Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.

1. Matemática
Matemática I
Função Exponencial .............................................. 3
Logaritmo .............................................................. 7
Polinômios ........................................................... 11
Análise Combinatória .......................................... 15
Binômio de Newton ............................................. 19
Matriz .................................................................. 23
Determinante ....................................................... 27
Sistemas Lineares ............................................... 30
Progressão Aritmética e
Progressão Geométrica ...................................... 34
no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com
A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda,
exposição à venda, aluguel, aquisição, ocultamento,
autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto
empréstimo, troca ou manutenção em depósito sem
Matemática II
Geometria Espacial ............................................. 38
multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos.
I ­ Prisma ......................................................... 38
II ­ Pirâmide ...................................................... 40
III ­ Cilindro ........................................................ 42
IV ­ Cone ........................................................... 43
V ­ Esfera ......................................................... 46
M2
JOSÉ AUGUSTO DE MELO

2. Anotações

3. Tecnologia ITAPECURSOS
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1­ DEFINIÇÃO
Seja a um número real tal que a > 0 e a ¹ 1.
*
Chamamos de função exponencial à função f : R ® R definida por f(x) = a
x
+
x
æ 1ö
Exemplos: a) f(x) = 3 x
b) f(x) = ç ÷
è 2 ø
2­ GRÁFICO
1º caso: a > 1 ; a função é crescente 2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente
PROPRIEDADES
P.1) Domínio = R
Imagem = {y Î R : y > 0}
x
P.2) A função exponencial, f(x) = a não tem raiz.
x
P.3) A interseção do gráfico de f(x) = a com o eixo 0y é o ponto (0,1)
P.4) A função exponencial é bijetora
x
a + b
1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2 . A ordenada do ponto P da abscissa é:
2
a) c . d
b) c + d
c + d
c)
2
2
d) (cd)
e) cd
Solução:
a b
+
y = 2
p
2 ; y = 2 a +b ; y = 2 a × 2 ; y = c × d
p p
b
p
Resp: e
Matemática ­ M2 3

4. Tecnologia ITAPECURSOS
2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t ), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaram
0
que essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior.
a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t ?
0
55
b) Em que observação a colônia alcançou 375.2 bactérias?
Solução:
n
Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2 , onde n é a observação
realizada após t .
0
4
a) Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 2 ; f(4) = 24000.
55 n 55
b) Queremos que f(n) = 375 . 2 ; 1500 . 2 = 375 . 2
55
n
375 × 2 55 n
2 n 53
2 = ; 2 = 2 ; 2 = 2 ; n = 53
1500 2
Resp: Na 53ª observação.
3­ EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se
x y
a = a , então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no
expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais.
Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da
x y
forma a = a . Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.
1
m n m+n ­n
a . a = a a =
a n
-n n
æ aö æ bö
m n
a : a = a m­n ç ÷ = ç ÷
è bø è aø
n
m n m.n n n
(a ) = a (a . b) = a . b
a = n a
m/n m
Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir.
Observação: As equações redutíveis à forma a = b com a ¹ b você aprenderá a resolver no capítulo
x y
sobre logaritmos.
1) Resolva a equação: x x + 1 – 2
2) Resolva a equação: 2 + 2 x + 2 + 2
x – 1 = ­8
x x + 3 – 8
16 . 4 x + 2 = 0 Solução
Solução: x x x 2 x ­ 1
2 + 2 . 2 – 2 . 2 + 2 . 2 = ­ 8 ;
x x + 3 ­ 8
16 . 4 x + 2 ; 16 . 4
x x + 3 = 8
x + 2
1 æ 1 ö
4 x 2 x + 3 = ( 2 )
( 2 ) . ( 2 ) 3 x + 2 ; 2 . 2
4x 2x + 6 = 2
3x + 6 x
2 . (1 + 2 – 4 + ) = ­ 8 ; 2 . ç - ÷ = ­ 8 ; 2 = 16
x x
2 è 2 ø
6x + 6 = 2
2 3x + 6 ® 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0
x 4
2 = 2 ; x = 4
Resp: x = 0
Resp: x = 4
4 Matemática ­ M2

5. Tecnologia ITAPECURSOS
2x + 1 + 5 . 3 = 2
3) Resolva a equação: 3 x x x – 1 = 8
4) Resolva a equação: 7 + 7 x
Solução: Solução:
2x x 2x x 2
3 . 3 + 5 . 3 – 2 = 0; Como 3 = (3 ) , se
x x ­ 1 x x
1 x
fizermos 7 + 7 7 = 8 ; 7 . ( 1 + ) = 8
7
x 2
3 = y obteremos: 3y + 5y – 2 = 0, cujas raízes
são x
8 7 x 7 æ 7 ö 7
x
7 . x
= 8 ; = ;ç ÷ = ; x = 1
x 8 è 8 ø 8
1 7 8
y = ou y = ­ 2
3 Resp: x = 1
1 x ­ 1
Para y = vem: 3 = 3 ; x = ­1
3
x
Para y = –2 vem: 3 = –2 (não admite solução)
Resp: x = –1
x –x
5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2 – 2 = K, K real é:
a) 2, qualquer que seja K d) 1, somente se K ¹ 0
b) 2, somente se K > 0 e) 0, somente se K < 0
c) 1, qualquer que seja K
Solução:
2 1 2
x x
2 – x = K. Seja 2 = y . Então: y ­ y = K ; y – Ky – 1 = 0. Para essa equação
2
D = K + 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relações
2
de Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x,
a resposta correta é C.
Resp: c
4­ INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos:
*Se a > 1, a função é crescente, portanto:
a > a « x > y
x y
a < a « x < y
x y
*Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então:
a > a « x < y
x y
a < a « x > y
x y
Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as ba­
ses. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se:
*Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade.
*Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade.
Matemática ­ M2 5

6. Tecnologia ITAPECURSOS
1) Resolva a inequação:
2
x + 2 3
x
æ 1 ö æ 1 ö
ç ÷ ³ç ÷
è 2 ø è 2 ø
Solução:
Como a base é menor que 1, devemos ter:
2 2
x + 2 £ 3x ; x – 3x + 2 £ 0
raízes: 1 e 2
diagrama:
Solução:
1 £ x £ 2
x + 2 + 3
2) Resolva a inequação: 3 x + 1 – 3 > 33
x
Solução:
x 2 x x x
3 . 3 + 3 . 3 – 3 > 33 ; 3 . (9 + 3 – 1) > 33
x x
3 . 11 > 33 ; 3 > 3 ; x > 1
Resp: x > 1
2x – 1 < x
3) Resolva a inequação: x 3
Solução:
1ª hipótese: x > 1
Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2
A interseção com a condição x > 1 nos dá S = {x Î R : 1 < x < 2}
1
2ª hipótese: 0 < x < 1
Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2
Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução.
Resp: S = {x Î R : 1 < x < 2}
2 a
4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x + 2 . x + 1 = 0, admita raízes reais.
Solução:
Para a equação dada admitir raízes reais, D ³ 0 . Logo
2a 2a 2
2 – 4 > 0 ; 2 ³ 2 ; 2a ³ 2 ; a³1
6 Matemática ­ M2

7. Tecnologia ITAPECURSOS
LOGARITMO
1­ DEFINIÇÃO
Seja a > 0 , a ¹ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = log b tal que a = b
a
x
Em símbolos a ® base
log b = x « a = b
a
x
b ® logaritmando
x ® logaritmo
Exemplos:
3
1 –2
a) log 8 = 3, pois 2 = 8
2
b) log 4 = –2, pois ( ) = 4
1/2
2
2­ CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
ì
ï a > 0 e a ¹ 1
ï
Existe log b se e somente se
a
í
ï
ï
î
b > 0
3­ BASES MAIS USADAS
3.1­ LOGARITMO DECIMAL
Utiliza a base 10. Convenciona­se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim:
log b = log b
10
3.2­ LOGARITMO NATURAL
Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por log b ou l n b
e
4­ PROPRIEDADES ELEMENTARES
Decorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir:
a) log a = 1
a
b) log 1 = 0
a
m
c) log a = m
a
d) a log b = b
a
É claro que estamos admitindo a > 0, a ¹ 1 e b > 0.
5­ PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Para a > 0, a ¹ 1 e b > 0, c > 0, temos
P.1) log (b . c) = log b + log c
a a a
æ b ö
P.2) log ç ÷ = log b ­ log c
a a a
è c ø
P.3) log b = m log b , m Î R
a
m
a
Matemática ­ M2 7

8. Tecnologia ITAPECURSOS
1) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule:
a) log 18 b) log 15
Solução:
2 2
a) log 18 = log (2.3 ) = log 2 + log3 = log 2 + 2 log 3
Portanto: log 18 = 0,30 + 2 . 0,47
log 18 = 1,24
10
b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log ( )
2
Então: log 15 = log 3 + log 10 – log 2
log 15 = 0,47 + 1 – 0,30 ; log 15 = 1,17
2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação:
x ­ 1
4 = 1125
Solução:
x ­ 1 2x – 2 2 3
4 = 1125 ; 2 = 3 . 5 e daí:
2x – 2 2 3
log (2 ) = log (3 . 5 )
(2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5
10
Mas log 5 = log ( ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70
2
Logo: (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí:
2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1
3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x.
Sabe–se que AO = BC. Então, pode­se afirmar que:
a) log b = c
a
b) a + b = c
c
c) a = b
d) ab = c
a b c
e) 10 + 10 = 10
Solução:
Observe que: OA = log a ; OB = log b e OC = log c
Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos
c c
log a = log c – log b ; log a = log ; a = ; ab = c
b b
Resp: d
8 Matemática ­ M2

9. Tecnologia ITAPECURSOS
6 ­ MUDANÇA DE BASE
b
log
c
Sejam a > 0 , a ¹ 1, c > 0 , c ¹ 1 e b > 0. Então log b =
a a
log
c
log 3 log 2 7 log 3 7
Exemplos: a) log 3 = b) log 7 = = = ...
2 log 2 5 log 2 5 log3 5
1 1
Conseqüências: a) log b = log a b) log ap B = log a b
a
b p
7­ EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê­las, tenha sempre em mente as
condições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma log f(x) =
a
log g(x) ou à forma log f(x) = b.
a a
b
No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = a .
1) Resolva a equação log (x + 4) = 2.
(x – 2)
Solução:
Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfa­
zem às condições de existência.
Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição direta
quais raízes servem.
log (x + 4) = 2 « (x – 2) = x + 4 o que dá x – 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5.
(x – 2)
2 2
Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então:
S = {5}
2
2) Resolva: log (x – 1) = log (x + 1).
3 3
Solução:
2 2 2
De log (x – 1) = log (x + 1) vem x – 1 = x + 1 ; x – x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e ­1.
3 3
Dessas, apenas 2 serve.
S = {2}
3) log 2
2 x – 3log x + 2 = 0
2
Solução:
Observe que log 2 x = (log x) . Seja então log x = y. A equação dada fica:
2 2
2
2
2
y – 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2.
Se y = 1, vem : log x = 1 ; x = 2
2
Se y = 2, vem : log x = 2 ; x = 4
2
Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}.
Matemática ­ M2 9

10. Tecnologia ITAPECURSOS
1
4) Resolva a equação: log (3x –1) – log (x + 1) =
2 4 2
Solução:
Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base.
log 2 ( x + 1 1
)
log (3x – 1) ­ =
2 log 2 4 2
log( x + 1 1
)
log (3x – 1) ­
2
= (tirando o m.m.c.)
2 2
é ( x - 1 2 ù
3 )
2 log (3x – 1) – log (x + 1) = 1 ; log ê x + 1 ú = 1
2 2 2
ê
ë ú
û
( x - 1 2
3 ) 1 1
= 2 ; 9x – 8x – 1 = 0 cujas raízes são 1 e ­ . Porém – não convém. Logo, S = {1}
2
x + 1 9 9
8­ INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
ìlog f x < log g x « f x < g x
a ( ) a ( ) ( ) ( ) ìlog f ( ) < log g x « f x > g x
a x a ( ) ( ) ( )
Se a > 1 í log f ( x < K « f ( x < a
) ) K Se 0 < a < 1 í log f ( ) < K « f ( ) > a
x x K
î a î a
Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação.
1) Resolva a inequação: log (x – 1) > log (2x + 3).
1/2 1/2
Solução:
x - 1 > 0 ; x . ü
1
ï
a) Condição de existência 3 ý ® x > 1
2 + 3 ; x > - ï
x
2 þ
b) Resolução da inequação log (x – 1) > log (2x + 3) ® x – 1 < 2x + 3 ; x > ­ 4
1/2 1/2
c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e você
terá: S = {x Î R : x > 1}.
2
2) Resolva a inequação: log x + 2log x – 3 > 0.
Solução:
a) Domínio: x > 0
2
b) Resolução: Faça log x = y. Então, y + 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1.
Se y < –3, então log x < –3 ; x < 0,001
Se y > 1, então log x > 1 ; x > 10
c) Resposta: a interseção nos mostra que
S = {x Î R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}.
10 Matemática ­ M2

11. Tecnologia ITAPECURSOS
9 ­ A FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se log y = x, temos
a
x
que y = a , ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir:
Seja a > 0, a ¹ 1 e x > 0 números reais. Chama­se função logarítmica à função f: R* ® R, definida por
+
f(x) = log x.
a
Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da função
logarítmica é:
1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1
POLINÔMIOS
1 ­ DEFINIÇÃO
Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma:
n
P(x) = a . x + a n ­ 1 + ... + a . x + a , onde n é um número natural, e a ¹ 0.
n n ­ 1 . x 1 o n
Exemplos:
São polinômios: 3 2
a) P(x) = 5x ­ 4x + x ­ 1
2
1
b) P(x) = x ­
3
c) P(x) = ­5
1
Não são polinômios: a) + 3 b) x + 3x ­ 7
x
Dado o polinômio P(x) = a . x + a . x + ... + a . x + a com a ¹ 0, n é chamado de grau do polinômio.
n
n
n ­ 1
n ­ 1
1 o n
Assim: 2
a) P(x) = 3x ­ 5x + 1, tem grau 2. c) P(x) = ­ 3x + 1, tem grau 1.
3
b) P(x) = 2x ­ x + 4, tem grau 3. d) P(x) = 2, tem grau zero.
O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não se
define o grau.
2 ­ VALOR NUMÉRICO
Se K é um número real, chama­se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindo­
se x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0,
diremos que K é a raiz ou zero do polinômio.
Assim, se 2
P(x) = 3x ­ x + 1
2
P(2) = 3 . 2 ­ 2 + 1 = 11
2
P(0) = 3 . 0 ­ 0 + 1 = 1
Matemática ­ M2 11

12. Tecnologia ITAPECURSOS
3 ­ IGUALDADE DE POLINÔMIOS
n
Sejam os polinômios: P (x) = a . x + a n ­ 1 + ... + a . x + a
1 n n ­ 1 . x 1 o e
n + b
P (x) = b . x n ­ 1 + ... + b . x + b
2 n n ­ 1 . x 1 o
Dizemos que P (x) = P (x) se:
1 2 a = b ; a
n n n ­ 1 = b ; ..., a b e a = b
n ­ 1 1 = 1 o o
3 2 2
1) Determine a, b, c para que os polinômios P (x) = (a ­ 2)x + 3x + b ­ 1 e P (x) = (c + 5)x + 3 sejam
1 2
idênticos.
Solução:
Queremos que:
3 2 3 2
(a ­ 2)x + 3x + b ­ 1 = 0x + (c + 5)x +3
Logo: a ­ 2 = 0; a = 2
c + 5 = 3; c = ­2
b ­ 1 = 3; b = 4
2) Calcule a e b, de modo que:
2 - 6
x a b
2
= +
x + 2 - 3
x x - 1 x + 3
Solução:
1º modo: 2º modo:
2 - 6
x a b Na igualdade:
2
= +
x + 2 - 3
x x - 1 x + 3 2x ­ 6 = a(x + 3) + b (x ­ 1) faça:
x = ­3 Õ ­12 = a . 0 ­ 4.b;b =3
2x - 6 a x + 3 + b x - 1
( ) ( )
= e daí vem:
( - 1 x + 3
x )( ) ( - 1 x + 3
x )( ) x = 1 Õ ­4 = 4a + b.0; a = ­1
2x ­ 6 = a(x + 3) + b(x ­ 1)
2x ­ 6 = ax + 3a + bx ­ b Atenção: escolha para x os valores que anulam
os denom i nadores das f raç ões dadas
2x ­ 6 = (a + b)x +(3a + b) e então:
originalmente.
ì
ï a + b = 2
ï
í cuja solução é a = ­1 e b =3
ï
ï 3a ­ b = ­6
î
4 ­ DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) ¹ 0, dividir A por B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x),
tal que:
I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x)
II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0
Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x).
Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x).
12 Matemática ­ M2

13. Tecnologia ITAPECURSOS
Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos:
Método da chave Método de Descartes
3 2 2
Seja efetuar a divisão (2x ­ x + 3) : (x ­2x + 3) 3 2 2
Façamos a mesma divisão: (2x ­ x + 3) : (x ­2x + 3)
Solução: Solução:
• Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordem • Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) é
decrescente e complete­o. No caso do divisor, basta do 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b.
que ele esteja em ordem. • O grau do resto, sendo menor que o grau do divisor
será um polinômio cujo grau é no máximo 1.
3 2
2x ­ x +0x + 3 2
x ­2x + 3 Seja então R(x) = cx + d.
3 2
2x ­ x + 3 2
x ­2x + 3
• Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro
cx + d ax + b
termo do divisor para obter o primeiro termo do
quociente (2x).
Usando a identidade A = B . Q + R
• Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divi­ 3 2 2
obtemos: 2x ­ x + 3 = (x ­2x + 3)(ax + b) + cx + d
sor e subtraia o resultado do dividendo, para obter
2
o resto parcial (3x ­6x + 3).
Efetuando e reduzindo os termos semelhantes,
3 2 2 teremos:
2x ­ x +0x + 3 x ­2x + 3
3 2
­2x + 4x ­6x 2x 3 2 3 2
2x ­ x + 3 = ax + (b ­ 2a)x +(3a ­ 2b + c)x + 3b + d
2
3x ­ 6x +3
Portanto: a = 2
• Se o grau do resto parcial for menor que o grau do b ­ 2a = ­1; b = 3
divisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita as
operações acima, usando o resto parcial como divi­ 3a ­ 2b + c = 0; c = 0
dendo. 3b + d = 3; d = ­6
3 2
2x ­ x +0x + 3 2
x ­2x + 3
Então, finalmente: Q(x) = 2x + 3
3 2
­2x + 4x ­6x 2x + 3
R(x) = ­6
2
3x ­ 6x +3
2
­3x ­ 6x ­ 9
­6
5 ­ O DISPOSITIVO DE BRIOT­RUFFINI
Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cuja
3
descrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x ­ 3x + 1) : (x ­ 2)
• Desenhe o esquema a seguir
• À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2).
À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termos
faltosos.
2 2 0 ­3 1
Matemática ­ M2 13

14. Tecnologia ITAPECURSOS
• Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultado
obtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4.
4
2 2 0 ­3 1
2 4
• Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado).
4 8 10
2 2 0 ­3 1
2 4 5 11
1 24
4 3 1 24
4 3
Q(x) R(x)
Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é de
grau 2, temos:
2
Q(x) = 2x + 4x + 5
Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, ao
determinar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados a
Q(x)). O resto fica inalterado.
6 ­ TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT
O resto da divisão de um polinômio P(x) por x ­ a é P(a).
Demonstração:
Na divisão de P(x) por x ­ a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) =
0.
P(x) x ­ a
R Q(x)
P(x) = (x ­ a) . Q(x) + R
Fazendo x = a, vem: P(a) = (a ­ a) . Q(a) + R e então P(a) = R
1 24
4 3
0
Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x ­ a se e só se P(a) = 0.
De modo semelhante, prova­se que: Se o divisor for x + a, o resto é P(­a).
Se o divisor for ax ­ b, o resto é P(b/a).
Se o divisor for ax + b, o resto é P(­b/a).
7 ­ DOIS TEOREMAS IMPORTANTES
Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios.
Teorema 1: Teorema 2:
O polinômio P(x) é divisív el pelo produto Se P(x) é divisível por (x ­ a)(x ­ b), então P(x) é
(x ­ a)(x ­ b) com a ¹ b se e só se P(x) é divisível divisível por x ­ a, e o quociente dessa divisão é
separadamente por x ­ a e por x ­ b. divisível por x ­ b.
14 Matemática ­ M2

15. Tecnologia ITAPECURSOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1­ PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM
Consideremos o seguinte problema:
• As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos uma
pessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião?
Solução:
Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas:
1ª etapa: viagem de ida
2ª etapa: viagem de volta.
Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagem
de volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagem
de volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes.
Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto.
Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapa
se realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras.
Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas.
1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ?
Solução:
O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas:
1ª etapa: escolha do algarismo das centenas.
2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas.
3ª etapa: escolha do algarismo das unidades.
Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido).
Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode ser
repetido, porém o zero já pode ser usado.
Para a 3ª etapa, existem 4 possibilidades (só não podemos escolher os dois algarismos que foram
escolhidos na 1ª e 2ª etapas.
Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números.
2) Dispõe­se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor e
duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura?
Solução:
O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades,
pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a cor
usada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª
etapas.
Portanto, a pintura poderá ser feita de:
6.5.5.5 = 750 modos
Matemática ­ M2 15

16. Tecnologia ITAPECURSOS
3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000?
Solução:
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000)
2ª etapa: 4 possibilidades (lembre­se: os algarismos devem ser distintos)
3ª etapa: 3 possibilidades
4ª etapa: 2 possibilidades
5ª etapa: 1 possibilidade
Resposta: 2.4.3.2.1 = 48
2 ­ UMA NOVA ABORDAGEM
Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando­se a regra do produto, é muito
complicada. Para eles, daremos uma nova abordagem. Assim, se num determinado agrupamento cada
elemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puder
aparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantos
números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número como
um agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levar
em conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição.
3 ­ TIPOS DE AGRUPAMENTOS
Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados em
dois tipos.
­ Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos.
­ Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos.
Observação:
Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamento
passa a ser chamado de permutação.
Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes:
a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal.
Solução:
Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda de
valor. Logo, cada número é um arranjo.
b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência.
Solução:
Um triângulo é obtido unindo­se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e o
triângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento e
temos uma combinação.
c) Filas que podemos formar com 4 pessoas
Solução:
Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos os
elementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação.
16 Matemática ­ M2

17. Tecnologia ITAPECURSOS
4­ A NOÇÃO DE FATORIAL
No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com os
elementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial.
Definição: Seja n um número natural. Então:
0! = 0
1! = 1
n! = n . (n ­ 1) . ... . 2.1, se n ³ 2,
onde o símbolo n! lê­se fatorial do número n.
Veja os exemplos: Observe que:
3! = 3.2.1 = 6 n! = n . (n ­ 1)! = n . (n ­ 1) . (n ­ 2)! = etc.
5! = 5.4.3.2.1 = 120 Assim teremos:
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc.
5­ CÁLCULO COMBINATÓRIO ­ AGRUPAMENTOS SIMPLES
5.1 ­ Arranjos simples
Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos
1,2,3,4,5?
Solução:
Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremos
então saber quantos arranjos tomados 3 a 3 podemos formar com 5 algarismos dados. Esse valor será
representado por: A 3
.Usando a regra do produto, temos que:
5
5 4 3
A 3 = 5 4 3 = 60
5 . .
Agora, observe: De um modo geral,
5 4 3 2 1 5
. . .( . ) ! 5
! p n
!
A 3 =
5 = = A =
n
2 1
. 2 ( - 3
! 5 )! ( - p
n )!
5.2 Permutação Simples
Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementos
tomados n a n. Logo:
n n
! n
!
P = A
n n = = n ,ou seja P = n
! n !
( - n
n )! n !
5.3 Combinações Simples
p
Representando por C o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos:
n
p n
!
C =
n
p ( - p
! n )!
Observe que: C p . p = A p
n P n
Matemática ­ M2 17

18. Tecnologia ITAPECURSOS
1.(MACK­SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que
90000 e que são divisíveis por 5 é:
a) 1596 d) 2788
b) 2352 e) 4032
c) 2686
Solução:
1ª hipótese 2ª hipótese
_ _ _ _ _ ; 3.2. A 3 = 2016
8
8
!
5 0 ;
_ _ _ _ _ = A 3 = = 336
8
5
! 6,7 ou 8 0 ou 5
Resposta: 336 + 2016 = 2352
2.(FUVEST­SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24 Solução:
b) 48 Existem duas possibilidades:
c) 96
U E
_ _ _ _ _ _
d) 120 2. P = 2 4 = 48
4 . !
e) 144 E U
_ _ _ _ _ _
3. (UNESP) Sobre uma reta marcam­se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam­se 5 pontos.
O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é:
a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42
Solução:
3
Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam C triângulos.
8
3
Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar C triângulos e os 5 outros pontos deixam de
3
3 3 3 3
determinar C triângulos. Logo a resposta final será: C - C - C = 56 - 1 10 = 45
5 8 3 5 -
6­ CÁLCULO COMBINATÓRIO ­ AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO
6.1 ­ Arranjos com repetição
p
Se AR representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar
n
com os n elementos de um conjunto, tomados p a p, então: AR p = n
n
p
6.2 ­ Permutação com repetição
Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, por
exemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2
n , 2 ,...,
1 n nk n !
vezes. Prova­se que: P
n =
n ! 2 !... k !
1 n n
n ® total de elementos em cada permutação.
n , 2 ,..., k ® quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento.
1 n n
6.3 ­ Combinação com repetição
p
Se CR representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então:
n
p p
CRn = C +p -1
n
18 Matemática ­ M2

19. Tecnologia ITAPECURSOS
1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 é
sempre o algarismo da centena?
Solução:
Como o problema não diz que os algarismos do número formado são distintos, isso significa que as
2 2
repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5 - - -; AR = 10 = 100
10
2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Solução:
Letras que se repetem:
A: 3 vezes
R: 2 vezes
3 2
. 5
!
Logo, o número de anagramas será: p =
5 = 10
3 2
! !
3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar
5 balas?
Solução:
Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos
5 5 5 7
!
entre os três sabores. Logo, a resposta será: CR = C + 5 -1 = C =
3 3 7 = 21
5 2
! !
BINÔMIO DE NEWTON
1 ­ NÚMERO BINOMIAL
Sejam n e p números com p £ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número
n
!
representado por ( ) definido por: ( ) = p ! ( n - p )!
n
p
n
p
Observe que ( )= C
n
p
p
n
2 ­ PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
2.1 ­ Propriedades Diretas
( ) = 1 ;
n
0 ( ) = n ;
n
1 ( ) = 1
n
n
Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial.
2.2 ­ Binomiais Complementares
Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores
for igual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais:
( ) e ( ) ;
5
3
5
2 ( )e ( )
8
5
8
3
Matemática ­ M2 19

20. Tecnologia ITAPECURSOS
Também são complementares:
( ) e ( );
n
p
n
n - p (p + n - p = n
)
( )e (
n 1
+
p 1
-
n 1
+
n - p 2
+ ) ; (p - 1 + n - p + 2 = n + 1
)
Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui­se que:
Dois números binomiais complementares são iguais.
Desse modo: Exemplo:
( )= ( )
5
3
5
2
( )= ( )
n
p
n
n - p
Resolva a equação:
æ 10 ö æ 10 ö
ç
ç 2 x - 1 = ç 3 ÷
è
÷ ç ÷
÷
ø è ø
Solução:
( )= ( )
10
4
10
6 ( )= (
n + 1
p -1
n +1
n - p + 2 ) 1ª hipótese:
2x ­ 1 = 3 ; x = 2
Como conseqüência dessa propriedade, temos que:
2ª hipótese:
( ) = ( ) « p = q ou p + q = n
n
p
n
q 2x ­ 1 + 3 = 10 ; x = 4
Resposta: x = 2 ou x = 4
2.3 ­ Relação de Stifel
Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos:
( ) e ( );
5
3
5
4
( )e( )
15
8
15
9
æ n ö æ n ö æ n - 1
ö æ n - 1
ö
ç ÷
ç p ÷
è ø
e ç ÷
ç p + 1
è
÷
ø
; ç ÷
ç p + 1
è
÷
ø
e ç
ç p ÷
è
÷
ø
e assim por diante.
A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma
æ n ö æ n ö æ n + 1 ö
delas é: ç ÷ ç ÷
÷ ç ÷
ç p ÷ + ç p + 1 = ç p + 1
÷
è ø è ø è ø
æ 9 ö æ 9 ö æ 10 ö
Exemplo: a) ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 2 ÷ + ç 3 ÷ = ç 3 ÷
è ø è ø è ø
æ 10 ö æ 10 ö æ 10 ö æ 10 ö æ 11
ö
b) ç ÷+ç ÷ =ç ÷+ç ÷ =ç ÷
ç 4 ÷ ç 7 ÷ ç 6 ÷ ç 7 ÷ ç 7 ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
binomiais complementares
2.4 ­ Relação de Fermat
É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite­nos calcular o valor de um binomial em função
do binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando­se a definição de número binomial.
æ n ö n - p æ n ö
ç ÷ ç ÷
ç p + 1 = p + 1 . ç p ÷
÷
è ø è ø
Exemplos:
æ 9 ö æ 9 ö 9 - 4 æ 9 ö æ 13 ö æ 13 ö 13 - 7 æ 13 ö 3
a) ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 5 ÷ = ç 4 ÷ . 4 + 1 = ç 4 ÷ . 1
è ø è ø è ø
b) ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 8 ÷ = ç 7 ÷ . 7 + 1 = ç 7 ÷ . 4
è ø è ø è ø
20 Matemática ­ M2

21. Tecnologia ITAPECURSOS
3 ­ TRIÂNGULO DE PASCAL
Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte:
æ0 ö
ç ÷
ç 0 ÷
è ø
æ 1 ö + æ 1 ö
ç ÷ ç ÷÷
ç 0 ÷ ¾¾®ç 1
è ø è ø
¯
æ 2 ö + æ 2 ö æ 2 ö
ç ÷ ç ÷ç ÷
÷
ç 0 ÷ ¾¾®ç 1 ç 2 ÷
è ø è øè ø
¯
æ3ö æ 3 öæ 3 ö æ 3 ö
ç ÷
ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
ç ÷ç ÷ ç ÷
è 0 ø è 1 øè 2 ø è 3 ø
æ4 ö æ 4 ö æ 4 öæ 4 öæ 4 ö
ç ÷
ç 0 ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷
ç 1 ÷ ç 2 ÷ç 3 ÷ç 4 ÷
è ø è ø è øè øè ø
æ 5 ö æ 5 öæ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö æ 5 ö
ç ÷
ç 0 ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç 1 ÷ç 2 ÷ ç 3 ÷ ç 4 ÷ ç 5 ÷
è ø è øè ø è ø è ø è ø
..............................................
Observe que os números binomiais de mesmo Usando essas propriedades chegamos facilmente
numerador estão na mesma linha, e os números aos valores associados ao triângulo, obtendo:
binomiais de mesmo denominador estão na mesma
linha 0 ; 1
coluna. Além disso, os binomiais da primeira coluna
valem 1, pois têm o denominador igual a zero. O linha 1 ; 1 1
mesmo acontece com o último binomial de cada linha, linha 2 ; 1 2 1
que tem o numerador e denominador iguais. Além linha 3 ; 1 3 3 1
disso, a relação de Stifel nos permite calcular os demais
linha 4 ; 1 4 6 4 1
elementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, onde
se mostra que: linha 5 ; 1 5 10 10 5 1
æ 1ö æ 1
ö æ 2 ö
......................................
ç ÷ + ç ÷=
ç 0 ÷ ç 1
÷ ç ÷
ç 1 ÷
è ø è ø è ø A partir daí, você pode, usando as mesmas
æ 2 ö æ 2 ö æ 3 ö propriedades, obter quantas linhas quiser.
ç ÷ + ç ÷=
ç 0 ÷
è ø
ç 1 ÷
è ø
ç ÷
ç 1 ÷
è ø
, e assim por diante.
4 ­ O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON
( x + a 1 = x + a
)
2 2
xa 2
Você sabe que: ( + a = x + 2 + a
x )
( + a 3 = x + 3 2 a + 3 2 + a
x ) 3
x xa 3
Agora, repare:
­ Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulo
(x + a 3
de Pascal. Assim, os coeficientes de , por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal.
)
( x + a n
)
Prova­se que os coeficientes de estão na linha n do Triângulo de Pascal.
Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nos
permitem então escrever que:
( x + a n = ( ) x . 0 + ( ) x -1 . + ( ) x - 2 . 2 + ... + ( ) x a
) n n
0 a n n
1 a n n a
2
n 0 n
n
Assim, temos que: ( x + a 4 = ( ) x . 0 + ( ) x . + ( ) x . 2 + ( ) xa 3 + ( ) x a 4
) 4 4
0 a 4 3
1 a 4 2 a
2
4
3
4 0
4
Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos:
4 4 3 2 2
(x + a) = x ­ 4x a + 6x a + 4xa + a 3 4
n
Para desenvolver (x ­ a) , use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando sempre
com o sinal de +. Assim:
4 4 3 2 2 3 4
(x ­ a) = x ­ 4x a + 6x a ­ 4xa + a
Matemática ­ M2 21

22. Tecnologia ITAPECURSOS
5 ­ UM RESULTADO INTERESSANTE
Já vimos que:
- -
( + a n = ( ) n . a + ( ) n 1 . a + ( ) n 2 . a + . . . + ( ) 0 . a
x ) n
0 x
0 n
1 x
n
2 x
2 n
n x
n
( + 1 n = ( ) + ( ) + ( ) + . . . + ( ) ou
1 ) n
0
n
1
n
2
n
n
Fazendo x = a = 1, obtemos: n n n n n
( ) + ( ) + ( ) + . . . + ( ) = 2
0 1 2 n
n
Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é 2 .
6 ­ O TERMO GERAL
É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmos
7
determinar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em x ,
ou o termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de
todo o desenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula
do Binômio de Newton, verá que cada termo é da forma:
( ) n -p . ap
n
p x
Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo;
se p = 1, temos o segundo termo;
-
e assim sucessivamente. Logo: T +1 = ( ) n p . a
p
n
p x
p
n
representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a) , segundo as
potências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que:
n: representa o expoente do binômio
x: representa o primeiro termo do binômio
a: representa o segundo termo do binômio
p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos T , p = 4
5 .
n
Para o binômio (x ­ a) , temos T +1 = ( -1 p ( ) n - p . a p
p ) n x
p
1. Calcule o 10º termo no desenvolvimento de Solução:
2 2 12
( x + x) . T + 1 = ( 8 )( x - 1 ) - p . ( 2 x 2 ) . ( - 1 P
p p
8 P
)
Solução: T + 1 = ( 8 ). x - 8 + P . 2 P . x 2 P . ( - 1 P
p p )
Como queremos o 10º termo ( 10 ) , p = 9. Além
T T + 1 = ( - 1 P . 2 P . ( 8 ) - 8 + 3 p
p ) p x
2
disso, o primeiro termo é 2x , o segundo é 0
Termo independente é o termo em x . Logo,
x e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geral
temos: 8
queremos que: ­ 8 + 3 p = 0; p = .
3
T = ( 9 )( x ) -9 . x
10
12
2 2 12 9
Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então o
3 6 9 15
T = 220 . 2 . x . x ; T = 1760x
10 1 binômio dado não apresenta termo independente de x.
2. Calcule, se existir, o termo independente de x, Observação:
7
Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x , o
1
x 2 8
no desenvolvimento de: ( - 2 ) . raciocínio seria semelhante, simplesmente
x
colocaríamos ­ 8 + 3p = 7, teríamos p, e então
bastaria substitui­lo na expressão do termo geral.
22 Matemática ­ M2

23. Tecnologia ITAPECURSOS
3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de ( x - 3 6 .
2 )
Solução:
No desenvolvimento de ( + a n , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então o
x )
termo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos:
T = ( 3 ) ( 2 x ) 3 . (3 ) . ( - 1 3
4
6 3
)
T = 2 0 . 8 . x 3 . 2 7 . ( - 1 ; T = - 4 3 2 0 x 3
4 ) 4
2 5
4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x ­ 3y) .
Solução:
Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveis
que aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos:
2 5
S = (2 . 1 + 3 . 1) ; 5
S = 5 ; S = 3125
MATRIZ
1­ DEFININDO MATRIZ
Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas
chamamos de matriz m x n (lê­se matriz m por n).
æ a 11 a 12 ... a ö 1n
ç ÷
M = ç a 21 a 22 ... a ÷ 2n ou M = (a ) m x n
ij
ç ............................ ÷
a
è m1 m2 a ... a ø
mn
Observação: a representa o elemento que está na linha i e coluna j.
ij
Exemplo:
æ 1 - 2
ö
ç ÷
A = ç 3 5 ÷ ; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas)
ç ÷
è 0 1 ø
Para ela, temos:
a = 1 ;
12
a = 3 ;
21
a = 0 ;
31
Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir:
é 1 - 2 ù 1 - 2
ê ú ou A = 3
A = ê3 5 ú 5
ê0
ë 1 ú
û 0 1
2­ PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES
a) Matriz Linha b) Matriz coluna
É aquela que tem uma única linha. É aquela que tem uma única coluna.
A = (­1 2 3), B = [ 1 1] æ - 1 ö
ç ÷ é5
ù
A = ç 0 ÷ B = ê ú
ç 1 ÷ ë3
û
è ø
Matemática ­ M2 23

24. Tecnologia ITAPECURSOS
c) Matriz Quadrada
Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna.
Exemplo: æ 1 3 5 ö
ç ÷
A = ç 0 4 - 1 ÷
ç 2 - 1 0 ÷
è ø
Os elementos a de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonal
ij
secundária. Assim, para a matriz anterior:
diagonal principal: 1, 4 , 0
diagonal secundária: 2, 4, 5
d) Matriz Diagonal e) Matriz Identidade
Matriz quadrada cujos elementos situados fora da É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal
diagonal principal são nulos. principal são iguais a 1. Uma matriz identidade de
ordem n é representada por I .
n
æ 1 0 0 ö
ç ÷ æ 1 0 0 ö
A = ç 0 - 2 0 ÷ ç ÷ æ 1 0 ö
ç 0 I = ç 0 1 0 ÷ I = ç
ç 0 1 ÷
÷
0 0 ÷
3 2
è ø ç 0 0 0 ÷ è ø
è ø
f) Matriz Triangular g) Matriz Nula
Matriz quadrada na qual todos os elementos Todos os seus elementos são nulos.
colocados em um mesmo lado da diagonal principal
são nulos. æ 0 0 0
ö
æ 2 0 0 ö O X = ç ÷
ç ÷ 2 3 ç ÷
A = ç - 3 1 0 ÷ è 0 0 0
ø
ç 0 4 - 1 ÷
è ø
3 ­ IGUALDADE DE MATRIZES
Definição
Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentes
forem iguais.
Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice.
Em símbolos: Se A = (a )m e B = (b )m xn
ij xn ij , então:
A = B « a = b , para i Î { 1, 2, ..., m } e j Î { 1, 2, ..., n }
ij ij
æ 1 - 1 3 ö æ 1 - 1 3 ö
Desse modo, temos que se A = ç
ç 0 2 1 ÷ , B = ç 0 2 1 ÷
÷ ç ÷
è ø è ø
æ 1 - 1 3
ö
e C = ç ¹
ç 0 2 5 , então: A = B, porém A C (pois a ¹ c )
÷
÷ 23 23
è ø
4 ­ MATRIZ TRANSPOSTA
t
Dada uma matriz A = (a )m x n, chama­se transposta de A, à matriz A = (b )
ij ij n x m tal que b = a
ij ji
Exemplos:
æ - 2 0 ö
æ - 2 1 5 ö t
ç ÷
a) Se A = ç
ç 0 3 4 ÷ então A = ç 1 3 ÷
÷
è ø ç 5 4 ÷
è ø
24 Matemática ­ M2

25. Tecnologia ITAPECURSOS
æ 1 0 - 1 ö æ 1 0 4 ö
ç ÷ t
ç ÷
b) Se A = ç 0 3 0 ÷ então A = ç 0 3 - 2 ÷
ç 4 - 2 1 ÷ ç - 1 0 1 ÷
è ø è ø
t
Uma matriz quadrada A se diz simétrica se A = A. Se A for simétrica, os elementos colocados simetricamente
em relação à diagonal principal devem ser iguais.
5 ­ ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Definição 1
Se A = (a )
ij m x n e B = (b ) , soma de A e B é a matriz C = (c )
ij m x n ij m x n , tal que c = a + b .
ij ij ij
Definição 2
Se A = (a ) , chama­se oposta de A, a matriz
ij m x n
­A = (­a )
ij m x n
Definição 3
Se A = (a )
ij m x n e B = (b )
ij m x n então A ­ B = A + (­B).
As principais propriedades da adição são
I) A + B = B + A
II) (A + B) + C = A + (B + C)
III) A + 0 = A
IV) A + (­A) = 0
Observação: A e B são matrizes m x n e 0 é a matriz nula m x n
t
Se A é matriz quadrada com A = ­A, dizemos que A é anti­simétrica.
6 ­ MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
Definição
i j m x n e K Î IR
Seja A = (a )
Então: K . A = (b )
i j m x n tal que b = k . a
i j i j
æ 1 - 2 0 ö æ 2 - 4 0
ö æ - 3 6 0 ö
Assim, se A = ç
ç 3 ÷ teremos 2 = ç
÷ A ç ÷ e - 3 = ç
÷ A ç ÷
÷
è 0 - 5 ø è 6 0 - 10
ø è - 9 0 15 ø
7 ­ MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
a) Multiplicação de uma Matriz Linha por uma Matriz Coluna
Seja A 1 x m e B
m x 1 onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produto
de A por B como sendo a matriz C x 1 , obtida multiplicando­se o 1º elemento da linha de A pelo
1
1º elemento da coluna de B, o 2º elemento da linha de A pelo 2º elemento da coluna de B e assim
sucessivamente até o último, e somando­se os produtos assim obtidos.
Exemplo:
æ 4 ö
ç ÷
Seja A = ( 1 2 3 ) e B = ç - 1 ÷
ç - 2 ÷
è ø
Para achar A . B, calculamos:
1 . 4 + 2 . (­1) + 3 . (­2) = 4 ­ 2 ­ 6 = ­4 , logo C = (­4)
Matemática ­ M2 25

26. Tecnologia ITAPECURSOS
b) Multiplicação de Matrizes
­ Condição de existência: Se A
m x p e B , só existe A . B se p = q. O produto será m x n.
q x n
Para efetuar o produto, multiplicamos cada linha de A por cada coluna de B, como já mostrado no item A.
Exemplo:
æ 1 - 2 ö
æ 2 1 - 3 ö ç ÷
Se A = ç ÷ e B = ç 7
ç 0 4 - 2 ÷ 1 ÷
è ø ç 0 3 ÷
è ø
æ C
11 C ö
12
A x B será 2 x 2 e então C = ç
ç C ÷
è 21 C ÷
22 ø
C = 2 . 1 + 1 . 7 + (­3) . 0 = 9
11
C = 2 . (­2) + 1 . 1 + (­3) . 3 = ­12
12
C = 0 . 1 + 4 . 7 + (­2) . 0 = 28
21
C = 0 . (­2) + 4 . 1 + (­2) . 3 = ­2
22
æ 9 - 12
ö
Então: C = ç ÷
ç 28 - 2
÷
è ø
c) Propriedades da Multiplicação
I) A multiplicação de matrizes não é comutativa.
Se A . B = B . A, diremos que A e B comutam.
II) (A .B) . C = A . (B . C);
III) A . (B + C) = A . B + A . C
IV) A . I = I . A = A
V) Se A . B = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0
VI) Não vale a lei do corte, ou seja se A . B = A .C não se pode concluir que B = C.
8 ­ MATRIZ INVERSA
Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chama­se inversa de A (se existir) à matriz representada por
­1 ­1 ­1
A tal que A . A = A . A = I .
n
Exemplo:
æ 1 2 ö
Ache, se existir, a inversa de A = ç
ç 2 3 ÷
÷
è ø
Solução:
æ a b ö
Se existir, A -1 = ç
ç c d ÷
÷
è ø
æ 1 2 ö æ a b ö æ 1 0 ö
­1
ç 2 3 ÷ . ç c d ÷ = ç 0 1
Como queremos que A . A = I, teremos: ç ÷ ç ÷ ç ÷
÷
è ø è ø è ø
æ a + 2 c b + 2 ö æ 1 0 ö
d ì a + 2 = 1
c ì b + 2 d = 0
ç
ç 2 + 3 2 + 3 ÷ = ç 0 1 ÷ e então: í 2 + 3 = 0
÷ ç ÷ í
è a c b d ø è ø î a c î 2 + 3 d = 1
b
æ - 3 2 ö
Resolvendo esses sistemas, teremos: a = ­3 , b = 2 , c = 2 , d = ­1 e então A -1 = ç
ç 2 - 1 ÷
÷
è ø
26 Matemática ­ M2

27. Tecnologia ITAPECURSOS
9 ­ PROPRIEDADES DA INVERSA 10 ­ PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA
­1 ­1
a) (A ) = A t t
a) (A ) = A
t ­1 ­1 t
b) (A ) = (A ) t t t
b) (A + B) = A + B
­1 ­1 ­1
c) (A . B) = B . A t t t
c) (A . B) = B . A
­1
1 ­1
d) (K . A) = . A
K
DETERMINANTE
1­ DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A ao número associado a A e definido a seguir.
a) Determinante da 1ª ordem
Se A = (a ), então o determinante de A, que indicaremos por det A ou |a |, será:
11 11 det A = a
11
b) Determinante de 2ª ordem
æ a
11 a ö
12
Se A = ç
ç a ÷ então
÷
è 21 a 22 ø
det A = a . a ­ a . a , ou seja, det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto
11 22 21 12
dos elementos da diagonal secundária.
3 - 2
Exemplo: = 3 . 5 - 4 . ( 2 = 23
- )
4 5
c) Determinante de 3ª ordem ­ Regra de Sarrus
Repetimos a 1ª e a 2ª colunas.
Multiplicamos os elementos da diagonal principal e os elementos das diagonais que lhe são paralelas e somamos.
Multiplicamos os elementos da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas. Somamos esses
produtos e subtraímos da soma achada anteriormente.
Exemplo: Solução:
3 - 1 0 3 - 1 0 3 - 1
Calcule 0 1 2 0 1 2 0 1 = ( 6 - 4 + 0 - ( - 6 + 0 = -4
- ) 0 )
2 - 1 - 2 2 - 1 - 2 2 - 1
2 ­ DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE
Para definir determinante de ordem n qualquer, precisamos antes entender o que é cofator.
­ Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem n ³ 2 e a um elemento de A. Chama­se cofator de a e
ij ij
representa­se por A ao número definido por:
ij
i + j
A = (­1) . D , onde D é o determinante da matriz obtida suprimindo­se de A, a linha i e a coluna j.
ij ij ij
Exemplo:
æ 1 - 1 0 ö
ç ÷ 0 - 3 1 0
Seja A = ç 2 0 - 3 ÷ então: A = ( 1 1 1 .
11 - ) + = 3 A = ( 1 3 + 2 .
32 - ) = 3
ç - 1 1 5 ÷ 1 5 2 - 3
è ø
Matemática ­ M2 27

28. Tecnologia ITAPECURSOS
Podemos agora definir o determinante de ordem n, o que é feito pelo:
­ Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n ³ 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de
uma fila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores.
Exemplo:
-1 2 3
Calcule 3 - 4 0
2 - 1 0
Solução:
É vantajoso tomarmos uma fila que tenha o maior número possível de zeros. Usaremos então a
3ª coluna
detA = a . A + a . A + a . A =
13 13 23 23 33 33
3 . A 13 + 0 . A + 0 . A = 3 . A
23 33 13
3 - 4
1 + 3 .
Como A = (­1) = 17, teremos: det A = 3 . 17 = 51
13 5 - 1
Sugiro que você, utilizando o teorema de Laplace, prove que, se A é uma matriz triangular, seu determinante
é obtido multiplicando­se os elementos da diagonal principal.
3­ PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Os cálculos envolvendo determinantes ficam muito mais simples se usarmos as propriedades a seguir.
t
P.1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta: det A = det A
P.2) Se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo.
P.3) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ³ 2. Se a matriz B é obtida de A, trocando de posição duas
linhas (ou duas colunas) quaisquer, então: det B = ­ det A
P.4) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0.
P.5) Multiplicando­se uma linha (ou coluna) de uma matriz A, por um número real K, não nulo, seu
determinante fica multiplicado por K.
n
Conseqüência: det (K.A) = K . det A
P.6) Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A = 0.
P.7) Teorema de Cauchy
A soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz pelos respectivos
cofatores de outra linha (ou coluna) é igual a zero.
P.8) Teorema de Jacobi
Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um número diferente de zero e
adicionarmos o resultado a outra linha (ou coluna), obtemos uma matriz B, tal que det A = det B.
P.9) Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det A . det B.
Essa última propriedade tem uma conseqüência importante. Seja A uma matriz inversível.
­1
Então: A . A = I. Logo:
­1 ­1
det (A . A ) = det I e usando P.9 e lembrando que det I = 1, teremos: det A . det A = 1
1
Portanto, se A admite inversa, det A ¹ 0, e nesse caso, det A -1 = .
det A
28 Matemática ­ M2

29. Tecnologia ITAPECURSOS
4 ­ ABAIXAMENTO DA ORDEM ­ REGRA DE CHIÓ
Seja A = (a )
ij n x n uma matriz quadrada, e a um elemento de A, tal que a = 1.
pq pq
Para calcular o det A, pela regra de Chió, procede­se do seguinte modo:
­ suprime­se a linha p e a coluna q.
­ dos elementos restantes subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas perpendiculares
traçadas do elemento considerado às filas que foram suprimidas.
­ formamos uma matriz B com as diferenças assim obtidas.
­ det A = (­1) p+q . detB.
Observação: Se na matriz A não houver nenhum elemento igual a 1, usando as propriedades é possível
fazer tal elemento aparecer.
Exemplo:
Calcule, usando CHIÓ
1 5 2 - 3
2 - 1 - 3 4
- 1 3 2 0
0 - 1 0 - 4
Solução:
1 5 2 - 3
- 1 - 2 . 5 - 3 - 2 . 2 4 - 2 . ( 3
- ) - 11 - 7 10
2 - 1 - 3 4
= ( 1 1+1 3 - ( 1 . 5 2 - ( 1 . 2
- ) . - ) - ) 0 - ( 1 - 3 =
- )( ) 8 4 - 3 = - 29
- 1 3 2 0
- 1 - 0 . 5 0 - 0 . 2 - 4 - 0 . ( 3
- ) - 1 0 - 4
0 - 1 0 - 4
5­ MATRIZ DE VANDERMONDE
Uma matriz quadrada, de ordem n, se diz matriz de Vandermonde se ela for da forma:
æ 1 1 1 ö ­ os elementos de uma mesma coluna formam uma P.G.
ç ÷
ç a a a ÷ ­ os elementos da 2ª linha são chamados de elementos característicos.
1 2 n
A = ç 2 2 ÷
2 Se x , x , ..., x são elementos característicos de uma matriz de Vandermonde,
ç a 1 a 2 a ÷
n 1 2 n
ç a -1 a -1 a -1 ÷
n n n seu determinante é obtido multiplicando­se todas as diferenças x ­ x com i > j.
i j
è 1 2 n ø
Exemplo: Calcule
1 1 1 1
2 - 1 3 1
D=
4 1 9 1
8 - 1 27 1
Solução:
Como as colunas formam uma P.G., trata­se de uma matriz de Vandermonde, de elementos característicos
2, ­1, 3, 1.
Então: D = (­1 ­ 2) (3 ­ 2) (3 + 1) (1 ­ 2) (1 + 1) (1 ­3) = ­48
Matemática ­ M2 29

30. Tecnologia ITAPECURSOS
SISTEMAS LINEARES
1 ­ EQUAÇÃO LINEAR
Chamamos de equação linear a toda equação da forma
a x + a x + ... + a x = b
1 1 2 2 n n
Uma seqüência (a1 a2
, , ..., an
) é uma solução da equação.
Se a substituição de x , por a1 2 por a2 n por an tornar a sentença verdadeira.
1 , x , x
Exemplo:
Seja a equação linear x ­ 2y ­ z = 7
(1, 1, ­8) é solução pois 1 ­ 2 . 1 ­ (­8) = 7.
Já (0, ­1, 3) não é solução pois 0 ­ 2 . (­1) ­ 3 = ­1 e ­ 1 ¹ 7.
Observe que:
­ a equação 0x + 0x + ... + 0x = b, com b ¹ 0 não admite solução.
1 2 n
­ a equação 0x + 0x + ... + 0x = 0, tem qualquer seqüência (a1 a2
1 2 n , , ..., an
) como solução.
2 ­ SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Chamamos de sistema de equações lineares ou sistema linear a um conjunto de duas ou mais equações lineares.
Exemplo:
ì a x + a x + ... + a n x = b
11 1 12 2 1 n 1
ï
S = í a x + a x + ... + a n x = b
21 1 22 2 2 n 2
ïa x + a x + ... + a x = b
î m 1 m 2 2
1 mn n m
A seqüência (a , a , ..., a ) é solução do sistema S, se for solução de todas as equações de S.
1 2 n
Um sistema se classifica em:
A) Sistema possível ou compatível: é aquele que possui solução.
­ se essa solução é única, o sistema é compatível determinado.
­ se tivermos mais de uma solução, o sistema é indeterminado.
B) Sistema impossível ou incompatível: é aquele que não possui solução.
­ Se todos os termos independentes de um sistema (b ) forem nulos, o sistema se diz homogêneo.
j
­ Se um sistema é homogêneo, a seqüência (0, 0, ..., 0) é solução, chamada solução trivial.
3 ­ REGRA DE CRAMER
A regra de Cramer é uma técnica que nos permite resolver apenas sistemas quadrados, ou seja, sistemas
em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Seja o sistema:
ì a x + a x + ... + a n x = b
11 1 12 2 1 n 1
ï
S = ía 21 1 + a x + ... + a n x = b 2
x 22 2 2 n
ï a x + a x + ... + a x = b
î n 1 n 2 2
1 nn n n
Chamaremos de D ao determinante formado pelos coeficientes de cada equação do sistema.
a
11 a
12 ... a n
1
D = a
21 a
22 ... a n
2
a 1 a 2 ... a
n n nn
30 Matemática ­ M2

31. Tecnologia ITAPECURSOS
D(x ) é o determinante da matriz que se obtém, substituindo­se a coluna i de D, pela coluna dos termos
i
independentes.
D x )
( i
A regra de Cramer afirma que, se D ¹ 0, então x i =
D
Exemplo:
ìx + y + 2 = 0
z
ï
Resolver o sistema íx - y - 3 = 0
z
ï2 + 3 + 5 = -3
î x y z
Solução:
1 1 2 1 1 0
D = 1 - 1 - 3 = 3 D = 1 - 1
z 0 = 6
2 3 5 2 3 - 3
Como D ¹ 0, o sistema é compatível e determinado.
0 1 2
D =
x 0 - 1 - 3 = 3 D
x 3
Logo: x = = = 1
- 3 3 5 D 3
D
y - 15
1 0 2 y = = = -5
D 3
D = 1
y 0 - 3 = 15
D
z 6
2 - 3 5 z = = = 2
D 3
Resposta: (1, ­5, 2)
4 ­ O MÉTODO DO ESCALONAMENTO
O método do escalonamento é um método geral de resolução de sistemas lineares, não apresentando as
restrições da Regra de Cramer.
Um sistema se diz escalonado quando aumenta de uma equação para a seguinte o número de coeficientes
iniciais nulos, até que sobrem, eventualmente, equações onde todos os coeficientes iniciais são nulos.
Num sistema escalonado, uma equação do tipo 0x + 0x + 0x = 0 pode ser suprimida, pois qualquer seqüência
1 2 n
(a1 a2
, , ..., an ) é solução.
Já se num sistema tivermos uma equação do tipo 0x + 0x +... + 0x = b, com b ¹ 0, o sistema é incompatível,
1 2
pois tal equação não tem solução.
Num sistema escalonado, as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações são chamadas
de variáveis livres, e a quantidade delas chama­se grau de indeterminação do sistema.
Exemplo:
ì x - x + 3 3 - x 4 = 0
1 2 x São elas:
ï
Seja o sistema: S = í x + 2 4 = -1
3 x T.1) Trocar a ordem das equações.
ï - x = 2
î 4 T.2) Trocar a ordem das incógnitas.
Esse sistema está escalonado, x é variável livre,
2 T.3) Multiplicar uma das equações do sistema
e o seu grau de indeterminação é 1. por um número não nulo.
Dois sistemas S e S são equivalentes (S ­ S )
1 2 1 2 T.4) Substituir uma das equações do sistema,
se possuem o mesmo conjunto solução. pela soma dela com uma outra,
Para obtermos sistemas equivalentes, usamos as previamente multiplicada por um número
transformações elementares, que são operações não nulo.
efetuadas sobre as equações do sistema, que o
transformam em outro equivalente.
Matemática ­ M2 31

32. Tecnologia ITAPECURSOS
1. Resolva o sistema
ì2 + y - 2 = 2
x z
ï
í4 - 3 + 2 = 30
x y z
ïx + y + z = 1
î
Solução:
Inicialmente troque de posição a 1ª e a 3ª equações, pois assim o primeiro elemento da 1ª equação será 1.
ì2 + y - 2 = 2
x z ìx + y + z = 1
ï ï
í4 - 3 + 2 = 30
x y z
; í4 - 3 + 2 = 30
x y z
ïx + y + z = 1 ï2 + y - 2 = 2
î î x z
Agora, para zerar os termos em x na 2ª e 3ª equação, multiplicamos a 1ª equação por ­4 e somamos com
a 2ª e depois multiplicamos a 1ª equação por ­2 e somamos com a 3ª equação.
­4 ­2
ìx + y + z = 1 ìx + y + z = 1
ï ï
í4 - 3 + 2 = 30
x y z
; í- 7 - 2 = 26
y z
ï2 + y - 2 = 2 ï- y - 4 = 0
î x z î z
Daí vem:
ìx + y + z = 1 ìx + y + z = 1
ï ï
í - 7 - 2 = 26
y z í - y - 4 = 0
z
­1
ï ; ï - 7 - 2 = 26
î - y - 4 = 0
z î y z
ìx + y + z = 1 ìx + y + z = 1
ï ï
í - y + 4 = 0
z 7 ; í y + 4 = 0
z
ï - 7 - 2 = 26
y z ï 26 = 26
z
î î
De 26z = 26 vem z = 1 e substituindo em y + 4z = 0, obtemos, y + 4 = 0, y = ­4 e daí:
x + y + z = 1; x ­ 4 + 1 = 1; x = 4
Resposta: (4, ­4, 1)
ì4 + 5 + 7 = 4
x y z
ï
2 í 2 + 7 + z = 20
. x y
ï x + 2 - z = 0
y
î
Solução:
Trocando a 1ª e 3ª equação de posição vem:
ì x + 2 - z = 0
y
­2 ­4
ìx + 2 - z = 0
y ìx + 2 - z = 0
y
ï ï ï
í2 + 7 + z = 20
x y
; í 3 + 3 = 20
y z 1
; í 3 + 3 = 20
y z
ï4 + 5 - 7 = 4 ï - 3 - 3 = 4 ï
î x y z î y z î 0 = 24
a última equação mostra que o sistema é incompatível.
3 2 Matemática ­ M2

33. Tecnologia ITAPECURSOS
ìx + 2 - 3 = 3
y z
ï
3. Resolva: í2 + 3 + 8 = 4
x y z
ï3 + 2 + 17 = 1
î x y z
Solução:
ì x + 2 + 3 = 3
y z ìx + 2 + 3 = 3
y z ìx + 2 + 3 = 3
y z
ï
­2 ­3 ï ï
í2 + 3 + 8 = 4
x y z ; í - y + 2 = -2
z 1 ; í - y + 2 = -2
z
ï3 + 2 + 17 = 1 ï - 4 + 8 = -8
y z ï 0 = 0
î x y z î î
Logo, o sistema tem uma variável livre, que é z. Se fizermos z = a, teremos:
­y + 2a = ­2; y = 2 + 2a
x + 2 . (2 + 2a) + 3a = 3; x = ­1 ­ 7a Logo a solução é: (­1 ­ 7a, 2 + 2a, a)
5­ DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
Discutir um sistema é classificá­lo em determinado, indeterminado ou incompatível, em função do(s) parâmetro(s)
que aparece(m) nas equações do sistema.
Para discutir um sistema, utilizaremos o escalonamento. Veja alguns exemplos:
ìx + 2 + 2 = m
y z
ï
a) Discutir o sistema: í2 - y + z = 5
x
ï3 + y + 3 = 14
î x z
Solução:
ìx + 2 + 2 = m
y z ­2 ­3 ìx + 2 + 2 = m
y z ­1 ìx + 2 + 2 = m
y z
ï ï ï
í2 - y + z = 5
x í- 5 - 3 = 5 - 2
y z m í - 5 - 3 = 5 - 2
y z m
ï3 + y + 3 = 14 ï- 5 - 3 = 14 - 3 ï
î x z î y z m î 0 = 9 - m
Logo:
Se 9 ­ m ¹ 0 ou seja, se m ¹ 9, o sistema é incompatível.
Se 9 ­ m = 0, ou seja, se m = 9, o sistema terá uma variável livre e será compatível indeterminado.
ìx - 3 + az = 4
y
ï
b) Discutir o sistema íx - 2 + 5 = b - 8
y z
ï2 - 6 + ( + a z = 4
î x y 2 ) b
Solução:
ìx - 3 + az = 4
y ­1 ­2 ìx - 3 + az = 4
y
ï ï
íx - 2 + 5 = b - 8
y z í y + ( - a z = b - 12
5 )
ï2 - 6 + ( + a z = 4 ï
î x y 2 ) b î ( - a z = 4 - 8
2 ) b
Como o sistema já está escalonado, temos:
4b - 8
• Para a ­ 2 ¹ 0, ou seja, para a ¹ 2, o sistema será compatível e determinado com z = e daí tira­se x e y.
.
2 - a
• Se a ­ 2 = 0, ou seja, se a = 2, a última equação se transforma em 0 = 4b ­ 8. Logo:
Se 4b ­ 8 ¹ 0, ou seja, se b ¹ 2, o sistema é incompatível.
Se 4b ­ 8 = 0, ou seja, se b = 2, o sistema é indeterminado.
Em resumo:
Se a ¹ 2, o sistema é compatível determinado.
Se a = 2, e b = 2, o sistema é indeterminado.
Se a = 2 e b ¹ 2, o sistema é incompatível.
Matemática ­ M2 3 3

34. Tecnologia ITAPECURSOS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1 ­ SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS
Informalmente falando, uma seqüência é um conjunto cujos elementos são considerados em ordem.
Exemplo:
a) (1, 3, 5, 7, 9...) ® seqüência dos números ímpares.
b) (0, 2, 4, 6, 8, 10) ® seqüência dos números naturais pares menores que 12.
2 ­ REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA
(a , a , a , ..., a )
1 2 3 n
a : indica o 1º termo.
1
a : indica o 2º termo.
2
.. ... ... ... ...
a : indica o enésimo termo.
n
Exemplos:
Seja a seqüência (­3, 5, 4, 11, 13, 0), temos que: a = ­3; a = 11; a = 0
1 4 6
3 ­ TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS
Dois termos de uma seqüência são eqüidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem o
primeiro é igual ao número de termos que seguem o segundo.
É fácil perceber que dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual à soma
dos índices dos termos extremos.
Exemplo:
Seja a seqüência (a , ..., a )
1 20
a e a são eqüidistantes dos extremos pois
5 16
5 + 16 = 1 + 20
a e a não são eqüidistantes dos extremos pois
8 11
8 + 11 ¹ 1 + 20
4 ­ REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA
Uma seqüência pode ser dada através da fórmula do termo geral ou através de uma fórmula de recorrência. Veja:
a) Escreva os três primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é: a = 3n ­ 1
n
Solução:
a = 3 . 1 ­ 1 = 2, a = 3 . 2 ­ 1 = 5
1 2
a = 3 . 3 ­ 1 = 8
3
Resposta: a = 2, a = 5, a = 8
1 2 3
b) Seja a seqüência tal que a = 2 e a = a . 3.
1 n n­1
Escreva os três primeiros termos dela.
Solução:
a = 2
1
a = a . 3 = 2 . 3 = 6
2 1
a = a . 3 = 6 . 3 = 18
3 2
Resposta: a = 2, a = 6, a = 18
1 2 3
3 4 Matemática ­ M2

35. Tecnologia ITAPECURSOS
5 ­ PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Definição
Chamaremos de progressão aritmética (P.A.) à seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao
anterior somado com uma constante, que denominaremos de razão (r) da P.A.
Exemplos:
a) (3, 7, 11, 15,...) P.A. de razão r = 4
b) (6, 4, 2, 0, ­2,...) P.A. de razão r = ­2
c) (2, 2, 2,...) P.A. de razão r = 0
Observe que, se (a , a , ..., a ) é uma P.A., então: r = a ­ a = a ­ a = ... = a ­ a
1 2 n 2 1 3 2 n n­1
Além disso, pela definição dada, teremos:
a = a + r
2 1
a = a + r = (a + r) + r = a + 2r
3 2 1 1
a = a + r = (a + 2r) + r = a + 3r
4 3 1 1
e de um modo geral: a = a + (n ­1) . r ® fórmula do termo geral.
n 1
Podemos achar uma outra fórmula mais geral. Seja (a , a , ..., a , ..., a ) uma P.A. de razão r.
1 2 k n
Pela fórmula do termo geral temos:
ìa = a + (n - 1 r ® a = a + nr - r
n 1 ) n 1
í
a = a + (k - 1 r ® a = a + kr - r
î k 1 ) k 1
Portanto:
a ­ a = a + nr ­ r ­ a ­ kr + r ou
n k 1 1
a = a + (n ­ k) . r
n k
Exemplos:
A primeira fórmula nos permite escrever:
a = a +6r, a = a + 9r etc.
7 1 10 1
A segunda nos permite escrever:
a = a + 2r, a = a + 3r, a = a ­ 3r, etc.
5 3 9 6 4 7
6 ­ PROPRIEDADES DE UMA P.A.
P.1) Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é média aritmética dos outros dois.
Demonstração:
Sejam x, y, z termos consecutivos de uma P.A. de razão r. Então, pela definição, teremos:
y = x + r
y = z ­ r
x + z
Somando m.a.m. essas igualdades, encontramos: 2y = x + z ou y =
2
P.2) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma P.A.
Demonstração:
Dada a P.A. (a , ..., a , ..., a , ..., a ) sejam a e a termos eqüidistantes dos extremos. Então, teremos
1 p q n p q
p + q = 1 + n ou p ­ 1 = n ­ q (I).
Além disso: a = a + (p ­ 1) r
p 1
a = a + (n ­ q) r = a + (p ­ 1) r, pois n ­ q = p ­ 1
n q q
Logo, subtraindo m.a.m., obteremos: a ­ a = a + (p ­ 1) r ­ a ­ (p ­ 1) r ou
n p q 1
a ­ a = a ­ a e daí a + a = a + a
n p q 1 n 1 p q
Matemática ­ M2 3 5

36. Tecnologia ITAPECURSOS
Conseqüências dessas propriedades:
1ª) Se p + q = r + s então a + a = a + a
p q r s
Assim, podemos escrever: a + a a + a = a + a
2 5 = 4 3 1 6
2ª) Numa P.A. finita, com um número ímpar de termos, o termo central é média aritmética entre os extremos,
ou entre qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos.
7 ­ SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Seja a P.A.
(a , a + r, a + 2r, ..., a ­ 2r, a ­ r, a ). Então:
1 1 1 n n n
S = a + a + r + a + 2r + ... + a ­ 2r + a ­ r + a
n 1 1 1 n n n
ou
S = a + a ­ r + a ­ 2r + ... + a + 2r + a + r + a
n n n n 1 1 1
Somando m.a.m. obtemos:
2S = (a + a ) + (a + a ) + ... + (a + a )
n 1 n 1 n 1 n
n parcelas
( + a ).
a n
n 1 n s = 1 n
Logo: 2S = (a + a ) . n e então .
n
2
8 ­ PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição
Chama­se progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao
anterior, multiplicado por uma constante, que chamaremos de razão (q) da P.G.
Exemplos:
(3, 6, 12, 24, ...), P.G. de razão q = 2.
(1, ­3, 9, ­27, ...), P.G. de razão q = ­3.
2 1
(18, 6, 2, , ...), P.G. de razão q = .
3 3
(2, 2, 2, ...) P.G. de razão q = 1.
Observação:
Para se achar a razão de uma P.G., basta dividir um termo qualquer pelo anterior.
Se (a , a , ..., a ) é uma P.G. temos:
1 2 n
a = a . q
2 1
a = a . q = (a . q) . q = a . q 2
3 2 1 1
2 3
a = a . q = (a . q ) . q = a . q
4 3 1 1
e notando que o expoente da razão é sempre uma unidade menor que o índice do termo em questão, teremos:
n­1 ® termo geral da P.G.
a = a . q
n 1
De modo análogo ao que fizemos para a P.A., prova­se que: n­k .
a = a . q
n k
Veja: 6 4
a = a . q , a = a . q
7 1 5 1
5 ­4
a = a . q , a = a . q
9 4 3 7
3 6 Matemática ­ M2

37. Tecnologia ITAPECURSOS
9 ­ PROPRIEDADES DE UMA P.G.
P.1) Dados três termos de uma P.G., o termo do meio é média geométrica entre os outros dois.
2
Ou seja: Se a, b, c estão em P.G., b = ac.
P.2) O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos de uma P.G.
Conseqüências de P.2.
1ª) Se p + r = s + t então a . a = a . a
p r s t
2ª) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central é média geométrica entre os extremos, ou
entre dois termos eqüidistantes dos extremos.
Tente provar essas propriedades. As demonstrações são parecidas com o que fizemos para as P.As.
10­ SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
Seja (a , a , a , ..., a , a , a ) uma P.G. finita de razão q ¹ 1. Então:
1 2 3 n­2 n­1 n
S = a + a + a + ... + a + a + a
n 1 2 3 n­2 n­1 n
Multiplicando por q, obtemos:
qS = a q + a q + a q + ... + a . q + a . q + a . q ou
n 1 2 3 n­2 n­1 n
qS = a + a + a + ... + a + a + a q
n 2 3 4 n­1 n n
Portanto:
a q - a
n 1
qS ­ S = a q ­ a , e daí vem: S =
n n n 1 n
q - 1
n­1 a ( n - 1
1 q )
Usando a fórmula a = a . q , prova­se também que: S =
n 1 n
q - 1
11­ SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Seja (a , a , ..., a , ...) uma P.G. infinita cuja razão q é tal que |q| < 1. Já sabemos que:
1 2 n
a ( n - 1
1 q )
S =
n . Fazendo n tender a infinito.
q - 1
n a 1
q tenderá a zero e S tende a: S =
n
1 - q
Lembre­se: essa fórmula só vale para P.Gs. onde |q| < 1.
Matemática ­ M2 3 7

38. Tecnologia ITAPECURSOS
GEOMETRIA ESPACIAL
I ­ PRISMA
1­ DEFINIÇÃO
P’
b
Sejam a e b dois planos paralelos, R uma região
poligonal em a , e r uma reta cuja interseção com
a é um ponto exterior a R. Chama­se prisma, à
reunião de todos os segmentos PP’ paralelos a r,
com P em R e P’ em b . P
R
a
r
2­ ELEMENTOS DE UM PRISMA
C’
Elementos: b
ABC e A’B’C’: bases A’ B’
AB é uma aresta da base (quais são as outras?) h
AA’ é uma aresta lateral (quais são as outras?) C
AA’BB’ é uma face lateral (quais são as outras?)
h é a altura do prisma (distância entre os planos da base) A B a
Obs.: Se as arestas laterais são oblíquas em relação
aos planos da base, o prisma é um prisma
oblíquo. Se as arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases o prisma h
é um prisma reto (h = aresta lateral)
3­ CLASSIFICAÇÃO
Prisma triangular: as bases são triângulos
Prisma quadrangular: as bases são quadriláteros
Prisma pentagonal: as bases são pentágonos
e assim por diante.
Prisma regular: é o prisma reto, cujas bases são
polígonos regulares.
Prisma regular triangular Prisma regular pentagonal
4­ SECÇÕES
­ Secção transversal de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano paralelo às bases.
­ Secção reta de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano perpendicular às suas arestas
laterais.
3 8 Matemática ­ M2

39. Tecnologia ITAPECURSOS
5­ PARALELEPÍPEDO
­ Paralelepípedo é o prisma cuja base é um paralelogramo.
­ Paralelepípedo retângulo (ou reto­retângulo ou ortoedro) é um prisma reto, cuja base é um retângulo.
­ Cubo é um paralelepípedo retângulo no qual todas as seis faces são quadrados.
Exemplos:
Paralelepípedo oblíquo Paralelepípedo reto
As seis faces são paralelogramos Faces laterais ­ retângulos
bases: paralelogramos
Paralelepípedo retângulo Cubo
As seis faces são retâgulos As seis faces são quadrados
6­ DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo retângulo.
No triângulo ABC, temos:
2 2 2
d f = a + b
No triângulo ACC’, temos:
2 2 2
d = d f + c e substituindo:
2 2 2 2
d = a + b + c . Logo:
2 2 2
d = a + b + c
7­ ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (S )
t
S é a área de 6 retângulos
t
2 com dimensões a, b
2 com dimensões a, c
2 com dimensões b, c
Logo:
S = 2 + 2 + 2 ® S = 2 ab + ac + bc
t ab ac bc t ( )
Matemática ­ M2 3 9

40. Tecnologia ITAPECURSOS
8 ­ VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V)
Um paralelepípedo retâgulo de dimensões a, b, c, tem um volume dado por: V = a . b. c
9 ­ DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO
Como um cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo, as fórmulas anteriores são válidas para ele,
bastando fazer b = c = a.
Teremos então: d = a 3 , S t = 6 2 , V = a
a 3
Obs.: a é a aresta do cubo.
10 ­ VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER
O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (B) pela altura (h) V = B . h
11 ­ LEMBRETES IMPORTANTES
A) Altura e área de um triângulo equilátero
2
a 3 a 3
h= S =
2 4
B) Área de um hexágono regular
A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo
equilátero de lado a
a 2 3 3 2 3
a
S = 6
. , S =
4 2
C) Apótema do hexágono regular (m)
O apótema do hexágono regular coincide com
a altura de um triângulo equilátero.
a 3
m=
2
II ­ PIRÂMIDE
1­ DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Definição: Seja a um plano, R uma região poligonal
em a e V um ponto não pertencente a a . Chama­se
pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma
das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V.
­ Elementos
Vértice: é o ponto V.
Base: é o polígono ABCDE
Arestas da base: são os lados da base: AB , BC , ...
Arestas laterais: VA , VB , ... VE
Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...
Altura: é a distância do vértice ao plano da base.
4 0 Matemática ­ M2

41. Tecnologia ITAPECURSOS
2­ CLASSIFICAÇÃO
Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.
Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.
Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.
Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro desse
polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.
Numa pirâmide regular, as faces laterais são
triângulos isósceles congruentes.
A altura de uma face lateral de uma pirâmide regu­
lar em relação ao lado da base chama­se apótema
da pirâmide.
VO = altura (h)
OM = apótema da base (n)
2 2 2
Observe que: m = h + n
VM = apótema da pirâmide (m)
3­ VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
1
Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é: V = B h
.
3
4­ SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE
Chama­se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendo
h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos:
A' ' B C
B ' ' d
a) = = ... =
AB BC h
VA' VB
' d
b) = = ... =
VA VB h
2
área da seção æ d ö
c) =ç ÷
área da base è h ø
3
VolumeV ( ' ' C D ) æ d ö
A B ' '
d) =ç ÷
VolumeV ABCD
( ) è h ø
Observação: As relações acima são válidas para qualquer pirâmide.
5­ TRONCO DE PIRÂMIDE
A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma nova
pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide.
Base maior: é a base da pirâmide original
Representaremos sua área por B.
Base menor: é a secção transversal. Sua área será
representada por b.
Altura do tronco: é a distância entre os planos das bases
(h).
h
O volume do tronco de cone é: V = (B + B b + b
. )
3
Matemática ­ M2 4 1

42. Tecnologia ITAPECURSOS
6­ TETRAEDRO REGULAR
Chamamos de tetraedro regular à pirâmide regular na qual as quatro faces são triângulos equiláteros
congruentes.
­ Área total do tetraedro regular ( S )
t
S = 4 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a.
t
2 3 2
Portanto S = 4 . a
t ou S t = a 3
4
­ Altura do tetraedro regular (h)
Seja a aresta do tetraedro. Como o tetraedro é regular, o ponto O é o baricentro
do triângulo ABC, e como esse triângulo é equilátero teremos:
2 a 3 a 3
AO = . =
3 2 3
2
2
æ a 3 ö
2 a 6
No triângulo VOA, temos: a = h + ç ÷
ç 2 ÷ e daí vem
h=
è ø 3
­ Volume do tetraedro regular (V)
1 2 3
V= . B . h , onde B é a área da base. Mas B = a ;
3 4
2 3
1 a 3 a 6 a 2
então V = . . ® V =
3 4 3 12
III ­ CILINDRO
1­ DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
­ Definição: Sejam a e b planos paralelos, C um círculo contido em a e r uma reta que intercepta a em A
e b em B.. Chama­se cilindro à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB, que têm uma
extremidade no círculo C e outra no plano b .
­ Elementos de um cilindro
Bases: são os círculos de centro O e O’.
Altura (h): é a distância entre os planos das bases.
Eixo: é a reta OO’ que contém os centros das bases.
Geratriz: qualquer segmento paralelo ao eixo e com
extremidades nas circunferências das bases.
2­ CLASSIFICAÇÃO
Cil i nd ro reto : as geratrizes são perpen­ g = 2 r = h
diculares aos planos da base.
Cil i n dro ob l íqu o : as geratrizes não são
perpendiculares aos planos da base.
Observação: O cilindro reto é também cha­
mado de cilindro de revolução.
Cilindro Cilindro Cilindro
reto oblíquo equilátero
4 2 Matemática ­ M2

43. Tecnologia ITAPECURSOS
­ Secção Meridiana
É a interseção de um cilindro reto com um plano que contém o eixo.
A secção meridiana geralmente é um retângulo. Se ela for um quadrado, o cilindro é chamado cilindro equilátero.
3­ ÁREA LATERAL
Se você “abrir” o cilindro obterá um retângulo de base 2pr e altura h.
rh
2prh
Logo, a área lateral do cilindro será S = 2 rh
I p
4­ ÁREA TOTAL
É a área lateral acrescida da área das duas bases.
Logo: S t = 2 rh + 2 r 2 ou: S = 2 r h + r
p p t p ( )
5­ VOLUME DE UM CILINDRO
É dado por: V = pr 2 . h
IV ­ CONE
1­ DEFINIÇÃO ­ ELEMENTOS
­ Definição: Seja C um círculo de centro O e raio r, ­ Elementos:
contido num plano a , e V um ponto fora desse Vértice: ponto V
plano. Chamamos de cone circular ou cone à
reunião de todos os segmentos cujos extremos Base: círculo de centro O
são o ponto V e um ponto do círculo. Altura: distância de V ao plano da base
Eixo: reta VO
Geratriz: segmentos com extremos em V e num
ponto da circunferência da base.
o
Matemática ­ M2 4 3

44. Tecnologia ITAPECURSOS
2­ CLASSIFICAÇÃO
Cone oblíquo: o eixo é oblíquo à base Observação:
Cone reto: o eixo é perpendicular à base 1) O cone reto também é chamado de cone de
revolução. Ele pode ser gerado pela rotação
completa de um triângulo retângulo em torno
de um de seus catetos.
Cone oblíquo Cone reto
Observação:
2) Num cone reto temos: g2 = h + r 2
2
­ Secção meridiana: é a interseção do cone com um Cone equilátero: é o cone cuja secção meridiana
plano que contém o eixo. A secção meridiana de é um triângulo equilátero.
um cone reto é um triângulo isósceles.
Num cone equilátero g = 2r e h = r 3
3­ ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE
­ Área lateral
Destacando a base de um cone, cortando­o na direção de uma geratriz, obtemos uma planificação do cone que
será um setor circular de raio g e cujo arco tem comprimento 2 p r.
.
r
2 p r
l . r
Da geometria plana, sabemos que a área de um setor circular de raio r e arco de comprimento l é S =
2
Portanto, a área lateral do cone será:
2 r . g
p
S = ® S = p r g
l
2
­ Área total
' 2
S = S + S
t l base ® S = p r g + p r ® S = p r g + r
t t ( )
4 4 Matemática ­ M2

45. Tecnologia ITAPECURSOS
4­ VOLUME DO CONE
1 2
V = p r h , r = raio da base e h = altura
3
5­ SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE
É a interseção de um cone com um plano paralelo ao plano de sua base.
Uma secção transversal divide o cone em duas partes: um cone menor e um tronco de cone. São válidas as
relações:
2
S sec ção h 3
r h secção V1 h
a) = b) R = 2 c) = 3 onde:
R H base H V H
2
r
V = volume do cone de altura h
1
V = volume do cone de altura H
2
6­ TRONCO DE CONE
Como já dissemos anteriormente, é uma das partes
em que o cone fica dividido por uma secção trans­
versal. Se o cone original que foi seccionado for um
cone reto, o tronco é chamado tronco de cone reto
de bases paralelas.
­ Área lateral de um tronco de cone reto de bases paralelas
Seja S a área lateral do tronco, S a área lateral do cone de geratriz G e S’ a área lateral do cone de raio da
it l l
base r.
Então: S = S ­ S’
lt l l
S = p RG = p r(G ­ g) = p RG ­ p rG + p rg
lt
S = p (RG ­ rG + rg) = p [G(R ­ r) + rg]
lt
Da semelhança dos triângulos VAO’ e VBO, tiramos: A
VA AO ' G - g r gR
= ou = e daí G = . Substituindo
VB BO G R R - r
gR
vem S = p [
lt . ( - r + rg = p ( + rg e então:
R ) ] gR )
R - r
ìR = raio da base maior do tronco
ï
S = p ( + r g ír = raio da base menor do tronco
It R )
ïh = altura do tronco
î
­ Área total de um tronco de cone reto de bases paralelas. Mostre você que:
S = p[ ( + R + r g + r
lt R g ) ( )]
­ Volume do tronco de cone reto de bases paralelas.
ìR = raio da base maior do tronco
ph 2 ï
V = ( + Rr + r 2 ) ® ír = raio da base menor do tronco
R
3 ïh = altura do tronco
î
Matemática ­ M2 4 5

46. Tecnologia ITAPECURSOS
V ­ ESFERA
1­ ESFERA
É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância
a um ponto dado O, é menor ou igual a R, onde
R > O é o raio da esfera.
2 ­ SUPERFÍCIE ESFÉRICA
É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é igual a R, sendo R > O, o seu raio.
Observação: A superfície esférica é a “casca” da esfera.
3 ­ SECÇÃO ­ CÍRCULO MÁXIMO
Secção da esfera: é a interseção da esfera com um plano secante.
A secção de uma esfera é um círculo.
Círculo máximo: é a interseção da esfera com um
plano secante que passa pelo seu centro.
d = distância do centro O ao plano secante
Observe que: d + r 2 = R 2 ® R = raio da esfera
2
r = raio da secção
4 ­ PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS
Pólos: São as interseções da superfície esférica com o eixo
(P e P )
1 2
Equador: é a secção perpendicular ao eixo que passa pelo centro
da superfície esférica (circunferência máxima)
Paralelo: é toda secção da superfície esférica paralela ao equador.
Meridiano: é uma secção da superfície esférica, cujo plano passa
pelo eixo (é também uma circunferência máxima)
5 ­ DISTÂNCIAS POLARES
Chama­se distância polar à distância de um pólo a um
ponto qualquer de um paralelo.
Exemplo: P A = p e P A = p são distâncias polares.
1 2 '
Cálculo da distância polar.
Sejam: R: o raio da esfera
d: distância do centro da esfera ao plano da secção. O triângulo P AP é retângulo. Então, usando as
1 2
relações métricas nos triângulos retângulos obtemos:
P A 2 = P P . P O ® p = 2 . ( + d
1 1 2 1 '
2
R R )
P A 2 = P P . P O ® p 2 = 2 . ( - d
2 1 2 2 ' ' R R )
4 6 Matemática ­ M2

47. Tecnologia ITAPECURSOS
6 ­ O VOLUME DA ESFERA
4 3
O volume de uma esfera de raio R é: V = pR
3
7 ­ ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
p 2
A área da superfície esférica de raio R é: S = 4 R
8 ­ FUSO ESFÉRICO
É a sup erf ície obtida pelo giro de a graus
( 0 < a < 360 ) em torno do eixo de uma semi­
° °
circunferência com extremidades nos pólos.
­ Área do fuso esférico
Como o fuso é “uma parte” da superfície esférica, podemos calcular sua área por uma regra de três.
Basta observar que, se a = 360 (ou a = 2p rad ), o fuso se transforma na superfície esférica.
°
A) a é dado em graus.
2
360º ­ 4pR
a ­ S pR 2 a
® S =
90
°
B) a é dado em radianos
2
2prad ­ 4pR
a ­ S ® S = 2 2 a
r
Observação: O fuso é a “casca” de um gomo de laranja.
9 ­ CUNHA ESFÉRICA
Se na definição anterior, substituirmos a semi­circunferência por um semi­círculo obtemos um sólido que é
chamado de cunha esférica (gomo de laranja).
­ Volume da cunha
A) a é dado em graus.
4 3
360° ­ pR
3 3
pR a
® V =
a ­ V 270 °
B) a é dado em radianos
4 3
2p rad ­ pR
3
2 3 a
R
a ­ V ® V =
3
Matemática ­ M2 4 7

48. Tecnologia ITAPECURSOS
MATEMÁTICA I
FUNÇÃO EXPONENCIAL
x
1) (PUC­MG) A exponencial (a + 3) é função 4) (PUC­MG) A população de uma cidade é dada
decrescente. O número real a + 2 pertence ao x
pela equação y = 250 . 1,02 , em que y é a
intervalo: população em milhares de habitantes e x é o
tempo, em anos, contado a partir de janeiro de
a) ]0,1[ d) ]­2,0[
1997. O número provável de habitantes dessa cidade,
b) ]­2,­1[ e) ]­1,0[ em janeiro do ano 2000, seria aproximadamente:
c) ]­1,­1[
a) 250.000 d) 265.000
2) (UNA­MG) O tempo necessário, em segundos, b) 255.000 e) 270.000
para um computador resolver um sistema linear c) 260.000
n
de n equações a n incógnitas é T(n) = n + 2 . O
tempo que essa máquina levará para resolver 5) (PUC­MG) Considere as funções f( x ) = 3 x e
um sistema linear de 10 equações a 10 incógnitas 2
g ( x ) = x + x . A soma das raízes da equação
será: f( g(x) ) = 9 é:
a) menor que 5 minutos. a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
b) maior que 5 minutos mas menor que 15
minutos. 6) (UFOP­MG) O valor de x que satisfaz a equação
x x
seguinte é um número: 4 ­ 15 . 2 ­ 16 = 0
c) maior que 15 minutos mas menor que 1 hora.
d) superior a 1 hora. a) ímpar d) primo
b) irracional e) par
3) (PUC­MG) Sabe­se que a população de certa c) negativo
cidade cresce exponencialmente de acordo com
a função p = f(t) do gráfico abaixo, onde t é o 7) (N.Paiva­MG) Considere a equação exponencial
tempo em anos e p, a população em milhares k ­k
2 + 2 = 3k, onde k é um número real. Os
de habitantes. De acordo com as informações valores de k para os quais a equação exponencial
desse gráfico, o valor aproximado de t, para que admite raízes reais são:
se tenha p = 160, é:
ì 2 2 ü
a) ík Î R / - £ k £ ý
a) 16 î 3 3 þ
b) 20 ì 2 ü
b) ík Î R / k ³ ý
î 3 þ
c) 24
ì 3 ü
d) 28 c) ík Î R / k ³ ý
î 2 þ
e) 32 ì 2 2 ü
d) ík Î R / k £ - ou k ³ ý
î 3 3 þ
4 8 Matemática ­ M2

49. Tecnologia ITAPECURSOS
8) (Univ. Itaúna­MG) O par (x , y) é solução do sistema 16) (Fac. Milton Campos­MG) Se a é raiz da equação
x 2 y
ì2 . 2 = 2 x
2
a + 1
ï 3 2
x 2
x
+ 2 = 2 6
. x , então é igual a:
í . O valor de y é : 2
ï3 x : 3 = 3
2 y
î
a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 3/2
a) 2/5 b) 1/5 c) 3/5 d) 4/5
9) (FAFEOD­MG) O domínio da f unção 17) (Fund. João Pinheiro­MG) Uma população, a partir
de 1995, tem a seguinte lei de formação:
1
f x =
( ) é:
1 P n = 12 10 . n -1995 n ³ 1995
( ) . 4 2 , .
- x - 2
3 -
9 Estima­se que, em certo ano, essa mesma
população será 32 vezes a de 1995.
a) R *
_ b) R_ c) R + d) R * e) R
+ Assim sendo, esse ano seria:
10) (UFJF­MG) O conjunto solução, em R, da a) 1998
x 3
+ b) 1999
æ 1 ö
inequação 3 x 3 > ç ÷
- é:
è 9 ø c) 2000
a) {x Î R / x > -3
} d) {x Î R / x < 1
} d) 2002
b) {x Î R / 0 < x < 1
} e) {x Î R / x > -1
} e) 2004
c) {x Î R / x > 1
} 18) (CEFET­MG) O ponto de interseção das curvas
11) (PUC­MG) O par ordenado (­1,5) pertence ao x
x æ 1 ö
gráfico da função f(x)= a x
. O valor de f (1) é: y = 2 e y = ç ÷ é:
è 2 ø
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
a) (­1,0) c) (0,1) e) (1,1)
12) (FMTM­MG) Seja a o menor número real que é
2 æ 1 ö
x b) (0,­1) d) (1,0)
solução da equação 5 -2 : 25 = ç
x
÷ . Pode­se
è 125 ø 19) UFMG) Observe a figura.
afirmar que a é um número:
a) natural d) complexo
b) primo e) divisível por 5
c) irracional
13) (Fund. João Pinheiro­MG) Certo fenômeno é regido
b.x
pela lei f (x) = a .10 . Sabe­se que
f(0) = 0,01 e f(1) = 10.000. Nesse caso, o quociente
b/a deve ser igual a:
Nessa figura, está representado o gráfico da função
a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800
f(x) = b x , b > 0.
x
14) (UFOP­MG) A soma das raízes da equação 9 +
x . 30 é:
81 = 3 10
Se f ( ) + f ( 1 =
1 , a única afirmativa VERDA­
- )
3
a) 1 c) 27/28 e) 30 DEIRA sobre o valor de b é:
b) 81/28 d) 4
1
15) (FCMMG) Suponha que a temperatura de um a) 0 < b < d) 1 < b < 4
corpo, colocado num instante t = 0 em um meio 9
mais frio, obedeça à seguinte lei: T(t) ­ A = B.e ­k.t
, 2 4
em que A é a temperatura do meio ambiente, T(t) é b) < b < e) 4 < b < 9
9 9
a temperatura do corpo no instante t, B e K são
constantes e e é aproximadamente 2,7. Suponha 8
ainda que no instante t = 0 o corpo tenha c) < b < 1
9
temperatura de 36,5 °C, e que este se encontre
em uma sala mantida a 20 °C. 20) (PUC­MG) O número de raízes reais da equação
O valor de B é: 3 3 2
2 2
a) 16,5 °C c) 36,5 °C 2 x - 3 2 x + 2 = 0 é:
.
b) 28,25 °C d) 56,5 °C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Matemática ­ M2 4 9

50. Tecnologia ITAPECURSOS
LOGARITMO
log 2 7 7
1) (UFMG) Seja y = 4 + log 8 . Nesse caso,
2
Fazendo a correspondência entre as funções e os
o valor de y é: gráficos, assinale, dentre as alternativas abaixo, a
seqüência correta:
a) 35 b) 56 c) 49 d) 70
a) I­B , II­D , III­A , IV­C
2) (UFMG) Observe a figura. b) I­A , II­D , III­C , IV­B
c) I­A , II­B , III­C , IV­D
d) I­C , II­B , III­A , IV­D
e) I­B , II­C , III­D , IV­A
5) (Fund. João Pinheiro­MG) Considere a,b,c, três
a
números positiv os tais que log = 10 4 e ,
b
log ac = 8 2 . Nessas condições, log bc é igual a:
,
a) –6,8 b) –2,2 c) –2,4 d) 2,5 e) 6,6
Nessa figura, os pontos B e C estão sobre o
gráfico da função y = log x ; os pontos A e D 6) (PUC­MG) Se log (x + 2) + log (x + 2) = 3, o valor
2 4 2
de x é:
têm abscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente,
e os segmentos AB e CD são paralelos ao eixo a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
y. Então, a área do trapézio ABCD é:
7) (UNIMONTES­MG) Hoje, graças ao aprimoramento
a) 64/3 b) 70/3 c) 74/3 d) 80/3 das técnicas de previsão, podemos responder a
questões como: quantos habitantes há no nosso
3) (UNA­MG) A calculadora de um aluno possui a planeta ?; em que ano a população de um determi­
tecla ln e não possui a tecla log. Ele deseja nado estado, país ou continente estará duplicada?.
calcular log 2 em sua máquina. Para tal ele deve: A população de um continente cresce de acordo
it
com a equação P(t) = P . e , onde P é a
a) calcular ln 2 , calcular ln 10 e somar o primeiro 0 0
com o segundo. população no instante em que se inicia a contagem,
b) calcular ln 2 , calcular ln 10 e subtrair o t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anual
primeiro do segundo . da população.
c) calcular ln 2 , calcular ln 10 e multiplicar o Sabendo que log 2 = 0,693 e que a população do
e
primeiro pelo segundo . nosso continente cresce à taxa de 3,5% ao ano,
então ela se duplica depois de:
d) calcular ln 2 , calcular ln 10 e dividir o primeiro
pelo segundo. a) 19,8 anos c) 0,198 anos
b) 1,98 anos d) 0,0198 anos
4) (UNA­MG) Considere as seguintes funções reais
e os seguintes gráficos: 8) (FAFEOD­MG) Na tabela abaixo, estão discriminados
æ 1ö
x cinco números reais e seus respectivos logaritmos
x
(I) f(x) = 5 (II) f(x) = log 1 x (III) f(x) = ç ÷ (IV) f(x) = log x
è 4 ø
decimais:
2
Número Logaritmo Decimal
a 0,699
( A ) ( B ) b 0,301
c 0,477
d 0,431
r 0,602
Analise as seguintes alternativas:
( C ) ( D )
I. a . b= 10
II. 2
b – r = 0
III. os números a e r são menores que 1
IV. c > d
V. 2,5 £ a . b . c . d . r £ 10
5 0 Matemática ­ M2

51. Tecnologia ITAPECURSOS
Assinale a alternativa CORRETA: 15) (PUC­MG) O valor de N = log 25 ­ log 100 é:
2 2
a) todas as afirmativas são falsas. a) –6 b) –5 c) –4 d) –3 e) –2
b) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
16) (PUC­MG) Sabe­se que y é um número positivo e
c) apenas as afirmativas III e V são falsas.
d) todas as afirmativas são verdadeiras. 1 1
que log y = log 2 - log . O valor de y é:
3
2 4
9) (UNI­BH) O intervalo que NÃO está contido no con­
junto solução da inequação log x ­ 1 5 < log x ­ 1 2 é: a) 4 3
2 2
5 4 4 3 b) 3 5
a) [ ,1 [ b) ] ­1, ] c) ] 0,1 [ d) ] , [
6 5 5 2
2 3
c)
10) (Fund. João Pinheiro­MG) O montante M de um 3
capital C aplicado à taxa de i% ao mês, durante n
meses consecutiv os, é dado pela f órmula 4 3
n
M = C (1 + i) . d)
3
A partir dessa fórmula e utilizando­se logaritmos,
obtém­se para n a expressão: 17) (UFLA­MG) O v alor de x na expressão
log M - log C 6 - 2
log ( x x ) log x
2 = 8 é:
a)
( )
log 1 + i
a) log 2
log M b) 0
b)
C ( )
log + log 1 + i c) 2
d) log 8
(+)
c) log M - log C - log 1 i
e) –3
d) log M - log - log
C i 18) (CEFET­MG) O valor de y que satisfaz a equação
2 3 30
log y + log y + log y + L + log y = 930 é:
3 3 3 3
M
e) log ( )
- log 1 + i a) 3 b) 9 c) 18 d) 30 e) 54
C
log 2 .
. log 2
3 19) (UFLA­MG) Sabendo­se que log a = 2, log b = 3
x x
11) (Itaúna­MG) Sendo x = 2 3 e y = log
3 = 3 , e log c = 5, com a, b, c > 0 e 0 < x ¹ 1, então
x
2
o valor de –x y é:
1 2
/
3
æ a ö
a) –3 b) –2 c) 4 d) 2 a expressão logx ç 2 4 ÷ vale:
ç . ÷
è b c ø
12) (PUC­MG) Se log a + n = log (p a , o valor de p
10 10 . )
a) 10 b) 5 c) 0 d) ­5 e) ­10
é:
a) n n
b) 10n c) 10 10
d) n e) n/10
20) (PUC­MG) A raiz da equação p x - 2 = 0 é:
p
­5
13) (CEFET­MG) Sabendo que log 3 = x, log 3 = y e
4
a b a) 1 - log 2
p
que b = a , pode­se afirmar que:
b) 2 - log 2
p
a) 4x = ­5y d) 5x = ­4y
b) x = ­5y e) 20x = ­y c) logp 2
c) x = ­20y
d) 0, + log 2
5 p
2 (1 + log p 3
)
14) (PUC­MG) A raiz quadrada de p é: e) 1 + log 2
p
a) p d) 4p
b) 2p e) 5p
c) 3p
Matemática ­ M2 5 1

52. Tecnologia ITAPECURSOS
POLINÔMIOS
1) (PUC­MG) A igualdade a ( x + 2 ) + b ( x – 1 ) = 3 é verificada para qualquer valor de x. O valor do número
b é:
a) –1 b) –1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2
A B x + 3
2) (IH­MG) Dada a igualdade + = 2 , com x ¹ ±1 , o valor de A – B é:
x + 1 x - 1 x - 1
a) –3 b) –2 c) 1 d) 3 e) 4
3) (UFMG) Considere os polinômios P x = ax 3 + ( a - 3 ) 2 + ( + b + 4 ) - 4
( ) 2 b x a c x bcd e Q x = 6 2 + 18 + 5 ,
( ) x x
em que a, b, c e d são números reais. Sabe­se que P(x) = Q(x) para todo x Î R. Assim sendo, o número
d é igual a:
a) 1/8 b) 2/3 c) 4/5 d) 3
4) (UFJF­MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) encontramos um resto r(x) = x – 1.
É CORRETO afirmar que:
a) o grau de p(x) é igual a 2. c) o grau de q(x) é maior que 1.
b) o grau de q(x) é igual a 2. d) o grau de p(x) é igual a1.
5) (PUC­MG) O polinômio P(x)= x 3 – 4x 2 + 5x + m – 3 , é divisível por x + 1.
O valor de m é:
a) 1 b) 13 c) 4 d) 14 e) 22
6) (FMTM­MG) Dividindo­se o polinômio P(x) por 3x – 2 obtém­se quociente Q(x)= x 2 – 2x + 5 e resto r.
Se P(2) = 20 , então o valor de r é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 20
7(PUC­MG) Sendo P x = 2 3 - 5 2 + 4 - 1 e Q x = 2 3 - 7 2 + 7 - 2 , nota­se que P ( 1 ) = Q ( 1 ) = 0.
( ) x x x ( ) x x x
A forma mais simples da fração é:
x + 1 x - 2 x - 1 x - 1 x + 1
a) b) c) d) e)
x - 2 x + 1 x - 2 x + 2 x + 2
8) (UFMG) Sejam P x = x 2 - 4 e Q x = x - 2 2 + 5 + a , onde Q (2) = 0. O resto da divisão de Q( x ) por
( ) ( ) 3 x x
P( x ) é:
a) –x –2 b) 9x – 18 c) x + 2 d) 0 e) –9x + 18
5 3 2
9) (FAFEOD­MG) Considere os polinômios, P(x) = 5x + ax + bx + 3x + 250, Q(x) = x­2 e
4 +cx + dx + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x)
T(x) = 5x 3 2
por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a:
a) –850 b) –500 c) 750 d) 1.000
10) (PUC­MG) O polinômio P ( x ) = x 3 + x 2 – 10x + 8 é tal que P ( a ) = P ( b ) = P ( 2 ) sendo a > b. O valor
de a – b é:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 11
3 2 3
11) (PUC­MG) O polinômio P(x) = ax + bx + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x – 2x + 4. O valor de
a + b + c + d é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
5 2 Matemática ­ M2

53. Tecnologia ITAPECURSOS
12) (PUC­MG) O valor de B na identidade 4x + 1 = A (2x + 3) + B é:
a) –5 b) –4 c) –3 d) –2 e) –1
13) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade
1 A B
= +
(x + 2 )(2 x + 1 x + 2 2 x + 1
)
para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores.
A soma A + B é:
1 1 3
a) –1 b) - c) 0 d) e)
3 3 2
3 2
14) (UFJF­MG) O polinômio p(x), quando dividido por x + 1, fornece o resto x – 2. O resto da divisão de p(x)
por x + 1 é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
15) (Fac. N.Paiva­MG) Considere os polinômios A(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + ax + b e B(x) = x 2 ­ 1. Suponha que
A(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar:
a) a + b = 6
2
b) A soma dos coeficientes de [B(x)] é 4.
c) a – b = 4
2 2
d) a + b = 20
a + b = 0
e) 2
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) (UNIMONTES­MG) Considere E={ 1,2,3 } e F={ 1,2,3,4,5 }.O número de funções injetoras de E em F é:
a) 15 b) 60 c) 20 d) 125
2) (FCMMG) Observe a figura.
Nela está representada a planta de um cômodo
contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda
e 4 na terceira.
Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas
indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é:
a) 11 b) 23 c) 32 d) 60
Matemática ­ M2 5 3

54. Tecnologia ITAPECURSOS
3) (FMTM­MG) Os clientes de um banco devem 9) (UFMG) Formam­se comissões de três
escolher uma senha, formada de 4 algarismos professores escolhidos entre os sete de uma
de 0 a 9 de maneira que não haja algarismos escola.
repetidos em duas posições consecutivas. As O número de comissões distintas que podem,
senhas 0780 e 1212, por exemplo, são possíveis, assim, ser formadas é:
enquanto que as senhas 7228 e 1169 não são.
a) 35 b) 45 3
c) 210 d) 7 e) 7 !
O número de senhas válidas é:
a) 5.040 c) 8.100 e) 10.000 10) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana
b) 7.290 d) 9.000 de Cinema. Para isso, os organizadores
escolhem sete filmes, que serão exibidos um por
4) (Fund. João Pinheiro­MG) Em um torneio de tênis dia. Porém, ao elaborar a programação, eles
de mesa, havia 11 participantes. Cada um deles decidem que três desses filmes, que são de
jogou uma única vez com os demais. ficção científica, devem ser exibidos em dias
Portanto, ao final do torneio, foram disputados consecutivos.
Nesse caso, o número de maneiras diferentes
a) 11 jogos c) 44 jogos e) 66 jogos
de se fazer a programação dessa semana é:
b) 22 jogos d) 55 jogos
a) 144
5) (UEMG) Um homem, vistoriando seu guarda­ b) 576
roupa, percebeu que o número de calças é o c) 720
triplo do número de camisas. Sabendo­se que,
d) 1.040
com as peças de roupas do guarda­roupa, ele
consegue fazer 147 combinações do tipo calça
11) (CEFET­MG) A quantidade de números ímpares
e camisa, é CORRETO afirmar que o total de
de três algarismos distintos que se pode formar
peças de roupas, entre calças e camisas
com os números 2, 3, 5, 6, 7 e 8 é:
existentes no guarda­roupa é:
a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 360
a) 32 b) 29 c) 28 d) 24
12) (PUC­MG) Uma jarra cilíndrica deve ser pintada
6) (Univ. Itaúna­MG) Se A n . 3 = 4C n . 2 , então o
com três faixas de cores diferentes usando as
valor de n ! é:
tintas disponíveis verde, vermelha, amarela, azul
a) 3 b) 2 c) 6 d) 24 e preta. O número de jarras que se pode pintar,
com padronagens diferentes é:
7) (PUC­MG) A expressão
(n + 2 )! - (n + 1 ! , quando
) a) 120
(n + 1 !
) b) 100
simplificada, resulta em: c) 90
a) n+1 b) n+2 c) n+3 d) n e) 2n d) 70
e) 60
8) (UFLA­MG) Um banco adotou para os seus
clientes um sistema de senhas de quatro letras, 13) (UNI­BH) Em uma sala de aula há 20 alunos,
permitindo­se a repetição de letras (por exemplo: sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu­se um
gbbm, aaaa, ddde). Como o alfabeto tem 26 homem como representante de turma e uma
letras, o número de senhas diferentes neste mulher para vice­representante. O número de
sistema é: possíveis chapas vencedoras é:
a) menor que 100.
26 !
a) . b) maior que 100 e menor que 1.000.
4 !
c) maior que 1.000 e menor que 10.000.
b) permutação de 26 elementos.
d) maior que 10.000.
c) arranjo simples de 26 elementos tomados
quatro a quatro.
14) (PUC­MG) Em um campeonato de futebol, cada
4
d) 26 . um dos 24 times disputantes joga contra todos
e) combinação de 26 elementos tomados quatro os outros uma única vez. O número total de jogos
a quatro. desse campeonato é:
a) 48 b) 96 c) 164 d) 276
5 4 Matemática ­ M2

55. Tecnologia ITAPECURSOS
15) (Fund. João Pinheiro) Uma escola de computação 18) (FMTM­MG) O primeiro robô resultado de filmes
oferece aos alunos seis cursos básicos e cinco de ficção científica chamava­se “TOBOR”, nome
cursos de extensão. Pelo total cobrado, cada este originado pela inversão da palavra “ROBOT”.
aluno tem direito a fazer um pacote de sete Seguindo os princípios da contagem, o número
cursos, dos quais, no mínimo, quatro têm que de anagramas distintos, utilizando as cinco letras
ser básicos. que formam estas palavras, é:
Nesse caso, o número total de pacotes distintos a) 30 b) 40 c) 60 d) 120 e) 240
de cursos disponíveis aos alunos é:
a) 140 b) 168 c) 210 d) 215 e) 840 19) (FMTM­MG) Em uma festa de aniversário havia
n pessoas. Cada uma cumprimentou as outras
com um aperto de mão. Sabendo­se que houve
16) (Fac. Newton Paiva­MG) Seja A = {n / n é primo
ao todo 45 apertos de mão, pode­se afirmar que:
}
e 2 £ n £ 20 . O número de frações diferentes
a) n é um número primo.
de 1 que se podem formar com os elementos de
b) n é um número ímpar.
A é:
c) n é divisor de 15.
a) 42 b) 56 c) 82 d) 84 e) 112
d) n é divisor de 5.
17) (FCMMG) Um laboratório dispõe de 5 e) n é múltiplo de 5.
camundongos machos e n fêmeas. Se existem
360 maneiras de selecionar dois machos e duas 20) (UFJF­MG) O conjunto X tem 4 elementos e o
fêmeas para uma experiência, o número n é conjunto Y tem 7 elementos. O número de
igual a: funções f : X ® Y que se pode definir é:
a) 6 b) 9 c) 10 d) 12 a) 24 c) 840 e) 16.384
b) 28 d) 2.401
BINÔMIO DE NEWTON
10
æ 1 ö 5) (UNIFOR­CE) O número natural n que é solução
1) (IH­MG) No binômio ç x - ÷ , o termo
è x ø
æ n - 1 æ n ö æ n + 1
ö ö
independente de x é: ç 2 ÷ + ç 2 ÷ + ç 2 ÷ = 31 é:
da equação ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
a) –30240 c) 45 e) 30240
b) ­252 d) 252 a) primo. d) quadrado perfeito.
b) divisível por 2. e) maior que 20.
2) (UNI­BH) O termo central do binômio c) múltiplo de 3.
6
æ 3 ö
ç 2x + ÷ é: 6) (UNI­BH) Os valores de x que verificam a
è 2 2 ø
x
æ 10 ö æ 10 ö
identidade ç
ç x + 2 ÷ = ç 2 + 1 são:
÷ ç x ÷ ÷
27 -3 è ø è ø
a) 20 3
b) 8x c) x ­3
d) 540x
8 a) 0 ou 10 d) 1
3) (UFU­MG) O termo racional no desenvolvimento b) –2 ou –1/2 e) 1 ou 13/3
7
de ( 2 + 3 5 ) é: c) –2 ou 10/3
a) 350 4
c) 1.400 e) 5 7) (PUC­MG) O 6º termo no desenvolvimento do
4
b) 6 d) 700 10
æ 2 1 ö
binômio ç kx + ÷ segundo as potências
4) (UFOP­MG) Para que se tenha um dos termos è x ø
do desenvolvimento do binômio de Newton 63 5
11 5 decrescentes de x, é x se, e somente se, k
(x + a) igual a 1.386x , o valor de a deve ser: 8
for igual a:
a) 6 3 c) 10 e) 3 10
a) 6 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1/4
3
b) 2 6 d) 3
Matemática ­ M2 5 5

56. Tecnologia ITAPECURSOS
8
æ 3 1 ö
8) (UFV­MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de ç x + ÷ para x ¹ 0, é:
è x ø
a) 28 b) 56 c) 3 d) 0 e) 36
MATRIZ
é2 - 1
ù é3 5 ù ém n ù
1) (PUC­MG) Considere as matrizes A = ê ú, B = ê ú e A B = ê
. ú .
ë 4 1 û ë 2 2
û ë p q
û
O valor de n é:
a) 3 b) 4 c) 8 d) 14 e) 22
é 1 2
ù é 2 0 ù é m n
ù
2) (PUC­MG)Considere as matrizes A = ê ú , B = ê 4 1 e C = 2 A + B = ê p q .
ú ú
ë 3 4
û ë û ë û
O valor de p é:
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
ìi + j , i ¹ j
ï
3) (UFLA­MG) Seja A={ a i j } uma matriz 3x3 dada por a j = í
i . A matriz pode ser escrita como:
ï 1 i = j
î ,
é 2 3 4
ù é 1 3 4
ù é 1 2 3
ù é 1 3 4
ù é 0 3 4
ù
a) ê3 4 5 ú b) ê3 1 5
ê
ú
ú c) ê2 1 4 ú d) ê2 1 5 ú e) ê3 0 5 ú
ê ú ê ú ê ú ê ú
ê 4 5 6
ë ú
û ê 4 5 1
ë ú
û ê3 4 1 ú ê3 4 1 ú ê 4 5 0
ú
ë û ë û ë û
4) (Fac. M.Campos­MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz M = (a ij 3 x 2
)
ì2 se i > j
,
ï
definida por a ij = í0 se i = j é igual a:
,
ï- 2 se i < j
î ,
a) 4 b) 2 c) 0 d) –2
ì1 se i < j
,
( )
5) (PUC­MG) A matriz M = a é quadrada de ordem 3 e a ij = í
ij
i + j, se i ³ j
. O valor de a12 + a 22 + a 31 é:
î
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
é 2 1
ù é 1 0
ù é5 7 ù
6) (PUC­MG) Considere as matrizes A = ê ú , B = ê 2 1 , C = ê3 - 4 e M = AB + 3C.
ú ú
ë - 3 4
û ë û ë û
A matriz M é igual a:
é 13 21 ù é19 22 ù é14 6 ù é11 10 ù é18 20
ù
a) ê ú b) ê ú c) ê ú d) ê ú e) ê ú
ë - 10 5 û ë14 - 8
û ë 4 - 10
û ë 5 - 3
û ë12 13
û
é2 1 ù
7) (PUC­MG) A matriz inversa de A = ê ú é:
ë 1 0
û
é0 1 ù é0 1 ù é 1 1
ù é 2 1
ù é 2 1 ù
a) ê ú b) ê ú c) ê ú d) ê ú e) ê ú
ë 1 2
û ë 1 - 2
û ë 2 0
û ë0 1 û ë 1 0
û
5 6 Matemática ­ M2

57. Tecnologia ITAPECURSOS
2
8) (UNA­MG) Na matriz A temos que o elemento a = i + 2j. A matriz A vale:
2x2 ij
é 3 5
ù é 9 25
ù é 29 45
ù é 29 36
ù
a) ê4 6 ú b) ê16 49
ú c) ê36 56 ú d) ê45 56 ú
ë û ë û ë û ë û
é 52 36 54 14
ù
ê ú
87 45 65 85
9) (UNA­MG) Uma revendedora comercializa 4 produtos e possui 4 filiais. Na matriz A = ê ú
ê 25 ú
41 52 63
ê ú
ë96 85 74 74
û
o elemento que está na linha i e coluna j representa o estoque do produto i na filial j , por exemplo , existem
14 unidades do produto 1 na filial 4. A filial que possui maior estoque do produto 2 é a:
a) filial 1 b) filial 2 c) filial 3 d) filial 4
éa b
ù é2 - 1
ù
10) (PUC­MG) A matriz A -1 = ê ú é a inversa de A = ê ú .
ëc d
û ë2 1 û
O valor do número real b é:
a) –1 b) 1/4 c) 1/2 d) 1 e) 2
2 2
é x y ù é x - y ù é - 6 2 ù
11) (PUC­MG) Se ê ú - ê 2 2 ú
=ê ú então xy é igual a:
ë 2 2 û ë y
y x x û ë - 8 - 3
û
a) –6 b) –5 c) –1 d) 1 e) 6
1
12) (Fund. João Pinheiro­MG) Considere a matriz A = (a ) tal que a = ­1, a = 1, a = 1 e a = -
ij 11 12 21 22 .
2
Nessas condições, a soma de todos os elementos da inversa da matriz A deve ser igual a:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
13) (UFJF­MG) Três vereadores foram designados para compor a Comissão de Orçamento do Município
para o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o presidente para a referida comissão, sendo que cada
vereador pode votar em até dois nomes. Cada um recebeu um número de um a três e os votos foram
tabulados conforme a matriz A, dada a seguir.
é 1 0 1
ù
ê0 0 1 , onde a = ì1 se i votou em j
A = ê ú ,
ú ij í
ê0 1 1 ú î0 se i não votou em j
ë û
Então, o número do candidato mais votado e o número de candidatos que votaram em si mesmos são,
respectivamente:
a) 1 e 3 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 2 e 3 e) 3 e 2
t t
14) (UFV­MG) Seja a equação matricial A.B + X = C onde C é a matriz transposta de C. Se A e B são
matrizes de tipos 3x4 e 4x2, respectivamente, então para que exista uma matriz X, solução da equação, a
matriz C deve ser do tipo:
a) 2x3 b) 2x4 c) 3x2 d) 3x3 e) 3x4
é 2 - 1 ù é 6 - 5 ù
15) (UNA­MG) Sejam A = ê 0 3 ú e B = ê 0 3 ú . Se AX = B, então X é:
ê ú ê ú
ê - 2 0 ú
ë û ê - 6 4 ú
ë û
é3 5 ù é3 5
ù
é3 2 ù ê 1 1
ú é3 - 2
ù é 1 0
ù
a) ê ú b) ê ú c) ê ú d) ê0 1
ú e) ê ú
ë 1 0
û ë0 1 û ê ú ë0 1
û
ê3 4
ë ú
û ê3 0
ú
ë û
Matemática ­ M2 5 7

58. Tecnologia ITAPECURSOS
DETERMINANTE
1 2 3
1) (CEFET­MG) O valor do determinante 1 3 5 é:
1 4 6
a) –11 b) –1 c) 0 d) 1 e) 11
æ R I C ö æ R I C ö
ç ÷ ç ÷
2) (UNI­BH) Sabendo­se que det ç 3 3 3 ÷ = x , o determinante da matriz ç K A N ÷ é:
K A N
ç D R E ÷ ç D R E ÷
è ø è ø
1
a) x b) 3x c) 9x d) 27x
3
3) (PUC­MG) Considere o triângulo retângulo de vértices V , V , V da figura .
1 2 3
O determinante da matriz A = (a ) em que a = distância
ij 3x3 ij
V V , é igual a:
i j
a) 0 c) 2 5 e) 4 5
b) 5 d) 3 5
é 2 - 5 ù
4) (UFJF­MG) Sendo X = ê ú , então podemos afirmar que:
ë - 1 2 û
a) X é uma matriz quadrada de ordem 4.
b) X é uma matriz diagonal.
2 é4 25 ù
c) X = ê ú
ë 1 4 û
d) o determinante do dobro da matriz X é o dobro do determinante da matriz X.
é - 2 - 5
ù
e) a matriz inversa de X é X -1 = ê ú .
ë - 1 - 2
û
5) (UFLA­MG) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 6, qual o valor de
­1 t
x na equação det (2 A . A ) = 4x ?
a) 72 b) 18 c) 12 d) 2 e) 1/2
æ a b ö x + y x - y
ç b a ÷ , onde a = 2 e b = 2 , podemos afirmar que o determinante
6) (UFOP­MG) Sendo a matriz M = ç ÷
è ø
de M é:
xy y 2 x 2 y 2
a) xy b) 2xy c) d) e) +
2 4 4 4
é 1 2
ù é2 1 ù t t
7) (UNI­BH) Se A = ê ú e B = ê ú , então o determinante de A . B , onde B é a transposta de B, vale:
ë 4 5
û ë 3 4
û
a) –16 b) –15 c) 15 d) 16
5 8 Matemática ­ M2

59. Tecnologia ITAPECURSOS
æ y - x ö 2
8) (UFV­MG) Considerando a matriz A = ç
ç x y ÷ , o valor do determinante da matriz B = A é:
÷
è ø
2 2 2
a) (x + y ) 4 4
b) y – x 2 2 2 2 2
c) (y – x ) – 4x y 2 2 2
d) (y – x ) 4 4
e) y + x
æ 2 - 1
ö
9) (PUC­MG) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A = 5 e A × B = ç
ç 4 3 ÷ , então, podemos
÷
è ø
afirmar que det B é:
a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10
- 2 5 3 - 1 a 2
10) (CEFET­MG) Sabendo­se que a = e b = o valor do número real 2 – 3b será:
1 - 1 2 1
a) –89 b) –61 c) –81 d) –69 e) 81
SISTEMAS LINEARES
ìmx + 2 = 7
y
1) (CEFET­MG) Se o sistema í tem solução única, então:
înx - y = 3
a) 2mn ¹ 0 b) m ­ 2n ¹ 0 c) m ­ 2n = 0 d) m + 2n = 0 e) m + 2n ¹ 0
2) (Fund. João Pinheiro – MG)
ì2 + 4 = m
x y
O sistema í3 + ny = 15 , nas variáveis x e y, é indeterminado.
î x
Nesse caso, a diferença m – n é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3) (UNIMONTES­MG)
ì 2 + 3 - z = 2
x y
ï
O sistema linear í 4 + 6 - 2 = 5 cujas equações são planos paralelos distintos, é classificado, quanto
x y z
ï- 6 - 9 + 3 = -4
î x y z
ao número de soluções, como sendo:
a) inadequado para análise. c) possível e indeterminado.
b) possível e determinado. d) impossível.
4) (UFJF­MG) Faz­se um primeiro e um segundo lançamento consecutivo de um dado de forma a escolher,
ì2 + y = 0
x
respectivamente, os parâmetros a e b para o sistema í . A probabilidade de o sistema obtido
îax + by = 0
ser indeterminado é:
a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 d) 2/3
ì3 + ky + z = 0
x
ï
5) (ESPCEX) O sistema S = í5 + 4 + 5 = 0
x y z
ï x + y + kz = 0
î
admite mais de uma solução se, e somente se:
a) k = 7/6 b) k = 7/5 ou k = 2 c) k = 7 ou k = ­ 2 d) k = 2/3 ou k = 1/2 e) k = 0
Matemática ­ M2 5 9

60. Tecnologia ITAPECURSOS
ìx - y + z = 8
ï
6) (ESPCEX) A soma das soluções do sistema í2 + y + z = 5 é:
x
ïx + 2 - z = -8
y
î
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
7) (FDV­ES) Pedro, Maria e Rogério saíram pelo trânsito da cidade, arrecadando dinheiro para a festa de
formatura da turma. No final do dia, juntos, eles somaram R$ 150,00. Quando souberam que a festa
estava cancelada, os três resolveram dividir igualmente o dinheiro arrecadado. Dessa forma, Pedro ficou
com o dobro do que arrecadou, Maria com R$ 5,00 a menos do que arrecadou e Rogério com R$ 20,00
a menos do que arrecadou. Pedro, Maria e Rogério arrecadaram, em reais, respectivamente:
a) 25, 45 e 80 b) 30, 50 e 70 c) 50, 25 e 75 d) 50, 45 e 55 e) 25, 55, e 70
8) (UERJ) Observe os pesos P , P e P que possuem, cada um, uma quantidade inteira em kg.
1 2 3
Colocando­se um, dois ou os três pesos em um mesmo
prato de uma balança, pode­se equilibrar, no outro, 1, 2, 3,
4, 5, 6 ou, no máximo, 7 kg de batatas.
Entre P , P e P , o mais pesado mede, em kg:
1 2 3
a) 3 b) 4 c) 5 d) 9
ì4 + 3 - 2 = kx
x y z
ï
9) (MACK­SP) A soma de todos os valores de k, para os quais o sistema í6 - z = ky
y tem mais de uma
ï8 = kz
solução, é: î z
a) 10 b) 14 c) 18 d) 12 e) 20
ì4 + y - z = 0
x
ï
10) (UFU­MG) Estudando o sistema linear í - x - y + z = 1 verificamos que ele é:
ï2 - y + z = 2
î x
a) homogêneo indeterminado. d) impossível e indeterminado.
b) possível e determinado. e) impossível e determinado.
c) possível e indeterminado.
11) (UFJF­MG) Um sistema linear homogêneo com m equações lineares e n incógnitas:
a) é sempre possível. d) nem sempre é possível.
b) é possível somente quando m < n. e) é possível somente quando m > n.
c) é possível somente quando m = n.
ì x 2
ï = 7
ï y 3
12) (PUC­MG) O par ordenado (a,b) é solução do sistema í valor de 5 . é:
a b
ï x y
= 13
ï - 2 3
î
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
ì2 + 3 = 5
mx y
13) (UNA­MG) O valor de m de modo que (2,­1) seja solução do sistema í é:
î5 + y = 9
x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) d
6 0 Matemática ­ M2

61. Tecnologia ITAPECURSOS
ìax + y = 2
14) (PUC­MG) O sistema í é indeterminado. O valor de a + b é:
î x - y = b
a) –3 b) –2 c) –1 d) 1 e) 2
ì9 - 6 = 10
mx y
15) (Fac. Milton Campos) O sistema í não tem solução quando m é igual a:
î x
3 - y = 7
a) –2 b) 3 c) 1 d) 2 e) –3
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1) (PUC­MG) O centésimo primeiro termo da seqüência ( ­3, ­1, 1, 3, ...) é igual a:
a) 197 b) 203 c) 213 d) 215 e) 217
2) (Fund. João Pinheiro­MG) Paguei uma dívida durante 14 meses consecutivos, desta forma: no primeiro
mês, R$ 350,00; no segundo, R$ 400,00; no terceiro, R$ 450,00 e assim sucessivamente, ou seja, a cada
mês, paguei R$ 50,00 a mais do que no mês anterior.
Então, o valor total da dívida que paguei foi:
a) R$ 9.450,00 d) R$ 9.650,00
b) R$ 9.540,00 e) R$ 9.660,00
c) R$ 9.560,00
2
3) (N. Paiva – MG) Sabendo­se que, em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 1, o último termo é n ,
e são inseridos outros n termos, pode­se dizer que a razão da P.A será uma função de n, na forma:
a) n – 1 2
b) n + 1 c) n + 1 2
d) n – 1
4) (ITA­SP) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, ­5n, 1 – 4n, uma progressão aritmética pertence ao
intervalo:
a) [­2, ­1] b) [­1, 0] c) [0,1] d) [1, 2] e) [2, 3]
æ 1 1 ö
5) (PUC­MG) O trigésimo primeiro termo da progressão geométrica ç 2 1 , 2 ,L é igual a 2 . O valor de
ç , ,
÷
÷
k
è 2 ø
k é:
a) –14,0 b) –14,5 c) –15,0 d) –15,5 e) –16,0
6) (Provão) Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formam
uma progressão:
a) geométrica de razão 1,2. d) aritmética de razão 1,02.
b) geométrica de razão 1,02. e) aritmética de razão 0,02.
c) geométrica de razão 0,02.
7) (UFLA­MG) Sabendo­se que os números a , a , 75, a e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de
0 1 3
a é:
3
a) 100 b) 1.500 c) 225 d) 375 e) 1.125
x x x
8) (PUC­MG) O valor de x que verifica a equação x + + + + L = 18 é:
3 9 27
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 28
Matemática ­ M2 6 1

62. Tecnologia ITAPECURSOS
2
9) (UFOP­MG) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x – 5, que formam, por
sua vez, uma progressão aritmética, nessa ordem .O perímetro do triângulo mede:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 24
10) (FMTM­MG) Na progressão geométrica ( logx, 3
3 logy, 3
logz) , sendo x , y e z números reais positivos, o
valor de y é:
a) x + z d) x . z
b) x – z e) x z
.
x
c)
z
11) (Unimontes – MG) Uma Progressão Harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversos
formam uma Progressão Aritmética. O segundo, terceiro e quarto termos de uma Progressão Harmônica
são 2, 3 e 6, respectivamente. A soma dos quatro primeiros termos da Progressão Harmônica é:
a) 11 b) 25 c) 5/3 d) 25/2
12) (N. Paiva – MG) Um professor de matemática que amava igualmente a literatura descobriu que reunia em
sua biblioteca particular 70 autores diversos, entre prosadores e poetas. Denotando por A o conjunto dos
poetas e por B o conjunto dos prosadores, ele verificou que as quantidades A – B , A Ç B e B – A
constituíam uma progressão geométrica. Sabendo­se que, do conjunto dos poetas, apenas 10 nunca
haviam escrito obra em prosa, quantos autores escreviam prosa e poesia?
a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35
13) (UFV­MG) Usando­se um conta gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água da
seguinte forma : a mistura é feita em intervalos regulares , sendo que no primeiro intervalo são colocadas
4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior.
Sabendo­se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à
água é:
a) 1100 c) 1600 e) 1200
b) 1300 d) 900
14) (UFOP­MG) Três polígonos têm o número de lados definidos em P.A de razão 3. Sabe­se que a soma de
todos os ângulos internos desses polígonos é 3240°. O número de lados de cada polígono é,
respectivamente:
a) 4 , 7 , 10
b) 9 , 12 , 15
c) 3 , 6 , 9
d) 5 , 8 , 11
e) 6 . 9 . 12
15) (UFOP) A figura mostra um triângulo retângulo cujos lados formam uma P.G. de razão q.
Então a razão q vale:
1 - 5 1+ 5
a) d)
2 2
1- 5 1 + 5
b) e)
2 2
2
æ 1 + 5 ö
c) ç
ç 2 ÷
÷
è ø
6 2 Matemática ­ M2

63. Tecnologia ITAPECURSOS
MATEMÁTICA II
PRISMA
1) (FMTM­MG) Se a área da base de um prisma 6) (PUC­MG) A figura representa uma caixa com
aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume: tampa e que tem a forma de um paralelepípedo
retângulo de base quadrada com lado medindo
a) aumenta 8% d) diminui 8%
x; a altura da caixa mede y, e sua área total
b) aumenta 10% e) diminui 10% 2
mede 100 m . A função que expressa o volume
c) aumenta 108% V dessa caixa, em função de x, é:
2) (CEFET­MG) Se as áreas das faces de um a) V x =
( )
(10 - x )x
2
2
paralelepípedo retângulo medem 6 cm , 9 cm 2 4
e 24 cm 2 , então o volume desse paralelepípedo,
3 b) V x =
( )
(100 - x )x 2
em cm , é: 2
a) 39 d) 39 c) V x =
( )
(50 + x )x
2
4
b) 6 6 e) 1296 d) V x =
( )
(50 + x )x
2
2
c) 36
e) V x =
( )
(50 - x )x
2
3) (CEFET­MG) Um tanque na forma de um 2
paralelepípedo retângulo tem por base um
7) (ESPCEX) Uma piscina em f orma de
retângulo de lados 0,8 m e 1,2 m. Se um objeto
paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros,
é mergulhado totalmente nesse tanque e faz o
diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da
nível da água subir 0,075 m , então o volume do
3 face que contém o comprimento igual a
objeto, em m , é:
a) 0,066 d) 0,600 4 5 metros. Para enchê­la com água será
utilizado um caminhão tanque com capacidade
b) 0,072 e) 1,000
de 6 000 litros. O número de cargas completas ,
c) 0,096 desse mesmo caminhão , necessárias para que
a piscina fique completamente cheia é:
4) (UNI­BH) De um paralelepípedo conhecem­se
duas das suas dimensões, 3 cm e 4 cm , e a a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80
diagonal, 29 cm. A dimensão desconhecida 8) (PUC­MG) Na figura , o cubo tem aresta de 4 cm
é, em centímetros: e BP = 2 cm está sobre o prolongamento da
aresta AB. A medida do segmento PG , em
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
centímetros , é:
5) (UEMG) Uma piscina tem a forma do sólido, a) 6
conforme a figura. Sendo suas medidas dadas
em metros, pode­se afirmar que a capacidade b) 4 2
dessa piscina, em litros, é de:
c) 6 2
d) 4 3
e) 8
9) (UNA­MG) Uma piscina olímpica possui a forma
de um prisma reto de base retangular de 50 m
de comprimento, por 25 m de largura, por 2 m
de profundidade. O número de litros de água
necessários para enchê­la totalmente é:
a) 55.000 c) 72.000 2
a) 2,5 x 10 5
c) 2,5 x 10
b) 58.000 d) 92.000 3
b) 2,5 x 10 6
d) 2,5 x 10
Matemática ­ M2 6 3

64. Tecnologia ITAPECURSOS
10) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1
são:
a) 1 e 2 b) 1, 3 e 2 c) 1, 2 e 3 d) 1, 2 e 3
11) (UFLA­MG) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de
3
0,375 m . A aresta, medida em metros, é igual à raiz cúbica de:
3 3
a) 1 b) 1/3 c) d) e) 1/2
2 4
12) (UFOP­MG) Uma caixa d’água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8m, 15 dm e
80 cm. Sua capacidade é:
a) 2,16 L
b) 21,6 L
c) 216 L
d) 1080 L
e) 2.160 L
13) (UbNESP) Se um tijolo, dos usados em construção, pesa 4 kg, então um tijolinho de brinquedo feito do
mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará:
a) 62,5 g
b) 250 g
c) 400 g
d) 500 g
e) 1.000 g
14) (UFPA) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do
cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede:
a) a 3
b) a 2
a 3
c)
3
a 2
d)
2
a 3
e)
2
15) (UFLA­MG) De um prisma retangular reto recorta­se um outro prisma retangular reto, cujas dimensões
valem exatamente a metade das medidas das dimensões do sólido inicial. Assim o volume do prisma
menor representa uma porcentagem do volume do prisma maior. Essa porcentagem é de:
a) 12,5%
b) 0,125%
c) 1,25%
d) 50%
e) 5%
6 4 Matemática ­ M2

65. Tecnologia ITAPECURSOS
PIRÂMIDE
1) (Univ. Itaúna­ MG) Uma pirâmide, cuja base é um 6) (UFES) Um grupo de esotéricos deseja construir
quadrado de lado 2a, tem o mesmo volume que um um reservatório de água na forma de uma
prisma, cuja base é um quadrado de lado a. pirâmide de base quadrada. Se o lado da base
A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma é: deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter
3
capacidade para 720 m , qual deverá ser a
a) 4/3 b) 3/2 c) 1/4 d) 3/4 medida aproximada do lado da base?
2) (PUC­MG) Na figura, o prisma ABCDEF é reto e a) 8,7 m c) 13,9 m e) 16,0 m
sua base é um triângulo retângulo de catetos
b) 12,0 m d) 15,0 m
AC = 3 m e BC = 4 m; a altura desse prisma mede
5 m. A partir desses dados, pode­se afirmar que a
7) (PUC­MG) Em um cubo de aresta a, ligam­se os
medida do volume da pirâmide de vértice E e cuja
vértices A, B, C, e D de uma face ao centro I da
base é o triângulo de vértices B, D e F, em metros
face oposta. A razão entre o volume da pirâmide
quadrados, é:
assim obtida e o volume do cubo é:
a) 9
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) 3
b) 10
c) 11 8) (PUC­MG) Cortando­se uma pirâmide de 30 dm
d) 12 de altura por um plano paralelo à base e distante
24 dm do vértice, obtém­se uma secção cuja
e) 13 2
área mede 144 dm . A medida da área da base
3) (PUC­MG) A base de uma pirâmide é um hexágono 2
de tal pirâmide, em dm , é:
regular inscrito em uma circunferência de raio r. A
a) 180 b) 200 c) 212 d) 225 e) 288
altura da pirâmide é h = 3r. A função que expressa
o volume V da pirâmide em função do raio r é: 9) (PUC­MG) Em uma pirâmide regular de 12 cm
de altura tendo como base um quadrado de lado
r 3 3 3 3 3
r igual a 10 cm, a área lateral é:
a) V r =
( ) d) V r =
( )
4 2 2 2 2
a) 240 cm c) 340 cm e) 210 cm
3 3 2
b) 260 cm 2
d) 400 cm
3
r 3 7
r 3
b) V r =
( ) e) V r =
( )
4 2
10) (CEFET­MG) ABCD é face de um cubo cujas
3
5
r 3 arestas medem 36 cm. Seja X um ponto da
c) V r =
( )
4 aresta AE. Qual a medida de AX para que o
volume da pirâmide XABCD seja 1/9 do volume
4) (CEFET­MG) Uma pirâmide tem como base um do cubo?
polígono regular. As arestas da base medem 2 m e
as arestas que passam no vértice medem 3 m. A a) 4 cm c) 12 cm e) 24 cm
soma de todos os ângulos internos das faces b) 6 cm d) 18 cm
(incluindo a base) é igual a 10p radianos. A altura
da pirâmide, em metros, é de: 11) (MACK­SP) Uma pirâmide cuja base é um
quadrado de lado 2a tem um mesmo volume que
69 um prisma cuja base é um quadrado de lado a.
a) 5 c) 7 e)
3 A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma,
nessa ordem é:
b) 6 d) 8
a) 3/4 b) 3/2 c) 1/4 d) a/3 e) 3a
5) (ESPCEX) Uma pirâmide hexagonal regular tem área
2
da base igual a 18 3 m . Sabendo­se que sua 12) (UFPA) Uma pirâmide regular, cuja base é um
altura é igual ao triplo do apótema da base, então quadrado de diagonal 6 6 , e a altura igual a
seu volume é: 2/3 do lado da base, tem área total igual a:
2 2
3
a) 36 m 3
d) 54 3 m a) 96 3 cm d) 84 3 cm
2
b) 252 cm 2
e) 576 cm
3 3
b) 27 3 m e) 81 6 m
2
c) 288 cm
3
c) 36 3 m
Matemática ­ M2 6 5

66. Tecnologia ITAPECURSOS
13) (PUC­SP) Um projetor está a uma distância de 2 metros de uma parede. A que distância da parede deve
ser colocado o projetor, para que a área de um quadrado projetado aumente 50%?
a) 6 m b) 2 3 m c) 3 m d) 4,5 m e) 3 2 m
14) (PUC­MG) Para que o volume de um cubo de aresta a seja igual ao volume de uma pirâmide cuja base é
um quadrado de lado a, a altura da pirâmide é:
a) a/3 b) 3/a c) 3a/4 d) 4a/3 e) 3a
15) (M.Campos) Uma pirâmide de chumbo é mergulhada num tanque cúbico de aresta 1m, cheio d’água até
a borda. Se a base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem 0,5 m e se sua altura
também é de 0,5 m, então o volume de água derramada foi:
3
a) 1/12 m 3
b) 1/24 m 3
c) 1/36 m 3
d) 1/48 m 3
e) 1/64 m
CILINDRO
1) (Fac. M.Campos­MG) Em um laboratório, um cilindro de vidro com 10 cm de raio contém água até 10 cm
de altura. Um objeto irregular colocado dentro desse cilindro fica totalmente imerso e faz o nível d’água
subir para 18 cm. Considerando p = 3,14, o volume desse objeto é de:
3
a) 3140 cm 3
b) 2512 cm 3
c) 5652 cm 3
d) 2009,6 cm
2) (Univ. Itaúna ­ MG) Para se calcular o volume de um sólido, o mesmo é colocado em um recipiente
cilíndrico de 5 cm de raio, que contém água até um certo nível. Se o nível da água subir 1 cm, o volume do
sólido deverá ser de:
3
a) 5p cm 3
b) 10p cm 3
c) 50p cm 3
d) 25p cm
3) (PUC­MG) A região plana, limitada pelo retângulo ABCD, gira em torno do lado AB e gera um cilindro de
volume V . A mesma região, ao girar em torno do lado BC, gera um outro cilindro de volume V . Se
1 2
AB = 4 cm e BC = 6 cm, é CORRETO afirmar que:
a) V = V
1 2
b) 2V = V
1 2
c) V = 3V
1 2
d) 2V = 3V
1 2
e) V = 2V
1 2
4) (Fund. João Pinheiro­MG) Dois cilindros são obtidos girando­se, sucessivamente, um retângulo ABCD em
torno dos lados AB e BC. O produto dos números que representam a medida dos volumes dos cilindros é
216p2 . Assim sendo, a área do retângulo é igual a:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
7
5) (Fac. Newton Paiva­MG) Um reservatório, em forma de cilindro, cujas dimensões internas são metros
p
de raio e 0,018 m de altura, contém vinho até 2/3 de seu volume. A quantidade de vinho, em litros, contida
no reservatório é de:
a) 84 b) 840 c) 8400 d) 12.600
6) (PUC­MG) Enrolando­se um tapete quadrado, obtém­se um sólido que tem a forma de um cilindro circular
2 3
reto, cuja área da base mede 4pdm e cujo volume mede 120p dm . A medida da área do tapete, em
metros quadrados, é:
a) 3 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25
7) (FMTM­MG) Um cilindro circular reto tem altura igual a 80 cm e o diâmetro da base é igual a 3 m. A respeito
desse cilindro, pode­se afirmar que:
2 2
a) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4 m e a área de uma seção transversal, 9p m .
2 2
b) A área lateral é igual a 2,4p m e a área de uma seção transversal, 9p m .
2 e a área de uma seção meridiana, 2,4 m .
c) A área lateral é igual a 2,4p m 2
2
d) A área lateral é igual a 4,8p m e a área de uma seção meridiana, 2,4p m 2.
2 2
e) A área de uma seção meridiana é igual a 2,4p m e a área de uma seção transversal, 2,25p m .
6 6 Matemática ­ M2

67. Tecnologia ITAPECURSOS
8) (N. Paiva ­ MG) Uma lata cilíndrica de 0,8 m de 12) (N.Paiva) A área lateral de um cilindro de
altura e 40 cm de diâmetro contém água até 1/5 revolução é metade da área da base. Se o
de sua capacidade. Essa água será despejada perímetro de sua seção meridiana é 18 m, o
numa outra lata cilíndrica de mesma altura que volume vale:
a primeira, mas que tem 20 cm de diâmetro. 3
a) 8p m
A altura alcançada pela água na lata menor será,
b) 10p m 3
em cm, de:
c) 12p m 3
a) 16 b) 24 c) 32 d) 64
d) 16p m 3
9) (ESPCEX) Num recipiente em forma de cilindro 3
e) 20p m
circular reto, com raio da base 2 cm e altura
6 3 cm (dimensões internas) há um volume 13) (UFMG) Um cilindro circular reto, de ouro
de água de 16 3 p cm . O maior ângulo a que
3
maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e altura
o plano da base do cilindro pode fazer com a igual a 10 cm. Sendo a densidade do ouro 19
3
g/cm , a massa total do cilindro, em gramas, é:
horizontal para que a água não derrame ao se
inclinar o cilindro é de, aproximadamente: a) 950p
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° b) 760p
c) 570p
d) 380p
e) 190p
14) (FMTM) A área total de um cilindro vale 48p m 2
e a soma das medidas do raio da base e da
3
altura é igual a 8m. Então, em m , o volume do
sólido é:
Dados (aproximados) a) 75p
tg 30° = 0,58 b) 50p
tg 40° = 0,84 c) 45p
tg 50° = 1,19 d) 25p
10) (CEFET­MG) Na figura, o quadrado de lado a e) 15p
gira em torno de um eixo paralelo ao seu lado e
que dista deste de b unidades. O volume do sólido 15) (PUC­SP) Se triplicarmos o raio da base de um
gerado é dado por: cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro
fica multiplicado por:
a) pb (a + b
2
) a) 3
b) pa (2 + b
2
a ) b) 6
c) 9
c) pa (a + 2 )
2
b d) 12
d) pb (a + 2 )
2
b e) 15
e) p(a + b
)
11) (Univ. Itaúna) Um cilindro circular reto tem o
raio igual a 2 cm, e altura 3 cm. Sua superfície
lateral mede:
2
a) 6p cm
2
b) 9p cm
c) 12p cm 2
d) 15p cm 2
e) 16p cm 2
Matemática ­ M2 6 7

68. Tecnologia ITAPECURSOS
CONE
1) (UFMG) Um reservatório de água tem forma de 4) (UFOP­MG) Um triângulo retângulo possui catetos
cone circular reto, de eixo vertical e vértice para de comprimento a e b. Sejam V e V os
a b
baixo.
volumes dos cones obtidos pela rotação do
Quando o nível de água atinge a metade da altura triângulo em torno , respectivamente, dos catetos
do tanque, o volume ocupado é igual a p.
V
a
A capacidade do tanque é: a e b. O quociente V vale:
b
a) 2p d) 6p
8p
b) e) 8p ab a + 1
3 a) 2 2 d)
c) 4p a + b b + 1
2) (FCMMG) Observe a figura. a a + b 2
2
b) e)
a + b pab
b
c)
a
5) (FCMMG) Observe a figura.
Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone,
contém suco até a metade da altura do cone
interno. Se o volume do cone interno é igual a V,
então o volume do suco nele contido é: O cilindro circular reto da figura é obtido
seccionando­se o cone circular reto por um plano
V V paralelo à base e a uma distância H/3 desta.
a) c)
16 4 A razão entre os volumes do cone de altura H e
do cilindro, nesta ordem, é:
a) 9/4 b) 27/4 c) 9 d) 27
V
b) V d)
8 2 6) (UFJF­MG) O volume do sólido de revolução
gerado por um triângulo eqüilátero de lado 2 cm,
3) (FAFEOD – MG) Observe a figura a seguir: que faz uma rotação de 360° em torno de um de
3
seus lados, é, em cm :
10p
a) 2p c) e) 6
p
3
8p
b) d) 4
p
3
7) (PUC­MG) A região plana limitada pelo triângulo
ABC faz um giro de 60° em torno da reta AB.
Sendo AB = 2AC = 6 m, o volume do sólido
3
gerado, em m , é:
Sendo S a região hachurada, é CORRETO afirmar
que o volume aproximado do sólido gerado pela a) 3p.
rotação de S em torno do eixo x é, em
centímetros cúbicos, igual a: b) 4p.
c) 5p.
a) 28,2 c) 56,5
d) 6p.
b) 84,8 d) 48,2
e) 7p.
6 8 Matemática ­ M2

69. Tecnologia ITAPECURSOS
8) (UFOP) Num cone circular reto de volume V = 11) (UFOP­MG) Um cone circular reto tem por base
3 2
3p cm e área da base A = 9p cm , podemos uma circunferência de comprimento igual a 6p
b
afirmar que o produto do raio pela altura desse cm e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Posto
2
cone, em cm , vale: isso, sua área lateral é:
2
a) 5p cm 2
d) 15p cm
a) 2/3 b) 1 c) 2 d) 9/4 e) 3
2
b) 9p cm 2
e) 36p cm
9) (PUC­MG) Um sólido S é gerado por uma região c) 12p cm 2
plana limitada por um triângulo retângulo cujos 12) (UFJF) Um cone eqüilátero tem de área da base
catetos medem, respectivamente, 3 m e 4 m, 2
4p cm . Qual sua área lateral?
que gira em torno do maior cateto, segundo um 2 2
ângulo de 60°. A medida do volume do sólido S, a) 2p cm d) 16p cm
2
b) 4p cm 2
e) 32p cm
em metros cúbicos, é:
2
c) 8p cm
p
a) d) 2p. 13) (UFU) A área da base de um cone reto é igual à
2 área da secção meridiana. Se o raio da base
vale R, a altura do cone valerá:
p
b) e) 3p. a) 2pR/3 d) 2pR
3
b) pR/2 e) 3pR/2
c) p
c) pR
10) (MACK­SP) No cálice da figura, que tem a forma 14) (UFPA) Qual o volume de um cone circular reto
de um cone reto, colocou­se um volume de água de diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz
igual a 1/8 do volume do cálice. A altura h da 5 cm?
água é: 3
a) 12p cm 3
d) 48p cm
3
b) 24p cm 3
e) 96p cm
a) 9/2 3
c) 36p cm
b) 3/2
15) (UFLA) O diâmetro da base de um cone circular
c) 9/8 reto mede 12 cm. Se a área da base é 3/8 da
3
área total, o volume desse cone, em cm , é:
d) 7/8
a) 48p b) 96p c) 144p d) 198p e) 288p
e) 5/8
ESFERA
1) (UFJF­MG) Dois cubos de metal de arestas de 3) (PUC­MG) Três bolas metálicas e de mesmo diâmetro,
comprimento p e 2p, respectivamente em quando jogadas dentro de um tambor cilíndrico cujo
centímetros, fundem­se para formar uma esfera. raio mede 24 cm , ficam totalmente submersas e
O comprimento do raio dessa esfera é, em cm: fazem o nível da água, no interior do tambor, subir
12 cm. A medida do raio de cada esfera, em
a) 3p. c) 3 9p 2 centímetros, é:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16
3p 2 4) (Fac. Newton Paiva­ MG) Uma fábrica de biscoitos
b) 3 p
d) 3 .
2
é contratada para fabricar casquinhas de sorvetes.
4
Como os sorvetes são vendidos na forma esférica,
com 4 cm de diâmetro, foi proposta à fábrica de
2) (Fac. M. Campos­MG) O volume de uma esfera biscoitos que:
1. As casquinhas sejam cones ocos, com 4 cm de diâmetro
circunscrita em um cubo de aresta 2 3 m é: na base.
2. Como as casquinhas devem comportar duas bolas de
3 sorvete, o cone comporte, no mínimo, 3/4 do sorvete, caso
a) 36p m este derreta.
3
b) 32p m O menor valor da altura permitido para o cone será:
a) igual ao diâmetro.
3
c) 32p 3 m b) o dobro do diâmetro mais um terço dele.
c) 2 vezes e meia o diâmetro.
3
d) 4p 3 m d) 3 vezes o diâmetro.
e) o dobro do diâmetro.
Matemática ­ M2 6 9

70. Tecnologia ITAPECURSOS
5) (UFMG) Dois cones circulares retos de mesma base estão inscritos numa mesma esfera de volume 36p. A
razão entre os volumes desses cones é 2.
A medida do raio da base comum dos cones é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2
6) (UNI­BH) O volume do sólido gerado pela rotação completa, em torno da reta r, da região entre as
semicircunferências indicada na figura a seguir é:
32
a) p
3
76
b) p
3
108
c) p
3
4
d) p
3
7) (ITA­SP) Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de 2 cm está inscrito numa esfera que,
por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone
é igual a:
a)
3
2
(2 - 1 ) b)
9
(
4
)
2 - 1 c)
9
(
4
)
6 - 1 d)
27
8
( 3 - 1 ) e)
27
16
[ ]
3 - 1
8) (UFOP­MG) Um plano intercepta uma superfície esférica segundo uma circunferência de 6 3 cm de
p
comprimento. Sendo a distância do centro da esfera ao centro da circunferência igual a 3 cm, o raio da
esfera é:
a) 4 cm
b) 5 cm
c) 6 cm
d) 7 cm
e) 8 cm
9) (UFJF) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, formada por 12 gomos exatamente iguais.
A superfície total de cada gomo é:
2
a) 2pR
2
b) 4pR
3p 2
c) R
4
2
d) 3pR
4p 2
e) R
3
2
10) (Univ. Itaúna) A área da superfície de uma esfera é 16p cm . Qual o diâmetro da esfera?
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 4 cm
d) 6 cm
e) 8 cm
7 0 Matemática ­ M2

71. Tecnologia ITAPECURSOS
MATEMÁTICA I
Função Exponencial
1) e 2) c 3) a 4) d 5) b 6) e 7) b 8) c 9) a 10) e
11) b 12) d 13) c 14) d 15) a 16) c 17) c 18) c 19) b 20) c
Logaritmo
1) d 2) b 3) d 4) a 5) b 6) c 7) a 8) c 9) d 10) b
11) b 12) c 13) d 14) c 15) e 16) d 17) c 18) b 19) e 20) e
Polinômios
1) a 2) a 3) a 4) c 5) b 6) a 7) c 8) b 9) d 10) b
11) b 12) a 13) d 14) b 15) d
Análise Combinatória
1) b 2) d 3) d 4) d 5) c 6) d 7) a 8) d 9) a 10) c
11) c 12) e 13) a 14) d 15) d 16) b 17) b 18) c 19) e 20) d
Binômio de Newton
1) b 2) d 3) d 4) a 5) a 6) d 7) d 8) a
Matriz
1) c 2) e 3) b 4) b 5) b 6) b 7) b 8) c 9) a 10) b
11) a 12) b 13) e 14) a 15) c
Determinante
1) b 2) a 3) e 4) e 5) d 6) a 7) b 8) a 9) c 10) c
Sistemas Lineares
1) e 2) d 3) c 4) a 5) b 6) a 7) e 8) b 9) b 10) c
11) a 12) a 13) d 14) a 15) d
P.A e P.G
1) a 2) a 3) a 4) b 5) b 6) b 7) d 8) a 9) e 10) e
11) d 12) c 13) b 14) d 15) e
MATEMÁTICA II
Prisma
1) a 2) c 3) b 4) b 5) d 6) e 7) c 8) a 9) d 10) c
11) c 12) e 13) a 14) d 15) a
Pirâmide
1) d 2) b 3) d 4) a 5) d 6) b 7) b 8) d 9) b 10) c
11) a 12) c 13) a 14) e 15) d
Cilindro
1) b 2) d 3) d 4) a 5) a 6) c 7) c 8) d 9) d 10) c
11) c 12) d 13) b 14) c 15) c
Cone
1) e 2) b 3) c 4) c 5) b 6) a 7) a 8) e 9) d 10) a
11) d 12) c 13) c 14) a 15) b
Esfera
1) d 2) a 3) d 4) d 5) e 6) b 7) d 8) c 9) e 10) c
Matemática ­ M2 7 1

72. Anotações