O documento descreve os conceitos fundamentais de poliedros e pirâmides. Define poliedro como um sólido limitado por planos e delimitado por faces poligonais. Explora os elementos que compõem poliedros e pirâmides, como vértices, arestas e faces. Apresenta exemplos de poliedros regulares e classificações de pirâmides.

1. Poliedro
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas
poligonais que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas
do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região
poligonal contendo n lados.
Definição: Poliedro é uma reunião finita de polígonos planos chamados de faces onde:
1. Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono.
2. A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia.
Cada lado de um polígono comum a exatamente duas faces, é chamado uma aresta do
poliedro e cada vértice de uma face é um vértice do poliedro.
Exemplo de não poliedro.

2. Poliedros convexos:
Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro. Dizemos que
um poliedro é convexo se o seu interior é convexo.
Definição de convexo: “um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando
qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C esta inteiramente contido em C”
Definição: Um poliedro é convexo se qualquer reta o corta em no Maximo, dois pontos.
Observação: A reunião das faces de um poliedro convexo é denominada superfície poliédrica
fechada
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos formados por planos adjacentes têm medidas
menores do que 180 graus.
Abaixo, veja mais exemplos de poliedros convexos e suas planificações:

3. Abaixo, veja mais exemplos de poliedros não convexos.
Duas Desigualdades Importantes (para poliedros convexos);
V(numero de vértices) F(faces) A(arestas)
1. 2A ≥ 3F
2. 2A ≥ 3V
Relação de Euler
Para todos poliedros convexos vale a seguinte relação;
V(numero de vértices) F(faces) A(arestas)
V+F=A+2 ou V-A+F=2
Essa relação foi descoberta e demonstrada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-
1708).
Observação: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é
convexo.
Poliedro A Poliedro D Poliedro E

4. V- V-
V A F V A F
A+F Exe A+F
tetraedro 4 6 4 2 mpl prisma de base triangular 6 9 5 2
cubo 8 12 6 2 os. prisma de base pentagonal 10 15 12 2
octaedro 6 12 8 2 A prisma de base n-gonal 2n 3n n+2 2
dodecaedro 20 30 12 2 bola pirâmide de base quadrada 5 8 5 2
icosaedro 12 30 20 2 de pirâmide de base
7 12 7 2
poliedro A 12 18 8 2 fute hexagonal
bol
poliedro D 16 32 16 0 pirâmide de base n-gonal n+1 2n n+1 2
que
poliedro E 28 60 30 -2
apareceu pela primeira vez na copa de 70 foi inspirada em
um conhecido poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares.
Pergunta-se quantos vértices possui tal poliedro.
Temos 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais no total de 32 faces F=32.
Encontrar o numero de arestas do poliedro A (arestas):
2A=5F 5 +6F 6 =5*12+6*20=180
A=90
Como o poliedro e convexo vale a relação de Euler V-A+F=2, de onde concluímos que V=60.

5. Poliedros de Platão
Um poliedro é chamado poliedro de Platão quando satisfaz três condições:
1. Condição: Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas. n.F=2A
2. Condição: Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número (m) de arestas.
m.V=2A
3. Condição: O poliedro é euleriano, isto é, V - A + F = 2.
Observação: Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros de Platão.
m n A V F Nome
3 3 6 4 4 tetraedro
3 4 12 8 6 hexaedro
4 3 12 6 8 octaedro
3 5 30 20 12 dodecaedro
5 3 30 12 20 icosaedro

6. Poliedros regulares
Um poliedro convexo é regular quando:
• Suas faces são polígonos regulares e congruentes.
• Em todos os seus vértices concorre o mesmo número de arestas.
Num poliedro regular, percebe-se imediatamente que:
• Todas as faces têm o mesmo número de arestas (pois as faces são congruentes);
• Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número de arestas;
• O poliedro é euleriano (pois é convexo).
Assim, todo poliedro regular é poliedro de Platão. Por isso, existem cinco tipos de poliedros
regulares:
Tetraedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro
Teorema. Existem apenas cinco poliedros regulares convexos.
Para demonstrar, seja n o numero de lados de cada face e seja p o numero de arestas que concorrem
nF nF
em cada vértice. Temos 2A=nF=pV ou A= e V= .
2 p
nF nF
Substituindo na relação de Euler obtemos - +F=2
p 2
4p
F= . 2p+2n-np<0
2 p + 2n − pn
Como p ≥ 3, chegamos a n < 6. As possibilidades são então as seguintes:
4p 4p
. n = 3 → F= n = 5 → F=
6− p 10 − 3 p
2p
n = 4 → F=
4− p

7. Prismas
Definição e Elementos
Prisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em planos
paralelos e as demais faces são paralelogramos.
Nomenclatura e Classificação
Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.
Assim:
• um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;
• um prisma é quadrangular quando suas bases são quadriláteros;
• um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais;
• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.
...
Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos planos das bases, o prisma é
chamado de reto; caso contrário, de oblíquo.
.

8. Exemplos
Cubo
Definição e Elementos
Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular
regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.
O cubo da figura tem arestas de medida l, então,
• as diagonais de suas faces medem l , pois são diagonais de quadrados de lados com
medidas iguais a l.

9. • as diagonais do cubo medem l , pois:
Assim:

10. Paralelepípedos
Definição
Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as
faces de um paralelepípedo são paralelogramos.
Exemplos
Paralelepípedo Reto Retângulo

11. Diagonais de um paralelepípedo retângulo
No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD
e do paralelepípedo, respectivamente.
No triângulo ABC, temos:
AC2 = AB2 + BC2
ou então,
No triângulo ACG, temos:
AG2 = AC2 + CG2
ou então,
Como , temos:
d2 = a2 + c2 + b2 ou

12. Exercícios resolvidos:
(VUNESP – 07) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que suas
dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20, e que a diagonal mede 100 m.
Resolução
d2 = a2 + b2 + c2
1002 = (20k)2 + (12k)2 + (9k)2
1002 = 625k2
Assim, 25k = 100 k=4
Então, a = 20 · 4 = 80 m
b = 12 · 4 = 48 m
c = 9 · 4 = 36 m
V = a · b · c = 80 · 48 · 36

13. (Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6
cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um
paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16 m d) 19 m
b) 17 m e) 20 m
c) 18 m
Resposta: D
Pelo enunciado, o volume do paralelepípedo é igual à soma dos volumes dos cubos.
Assim,
8 · 8 · x = 63 + 103
64 x = 216 + 1 000
64 x = 1 216 x = 19
(Mackenzie-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2
de área lateral. Seu volume vale
a) 16 m3 d)
b) 32 m3 e)
c) 64 m3
Resolução

14. (Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6
480°, então o número de lados da base do prisma é
a) 8 d) 12
b) 9 e) 15
c) 10
Resolução
Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais
quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos
ângulos internos de todas as sua faces é
n · 360° + 2 · (n – 2) · 180°
Conseqüentemente,
n · 360° + 2 · (n – 2) · 180° = 6 480° n = 10
Resposta: C
O conceito de pirâmide
Pirâmides
Consideremos um polígono contido em
um plano (por exemplo, o plano horizontal) e
um ponto V localizado fora desse plano. Uma
Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que
têm uma extremidade em V e a outra num ponto
qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome
de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides
no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas
piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir
barracas.

15. Elementos de uma pirâmide
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
Vértice o vértice da pirâmide: é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou
regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois
vértices consecutivos da base.
Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo
num vértice do polígono situado no plano da base.
Apótema: É a altura de cada face lateral.
Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
Clã

16. ssificação das pirâmides pelo número de lados da base
triangular quadrangular pentagonal hexagonal
base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono
Pirâmide Regular reta
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do
vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.
R raio do circulo circunscrito
r raio do círculo inscrito
l aresta da base
ap apótema de uma face lateral
h altura da pirâmide
al aresta lateral
As faces laterais são triângulos isósceles congruentes
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um
determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser
realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum
outro material.

17. No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente
sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.
As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.
Analise do livro
O livro e muito bom por sinal apresenta muitas ilustrações exemplos e exercícios trazendo
sempre exemplos para explicar e tentar ajudar o aluno no decorrer do conteúdo.
Porem o livro começa tacando os poliedros e exemplos do mesmo mais não define nada
formalmente deixando o conteúdo em aberto assim também acontece com conexos e relação de
Euler. O livro também não trás os sólidos de Platão entrando direto nos poliedros regulares não
mostrando ao aluno que existem os sólidos de Platão e todos são poliedros regulares.
Em pirâmide e prismas o livro também não define e nem constrói a relações corretamente
deixando sempre o conteúdo em aberto mas tenta por exemplos defini pirâmides e prismas sem
nem uma construção ou definição apropriada para a serie.
Em poliedros o livro comete alguns erros de não trazer as notações antes de utilizaras podendo
deixar o aluno confuso ou sem saber que A,F,V são as arestas faces e vértices do poliedro.
No geral o livro e muito bom trazendo muitos exemplos exercícios e planificações do
conteúdo a bordado e apropriado como material de auxilio pedagógico.