01. O documento apresenta definições e propriedades de progressões aritméticas e geométricas, incluindo fórmulas para calcular termos gerais e somas. 02. São fornecidos exemplos e exercícios de fixação sobre progressões aritméticas e geométricas. 03. As questões abordam cálculos envolvendo termos, razões e somas de progressões aritméticas e geométricas.

1. DEFINIÇÃO: PA é toda sequência de números re- 07) Escreva uma PA de três termos de modo que a
ais na qual cada termo, a partir do segundo, é igual soma dos termos seja -3 e o produto deles seja 8.
ao anterior somado a uma constante denominada
razão r. 08) (FGV SP) Em um triângulo, os três ângulos es-
Ex.: PA (2, 7, 12, 17, ...) tão em PA e o maior ângulo é o dobro do menor.
Calcule o menor ângulo desse triângulo.
CLASSIFICAÇÃO:
r > 0 → crescente Ex.: (1, 5, 9, 13, ...) 09) Interpole quatro meios aritméticos entre os
r = 0 → constante Ex.: (-2, -2, -2, ...) números 11 e 26.
r < 0 → decrescente Ex.: (10, 7, 4, 1, ...)
10) Insira doze meios aritméticos entre 60 e -5.
TERMO GERAL DE UMA PA:
an = a1 + (n – 1). r onde: 11) Determine a soma dos dez primeiros termos da
an: termo geral a1: primeiro termo PA (1, 4, 7, ...).
n: nº de termos r: razão
12) Qual é a soma dos trinta primeiros números
REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS ímpares?
TERMOS DE UMA PA:
Três termos: (x – r, x, x + r) 13) Determine a soma dos vinte primeiros termos
Quatro termos: (x – r, x, x + r, x + 2r) da PA (-15, -11, -7, ...).
PROPRIEDADE DE UMA PA: A soma de dois ter- 14) (Gama Filho RJ) A soma dos seis termos de
mos equidistantes dos extremos de uma PA finita é uma progressão aritmética de razão r é igual a
igual a soma dos extremos. 150. Se o último termo dessa progressão é 45, a
Ex.: PA (1, 4, 7, 10) 1 + 10 = 4 + 7 razão r vale:
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA: a) 9 b) 8 c) 7
(a1 + a n ).n d) 6 e) 5
Sn =
2
onde Sn é a soma dos termos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO:
01) Verifique quais sequências formam uma PA,
determinando a razão e classificando:
a) (3, 7, 11, 15, ...) b) (5, 1, -3, -7, ...)
c) (-2, 4, -8, ...) d) ( 10, 10, 10, ...)
02) Determine o 10º termo da PA (1, 6, 11, ...).
03) Qual é o primeiro termo de uma PA em que
a16 = 53 e r = 4 ?
04) Determine o número de termos da PA (-6, -9,
-12, ..., -66).
05) Determine o valor de x de modo que os termos
x + 3, 4x – 2 e x – 1, nessa ordem, formam uma
PA.
06) Quantos são os múltiplos de 3 compreendidos
entre 5 e 40 ?

2. DEFINIÇÃO: Podemos definir progressão geomé- Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
trica, ou simplesmente PG, como uma sucessão de Simplificando convenientemente, chegaremos à
números reais obtida, com exceção do primeiro, seguinte fórmula da soma:
multiplicando o número anterior por uma quantida-
de fixa q, chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela
não esteja suficientemente evidente, dividindo en-
Se substituirmos an = a1. qn-1 , obteremos uma no-
tre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na
va a- presentação
sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
para a fórmula da soma, ou
seja:
CÁLCULOS DO TERMO GERAL: Numa progres-
são geométrica de razão q, os termos são obtidos,
por definição, a partir do primeiro, da seguinte ma-
neira:
Pode ser usada tanto uma como a outra, conforme
a1 a2 a3 ... a20 ... an ... conveniência.
a1 a1 . q a1 . q2 ... a1 . q19 ... a1 . qn-1 ... Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da
PG (1,2,4,8,...)
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do Temos:
termo geral, também chamado enésimo termo, pa-
ra qualquer progressão geométrica.
Observe que neste caso a1 = 1.
n-1
an = a1 . q
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG DECRES-
CENTE E ILIMITADA
Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 3, então: Considere uma PG ilimitada (infinitos termos) e de-
crescente. Nestas condições, podemos considerar
que no limite teremos an = 0. Substituindo na fór-
an = 2 . (3)n-1 mula anterior, encontraremos:
Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, a1
Sn =
substituindo-o na fórmula, obtemos: 1 q
Exemplo:
a5 = 2 . (3)5-1 = 2 . (3)4 = 162 Resolva a equação:
x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100.
A semelhança entre as progressões aritméticas e O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x
as geométricas é aparentemente grande. Porém, e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:
encontramos a primeira diferença substancial no
momento de sua definição. Enquanto as progres-
sões aritméticas formam-se somando-se uma
mesma quantidade de forma repetida, nas pro- Dessa equação nós encontramos como resposta
gressões geométricas os termos são gerados pela x = 50.
multiplicação, também repetida, por um mesmo
número.
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA
PG: Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para o
cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos
considerar o que segue:

3. 01 Sobre a progressão aritmética dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido
a mensagem, o valor de x é:
(7, 16, 25, 34, ...) é correto afirmar que:
a) 12 b) 24 c) 52
a) o número 9.000 é um dos seus termos
d) 63 e) 126
b) o número 7.000 é um dos seus termos
c) seu décimo termo é 89 07 Uma progressão aritmética tem seis termos. A
d) a soma dos quatro primeiros termos é maior que
soma dos cinco primeiros termos é igual a –5 e a
100
soma dos cinco últimos termos é igual a 10. A ra-
e) a sua razão é um numero primo
zão dessa progressão aritmética é:
02 Se numa progressão aritmética de termo geral a) 1 b) –2 c) 3
an tem-se a1 + a4 = 13 e a3 – a1 = 6, então, a soma d) 0 e) -5
dos dez primeiros termos dessa P.A. é:
08 Uma sequência é tal que a1 = 8 e an = an-1 + 12
a) 130 b) 95 c) 65
(n > 2). A soma dos vinte primeiros termos dessa
d) 155 e) 195
sequência é:
03 Numa cerimônia de formatura de uma faculda- a) 228 b) 4.720 c) 3.260
de, os formandos foram dispostos em 20 filas, de d) 2.360 e) 2.440
modo a formar um triângulo, com 1 formando na
primeira fila, 3 formandos na segunda fila, 5 na ter- 09 Uma progressão aritmética possui 513 termos,
ceira, e assim por diante, constituindo uma pro- todos impares. O seu primeiro termo, e a razão,
gressão aritmética. O número de formandos na ce- são as raízes da equação x2 – 15x + 44 = 0. Para
rimônia é: quantos termos dessa sequência o algarismo das
unidades é 9?
a) 400 b) 410 c) 420
d) 800 e) 840 a) 102 b) 103 c) 104
d) 105 e) 106
04 Numa sequência infinita de círculos, cada cír-
culo, a partir do segundo, tem raio igual à metade 10 Uma alga cresce de modo que a cada dia ela
do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo cobre uma superfície de área igual ao dobro da á-
tem raio 4, então, a soma das áreas de todos os rea coberta no dia anterior. Se essa alga cobre a
círculos é: superfície de um lago em 100 dias, assinale a al-
ternativa correspondente ao número de dias ne-
a) 12π b) 15π / 4 c) 64π / 3
cessários para que duas algas da mesma espécie
d) 32π e) 32π / 3
da anterior cubram a superfície do mesmo lago.
05 O valor de mercado de um produto é alterado a) 50 dias b) 25 dias c) 98 dias
a cada mês, com um acréscimo de 20% em rela- d) 99 dias e) 43 dias
ção ao mês imediatamente anterior. A sequência
de valores desse produto, a cada mês, forma uma 11 Numa progressão geométrica, a diferença en-
progressão: tre o 2º e o 1º termos é 9, e a diferença entre o 5º e
o 4º termos é 576. O 1º termo da progressão é:
a) aritmética de razão 1,2
b) geométrica de razão 0,2 a) 3 b) 4 c) 6
c) geométrica de razão 20 d) 8 e) 9
d) geométrica de razão 1,2
e) aritmética de razão 0,2 12 Os frutos de uma árvore, atacados por uma
moléstia, foram apodrecendo dia após dia, segun-
06 No dia 1º de dezembro, uma pessoa enviou, do os termos de uma progressão geométrica de
pela internet, uma mensagem para x pessoas. No primeiro termo 1 e razão 3, isto é, no primeiro dia
dia 2, cada uma das x pessoas que receberam a apodreceu 1 fruto, no segundo dia 3 outros, no ter-
mensagem no dia 1º enviou a mesma mensagem ceiro dia 9 outros, e assim sucessivamente. Se no
para duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa sétimo dia, apodreceram os últimos frutos, o núme-
que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou ro de frutas atacadas pela moléstia foi:
a mesma mensagem para outras duas pessoas. E,
assim, sucessivamente. Se, do dia 1º até o final do a) 363 b) 364 c) 729
d) 1092 e) 1093