimo, do quarto com o antes do antepenúltimo ...
Note, que a soma 20 apareceu exatamente 5 vezes. Ao invés de somar termo a termo,
poderíamos somar 5 vezes o 20, ou seja, 5x20=100 (mesmo resultado).
Agora, pense!!! Por que que apareceu cinco vezes a soma = 20?????
Isto mesmo, pois tínhamos 10 termos, e como pegamos eles de 2 em 2, é óbvio que a
soma iria aparecer um número de vezes igual a metade do número de termos!

8. E agora, se fosse uma progressão com 100 elementos? Deveríamos proceder da
mesma maneira!
A soma do primeiro com o último iria se repetir por 50 vezes (metade de 100),
portanto, matematicamente falando teríamos:
S100=(a1+a100).50
Para concluir. Se tivéssemos que calcular a soma dos elementos de uma PA com "n"
termos? A soma do primeiro com o último iria se repetir por n/2 vezes. Ou seja,
podemos escrever:
Sn = (a1 + an) . n/2
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Dê uma olhada nos exercícios abaixo e veja como é fácil:
1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos
trinta primeiros termos?
- Informações do problema:
a1=100 a30=187 n=30 S30=?
- Aplicando a fórmula da soma, temos:
S30 = (100 + 187) . 30/2
S30 = (287) . 15
S30 = 4305
2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a
soma dos 12 primeiros termos desta PA:
- Informações do problema:
a1=21 r=7 S12=?
- Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor
de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.
a12=a1+(12-1)7
a12=21+77
a12=98
- Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
S12=(a1+a12)6

9. S12=(21+98)6
S12=119*6
S12= 714
3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do
13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos
esmigalhar ao máximo. Te liga só!
- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro
termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a
fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o
valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega
ratão).
- O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
- Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem
nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
- Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
- Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é
igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só
substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa letra "C"
Interpolação de Meios Aritméticos

10. Muitos exercícios citam "Interpolação de meios aritméticos" entre dois termos. Este
tópico nada mais é do que uma simples interpretação do que é pedido no exercício. A
única teoria disso é saber que "interpolar" significa "colocar entre", e "meios
aritméticos" significa "números que formam uma PA". Veja os exercícios resolvidos:
1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocar 10 números entre 5 e
38. Daí, teremos:
5 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 38
- Isto quer dizer que a PA terá 12 termos, então as informações são:
a1=5 e a12=38 r=?
- Agora é só usar a fórmula do termo geral :
a12=a1+(12-1)r
38=5+11r
38-5=11r
33=11r
r=33/11
r=3 Resposta certa letra "C"
2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de
razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações do problema:
a1=112 an=250 r=23
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
an=a1+(n-1)r
250=112+(n-1)23
250-112=23n-23
138+23=23n
161=23n
n=161/23
n=7

11. - Espere um pouco, o pega mané está na letra "E", porque 7 é o número total de
termos. Devemos subtrair os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem
ser inseridos "ENTRE" estes dois. A resposta certa é a letra "C"